中国人民大学--非参数统计(PPT 34)第五章多总体的统计检验

样本2
x12 x 22
…
…
样本k x1k x 2k …
x bk
… … …
…
x b1
…
x b2
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在同一区组内，计算样本的秩,并求出：
R. j = ∑i =1 Rij , j = 1,..., k
b
R. j = 样本2
R12
R 22
R. j b 样本k
R 1k
样本1 区组1 区组2 … 区组b 秩和
Oij ∈ {0,1}
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检验
假设检验问题：
H 0 : k个总体分布相同 ↔ H1 : k个总体分布不同
Cochran Q检验统计量：
2 χ(k −1) 分布，当Q值偏大的时候，考虑拒绝零 Q近似服从 假设。
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Durbin不完全区组分析 不完全区组分析
i< j
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例5.3
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例5.3解 解
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Friedman秩方差分析
假设检验问题：
H 0 : θ1 = L = θk : H1 : ∃i, j ∈1,L , k, θi ≠ θ j
完全随机区组设计表
样本1 区组1 区组2 … 区组b
x11 x 21
掌握Kruskal-Wallis单因素方差分析的基本原理 掌握完全随机区组设计下Friedman的基本原理 掌握完全随机设计下两处理之间的比较 掌握完全随机区组设计下两两处理之间的比较 掌握BIB设计下Durbin比较 了解调整秩的概念及用法 熟练S-Plus中对如上方法的运用和相应的数据变换
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检验
在零假设成立时，Q 近似服从 χ(k −1) ，当Q 偏大的时候， 考虑拒绝原价设。出现打结时，需要用修正的公式。
2
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例5.7
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解答
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解答（ 解答（续）
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Cochran检验 检验
检验原理以及计算： 检验原理以及计算： 当 完 全 区 组设 计 ， 并且 观 测 只是二 元 定性 数 据 时 ， Cochran Q检验方法进行处理。数据形式见下表。其中
原理： 原理： 可能存在处理非常多，但是每个区组中允许的样本量 有限的时候，每一个区组中不可能包含所有的处理，比如 重要的均衡不完全区组BIB设计。Durbin检验便是针对这种 问题。
X ij 表示第j个处理第i个区组中的观测值， Rij 为在第i个区组
中第j个处理的秩，计算：
R. j = ∑ Rij , j = 1,..., b
第五章 多总体的统计检验
本章内容
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多总体的统计检验
多总体检验问题：
H 0 : F1 = L = Fk ↔ H1 : Fi (x) = F(x + θi ),i = 1,L , k
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Kruskal-Wallis单因素方差分析
基本原理：类似处理两个样本相关性位置检验的W-M-W 基本原理 方法类似，将多个样本混合起来求秩，如果遇到打结的情 况，采用平均秩，然后再按样本组求秩和。
其中 SE = bk(k + 1) / 6 ，在打结的情况下可使用修正的公 式。当 | D ij |≥ Z1− α 时认为两个处理之间存在差异，其 * 中 α = α / k(k − 1) ， 是显著性水平。 α
*
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例5.6
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随机区组调整秩和检验
假设检验问题：
1 k
H 0 : θ1 = L = θk ↔ H1 : θ1 ≤ L ≤ θk
至少有一不等式严格成立。
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计算步骤
1. 计算 Wij = #(Xiu < Xjv , u = 1,L,ni ;v = 1,L,n j ) 2. 计算Jonckheere-Terpstra统计量： J = ∑ Wij
对比其中每两组差异的时候，用Dunn(1964)年提出用：
d ij =| R.i − R. j | / SE
其中
n(n + 1) 1 1 + SE = 12 ni n j
*
α* 如果 | d ij |≥ Z1−α 那么表示i和j两组之间存在差异， = α / k(k − 1) ， 为标准正态分布分位数。 Z
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Jonckheere-Terpstra检验
检验原理以及方法 X 假设k个独立的样本： 1 1 , L , X 1 n ; L ; X k 1 , L , X k n 分别来自于 k个形状相同的分布：F(x − θ1 ),L , F(x − θk ) . 假设检验问题：
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检验方法
计算第j组的样本平均秩：
R. j =
R. j nj
∑ =
nj
i =1
Rij
nj
对秩仿照方差分析原理：得到Kruskal-Wallis的H统计量：
2 在零假设情况下，H近似服从 χ(k −1) ，当 H > χα,(k −1) 的时候 拒绝零假设。
2
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对比其中每两组差异
i
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构造统计量：
当D值较大的时候，可以考虑拒绝零假设，认为处理之间 存在差异。在零假设成立时，大样本情况下，D近似服从 2 分布 χ(k −1) 。打结的时候，只要长度不大，对结果影响不太 大。
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例5.9
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解答
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本章要求
H 0 : θ1 = L = θk ↔ H1 : ∃i, j ∈1,L , k θi ≠ θ j
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计算步骤
1. 计算每一区组的位置估计，中位数或平均值等，如:
2. 计算
，被称为调整观察值。
3. 将全部调整观测值混合求秩，设AXij 对应的混合秩为AR ij ， 者称为调整秩。
其中
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例5.5
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Hollander-Wolfe两处理 两处理 比较检验
当用Friedman秩方差分析，检验出认为处理之间表现出 差异的时候，那么可以进一步研究处理两两之间是否存 在差异。 Hollander-Wolfe检验公式：
Dij =| R.i − R. j | / SE
R11 R 21
… … … … … …
R 2k …
R bk
…
R b1
…
R b2
R1
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R2
Rk
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检验统计量
利用普通类似方差分析构造统计量：
Q= 12 R.2j − 3b(k + 1) ∑ bk (k + 1)
2 在零假设成立下 Q ~ χ(k −1) ，如果 Q 偏大，那么就考虑拒绝 原价设。如果存在打结的情况，则可采用修正公式计算。
i< j
3. 当J取大值的时候，考虑拒绝零假设，J精确分布可以 查零分布表，对于大样本，可以考虑正态近似。 打结的情况时，采用变形的公式：
1 W* = #(Xiu < Xjv , u =1,L,ni ;v =1,L,nj ) + #(Xiu = Xjv , u =1,L,ni ;v =1,L,nj ) ij 2 J* = ∑ Wij