求素数算法
求素数的算法
求素数的算法
1. 定义
素数又称质数，是指只能被1和它本身整除的自然数，如2、3、5、7、11等，而4、6、8、9等都不是素数。
2. 筛法
筛法是一种较为简单的求素数的算法，主要原理是先假设所有数都是素数，然后从小
到大开始筛选，将所有能够整除当前数字的数标记为合数，剩余的就是素数。
具体步骤如下：
（1）初始化数组：将从2到n的所有整数存入数组中，初始时都标记为素数。
（2）循环遍历数组：从2开始循环遍历数组，将当前数字标记为素数，然后将所有能够整除当前数字的数标记为合数。
（实际上只需要循环到sqrt(n)即可）
（3）输出素数：遍历数组，输出所有标记为素数的数。
3. 质数判定法
如果只需要判断某一个给定的数是否是素数，那么可以采用质数判定法。
常见的质数
判定法有以下几种：
（1）试除法：从2开始到sqrt(n)依次尝试除n，如果能够整除则不是素数，否则是
素数。
这种方法速度较慢，但实现简单。
（2）根号判定法：如果一个数n不是素数，那么n可以表示为两个整数的乘积，即n = x * y。
这两个整数必然有至少一个小于等于sqrt(n)。
因此，只需要判断是否存在小于等于sqrt(n)的因数即可。
（3）费马小定理：如果n是素数，那么对于任意整数a，a^(n-1) mod n = 1。
根据这个定理，我们可以随机选取一些a进行计算，如果a^(n-1) mod n 不等于 1，则n一定不是素数，否则n可能是素数。
（4）米勒-拉宾素性判定法：该方法是一种基于费马小定理的扩展算法。
具体实现过
程较为复杂，但速度较快，能够判断很大的素数。
生成素数的算法
生成素数的算法素数，也称质数，是指只能被1和自身整除的正整数。
在数学中，素数是一种非常重要的数，因为任何一个正整数都可以唯一地分解成若干个素数的积。
因此，生成素数一直是数学研究的一个重要课题，也是计算机科学中的一个基本算法问题。
本文将介绍几种生成素数的算法，包括朴素算法、埃氏筛法、欧拉筛法等。
1. 朴素算法朴素算法，又叫试除法，是一种最简单直接的方法。
它的基本思路是：依次枚举正整数，判断它是否为素数。
若这个数能被除了1和自身外的其他数整除，则不是素数，否则就是素数。
下面是朴素算法的Java代码实现：```public static boolean isPrime(int num) {if (num <= 1)return false;for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {if (num % i == 0)return false;}return true;}```从代码中可以看出，朴素算法的时间复杂度为O(sqrt(n))，空间复杂度为O(1)。
缺点是效率较低，无法处理大数据量，容易被攻击。
2. 埃氏筛法埃氏筛法是一种非常经典的生成素数的算法，也称为“筛法”。
它的基本思路是：从2开始，每次找出一个素数，并将其倍数全部标记为合数。
这样不断找素数、标记合数，就可以得到所有不大于一个给定整数n的素数。
最终没有被标记的数字就是素数。
```public static int[] sieveOfEratosthenes(int n) {boolean[] isPrime = new boolean[n + 1];Arrays.fill(isPrime, true);for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (isPrime[i]) {for (int j = i * i; j <= n; j += i) {isPrime[j] = false;}}}int count = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (isPrime[i]) {count++;}}int[] primes = new int[count];int idx = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (isPrime[i]) {primes[idx++] = i;}}return primes;}```埃氏筛法的时间复杂度为O(nloglogn)，空间复杂度为O(n)。
辗转相除法求素数
辗转相除法求素数素数在数论中占有非常重要的地位。
在现代密码学、随机化算法、分解算法等领域中，素数的应用广泛而深入。
那么我们如何高效地求解素数呢？在本文中，我将介绍一种高效的求素数方法——辗转相除法。
一、什么是素数？素数又称质数，指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
例如2、3、5、7、11、13等数都是素数。
二、素数的求解方法通常我们可以用暴力枚举或试除法来求解素数，但当数值较大时，这些方法效率较低。
此时，辗转相除法成为一种更为高效的求素数方法。
三、辗转相除法的原理辗转相除法又称欧几里得算法，是一种用于求两个正整数最大公约数的算法。
它的原理是：两个正整数的最大公约数等于其中两数之间较小的那个数和两数的差值的最大公约数。
例如：56和42的最大公约数等于42和14的最大公约数，而14和42的最大公约数等于14和28的最大公约数。
以此类推，直到找到两数的公共因子1，这时两个数的最大公约数就是1。
同理，我们可以利用这个原理去判断一个数是否为素数。
四、利用辗转相除法判断素数的方法假设我们要判断一个自然数x是否为素数。
我们首先可以取一个小于等于√x的自然数k，如果x能够被k整除，那么它就不是素数。
如果x 不能被k整除，我们就在k和x/k之间寻找一个自然数p，使得p是k 和x/k中的最大公约数。
如果p等于1，那么x就是个素数；否则，x 就不是素数。
五、辗转相除法实现代码实现辗转相除法可以使用递归方法，代码如下所示：```pythondef euclid_algorithm(a, b):if a % b == 0:return belse:return euclid_algorithm(b, a % b)```六、总结辗转相除法是一种高效的求解素数的方法，其原理是用于求两个正整数最大公约数的欧几里得算法。
通过寻找两个数之间的最大公约数，判断一个数是否为素数。
学习这种求解素数的方法，不仅可以加深我们对数学知识的认识，同时也可以为我们日后的学习和工作提供帮助。
素数判断算法
int main() {
bool p[max]={ 0,0,1,1,0,1}; int prim[max]={0}; int j,k=2; memset(p,1,sizeof(p)); for(j=2;j<max;j++)
{ if(p[j]) for(k=j*j;k<max;k+=j) p[k]=0;
首先，介绍一下求 1~n 范围内的素数的筛选法： 素数筛选法，也称“埃拉托色尼(Eratosthenes)筛法”，埃拉托色尼是古希腊著名的数
学家（膜拜一下）。素数筛选法操作如下，首先从 2 开始，将 2+k（k=1，2，3，……n-2） 都对 2 进行整除运算，若（2+k）能整出 2，说明这个数一定是合数，那就将它筛掉；然后
} k=0; for(j=2;j<max;j++)
if(p[j]) prim[k++]=j; for(j=0;j<k;j++) cout<<j<<" "<<prim[j]<<endl; return 0; }
对于素数问题，历史上有许多猜想和论证，部分如下： 最大公约数只有 1 和它本身的数叫做质数（素数）。 至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。 关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力： 1.高斯猜测，n 以内的素数个数大约与 n/ln(n)相当，或者说，当 n 很大时，两者数量 级相同。这就是著名的素数定理。 2.十七世纪费马猜测，2 的 2^n 次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数， 可惜当 n=5 时，2^32+1 就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。 3.18 世纪发现的最大素数是 2^31-1，19 世纪发现的最大素数是 2^127-1，20 世纪末人 类已知的最大素数是 2^859433-1，用十进制表示，这是一个 258715 位的数字。 4.孪生素数猜想：差为 2 的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是 1159142985 ×2^2304－1 和 1159142985×2^2304＋1。 5.歌德巴赫猜想：大于 2 的所有偶数均是两个素数的和，大于 5 的所有奇数均是三个素 数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为 1+1 问题。我国 数学家陈景润证明了 1+2，即所有大于 2 的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的 和。国际上称为陈氏定理。
c++ 10000以内素数算法
c++ 10000以内素数算法一、概述本算法是一种用于寻找10000以内素数的C语言程序。
素数是指只有两个正因数（1和它自身）的自然数。
寻找素数的方法通常包括筛选法和埃拉托斯特尼筛法等。
本算法采用筛选法，通过循环遍历每个数，判断是否为素数，最终输出所有素数。
二、算法实现1. 初始化一个数组用来存储已检查过的数（初始化为0），以及一个计数器记录当前正在检查的数。
2. 从2开始循环到10000，每次循环将计数器加1。
3. 如果当前数是素数（即除了1和它自身以外没有其他因数），则将该数添加到已检查过的数数组中，并继续检查下一个数。
4. 如果当前数不是素数，则跳过该数，继续检查下一个数。
5. 检查完所有数后，输出已检查过的数数组中所有不重复的数，即为10000以内的素数。
以下是C语言代码实现：```c#include <stdio.h>int main() {int i, j, flag;int primes[100] = {0}; // 存储已检查过的数的数组int count = 0; // 当前正在检查的数的计数器for (i = 2; i <= 10000; i++) {count++; // 初始化计数器为1flag = 1; // 假设当前数为素数for (j = 2; j < count; j++) {if (i % j == 0) { // 如果存在除1和自身以外的因数，则不是素数flag = 0; // 不是素数，将标记设为0break;}}if (flag) { // 如果最后标记为1，说明是素数primes[count-1] = i; // 将素数添加到数组中}}printf("Prime numbers between 1 and 10000 are: ");for (i = 0; i < count; i++) {printf("%d ", primes[i]);}return 0;}```三、算法评估与优化本算法采用循环遍历的方式查找素数，时间复杂度为O(n^2)，在输入规模较小时表现较好。
python求素数的20种算法
python求素数的20种算法20种求素数的算法1. 质数判断法：对于给定的整数n，从2到n-1依次判断n是否能被这些数整除，若都不能整除，则n为质数。
该算法的时间复杂度为O(n)。
2. 埃拉托斯特尼筛法：该算法的基本思想是从2开始，将2的倍数标记为合数，然后再找到下一个未标记的数，将其倍数标记为合数，依此类推，直到找到所有的质数。
时间复杂度为O(nloglogn)。
3. 素数定理：根据素数定理，对于给定的整数n，素数的个数约为n/ln(n)，可以利用这个定理来估算给定范围内的素数个数。
4. 费马素性检验：对于给定的整数n，取一个随机整数a，如果a 的n次方模n等于a，则n可能是素数，否则一定是合数。
该算法的时间复杂度较低，但存在一定的错误概率。
5. 米勒-拉宾素性检验：该算法是费马素性检验的改进算法，通过多次的随机取数进行检验，提高了精确度。
6. 素数分解法：将给定的整数n进行素因数分解，如果分解得到的因子只有1和n本身，则n为质数。
7. Rabin-Miller素性检验：该算法是米勒-拉宾素性检验的改进算法，通过多次的随机取数进行检验，提高了精确度。
8. 欧拉素数检验：根据欧拉定理，如果对于给定的整数n，a的n-1次方模n等于1，则n可能是素数，否则一定是合数。
9. 线性筛法：该算法是埃拉托斯特尼筛法的改进算法，通过线性的方式进行筛选，可以在O(n)的时间复杂度内求解素数。
10. 素数生成器：通过不断地生成大于当前最大素数的数，并判断是否为质数，来生成素数序列。
11. 素数位数统计法：对于给定的整数n，统计从1到n中每个数的位数，然后判断每个位数的数是否为质数。
12. 素数平方和方法：对于给定的整数n，判断是否存在两个质数，使得它们的平方和等于n。
13. 素数和差法：对于给定的整数n，判断是否存在两个质数，使得它们的和或差等于n。
14. 质数的二进制表示法：对于给定的整数n，将n转换为二进制表示，然后判断二进制中是否只包含一个1，若是则n为质数。
素数常见的算法
求素数的三种方法
素数的定义：
素数也叫质数。
一个大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其它自然数整除的数叫做素数；能被其它自然数整除的数叫做合数。
规定，1既不是质数也不是合数。
法一：试除法（判断素数）
让N被2如果N能被其中任何一个整数整除，则提前结束循环，N不是素数；如果N不能被其中任何一个整数整除，则N是素数。
代码实现：
法二：埃氏筛法（求一个范围中所有素数）
试除法可以用来判断一个数是否为素数，如果用来求某一范围内所有素数的话，效率就比较低。
埃氏筛法是用来解决这类问题的古老而简单高效的方法，可以快速找到[2,]n中的所有素数。
具体操作是这样的：从2开始寻找素数，每次找到一个素数后就将它的倍数全部筛掉，并将该素数存储到另一个数组中，不断循环，直到原数组为空。
法三：欧拉筛法（埃氏筛法的优化版）
埃氏筛法中，由于一个数可以既是一个素数的倍数，又是另一个素数的倍数，可以发现这会出现重复标记的情况，即同一个数被筛掉了不止一次，浪费操作了。
欧拉筛法就是在埃氏筛法的基础上多了判断的步骤，从而消失了这种重复标记的情况，核心思想是用合数中的一个因数筛掉这个合数。
具体操作为：利用已经求得的素数，第一重循环将区间内的数从小到大遍历，第二重循环将以求得的素数从小到大遍历，将这个数和素数的乘积标记为合数。
如果一个数能被素数整除，跳出循环。
c语言求素数最快方法
c语言求素数最快方法摘要：1.引言2.最快方法：埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）3.算法原理4.C语言实现5.代码解析6.性能测试与优化7.结论正文：**引言**在计算机科学和编程领域，寻找素数是一种常见的任务。
素数是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
求解素数问题有助于理解数论、密码学等领域。
本文将介绍求解素数的最快方法——埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）及其C语言实现。
**最快方法：埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）**埃拉托斯特尼筛法是一种基于二维数组的算法，用于找出小于等于上限的素数。
该算法利用了素数的性质：如果一个数是素数，那么它的平方模小于等于上限的数也是素数。
通过不断标记数组中的素数，最终得到小于等于上限的素数。
**算法原理**1.创建一个二维数组，用于存储小于等于上限的数。
2.初始化数组中的所有元素为1，表示都是素数。
3.从2开始，遍历数组，将数组中的所有素数两两相乘，得到的结果大于上限的，将其对应的元素标记为0，表示该数不是素数。
4.重复步骤3，直到数组中的所有元素都被标记或遍历到上限。
**C语言实现**以下是一个简单的C语言实现：```c#include <stdio.h>#include <stdbool.h>void sieve_of_eratosthenes(int limit) {bool *prime = (bool *)malloc((limit + 1) * sizeof(bool));for (int i = 0; i <= limit; i++) {prime[i] = true;}for (int p = 2; p * p <= limit; p++) {if (prime[p]) {for (int i = p * p; i <= limit; i += p) {prime[i] = false;}}}for (int i = 2; i <= limit; i++) {if (prime[i]) {printf("%d ", i);}}free(prime);}int main() {int limit;printf("请输入一个上限：");scanf("%d", &limit);sieve_of_eratosthenes(limit);return 0;}```**代码解析**1.首先，我们需要一个布尔数组来存储小于等于上限的数是否为素数。
费马小定理 素数判定 蒙哥马利算法
费马小定理素数判定蒙哥马利算法(强烈推荐）2009-11-07 12:42费马小定理素数判定蒙哥马利算法约定：x%y为x取模y，即x除以y所得的余数，当x<y时，x%y=x，所有取模的运算对象都为整数。
x^y表示x的y次方。
乘方运算的优先级高于乘除和取模，加减的优先级最低。
见到x^y/z这样，就先算乘方，再算除法。
A/B，称为A除以B，也称为B除A。
若A%B=0，即称为A可以被B整除，也称B可以整除A。
A*B表示A乘以B或称A乘B，B乘A，B乘以A……都TMD的一样，靠！复习一下小学数学公因数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以整除A也可以整除B，那么C就是A和B的公因数。
公倍数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以被A整除也可以被B整除，那么C就是A和B的公倍数。
互质数：两个不同的自然数，它们只有一个公因数1，则称它们互质。
费马是法国数学家，又译“费尔马”，此人巨牛，他的简介请看下面。
不看不知道，一看吓一跳。
/BasicStudy/LearnColumn/Maths/shuxuejiashi/j12.htm费马小定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到，原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：(N*(N^(P-1)-1))%P=0请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数，小学知识了^_^又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P因为M是整数，显然：(N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1============================================积模分解公式先有一个引理，如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，则有：(X+Y)%Z=Y%Z这个不用证了吧...设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z想了很长时间才证出来，要分情况讨论才行：1.当X和Y都比Z大时，必有整数A和B使下面的等式成立：X=Z*I+A（1）Y=Z*J+B（2）不用多说了吧，这是除模运算的性质！将（1）和（2）代入(X*Y)modZ得：((Z*I+A)(Z*J+B))%Z乘开，再把前三项的Z提一个出来，变形为：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）因为Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整数倍……晕，又来了。
素数的算法原理和应用
素数的算法原理和应用概述素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域具有重要的应用。
本文将介绍素数的算法原理以及在实际应用中的一些常见场景。
素数的判断算法判断一个数是否为素数是素数算法的基础。
常用的素数判定算法有两种：试除法和素数筛法。
试除法试除法是最简单直观的素数判定方法。
对于一个待判断的正整数n，只需从2开始遍历到sqrt(n)（即n的平方根）的整数m，检查是否有任何m能整除n。
若能找到能整除n的m，则n不是素数；否则，n是素数。
试除法的时间复杂度为O(sqrt(n))，适用于判断大部分整数是否是素数。
然而，对于非常大的数，这种方法的效率较低。
素数筛法素数筛法通过筛选法来判断素数。
其中最常用的是埃拉托斯特尼筛法。
首先，生成一个长度为n+1的布尔类型数组，将其初始值都设为true。
然后从2开始遍历到sqrt(n)的整数m，在数组中将2的倍数、3的倍数、4的倍数…全部标记为false。
最后，数组中值为true的索引对应的数就是素数。
素数筛法的时间复杂度为O(nloglogn)，虽然比试除法高效，但由于需要生成一个长度为n+1的数组，对于非常庞大的数，也存在一定的限制。
素数的应用素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的素数应用场景。
密码学中的应用素数在密码学中起到至关重要的作用，特别是在公钥密码学中。
其中一个常见的应用是RSA加密算法。
在RSA算法中，首先需要生成两个大素数p和q，然后计算它们的乘积n=p*q。
n被用作加密和解密过程中的模数，而p和q用于生成公钥和私钥。
素数的随机性应用素数的随机分布属性使其成为生成随机数的重要组成部分。
例如，质数的随机分布性质被广泛应用在随机数生成算法中，确保生成的随机数能够满足安全性和随机性的要求。
整数因子分解素数在整数因子分解中也有重要应用。
由于素数只能被1和自身整除，因此在将一个大数分解成其因子时，可以使用素数的概念来加快计算过程。
挑战程序设计竞赛 求素数算法
return 1; }
int main() { int i, n=1000, num = 0;
for(i=2; i<=n; i++) {
if(is_prime(i)) printf("%3d ",i); } return 0; }
接着再将3的倍数筛去，得到如图-B所示结果。 接下来继续将5的倍数筛去，得到图-C所示结果。 最后再将7的倍数筛去，得到如图-D所示结果，即可得 到100以内的所有素数。
原理很简单，就是当i是素数的时候，i的所有的倍数必 然是合数。如果i已经被判断不是素数了，那么再找到i后面 的素数来把这个素数的倍数筛掉。
这时可考虑采用另一种寻找素数的算法：著名的筛法 (Eratosthenes)求素数方法。
二、 筛法 Eratoslhenes算法假设有一个筛子，用来存放2~100之
间的所有数。 由于偶数都能被2整数，因此偶数都不是素数(2除外)，
则将这些数筛去，得到如图-A所示的数据(设置了背景色的 数字将被筛去)
验证一个自然数是否为素数，这个问题早在中世纪就 引起人们的注意，当时人们还在寻找一个公式可以一劳永 逸地解决求素数的问题，直到高斯提出了素数产生的不确 定性后，人们才认识到没有一个公式可以简单确认素数， 从而人们才转去寻找各种验证素数的方法。
一、试除法 试除法是根据素数的定义得出的一种方法，用需要验证
下面用图来演示如何用这种方法求100以内的素数。
图-A 将2的倍数筛去
图-B 将3的倍数筛去
图-C 将5的倍数筛去
图-D 将Leabharlann 的倍数筛去从前面的图示中可看到，在使用Eratosthenes算法进行 筛选时，只需要执行4次筛选就完成了100以内的素数的筛 选，效率非常高。如果要筛选的数据范围更大，由于只需要 选择已经筛选过的素数对后面的数进行筛选，因此可快速筛 选出后面的素数。Eratosthenes算法比试除法的效率要高得 多。
python求素数的算法
python求素数的算法
Python求素数的算法有很多种，以下列举几种较为常见的算法。
1. 埃氏筛法
埃氏筛法是一种较为简单的素数筛法，其基本思想是从2开始，将每个素数的倍数都标记成合数，直到筛完所有小于等于给定值的素数为止。
具体实现时，可以使用一个布尔型列表来表示每个数是否为素数，初始时所有数都被标记为True，然后从2开始枚举每个数，如果该数为素数，则将其所有倍数都标记为False。
2. 厄拉多塞筛法
厄拉多塞筛法是另一种常见的素数筛法，其基本思想是从2开始，不断将素数的倍数筛掉，最终剩下的就是素数。
具体实现时，可以使用一个布尔型列表来表示每个数是否为素数，初始时所有数都被标记为True，然后从2开始枚举每个数，如果该数为素数，则将其所有倍数都标记为False。
3. Miller-Rabin素性测试
Miller-Rabin素性测试是一种随机算法，其基本思想是利用费马小定理进行素性测试。
具体实现时，可以选取一个较小的整数k，然后随机选取一个整数a，判断a^(n-1)是否模n等于1，如果不等于1，则n一定是合数，否则需要再进行k次测试，如果每次测试都得到的是a^(n-1)模n等于1，则n很可能是素数。
总之，Python求素数的算法有很多种，选择哪种算法主要取决于具体应用场景和需要求解的素数范围。
埃氏筛法求素数
埃氏筛法求素数素数一直以来都是数学家们所钟情的主题，古希腊数学家埃及里斯（Eratosthenes）在公元前三世纪就发明了一种基于排除法的算法埃氏筛法，它可以用来有效地求出指定数字范围内的素数。
其基本原理是，从2开始，把2的倍数剔除掉，然后再把3的倍数剔除掉，最后再把4的倍数剔除掉，以此类推，如此循环地排除，剩下来的数字就是指定范围内的素数。
埃氏筛法的实现，一般采用一维布尔数组的形式，其元素的个数为指定数字范围内的数字数目，元素值初始均为真，每次排除一个指定数字的倍数时，即将该数字的倍数设为假，这样可以较简单地实现埃氏筛法，并且排除一个数字的倍数可以利用已排除的数字的倍数的倍数进行排除，即可以多次排除，从而大大地提高求素数的效率。
实际应用中，在求特定数字范围内的素数时，可以利用埃氏筛法进行求解，但是，当数字范围较大时，这种方式会有一定的效率问题，因为必须要对所有数字进行判断。
从历史上看，埃及里斯提出了埃氏筛法以求素数，这种排除法算法虽然比较直接，但还是具有很大的时间效率，所以，后来中国古代数学家张丘建更进一步，提出了更加高效的“秦九韶算法”，而此算法是后来的素数求解算法（如Sieve of Atkin算法和Sieve of Sundaram算法）的基础。
在具体实现上，埃氏筛法的实现可以适用各种编程语言，如C、C++、Java等。
下面给出一段C语言代码，用来实现埃氏筛法：#include <stdio.h>//求1000以内的素数#define N 1000int main( ){int i, j, a[N];//初始化数组for (i = 2; i < N; i++)a[i] = 1;//埃氏筛法for (i = 2; i < N; i++){if (a[i]){for (j = i; j <= N / i; j++) {a[i * j] = 0;}}}//输出素数for (i = 2; i < N; i++){if (a[i])printf(%d i);}printf(return 0;}总之，埃氏筛法是一种有效的素数求解方法，它具有比较高的效率，可以应用于大规模数字范围内的素数求解。
埃拉托斯特尼筛法求素数
埃拉托斯特尼筛法求素数
埃拉托斯特尼筛法，又称埃氏筛法，是一种由古希腊数学家埃拉齐斯·埃拉托斯特尼发现
的求素数的方法，是素数筛选的一种算法。
埃拉托斯特尼筛法的原理非常简单，要求求出从2开始至某一数之间的全部素数：
首先，将2~N的各数列出来，把2留下，其余全部标记为可以被删去；
其次，将2这个数的倍数全部删去，3留下，其余全部标记为可以被删去；
再次，将3这个数的倍数全部删去，5留下，其余全部标记为可以被删去；
以此类推，将后面所有留下来的数的倍数全部删去，最后剩下来的就是不被其他数整除的数，也就是素数。
优点：埃拉托斯特尼筛法的实现比较容易，消耗的计算资源很少。
它的平均时间复杂度是
O(NloglogN)，主要分为把N内的数列出来，把N之内的素数筛选出来两个步骤，把N内
的数列出来
它只需要多次循环，每次把一个数的倍数筛除掉，就能求出一定范围范围内的所有素数，
因此一个与这个时间复杂度十分接近的算法就得到了，运行起来也分显迅速。
缺点：由于这种算法仅仅在某种领域有效，所以不适合多用于多种情况，而且它的时间复
杂度比较高，它要求算法的计算效率有较高的要求，较其他算法程序相比，埃拉托斯特尼
算法的计算时间比较长。
对于程序实现来说，埃拉托斯特尼筛法也需要考虑嵌套和循环方面的知识，并且计算复杂
度高，容易引起算法程序的运行变慢的问题。
总的来说，埃拉托斯特尼筛法是一种很简单的算法，但却有很高的效率，在数学上有着独
特的含义，能使素数筛选算法的计算效率大大的提升，可以说是一个重要的优化筛选算法。
产生素数的算法
（5）如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6）如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
（1）选择一个小于p的随机数a。
（2）计算a^(p-1)/2 mod p
（3）如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4）如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
在Sparc II上实现：2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数
产生素数的算法
作者：
Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
（1）选择一个小于p的随机数a。
（2）如果gcd(a,p) <> 1，那么p通不过测试，它是合数。
（3）计算j=a^(p-1)/2 mod p。
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。
C++求素数的算法
C++求素数的算法
素数是指只能被1和自身整除的正整数。
其在数学和计算机科学中扮演着重要角色。
求解素数的算法也因此被广泛使用。
一、朴素算法
朴素的算法是最基本的一种算法。
它的核心思想就是从2开始，一直到目标数n，如果当前这个数能被前面的数整除，那么说明它不是素数，否则它就是素数。
这种算法显然是非常简单粗暴的，但也最容易实现。
C++代码：
优点：实现简单，易于理解。
缺点：效率低下。
对于大的n，必须要检测n/2个数，效率很低。
二、厄拉多塞筛法
欧拉在18世纪提出了一种更加高效的寻找素数的方法，也就是所谓的“欧拉筛”或“厄拉多塞筛法”。
具体思路是从2开始，将每个素数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。
具体实现可以使用一个bool数组来进行标记。
当然，在实际使用中，可以根据需求进行一些优化。
优点：比朴素算法效率更高，通过标记可以减少循环次数。
缺点：需要额外的空间用于存储标记数组。
三、素数定理
素数定理是一种利用数学方法求解素数的算法。
该定理由欧拉和高斯等人提出，并被证明是正确的。
它的表述是：小于x的素数个数约为x/ln(x)。
这个定理是通过数学分析和数学公式的推导所得出的。
优点：不需要额外的空间存储数组，而且计算量很小，只需要一次循环即可。
缺点：无法直接求出所有的素数，只能求出小于n的素数个数。
素数的计算方式
素数的计算方式
素数，也叫质数，是指只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7、11等。
计算素数的方法有很多种，以下介绍一些常见的方法。
1.试除法：试除法是最简单的一种判断素数的方法，即对于一个数n，只需用从2到√n的所有整数去除一遍n，如果都不能整除，则n为素数。
但是试除法的缺点是当n非常大时，需要判断的数也相应增加，计算量非常大。
2. 埃拉托色尼筛法：埃拉托色尼筛法是一种可以找出一定范围内素数的高效算法。
该算法的基本思想是：从2开始到n，所有的数都标记为素数，然后从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到所有小于n的素数都被标记。
这样，未被标记的数即为素数。
该算法的时间复杂度为O(nloglogn)，比试除法要快很多。
3. 米勒-拉宾素性检验：米勒-拉宾素性检验是一种概率性的素性测试算法。
该算法的基本思想是利用费马小定理：如果p是素数，那么对于所有的a，a^(p-1) ≡1(mod p)。
该算法的步骤是：先把n-1分解成2^k * q的形式，然后随机选择a(2≤a≤n-2)并计算a^q mod n，如果结果为1或者n-1，则n极有可能是素数，否则继续计算a^2q, a^4q, …, a^(2^(k-1)q)，若其中某一项为n-1，则n也有可能是素数；
若所有计算结果都不是1或n-1，则n一定不是素数。
该算法的时间复杂度为O(k * log^3n)，是一种较快的素性测试算法。
以上是一些常见的计算素数的方法，当然也有更多其他的方法，选择适合的方法取决于具体的应用场景和需求。
Miller-Rabin（素数测试算法）
Miller-Rabin（素数测试算法）【作⽤】⼀般素数判定⽅法有试除法和Miller-Rabin。
试除法枚举2-√n，时间复杂度为O（√n），⼀旦n特别⼤，就不适合⽤试除法进⾏判定。
这时候我们可以对其进⾏ Miller-Rabin 素数测试，可以⼤概率测出其是否为素数。
【两个基础理论】（1）：费马⼩定理：当p为质数时，有a p-1≡1(mod p).注意逆命题是假命题，⽐如卡迈克尔(Carmichael)数。
对于合数满⾜费马⼩定理的数叫伪素数，（2）：⼆次测探：如果p是⼀个素数，0<x<p,则⽅程x2≡1(mod p)的解为x = 1 或 x = p - 1.（1）对于⼀些常见的素数和⾮素数可以直接判断。
（2）设要测试的数为 x，我们取⼀个较⼩的质数 a，设 s,t，满⾜ 2s * t = x - 1（其中 t 是奇数）。
（3）我们先算出 a^t，然后不断地平⽅并且进⾏⼆次探测（进⾏ s 次）。
（4）最后我们根据费马⼩定律，如果最后不满⾜费马⼩定理，则说明 x 为合数。
（5）多次取不同的 a 进⾏ Miller-Rabin 素数测试，这样可以使正确性更⾼https:///forever_dreams/article/details/82314237https:///Antigonae/p/10226580.htmlint quickmul(int a , int b , int m){return ((a * b - (ll)(long double)(a/m*b) * m)+m)%m ;}int quickpow(int a , int b , int m){int ans = 1 ;while(b){if(b&1) ans = quickmul(ans , a , m) ;b >>= 1 ;a = quickmul(a , a , m);}return ans ;}bool Miller_Rabin(int n){if(n == 46856248255981ll || n < 2) return false;if(n == 2 || n == 3 || n == 7 || n == 61 || n == 24251) return true; if(!(n&1) || !(n%3) || !(n%61) || !(n%24251)) return false;int m = n - 1 , k = 0 ;while(!(m&1)) k++ , m>>=1 ;// 分解2^s * t = n - 1rep(i , 1 , 20){int a = rand() % (n - 1) + 1 , x = quickpow(a , m , n) , y;rep(j , 1 , k){y = quickmul(x , x , n);if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false;//⼆次测探x = y ;}if(y != 1) return false;//费马⼩定理}return true;}void solve(){int x ;cin >> x ;if(Miller_Rabin(x)) cout << "Yes" << endl;else cout << "No" << endl;}。
1、rsa算法两种素数生成算法的原理
RSA算法是一种广泛使用的公钥加密算法，它基于大素数分解的难度。
在RSA算法中，素数生成是基础步骤之一，其直接影响了算法的安全性。
下面我们来介绍两种常用的素数生成算法。
一、埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种常用的素数生成算法，它基于筛选理论。
该算法首先假设一个较大的素数，然后通过筛选过程逐步排除不符合条件的数，最终得到一个素数。
这个过程需要反复迭代，直到达到所需的精度。
具体步骤如下：1. 假设初始的素数为N，我们需要生成一个比N大的素数p。
2. 将p对2到N之间所有整数进行因数分解，得到所有小于p的因数。
3. 将所有小于p的因数中大于p/2的数排除掉，留下小于p的剩余数为可能的素数。
4. 对每个可能的素数进行测试，如果它大于p/2且不能被p-1整除，那么它就是素数。
5. 重复以上步骤，直到得到所需的精度。
埃拉托斯特尼筛法是一种简单易懂的算法，适合于大规模素数的生成。
但是，由于筛选过程需要大量的计算，对于非常大的素数生成，可能需要花费较长的时间。
二、米勒-拉宾素数生成算法米勒-拉宾素数生成算法是一种更为高效的算法，它基于数学上的某些性质。
该算法首先生成一个较小的素数，然后通过迭代过程逐步增加生成的素数的长度，直到达到所需的精度。
具体步骤如下：1. 初始时，选择一个较小的素数p和一个随机的大于p的正整数k。
2. 将k对p进行因数分解，得到所有小于p的因数。
3. 从这些因数中选择一个最小的奇数j作为新的素数。
4. 将j与p合并得到一个新的素数q。
5. 将q对p进行因数分解，得到所有小于q的因数。
从这些因数中选择一个最小的奇数r作为新的素数。
重复以上步骤，直到生成的素数的长度达到所需的精度。
6. 重复以上步骤直到达到所需的精度或生成的素数的长度不再增加。
米勒-拉宾素数生成算法是一种高效且可靠的算法，适用于大规模素数的生成。
同时，由于该算法生成的素数是随机选择的，因此具有较高的安全性。
总的来说，这两种素数生成算法各有优缺点。
寻找素数的算法
寻找素数的算法
素数，指的是只能被1和它本身整除的自然数，例如2、3、5、7等。
寻找素数的算法是数学中非常经典的问题，有多种不同的解法，本篇
文章将介绍其中比较常见的三种算法。
1.试除法
试除法是最常见、最简单的寻找素数的算法。
具体来说，我们需要遍
历从2到这个数的平方根之间所有的数，判断这个数是否能被其中的
这些数整除即可。
若都不能被整除，则该数为素数。
例如，判断5是否为素数的时候，我们需要遍历2，3两个数，判断5是否能被它们整除。
由于5不能被2或3整除，所以5是素数。
2.埃拉托色尼筛法
埃氏筛法本质是筛选法，它先将要寻找素数的范围内的所有数筛选一遍，把所有的合数删除，剩下的即为素数。
具体来说，我们首先把2到N之间的所有整数都列出来。
我们选择最小的数2，把2的倍数全都标记为合数，即划去。
接着我们再选取此
时列表中未被划去的最小的数3，把3的倍数全都标记为合数…… 以此类推，直到小于或等于N的所有的素数全部找出。
3.米勒-拉宾素性检验
米勒-拉宾素性检验是一种在大数素数判定中广泛应用的算法。
这个算法判断一个数是否为素数的概率非常高，因此在实际应用中也广泛使用。
具体来说，该算法基于费马小定理，判断一个数n是否为素数的方法是：先在有限个数的基础上进行检查，如果这些检查都通过，那么n 很有可能是一个素数。
在实际运用中，通常选取不同的n个底数进行检查。
综上所述，试除法和埃拉托色尼筛法适用于小规模的素数判断，米勒-拉宾素性检验适用于大规模的素数判断。
具体应用时，要根据不同的问题具体选择合适的算法。
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求素数的算法及其复杂度分析关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中常考的数论知识，在这里我跟大家讲一下寻找一定范围内素数的几个算法。
看了以后相信对大家一定有帮助。
正如大家都知道的那样，一个数n 如果是合数，那么它的所有的因子不超过sqrt(n)--n的开方,那么我们可以用这个性质用最直观的方法来求出小于等于n的所有的素数。
num = 0;for(i=2; i<=n; i++){ for(j=2; j<=sqrt(i); j++)if( j%i==0 ) break;if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i; //这个prime[]是int型，跟下面讲的不同。
}这就是最一般的求解n以内素数的算法。
复杂度是o(n*sqrt(n))，如果n很小的话，这种算法（其实这是不是算法我都怀疑，没有水平。
当然没接触过程序竞赛之前我也只会这一种求n以内素数的方法。
-_-~）不会耗时很多.但是当n很大的时候，比如n=10000000时，n*sqrt(n)>30000000000,数量级相当大。
在一般的机子它不是一秒钟跑不出结果，它是好几分钟都跑不出结果，这可不是我瞎掰的，想锻炼耐心的同学不妨试一试~。
在程序设计竞赛中就必须要设计出一种更好的算法要求能在几秒钟甚至一秒钟之内找出n以内的所有素数。
于是就有了素数筛法。
（我表达得不清楚的话不要骂我，见到我的时候扁我一顿我不说一句话。
）素数筛法是这样的：1.开一个大的bool型数组prime[]，大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false.2.然后：for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 ){ if(prime[i])for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false;}3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标，就是所求的n以内的素数了。
原理很简单，就是当i是质(素)数的时候，i的所有的倍数必然是合数。
如果i已经被判断不是质数了，那么再找到i后面的质数来把这个质数的倍数筛掉。
一个简单的筛素数的过程：n=30。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30第1 步过后2 4 ... 28 30这15个单元被标成false,其余为true。
第2 步开始：i=3; 由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.i=4; 由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。
i=5; 由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.i=6>sqrt(30)算法结束。
第3 步把prime[]值为true的下标输出来：for(i=2; i<=30; i++)if(prime[i]) printf("%d ",i);结果是2 3 5 7 11 13 17 19 23 29这就是最简单的素数筛选法，对于前面提到的10000000内的素数，用这个筛选法可以大大的降低时间复杂度。
把一个只见黑屏的算法优化到立竿见影，一下就得到结果。
关于这个算法的时间复杂度，我不会描述，没看到过类似的记载。
只知道算法书上如是说：前几年比较好的算法的复杂度为o(n),空间复杂度为o(n^(1/2)/logn).另外还有时间复杂度为o(n/logn),但空间复杂度为O(n/(lognloglogn))的算法。
我水平有限啦，自己分析不来。
最有说服力的就是自己上机试一试。
下面给出这两个算法的程序：//最普通的方法：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10000001int prime[N];int main(){int i, j, num = 0;for(i=2; i<N; i++){ for(j=2; j<=sqrt(i); j++)if( j%i==0 ) break;if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i;for(i=2; i<100; i++) //由于输出将占用太多io时间，所以只输出2-100内的素数。
可以把100改为Nif( prime[i] )printf("%d ",i);return 0;}//用了筛法的方法：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10000001bool prime[N];int main(){int i, j;for(i=2; i<N; i++)if(i%2) prime[i]=true;else prime[i]=false;for(i=3; i<=sqrt(N); i++){ if(prime[i])for(j=i+i; j<N; j+=i) prime[i]=false;for(i=2; i<100; i++)//由于输出将占用太多io时间，所以只输出2-100内的素数。
可以把100改为Nif( prime[i] )printf("%d ",i);return 0;}装了vc的同学上机跑一下这两个程序试一试。
这个差别，绝对是天上地下。
前面那个程序绝对是n分钟黑屏的说。
另外，对于这样的筛法，还可以进一步优化，就是bool型数组里面只存奇数不存偶数。
如定义prime[N],则0表示3，1表示5，2表示7，3表示9...。
如果prime[0]为true,则表示3时素数。
prime[3]为false意味着9是合数。
这样的优化不是简单的减少了一半的循环时间，比如按照原始的筛法，数组的下标就对应数。
则在计算30以内素数的时候3个步骤加起来走了15个单位时间。
但是用这样的优化则是这样：则由于只存3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29，只需要14个单元第 1 步把14个单元赋为true (每个单元代表的数是2*i+3,如第0单元代表3，第1单元代表5...)第 2 步开始：i=0; 由于prime[0]=true, 把[3], [6], [9], [12]标为false.i=1; 由于prime[1]=true, 把[6], [11]标为falsei=2 2*i+3>sqrt(30)算法结束。
这样优化以后总共只走6个单位时间。
当n相当大以后这样的优化效果就更加明显，效率绝对不仅仅是翻倍。
出了这样的优化以外，另外在每一次用当前已得出的素数筛选后面的数的时候可以一步跳到已经被判定不是素数的数后面，这样就减少了大量的重复计算。
（比如我们看到的，i=0与i=1时都标了[6],这个就是重复的计算。
）我们可以发现一个规律，那就是3（即i=0）是从下标为[3]的开始筛的，5（即i=1）是从下标为[11]开始筛的（因为[6] 已经被3筛过了）。
然后如果n很大的话，继续筛。
7（i=2）本来应该从下标为[9]开始筛，但是由于[9]被筛过了，而[16]也已经被5（i=1）筛过了。
于是7（i=2）从[23]（就是2*23+3=49）开始筛。
于是外围循环为i时，内存循环的筛法是从i+(2*i+3)*(i+1)即i*(2*i+6)+3开始筛的。
这个优化也对算法复杂度的降低起到了很大的作用。
相比于一般的筛法，加入这两个优化后的筛法要高效很多。
高兴去的同学可以试着自己编写程序看一看效率。
我这里有程序，需要的可以向我要。
不懂得也可以问我。
上面的素数筛法是所有程序设计竞赛队员都必须掌握的，而后面加了两个优化的筛法是效率很高的算法，是湖南大学huicpc39同学设计的（可能是学来的，也可能是自创的。
相当强悍）。
在数量级更大的情况下就可以发现一般筛法和优化后的筛法的明显区别。
另外，台湾的ACMTino同学也给我介绍了他的算法：a是素数，则下一个起点是a*a,把后面的所有的a*a+2*i*a筛掉。
这上面的所有的素数筛选的算法都可以再进一步化为二次筛选法，就是欲求n以内的素数，就先把sqrt(n)内的素数求出来，用已经求得的素数来筛出后面的合数。
我把一般的筛选法的过程详细的叙述了一遍，应该都懂了吧？后面的优化过程及不同的方法，能看懂最好。
不是很难的。
相关知识：最大公约数只有1和它本身的数叫做质数（素数）——这个应该知道吧？-_-b至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。
关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力我不在这里多说，大家有兴趣的话可以到百度或google搜一下。
我在下面列出了一个网址，上面只有个大概。
更多的知识需要大家一点一点地动手收集。
/discovery/universe/home01.html 1.高斯猜测，n以内的素数个数大约与n/ln(n)相当，或者说，当n很大时，两者数量级相同。
这就是著名的素数定理。
2.十七世纪费马猜测，2的2^n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，可惜当n=5时，2^32+1就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。
3.18世纪发现的最大素数是2^31-1，19世纪发现的最大素数是2^127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2^859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。
4.孪生素数猜想：差为2的素数有无穷多对。
目前知道的最大的孪生素数是1159142985×2^2304－1和1159142985×2^2304＋1。
5.歌德巴赫猜想：大于2的所有偶数均是两个素数的和，大于5的所有奇数均是三个素数之和。
其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为1+1问题。
我国数学家陈景润证明了1+2，即所有大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。
国际上称为陈氏定理。