刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
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dt 2
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，
刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不
同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，
但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平 面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通
过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴
的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转
轴的方位，可以统一地用角速度矢ω量 来描ω述。 的大小d
7.3.6
7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1
§1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保
持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， θ称为角坐标， 规定逆时针方向转动的θ为 正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转 动的运动学方程。
都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学 （对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
学时，设想将它分割成许多部分，每一部分都小到可看作质点， 叫作刚体的“质元”，对于刚体，它的任意两质元之间的距离 保持不变，因此，刚体就像是一个冻结的质点系，由于每个质 元服从质点力学规律，由此出发，就能推演出刚体的运动规律。
是，
dt
ω 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用
于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用 ω
将刚体上任一质点 P 的速度 v 表示为 v ω r 。
ω
ω
v
v
r
r
圆周运动中 ω与 的v 关系
原点不在圆心的情况
作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：
β dω dt
第七章 刚体力学
（Chapter 7 Mechanics of a rigid body）
前言 刚体运动的描述 刚体的动量和质心运动定理 刚体定轴转动的角动量 • 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理 刚体平面运动的动力学 刚体的平衡 自转与旋进
前言
一、本章的基本内容及研究思路
前面几章讨论了质点和质点系的运动规律，本章将讨论具 有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体 的运动一般是较复杂的，它可以平移、转动，还可能发生形变。 为了使问题简化，一般假定物体无论受多大外力或转动得多快
z
转轴
P rθ O 转动平面
x
参考方向
不同位置质元在 t 时间内的角位移 都相同，可见， 描lim d
t0 t dt
式中 称为刚体转动角速度。面对 z 轴观察， 0 ，刚体逆
时针转动； 0 ，刚体顺时针转动。
lim
t 0
t
d
dt
d 2
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。 例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上有一 点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定点转 动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动。
轴（即 z 轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影，
均附以角标。
四、刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面 平行，称作刚体作平面运动，其特点是，刚体内垂直于固定平
面的直线上的各点，运动状况都相同。根据此特点，可利用与
固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形。此平面图形的
位置一经确定，刚体的位置便确定了。今后说到“刚体”的时 候，其实指的就是剖面。在平面平行运动中，刚体内各点的位
移、速度和加速度是各不相同的，因此根本谈不上什么刚体的 位移、速度和加速度。应当将“刚体的运动”与“刚体内各点 的运动”区分开来。
建立坐标系 O-xyz，使平面图形在Oxy 面内，如图所示，z 轴与纸面垂直，在
的往返等都是平动。
rj
ri
rij
drj dt
dri dt
(为什么?)
d 2rj dt 2
d 2ri dt 2
即 v j vi , a j ai
O
j
rj
rij
ri
i
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
这是刚体力学研究的基本方法。
二、本章的基本要求
1. 理解描写刚体定轴转动的物理量（角坐标、角位移、角速 度和角加速度）并掌握角量与线量的关系；
2. 理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量； 3. 掌握刚体定轴转动的动力学规律； 4. 了解刚体平面平行运动的特点。
三、本章的思考题及练习题
1. 思考题：教材251--252 2. 练习题：7.1.4 7.2.2 7.3.1 7.3.3 7.3.5
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
ω xi z j yk, β xi y j zk
其中
x
d x
dt
,
y
d y
dt
,
dz
dt
刚体作定轴转动时，可令 z 轴与转轴重合，则 x y 0 ，
故ω
这里的
zzk与,β
z
zk 。前文定轴转动中讲到的 ω 和 正是
，它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转
式中 称为刚体定轴转动的角加速度。 与 的符号相同时，
刚体作加速运动；反之，转速减小，作减速运动。
注：对轴外所有各质点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不
同，但角位移 ，角速度 、角加速度 （角量）都相同，
但各质点的位移、速度、加速度（线量）各不相同。由转动平 面图很容易得到线量与角量的关系。
S r v r a r, an 2r
可见，角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
三、角速度矢量
对于刚体定轴转动， 只有“正”“反”两种转动方向，通
过 的正负即可指明。但是当刚体并非作定轴转动时，其转轴
的方位是可能变动的。这里为了既描述转动的快慢又能说明转
轴的方位，可以统一地用角速度矢ω量 来描ω述。 的大小d
7.3.6
7.3.8 7.4.2 7.5.1 7.5.4 7.5.6 7.6.1
§1 刚体运动的描述
刚体运动学的任务在于研究如何描述刚体运动但不涉及运 动变化的原因， 只有给出刚体上所有质元的运动状况，才算 完整描述了刚体的运动。
一、刚体的平动
如果在运动中，刚体上任意两质元连线的空间方向始终保
持不变，这种运动就称为刚体的平动。例如电梯的升降、活塞
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
的夹角θ就能完全确定在空 间的位置， θ称为角坐标， 规定逆时针方向转动的θ为 正，顺时针方向为负。 θ = θ （t）——刚体绕定轴转 动的运动学方程。
都不变形，并称这样的物体为刚体。刚体是力学中关于研究对 象的另一个理想模型。本章的基本内容是：刚体运动学→刚体 动力学（刚体定轴转动，刚体的平面平行运动） →刚体静力学 （对刚体受力的平动和转动这两种效果予以分析，从而得出不 使刚体的状态产生变化的条件） →刚体三维运动。研究刚体力
学时，设想将它分割成许多部分，每一部分都小到可看作质点， 叫作刚体的“质元”，对于刚体，它的任意两质元之间的距离 保持不变，因此，刚体就像是一个冻结的质点系，由于每个质 元服从质点力学规律，由此出发，就能推演出刚体的运动规律。
是，
dt
ω 的方向则由右手螺旋法则确定。角速度矢量的概念不仅适用
于刚体转动，也适用于质点的运动。在定轴转动下，可利用 ω
将刚体上任一质点 P 的速度 v 表示为 v ω r 。
ω
ω
v
v
r
r
圆周运动中 ω与 的v 关系
原点不在圆心的情况
作为角速度对时间的变化率，角加速度也是矢量：
β dω dt
第七章 刚体力学
（Chapter 7 Mechanics of a rigid body）
前言 刚体运动的描述 刚体的动量和质心运动定理 刚体定轴转动的角动量 • 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理 刚体平面运动的动力学 刚体的平衡 自转与旋进
前言
一、本章的基本内容及研究思路
前面几章讨论了质点和质点系的运动规律，本章将讨论具 有一定形状和大小的物体的运动。具有形状和大小的实际物体 的运动一般是较复杂的，它可以平移、转动，还可能发生形变。 为了使问题简化，一般假定物体无论受多大外力或转动得多快
z
转轴
P rθ O 转动平面
x
参考方向
不同位置质元在 t 时间内的角位移 都相同，可见， 描lim d
t0 t dt
式中 称为刚体转动角速度。面对 z 轴观察， 0 ，刚体逆
时针转动； 0 ，刚体顺时针转动。
lim
t 0
t
d
dt
d 2
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转动。 例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上有一 点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定点转 动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动。
轴（即 z 轴）上的投影。今后为明确起见，凡涉及角速度投影，
均附以角标。
四、刚体的平面运动
刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面 平行，称作刚体作平面运动，其特点是，刚体内垂直于固定平
面的直线上的各点，运动状况都相同。根据此特点，可利用与
固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形。此平面图形的
位置一经确定，刚体的位置便确定了。今后说到“刚体”的时 候，其实指的就是剖面。在平面平行运动中，刚体内各点的位
移、速度和加速度是各不相同的，因此根本谈不上什么刚体的 位移、速度和加速度。应当将“刚体的运动”与“刚体内各点 的运动”区分开来。
建立坐标系 O-xyz，使平面图形在Oxy 面内，如图所示，z 轴与纸面垂直，在
的往返等都是平动。
rj
ri
rij
drj dt
dri dt
(为什么?)
d 2rj dt 2
d 2ri dt 2
即 v j vi , a j ai
O
j
rj
rij
ri
i
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
这是刚体力学研究的基本方法。
二、本章的基本要求
1. 理解描写刚体定轴转动的物理量（角坐标、角位移、角速 度和角加速度）并掌握角量与线量的关系；
2. 理解转动惯量的概念并会计算一些刚体的转动惯量； 3. 掌握刚体定轴转动的动力学规律； 4. 了解刚体平面平行运动的特点。
三、本章的思考题及练习题
1. 思考题：教材251--252 2. 练习题：7.1.4 7.2.2 7.3.1 7.3.3 7.3.5
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
ω xi z j yk, β xi y j zk
其中
x
d x
dt
,
y
d y
dt
,
dz
dt
刚体作定轴转动时，可令 z 轴与转轴重合，则 x y 0 ，
故ω
这里的
zzk与,β
z
zk 。前文定轴转动中讲到的 ω 和 正是
，它们分别是角速度矢量和角加速度矢量在转