凸函数的性质及其应用论文

凸函数性质及其应用

摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.

关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式

Abstract In this article ，first we list several kind of definitions for convex functions ，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.

Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions

凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.

1 凸函数的定义及其相互关系 定义

1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅

当:12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.

定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当:12,,x x I ∀∈有

1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：

1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......()

.n

n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤

⎪⎝⎭

定义 4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线以下,则成

()f x 为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线()f x 为严格凸的.

引理1 定义2与定义3等价.

引理2 若()f x 连续,则定义1，2，3等价.

2 凸函数的性质

定理 1 设()f x 在区间I 上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,

123,,,x x x I ∈123x x x << 保持成立）：

（i ）()f x 在I 上为凸函数 （1）

（ii ）

2121()()f x f x x x --≤3131

()()

f x f x x x -- （2）

(iii)

31323132()()()()

f x f x f x f x x x x x --≤-- （3）

(iv)

2121()()f x f x x x --≤3232

()()

f x f x x x -- （4）

推论1若()f x 在区间I 上为凸函数，则I 上任意三点123x x x <<，有

2121()()f x f x x x -≤-3131()()

f x f x x x -≤-3232

()()f x f x x x --.

推论2 若()f x 在区间I 上的凸函数，则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x = 00

()()

f x f x x x --是

x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.

推论3 若()f x 是区间I 上的凸函数，则I 上任意四点s

()()f t f s t s --()()

f v f u v u

-≤-.

推论4 若()f x 是区间I 上的凸函数，则对I 上的任一内点x,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在，

皆为增函数，且()()f x f x -+''≤ 0

()x I ∀∈这里0

I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸

的，则'f +与'f -为严格递增的）.

证明 因x 为内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论2）,

1212()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.再由推论2所述,当1x 递增时,11()()

f x f x x x

--也递增.故由单调有

界原理知,如下极限存在且'f -(x)= 10

1212()()()()

lim

x x f x f x f x f x x x x x

-→--≤--.同理,在此式中，令2x x

→时,可知'()f x +存在,且''

()()f x f x -+≤.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆

为增函数.

推论5 若()f x 在区间I 上为凸的，则f 在任一内点x ∈0

I 上连续. 事实上由推论4知f +'与f -'存在，所以f 在x 处左右都连续.

定理2 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是：0

0,x I ∈α∃，使

得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.

证明（必要性）因()f x 为凸函数，由上面的推论4知， 0'

00,()x I f x -∀∈存在且

'000

()()

()f x f x f x x x --→-. 由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+.

因

''00()f x f x -+≤(),所以对任一α

:

''00()(),f x f x x I

α-+≤≤∀∈恒有

()f x 00()()x x f x α≥-+.

(充分性)设123x x x <<是区间

I

上的任意三点，由已知条件

222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =，可以得到

32123212

()()()()

f x f x f x f x x x x x α--≥≥--,由定理1可知()f x 为凸的.

定理3 设()f x 在区间I 上有导数，则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增. 证明 （充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-，则

1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-,或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ (1)

由于()()(1)()f x f x f x λλ=+- (1)式等价于

12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ (2)

应用Largrange 定理，12,:,x x εηεη∃<<<使得

''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--，

但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--,

212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.