趣味数学079：中国象棋棋盘中的正方形和长方形

下面是中国象棋棋盘：

楚河汉界

一眼就可以看出，其中有许多小正方形。而“楚河汉界”是一个长方形。其实，由这些小正方形和那个“楚河汉界”长方形，还可以组成许许多多大大小小的正方形和长方形。那么，究竟有多少个正方形和长方形呢？这倒是一个平时很少想过而又饶有兴味的问题。

先来看正方形吧！

因为上、下半张棋盘是相同的。所以，首先来数一下半张棋盘上有多少个正方形。

以下半张棋盘为例：

最小的正方形有4行，每行8个，共4×8＝32个；

相邻2行中，由4个小正方形组成的正方形有3排，每排7个，共3×7＝21个；

相邻3行中，由9个小正方形组成的正方形有2排，每排6个，共2×6＝12个；

全部4行中，由16个小正方形组成的正方形只有1排，共5个；

一共有32＋21＋12＋5＝70个这类正方形。所以，整张棋盘上共有70

×2＝140个这类正方形。

现在，把目光转移到整张棋盘：

整张棋盘宽8个小正方形，长相当于9个小正方形，其中必然包含2个正方形。一个从棋盘底边到顶边下面的那条直线，另一个从棋盘顶边到底边上面的那条直线。

所以，整个棋盘上一共有140＋2＝142个正方形。没有想到会这么多吧？

再来看长方形，可就没有正方形那么简单了。为了便于思考，先把正方形也归入长方形，看作是长方形中长和宽相等的特殊情况。

以下半张棋盘为例：

每条横线都分成了8小段，每1小段、每相邻2小段、3小段、4小段、5小段，6小段、7小段，以及整条横线，都可以作为长方形的长。

每条竖线都分成了4小段，每1小段、每相邻2小段、3小段，以及整条横线，都可以作为长方形的宽。

所以，半张棋盘上共有（8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×（4＋3＋2＋1）＝36×10＝360个长方形。减去其中在前面已经数过的70个正方形，实有360－70＝290个长方形，整张棋盘上共有2×290＝580个这样的长方形。简直不敢相信，竟然会有这么多！

现在，把目光转移到整张棋盘。

下半张棋盘中，像棋盘底边那样的直线有5条。上半张棋盘中，像棋盘顶边那样的直线也有5条。分别从上、下半张棋盘中各取一条这样的直线作对边，都可以形成一个长方形，一共可以形成5×5＝25个长方形。其中2个正方形前面已经见到过，所以，实有25－2＝23个这样的长方形。

综上所述，总共有580＋23＝603个长方形。越发让人感到匪夷所思！

想不到中国象棋棋盘这样一个司空见惯的简单图形中，竟然隐藏了这么多正方形和长方形，并且数的过程又如此颇费思索、引人入胜。这又一次显示了数学的无处不在和它的无穷魅力。