概率论期末复习题+答案

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概率论期末试题及答案

概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。

概率论与数理统计》期末考试试题及解答

概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。

解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。

概率论期末复习题及答案

概率论期末复习题及答案1. 随机事件的概率定义是什么？答：随机事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用0到1之间的实数表示，其中0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生。

2. 请解释条件概率的概念。

答：条件概率是指在已知某个事件A已经发生的条件下，另一个事件B 发生的概率，记作P(B|A)，其计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。

3. 什么是独立事件？答：如果两个事件A和B满足P(A∩B) = P(A) * P(B)，则称事件A和B为独立事件，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。

4. 请列举至少三种随机变量的类型。

答：随机变量的类型包括离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量。

5. 描述期望值的定义。

答：随机变量X的期望值E(X)是所有可能取值乘以其对应概率的总和，即E(X) = ∑[xi * P(X = xi)]，其中xi是随机变量X的可能取值，P(X = xi)是X取xi值的概率。

6. 什么是方差，它如何衡量随机变量的离散程度？答：方差是衡量随机变量X与其期望值E(X)之间差异的平方的期望值，记作Var(X) = E[(X - E(X))^2]，它反映了随机变量取值的离散程度，方差越大，随机变量的取值越分散。

7. 请解释大数定律和中心极限定理。

答：大数定律指出，随着试验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值；中心极限定理则表明，当样本量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布，无论总体分布如何。

8. 如何计算二项分布的概率？答：二项分布的概率可以通过公式P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)计算，其中n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的组合方式数量。

9. 正态分布的特点是什么？答：正态分布是一种连续型概率分布，其特点是对称性，均值、中位数和众数重合，且以均值为中心，数据分布呈现钟形曲线。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

概率论期末考试和答案

概率论期末考试和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从二项分布B(3,0.5)，则P(X=2)为（）。

A. 0.375B. 0.5C. 0.25D. 0.125答案：A2. 已知随机变量X服从标准正态分布，P(X<0)=0.5，则P(X>1)为（）。

A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：A3. 若随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则E(X)为（）。

A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，则P(X=1且Y=1)为（）。

A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.75答案：A5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X<0)为（）。

A. 0.0228B. 0.9772C. 0.5D. 0.1587答案：A6. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X>1)=0.7，P(Y<2)=0.4，则P(X>1且Y<2)为（）。

A. 0.28B. 0.56C. 0.7D. 0.4答案：A7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,4)，则E(X)为（）。

A. 2C. 0D. 1答案：A8. 若随机变量X服从指数分布，其参数λ=0.5，则P(X>3)为（）。

A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.75答案：A9. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(-1<X<1)为（）。

A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9772答案：A10. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X=0)=0.4，P(Y=1)=0.6，则P(X=0且Y=1)为（）。

A. 0.24B. 0.4C. 0.6D. 0.16答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4)，则P(X=3)=_________。

概率论期末复习题库答案

概率论期末复习题库答案1. 随机事件A和B的概率分别为P(A)=0.6和P(B)=0.7，且P(A∩B)=0.4，求P(A∪B)。

答案：根据概率的加法公式，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，所以P(A∪B) = 0.6 + 0.7 - 0.4 = 0.9。

2. 已知随机变量X服从二项分布B(3, 0.5)，求X的期望值E(X)。

答案：对于二项分布B(n, p)，期望值E(X) = np，所以E(X) = 3 * 0.5 = 1.5。

3. 若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=2，σ^2=4，求P(X>3)。

答案：由于X服从正态分布N(2, 4)，标准差σ=2，将X=3标准化得到Z=(3-2)/2=0.5，查标准正态分布表得P(Z>0.5) = 1 - P(Z≤0.5) ≈ 0.3085。

4. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少抽到一个红球的概率。

答案：首先计算抽到两个蓝球的概率P(蓝蓝) = (3/8) * (2/7) =6/56，然后用1减去这个概率得到至少抽到一个红球的概率P(至少一个红) = 1 - P(蓝蓝) = 1 - 6/56 = 50/56。

5. 抛一枚硬币3次，求恰好出现2次正面的概率。

答案：这是一个二项分布问题，其中n=3，p=0.5，求k=2的概率。

使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，得到P(X=2) = C(3, 2) * (0.5)^2 * (0.5)^1 = 3 * 0.25 * 0.5 = 0.375。

6. 随机变量X和Y独立，X服从均匀分布U(0, 2)，Y服从指数分布Exp(1)，求E(XY)。

答案：对于独立的随机变量X和Y，E(XY) = E(X) * E(Y)。

X的期望值E(X) = (0+2)/2 = 1，Y的期望值E(Y) = 1/1 = 1，所以E(XY) = 1 * 1 = 1。

概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ），D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。

概率论期末试题及解析答案

概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。

它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。

1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。

1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。

1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。

1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。

2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。

解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。

解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。

现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。

解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。

P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。

《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题答案

《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题一、选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( A).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( C).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A =(C) A B ⊃ (D) A B ⊂3、设()0P AB =, 则有( D ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)4、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D）（A ）A 与B 不相容（B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=5、设,A B 为两个随机事件，且0()1P A <<，则下列命题正确的是（ A ）。

(A) 若()()P AB P A = ，则B A ,互不相容；(B) 若()()1P B A P B A += ，则B A ,独立；(C) 若()()1P AB P AB +=，则B A ,为对立事件；(D) 若()()()1P B P B A P B A =+=，则B 为不可能事件；6、设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ A ）（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -7、设A ，B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ B ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥8、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ B ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.59、设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 为( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a -10、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是（ B ）（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/511、一部五卷的选集，按任意顺序放到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是(A ). (A) 110 (B) 18 (C) 15 (D) 16 12、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( D ). (A) 640 (B) 1540 (C) 1940 (D) 214013、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( C ). (A) 710 (B) 610 (C) 69 (D) 79 14、在编号为1,2,,n 的n 张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k 次(1)k n ≤≤抽到1号赠券的概率是( B ). (A) 1n k + (B) 11n k -+ (B) 1n (D) 11n k ++ 15、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ A ）。

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X>0)=（）。

A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 如果随机变量X和Y相互独立，则P(X>a, Y>b)=（）。

A. P(X>a)P(Y>b)B. P(X>a) + P(Y>b)C. P(X>a) - P(Y>b)D. P(X>a) / P(Y>b)答案：A3. 已知随机变量X服从二项分布B(10, 0.5)，则E(X)=（）。

A. 5B. 10C. 15D. 20答案：A4. 对于任意随机变量X，其方差D(X)满足（）。

A. D(X) ≥ 0B. D(X) ≤ 0C. D(X) < 0D. D(X) > 0答案：A5. 如果随机变量X服从泊松分布，且λ=3，则P(X=2)=（）。

A. 0.0498B. 0.0995C. 0.1991D. 0.3487答案：B6. 已知随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=0，则X和Y（）。

A. 独立B. 相关C. 不相关D. 无法确定答案：C7. 随机变量X服从均匀分布U(0, 1)，则P(0.5 < X < 0.6)=（）。

A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4答案：A8. 已知随机变量X服从指数分布，其参数λ=2，则E(X)=（）。

A. 0.5B. 1C. 2D. 4答案：B9. 如果随机变量X和Y的期望值分别为E(X)=3和E(Y)=4，则E(2X+Y)=（）。

A. 11B. 10C. 8D. 14答案：A10. 随机变量X服从正态分布N(2, 4)，则P(X<2)=（）。

A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.3答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 如果随机变量X服从标准正态分布，则P(X>1.96)=______。

概率论期末试题答案

根据题意，已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A | B) = 0.5，求P(A ∪ B)。

解：根据概率公式，可以得知：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A | B)将已知的数值代入上述公式，即可求解：P(A ∪ B) = 0.4 + 0.6 - 0.5 = 0.5所以，P(A ∪ B) = 0.5。

3. 解：根据题意，已知事件A和事件B相互独立，且P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，求P(A' ∪ B')。

首先，我们可以得到以下关系式：P(A' ∪ B') = 1 - P((A' ∪ B')') （根据全概率公式）= 1 - P((A ∩ B)') （德摩根定律）= 1 - (1 - P(A ∩ B)) （补集的概率为1减去该集合的概率）= P(A ∩ B)由于事件A和事件B相互独立，可以得到以下关系式：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)将已知的数值代入上述关系式，即可求解：P(A' ∪ B') = P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.2 * 0.3 = 0.06所以，P(A' ∪ B') = 0.06。

概率论与数理统计期末考试试卷答案

概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列事件中，不可能事件是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚硬币，正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子，出现7点D. 抛掷一枚骰子，出现1点答案：C2. 设A、B为两个事件，若P(A-B)=0，则下列选项正确的是（）A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案：B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，则下列结论正确的是（）A. 当n增加时，X的期望值增加B. 当p增加时，X的期望值增加C. 当n增加时，X的方差增加D. 当p增加时，X的方差减少答案：B4. 设X～N(μ, σ^2)，下列选项中错误的是（）A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时，X的概率密度函数的峰值减小答案：D5. 在假设检验中，显著性水平α表示（）A. 原假设为真的情况下，接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下，接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下，拒绝原假设的概率答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A、B为两个事件，P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，P(A∩B) = 0.3，则P(A-B) = _______。

答案：0.27. 设随机变量X服从泊松分布，已知P(X=1) = 0.2，P(X=2) = 0.3，则λ = _______。

答案：1.58. 设随机变量X～N(μ, σ^2)，若P(X<10) = 0.2，P(X<15) = 0.8，则μ = _______。

答案：12.59. 在假设检验中，若原假设H0为μ=10，备择假设H1为μ≠10，显著性水平α=0.05，则接受原假设的临界值是_______。

答案：9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量，若X与Y相互独立，则下列选项正确的是（）A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案：D三、解答题（每题25分，共100分）11. 设某班有50名学生，其中有20名男生，30名女生。

概率论期末考试题及答案

概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。

以下是一套概率论期末考试题及答案，供参考。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求正面朝上的次数为1的概率。

A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=1)。

A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案：B4. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率都是0.9，求至少有3台机器正常工作的概率。

A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案：C5. 一个骰子连续抛掷两次，求点数之和为7的概率。

A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案：C二、填空题（每题2分，共10分）6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其密度函数的峰值出现在X=______。

答案：μ7. 假设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∩B)=______。

答案：0.38. 某随机试验中，事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3，且P(A∪B)=0.4，则P(A∩B)=______。

答案：0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx)，其中λ>0，当x≥0时，X服从______分布。

答案：指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望E(X)=______。

答案：np三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率的公式。

答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率，P(B) 是事件B发生的概率。

概率论与数理统计期末复习20题及解答

概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论（取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =，又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ．（2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π，于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ，由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ．（2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ；当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ；当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ；又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ．（2）由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ，由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【解】由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ，由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ，即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【解】由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ．（2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ，解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ，求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ，令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ，于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ，关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α．现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ．因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论（取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ，且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ．因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。

概率期末考试题及答案

概率期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X > 1.96)的值是：A. 0.025B. 0.05C. 0.025D. 0.01答案：C2. 假设事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，那么P(A∪B)的值是：A. 0.4B. 0.5C. 0.3D. 0.2答案：A（以下题目格式同上，共10题）二、填空题（每空1分，共10分）1. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为 P(X=k) = __________。

答案：\( \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)2. 两个独立事件同时发生的概率等于各自概率的 __________。

答案：乘积（以下题目格式同上，共5空）三、简答题（每题5分，共15分）1. 简述什么是大数定律，并给出其数学表达式。

答案：大数定律是指当试验次数足够大时，随机变量的样本均值将趋近于其期望值。

数学表达式为：\( \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \mu \)，其中\( X_i \)是独立同分布的随机变量，\( \mu \)是它们的期望值。

2. 什么是条件概率？请给出条件概率的定义公式。

答案：条件概率是在已知某个事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率的定义公式为：\( P(A|B) = \frac{P(A \capB)}{P(B)} \)。

（以下题目格式同上，共1题）四、计算题（每题10分，共30分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，给定μ=100，σ=15，求P(70 < X < 130)。

答案：首先计算Z值，然后使用标准正态分布表查找对应的概率。

2. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率为0.9。

假设机器工作是相互独立的，求至少有3台机器正常工作的概率。

概率论期末试题及答案

概率论期末试题及答案### 概率论期末试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.8C. 0.3D. 0.22. 抛一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率是：A. 0.5B. 0.75C. 0.25D. 13. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ=0，σ²=1，求P(X>1)：A. 0.1587B. 0.3173C. 0.6827D. 0.84134. 某工厂生产的产品中，有5%的产品是次品。

若随机抽取100件产品，求至少有3件次品的概率：A. 0.95B. 0.05C. 0.02D. 0.985. 某随机实验中，事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.3，且P(A∩B)=0.1，则P(A∪B)等于：A. 0.8B. 0.9C. 0.7D. 0.6#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是条件概率，并给出一个实际应用的例子。

条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一个事件发生的概率。

例如，在医学领域，如果已知某人患有某种疾病，那么在这种情况下，他出现某种症状的条件概率可能会比一般人群要高。

2. 解释什么是大数定律，并说明它在统计学中的重要性。

大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了在重复进行独立随机实验时，随着实验次数的增加，实验结果的相对频率会越来越接近事件发生的概率。

在统计学中，大数定律是进行概率估计和推断的基础，它保证了样本均值的稳定性和可靠性。

#### 三、计算题（每题15分，共40分）1. 某工厂生产零件，每个零件的合格率为0.95。

求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。

设X为100个零件中合格的数量，X服从二项分布B(100, 0.95)。

使用二项分布公式计算P(X≥90)。

2. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，求P(X>2)。

《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案

四、计算题
1、（10分）甲箱中有个红球，个黑球，乙箱中有个黑球，个红球，先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后，再从乙箱取出一球，
（1）求从乙箱中取出的球是红球的概率；
（2）若已知从乙箱取出的是红球，求从甲箱中取出的是黑球的概率；
2、（8分）设二维随机变量的联合概率密度为：
求关于的边缘概率密度，并判断是否相互独立？
7、（8分）设有一种含有特殊润滑油的容器，随机抽取9个容器，测其容器容量的样本均值为10.06升，样本标准差为0.246升，在水平下，试检验这种容器的平均容量是否为10升？假设容量的分布为正态分布。
（，）
第二套
一、判断题（2分 5）
1、设，是两事件，则。（）
2、若是离散型随机变量，则随机变量的取值个数一定为无限个。（）
2、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：
求边缘概率密度，并判断与是否相互独立？
3、（8分）设随机变量的分布函数为：
求：（1）的值；
（2）落在及内的概率；
4、（8分）设随机变量在服从均匀分布，求的概率密度；
5、（10分）设及为分布中的样本的样本均值和样本方差，求（）
第一套
一、判断题（2分 5）
1、设，是两事件，则。（）
2、若随机变量的取值个数为无限个，则一定是连续型随机变量。（）
3、与独立，则。（）
4、若与不独立，则。（）
5、若服从二维正态分布，与不相关与与相互独立等价。（）
二、选择题（3分 5）
1、对于任意两个事件和（）
5、袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（）

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。

解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。

3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。

因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。

又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。

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期末复习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B |A)=0.8，则P(A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，此射手的命中率32，则至少命中一次的概率为8180。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E +=,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

6、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋3，则Z ～ N() 。

二、选择题1、设随机事件A 与B 互斥，，则正确的是（ D ）。

2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

A. 2242B. 2412C C C. 24!2P D. !4!2３、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D ）。

A. )2(2y f X -B.)2(y f X - C. )2(21y f X -- D. )2(21yf X - 4、设)(x Φ为标准正态分布函数，100,,2, 1, 0A,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则；，发生；事件且8.0)(=A P ，10021X X X ，，，相互独立。

令∑==1001i iX Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．)480(-Φy C ．)8016(+Φy D ．)804(+Φy三（1）、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。

现随机地挑选一人，求此人恰好是色盲者的概率。

设A ：表示此人是男性； B ：表示此人是色盲。

（书本p13）则所求的概率为()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ （用呢个公式）0.50.050.50.00250.02625=⨯+⨯=答：此人恰好是色盲的概率为0.02625。

三（2）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。

现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，求第二次取得白球的概率。

解设i A 表示表示第i 次取得白球，i=1,2。

则所求事件的概率为2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+3273931091093010=⨯+⨯==答：第二次取得白球的概率为3/10。

三（3）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。

现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，若第二次取得白球，则第一次也是白球的概率。

解设i A 表示表示第i 次取得白球，i=1,2 。

则所求事件的概率为12121122121121()()(|)(|) = ()()(|)()(|)P A A P A P A A P A A P A P A P A A P A P A A =+322109910⨯==答：第二次摸得白球，第一次取得也是白球的概率为2/9。

四（1）设随机变量X 的概率密度函数为, 01()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩，其它（改为kx+1）求（1）A ；（2）X 的分布函数F (x)；（3） P (0.5 < X <2 )。

（范围改左）解： 121001 ()| 1222 A Af x dx Axdx x A +∞-∞=====⎰⎰（）2020 ()()0 01 ()()21 ()()xxxxx F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，122 10, 0 (), 0 11, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩⎰故(3) P （1/2<X<2）=F(2)—F(1/2)=3/4四（2）、已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+=-其它 ,00,)(22x Be A x F x （1-A/x 的平方）求（1）A ，B ；（2）密度函数f (x)；（3）P (1<X<2 )。

解：0(1) lim () 1 ,lim ()0, 1 .x x F x A F x A B B +→+∞→===+==- 2/22, 0() ()0, 0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩（）(3) P （1<X<2）=F(2)—F(1)=22/1---e e（3）．假定电源电压2~(220,25)X N ，试求：电源电压不超过200，200~240和超过240伏d 的概率（提示：(0.8)0.788Φ=）解：设1A ：“电源电压不超过200伏”；2A ：“电源电压在200~240伏”；3A ：“电源电压超过240伏”；B ：“电子元件被埙坏”。

由于2~(220,25)X N ，所以1200220(){200}(200)()25P A P X F -=≤==Φ(0.8)1(0.8)10.7880.212=Φ-=-Φ=-=2240220200220(){200240}()()2525P A P X --=<≤=Φ-Φ(0.8)(0.8)2(0.8)10.576=Φ--Φ=Φ-=3240220(){240}1()25P A P X -=>=-Φ(0.8)(0.8)2(0.8)10.576=Φ--Φ=Φ-= 1(0.8)10.7880.212=-Φ=-=五、.设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X ，Y 分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X ，Y ）的分布律与边缘分布律。

解（1）有放回摸球情况：由于事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立（i ，j=0，1），所以P{X=0，Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=3395525⨯=P{X=0，Y=1}=P{X=0}·P{Y=1}=3265525⨯= P{X=1，Y=0}=P{X=1}·P{Y=0}=3265525⨯=P{X=1，Y=1}=P{X=1}·P{Y=1}=2245525⨯= 则（X ，Yp ⋅3525（2）不放回摸球情况：P{X=0，Y=0}=P{X=0}·P{Y=0|X=0}=3235410⨯= 类似地有P{X=0，Y=1}=3235410⨯=，P{X=1，Y=0}=2335410⨯=，P{X=1，Y=1}=2115410⨯=。

则（X ，Y ）的分布律与边缘分布律为p ⋅3525六．设随机变量~X 110()100x x f x A x x +≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩当－当－其他，求：（2）常数 A ；（2）()E X ；（3）()D X 。

解：（1）由归一性011()(1)()1f x dx x dx A x dx A +∞-∞-=++-==⎰⎰⎰，从而得，1A =；（2）()E X ＝()xf x dx +∞-∞⎰0110(1)(1)0x x dx x x dx -=++-=⎰⎰（3）由于2()E X ＝2()x f x dx +∞-∞⎰0122101(1)(1)6x x dx x x dx -=++-=⎰⎰于是()D X ＝2()E X －2[()]E X ＝16七．已知随机变量X 的分布列如下，试求：（1）、()D X ；（2）2(1)E X -；（3）X 的分布函数。

解：（1）()E X 3100.310.220.5 1.2k k k x p ===⨯+⨯+⨯=∑2222()00.310.220.5 2.2E X =⨯+⨯+⨯= ()D X ＝2()E X －2[()]E X ＝2.2－1.22＝0.76 （2）经计算得2(1)X Y -=的概率分布列()E Y 2100.210.80.8k k k y p ===⨯+⨯=∑七.某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从λ的泊松分布，即~()X P λ。

根据统计资料知，一个月发生8次交通事故的概率是发生10次事故的2.5倍。

（1）求1个月内发生8次、10次交通事故的概率；（2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率；（3）求1个月内最多发生2次交通事故的概率.解这是泊松分布的应用问题~()X P λ，{}!kP X k e k λλ-==，k ＝0,1,2，…这里的λ未知，关键是求出λ。

由题意有{8} 2.5{10}P X P X ===即 8102.58!10!ee λλλλ--=⨯，解得λ＝6.（1）866{8}0.10338!e P X -==≈，1066{10}0.041310!e P X -==≈。

（2）10{0}0.00248P X ee λ--===≈，{1}1{1}10.002480P X P X ≥=-<≈-=。

（3）6{1}60.01487P X e -==≈， 266{2}0.044622!e P X -==≈，{2}{0}{1}{P X P X P X P X ≤==+=+=0.002480.014870.044620.0620≈++≈八．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。

现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。

求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）关于X和Y边缘分布；（3）X和Y是否相互独立？为什么？解：（1）(X、Y)的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。

11111 {1,1}339p P X Y====⨯=12122 {1,2}339p P X Y====⨯=21212 {2,1}339p P X Y====⨯=22224 {2,2}339p P X Y====⨯=于是（X、Y）的概率分布表为（2）关于X和Y的边缘概率分布分别为p⋅（3）X和Y相互独立。

因为任意i，j有ip⋅⨯jp⋅＝ijp。

十．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高2(168,7)X N,问车门的高度应如何确定？提示：{}0.01{}0.99P X h P X h≥≤<≥或，168168{}0.9977X hP--<≥（查表(2.33)0.9901ϕ=），1682.337h-=，求得31.184=h。