1.1.2 余弦定理(第一课时)

余弦定理
三角形任一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
由余弦定理变型得：
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
新课讲解
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
∵ BC AC AB
2
BC

(AC
AB) 2
2
2
2
BC AC AB 2AC AB
| AC |2 | AB |2 2 | AC | | AB | cosA
即： a 2 b2 c2 2bc cos A
1.1.2 余弦定理（1）
知识回顾
A
正弦定理：
a
b


c
2R
sin A sin B sinC
利用正弦定理，可以解决两类问题： B
C
①已知两角和任一边，求其它两边和一角.
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的 对角（进而可求出其它的角和边）.
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变型： a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
②已知三边，求三个角.
思考：余弦定理的使用范围是什么？
若三角形ABC为直角三角形， 则余弦定理的表达式有怎样的变化？
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
思考：若三角形ABC为锐（钝）角三角形时，
有类似的结论吗？
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是钝角三角形 a 2 b2 c 2
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
2ab
应用：已知三条边求角度．
问题：隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
（2）解： cos A

b2
c2 a2 2bc
=
1 2
cos B

a2
c2 b2 2ac
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
应用：判定三角形形状．
例 1.
（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ，A=1200 ，求 a.
（2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ，c= 6 2 ，
求 A、B、C 的值。
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
a 2 21
a : b : c sin A : sin B : sin C
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量 出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对 山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求 出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
12 ( 3)2 21 3 1 7
2
22 4
BC 7 2
用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角；