高三复数总复习知识点、经典例题、习题

复数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方

等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；

纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数

*

（2）两个复数相等的定义：

0==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应

点坐标为(),p a b ；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算

设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） …

（3）

减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；

（4） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅

【3】复数的化简 c di

z a bi

+=

+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22

ac bd ad bc i

c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+

对于()0c di z a b a bi +=

⋅≠+，当c d

a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

二． 例题分析 |

【例1】已知()14z a b i =++-，求 （1） 当,a b 为何值时z 为实数 （2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数 （3） 当,a b 为何值时z 为虚数

（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

《

【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．1- B ．0 C 1 D ．1-或1

【变式2】求实数m 的值，使复数2

2(23)(34)m m m m i --+--分

别是：

（1）实数。

·

（2）纯虚数。

（3）零

《

【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z

#

【变式1】(1)设,,(1)232(1)x y R x xi y y i ∈+-=-+-求,x y 的

值。

~

(2) (22)(4)0x i y i ++-=求

,x y 的值。

、

【变式2】设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；

、

【变式1】复数z 满足21i

z i

-=-，则求z 的共轭z

《

【变式2】已知复数z =

z z •= A. 14 B.1

2

【变式3】若复数z 满足(1)1z i i +=-，则其共轭复数z -

=________________ 【例4】已知12z i =-，232z i =-+ （1） 求12z z +的值； （2） 求12z z ⋅的值； （3） 求12z z ⋅.

|

【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模.

}

【变式2】若复数()2

1ai +是纯虚数，求复数1ai +的模.

？

、

【变式3】已知

21z

i i

-

=++，则复数z =（ ）

A ．13i -+

B ．13i -

C ．3i +

D ．3i -

【例5】下面是关于复数2

1z i

=

-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2

p z =

22:2p z i

=

3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为

1- ()A 23

,p p ()B

12

,p p ()C ,p p 24

()

D ,p p 34

【例6】若复数()312a i

z a R i

+=

∈-（i 为虚数单位）

， （1） 、

（2） 若z 为实数，求a 的值

（3） 当z 为纯虚，求a 的值.

；

【变式1】设a 是实数，且112

a i

i -+

+是实数，求a 的值..

/

【变式2】若()3,1y i

z x y R xi

+=∈+是实数，则实数xy 的值是 .

￥

【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第几象限

]

【变式1】i 是虚数单位,4

1i ()1-i

+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1

D ．-1

、

【变式2】已知

1i

Z

＋=2+i,则复数z=（）

（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i