高中数学考点-空间中的平行关系

8．4空间中的平行关系

1．空间中直线与平面之间的位置关系

(1)直线在平面内，则它们__________公共点；

(2)直线与平面相交，则它们______________公共点；

(3)直线与平面平行，则它们________公共点．

直线与平面相交或平行的情况统称为______________．

2．直线与平面平行的判定和性质

(1)直线与平面平行的判定定理

平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行．即线线平行⇒线面平行．用符号表示：____________________________．

(2)直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________．即线面平行⇒线线平行．用符号表示：__________________________．

3．平面与平面之间的位置关系

(1)两个平面平行，则它们______________；

(2)两个平面相交，则它们______________，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．

4．平面与平面平行的判定和性质

(1)平面与平面平行的判定定理

①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：____________________________．

②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

③垂直于同一条直线的两个平面平行．即l⊥α，l⊥β⇒α∥β.

④平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.

(2)平面与平面平行的性质定理

①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________．即面面平行⇒线线平行．用符号表示：_____________________________．

②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示：__________________．

③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表示：__________________．

自查自纠

1．(1)有无数个(2)有且只有一个(3)没有直线在平面外

2．(1)一条直线一条直线a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α

(2)交线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

3．(1)没有公共点(2)有一条公共直线

4．(1)①相交直线a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α

(2)①平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b②α∥β，a⊂α⇒a∥β

③α∥β，l⊥α⇒l⊥β

已知平面α，β和直线a，b，a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α与β的关系是()

A．平行B．相交

C．平行或相交D．垂直

解：可在平面α内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面β，则根据面面平行的判定定理知α∥β；若c 与面β相交，则面α与β相交．故选C.

(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解：如果m⊂α，m∥β，那么α与β可能平行也可能相交；反过来，如果m⊂α，α∥β，那么m∥β，所以m∥β是α∥β的必要不充分条件．故选B.

若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

解：因为直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交．观察各选项，易知A，C，D都是错误的．故选B.

(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)

解：由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．易知②③④都正确．故填②③④.

如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)

解：在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP.所以AB∥平面MNP.②④中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③.

类型一线线平行

(2017大冶市实验高中月考)如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明．

解：在原正方体中EF∥GH.

证明如下：如图所示，

将展开图还原为正方体ABCD­A1B1C1D1，

则E，F，G，H分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，

连接B1D1，BD，则EF∥B1D1，GH∥BD.

又因为B1D1∥BD，所以EF∥GH.

【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题．

(2017武汉市育才高级中学月考)已知平面α∥平面β，直线a⊂α，B∈β，则在β内过B点的所有直线中()

A．不存在与a平行的直线

B．存在无数条与a平行的直线

C．存在唯一一条与a平行的直线

D．存在两条与a平行的直线

解：易知过直线a和点B有且只有一个平面，该平面与平面β有且只有一条交线，此交线与a平行．故选C.

类型二线面平行

(2017渤海大学附属高级中学月考)在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝1

2AD，E，F，H分别为

线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：

(1)AP∥平面BEF；

(2)GH∥平面P AD.