测度论的知识要点与复习自测

第二章测度论的知识要点与复习自测

一、Lebesgue外测度的知识要点：

◊熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质(包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性)；

◊会用定义或性质求一些典型集合的外测度(例如：R n中至多可数集，区间，Cantor (三分)集，黎曼可积函数(特别是连续函数)图象等的外测度) ；

◊特别注意零测集的含义和性质【如R n中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。

自测题：

1、叙述只“中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问

题：

(1)设Q n R n为有理点集，计算m*Q n0 ；

(2)设E R n为至多可数集，计算m*E 0 ；

(3)设E,F R n，m E 0，贝U mF E mFmFE。

2、据理说明下面的结论是否成立：设 E R n，

(1)若E为有界集，则m*E ；

(2)若m*E ，则E为有界集；

(3)若m*E ，则E为无界集；

(4)若E为无界集，则m*E 。

3、设I R n为区间，证明：m*l |l|，其中I表示I的体积(注意I分有界和无界两种情况来证明)；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：

(1)设P [0,1] R1为三分Can tor集，贝U m*P 0 ；(注意三分Cantor集的构造)

(2)设f(x)为定义在[a,b] R1上的黎曼可积函数，

G p(f) (x,y) y f(x),x [a,b] R2，

f (x)在[a,b]的图像，贝9 m*G p(f) 0 ;(注意黎曼可积的充要条件的使用)

(3)设E R n有内点，贝V m*E 0 ；

(4) (外侧度的介值性)设E R1为有界集，m*E 0,则对任意0 c m*E，存在E1 E，使得，m*E1 c ;(注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值

（5）（外侧度的介值性的一般形式） 设E R 1

,m *E 0,则对任意0 c m *E ,

存在E i E ，使得，m *E i c 。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递 增可测集列的测度性质）

二、Lebesgue 可测集的知识要点：

◊熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即 C.Caratheodory 定义）及等价条件 （如：余集的可测性；对任意的 A E 和B E c

，总有m * A B m *A m *B ）,会 用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）

；

◊熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断 集合的可测性；

◊记 E R n E 是可测集，则—2c c ，其中c 为连续基数；

◊熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要 加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在 证明中所起的作用；

◊熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是 R n

中的可测集）

mE k （次可数可加性）。

k 1

差集测度的关系（注意思考：条件“ mE ”的作用）

设E 和G 都是可测集，且E G ，贝U

① mG m （G E ） mE ； ② 当 mE

时，m （G E ） mG mE

设E 和G 都是可测集，则

① mG m （G E ） mE ； ② 当 mE

时，m （G E ） mG mE

性）

(1)

E 2，

E 2，

(2) 设E 1， E 2，

，E m 为互不相交的可测集，则

m

m

m E i

mE i （有限可加性）；

i 1

i 1

，E m 为可测集（注意没有互不相交的要求），则

m

m

m E i mE i （次有限可加性）。

i 1

i 1

，E k ，L m

k1E

k

设E 1， E 2，

，E k ，L mE k （可数可加性）；

k 1

为可测集列（注意没有互不相交的要求），则

(3)

(4)单调可测集列测度的极限性 (注意思考成立的条件) 设E k 为单调递增的可测集

列，则

设E k 为单调递减的可测集列，且存在E ko ，使得mE k0

，则

m

k

im E

k m ki E k k

im mE

k

。

(5) 一般可测集列测度的极限性

设E k 为可测集列，则

① mljmE k lim m( E k ) lim mE k (关于测度的Fatou 定理【入不敷出】)；

k

k

i k

k

② 若存在k 。，使得m E j

，则

i k o

mlim E k lim m( E k ) lim mE k ;

k

k

i k

k

③ 若lim E k E 存在，且存在k o ,使得mE k 。

，则lim mE k 存在，且

k

k

k

immE

k

mE

。

(6) 【可测集的直积的可测性及测度的计算公式 】设A R p

为可测集，B R q

为 可测集，则A B 为R p+q 上的可测集，且

m(A B) = mA mB 。

自测题：

1、 证明下面的差集测度或外侧度的关系(注意思考：条件“ mE ”的 作用) 设 E,G R n

(1) 若E 和G 都是可测集，且E G ,则

① mG m(G E) mE ;

② 当 mE 时，m(G E) mG mE 。

(2) 若E 和G 都是可测集，则

① mG m(G E) mE ; ② 当 mE

时，m(G E) mG mE 。

(3) 若E 和G 不是可测集，则

① m G m (G E) m E ； ② 当 m *E

时，m *(G E) m *G m * E 。

2、 利用1和可测集的性质证明：

E d i

K

m

k E

m mE

k

；