量子力学第四次作业

第四次答案

1、题目：量子力学是18 世纪20 年代诞生的科学。

正确答案：错误(注意：课件中的答案为正确，作业中的答案为错误）

2、题目：自由粒子的能级是简并的。

正确

3、题目：塞曼效应与电子的自旋有关。

正确答案：正确

4、题目：力学量的平均值一定是实数。

正确答案：正确

5、题目：量子力学中的算符都是幺正算符

正确答案：错

6、题目：波函数归一化后就完全确定了。

正确答案：错误

7、题目：量子的概念是由爱因斯坦提出的。

正确答案：错误

8、题目：自旋角动量算符与轨道角动量算符的引入方式不同，因而不能满足同一个对易关系。

正确答案：错

9、题目：量子力学仅讨论在经典物理中存在的力学量。

正确答案：错误

10、题目：任意态的几率流密度都与时间无关。

正确答案：错误

11、题目：量子力学的建立始于人们对光的波粒二象性的认识。

正确答案：正确

12、题目：泡利首次提出电子具有自旋的假设。

正确答案：错误

13、题目：无论是属于相同本征值还是不同本征值的本征函数都必定相互正交。

正确答案：错误

14、题目：量子力学中用算符表示微观粒子的力学量。

正确答案：错误

一、单项选择题（请选出最佳答案，每小题1分）

1. 能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是

A. 1.2 .

B. 1.5 .

C. 2.1 .

D. 2.5 . （A）

2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是

A.1.3 .

B. 0.9 .

C. 0.5 .

D. 1.8 . （B）

3. 用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为

A. ， .

B. ， .

C. ， .

D. ， . （A）

二、填空题（每题1分）

pton效应证实了 . （光具有粒子性）

2.Bohr提出轨道量子化条件的数学表达式是 . （）

3.Sommerfeld提出的广义量子化条件是 . （）

三、判断题（每题3分）

（评分标准：判断正确给1分，叙述理由正确给2分）

1、量子力学是18世纪20年代诞生的科学。（错，应为19世纪）

2、量子力学的建立始于人们对光的波、粒二象性的认识。

（不对，应始于De Broglie的微观粒子的波粒二象性）

3、能量子的概念由爱因斯坦提出。（错，应是普朗克）

四名词解释

1.量子现象

凡是Planck常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。（3分）

2.德布罗意公式

E=h = （1分）， .（2分）

3.光子

Einstein 认为电磁辐射不仅在被吸收和发射时以能量为的微粒出现，而且以这种形式以速度c在空间运动，这种粒子叫做光量子或光子。（3分）

五证明题（每题8分）

1.证明厄密算符的本征值为实数。

2.证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。

证明：设厄米算符有一个非简并的函数系，取其中的任意的两个：和，有

，，（1）

按厄米算符定义，有，

而上式的左端，右，

所以，，（2）

故 . （3）

这就是厄米算符本征函数的正交性的数学表达。

如果，则，若，则，

即 . （4）

这就是厄米算符本征函数的正交、归一性。

评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。

六计算题（每题8分）

1.一粒子由描写，计算其几率流密度，并说明其物理意义。

解：在球坐标中，梯度坐标为

。（1）

只是的函数，与，无关，所以

，，（2）

几率流密度，（3）

所以 . （4）

所得结果说明表示向外传播的球面波。（5）

评分说明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

2.一粒子由描写，计算其几率流密度，并说明其物理意义。

解：在球坐标中，梯度坐标为

。（1）

只是的函数，与，无关，所以

，，（2）

几率流密度，（3）

所以 . （4）

所得结果说明表示向内（即向原点）传播的球面波。（5）

评分说明：（1）、（5）式各1分，（2）、（3）、（4）式各2分。

4. 求在一维势场中运动的粒子的能级和本征函数。

解：粒子被限制在区间运动，除和两点及其以外，粒子在内却是自由的，故状态可以看作两个动量为和的平面波的叠加，即

，

由得，即 .

所以，（1）

由得，

即要求，（2）

所以，（）不给出新的解。（3）

。为归一化常数， . （4）

评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）式各2分。