高阶统计量方法及应用研究

高阶统计量方法及应用研究高阶统计量方法是近几年国内外信号处理领域内的一个前沿课题,它包含了二阶统计量没有的大量丰富信息,广泛应用于所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中。

凡是使用功率谱或相关函数进行分析与处理,而又未得到满意结果的任何问题都值得重新使用高阶统计量方法。

高阶统计量的发展与应用是信号处理领域近年来一个十分重要的发展,是现代信号处理的核心内容之一。

1 国内外研究应用现状及发展趋势
高阶统计量方法是近几年国内外信号处理领域内的一个前沿课题。

高阶统计量广泛应用于所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中。

其研究内容包括高阶统计量、非参数化高阶谱分析、因果和非因果非最小相位系统的辨识、自适应估计和滤波、信号重构、信号检测、谐波恢复、多元时间序列分析、时变非高斯信号的时频分析、阵列处理、循环平稳时间序列分析以及其他专题(时延估计、盲反卷积和盲均衡、多维高斯信号)。

在信号处理领域,人们常常习惯于假设信号或噪声服从高斯分布,从而仅用二阶统计量便可提取信息,进行参数辨识以及各种处理。

但是,高斯分布只是许多分布类型中的一种,非高斯信号才是更普遍的信号。

对非高斯信号来说,二阶统计量只是其中一种信息,它不包含相位信息,因此对非最小相位系统的辨识而言,二阶统计量便显得无能为力。

在实际工作中,常常面临大量非高斯、非最小相位、非因果、非平稳信号的处理问题。

利用高阶统计量辨识解决这些问题的主要手段,高阶统计量提供了前所未有的十分丰富的信息,使我们可辨识非因果、非最小相位、非线性系统可以抑制高斯或非高斯的有色噪声可以抽取不同于高斯信号的多种信号特征可以分析与处理循环平稳信号等等。

高阶统计量是现代信号处理的核心内容之一。

人们对高阶统计量的研究已有近几十年的历史,虽然早在年代初许多领域的研究人员就开始了对高阶统计量的研究,但是真正的研究高潮却是在年代后期,经过短短几年的迅速发展,高阶统计量已在雷达、声纳、通信、海洋学、天文学、电磁学、等离子体、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体动力学等领域获得了广泛的应用。

在国内,高阶统计量的研究起步于年代中后期,但进展比较快。

现在有许多科研工作者和工程技术人员对在信号处理、系统理论和时间序列分析等领域表现出浓厚的兴趣。

随着越来越多的人对高阶统计量的研究深人,高阶统计量必将在我国得到广泛的应用与发展。

2 高阶统计量的特点方法及应用范围高阶统计量方法与一、二阶统计量方法相比有如下特点
二阶统计量进行信号分析时,假设信号或噪声服从高斯分布,从而仅用二阶统计量便可提取信息,进行参数辨识以及各种处理。

对非高斯信号来说,二阶统计量只是其中一种信息,它不包含相位信息,因此对非最小相位系统的辨识而言,二阶统计量便显得无能为力。

高阶统计量之所以大大超越功率谱和相关函数,道理很简单高阶统计量包含了二阶统计量没有的大量丰富信息。

高阶统计量不仅可以自动抑制高斯有色噪声的影响,而且有时也能抑制非高斯有色噪声的影响高阶循环统计量则能自动抑制任何平稳高斯与非高斯噪声的影响。

可以毫不夸张的说,凡是使用功率谱或相关函数进行分析与处理,而又未得到满足结果的任何间题都值得重新使用高阶统计量方法。

任何高斯过程的高阶累积量均等于零,这一事实使得用高阶累积量作为数学工具在理论上可完全抑制高斯有色噪声的影响。

2.1 一、二阶统计量方法应用范围
一、二阶统计量进行信号分析时,假设信号或噪声服从高斯分布,对非高斯信号来说,二阶统计量只是其中一种信息。

一阶统计量反映随机变量的集中位置,二阶统计量可描述随机过
程在两个不同时刻状态之间的线性依从关系。

高阶统计量方法应用范围
近二十年来,高阶累积量与多谱已获得广泛应用。

高阶统计量广泛应用于所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中。

3 高阶统计量定义及信号特征的提取
所谓高阶统计量,通常应理解为高阶矩、高阶累积量以及它们的谱——高阶矩谱和高阶累积量谱这四种主要统计量（此外,还有倒高阶累积量谱即倒多谱）。

高阶矩和高阶累积量是利用其特征函数来定义的。

然后引出高阶矩谱和高阶累积量谱的定义。

3.1 随机变量的高阶矩和高阶累积量的定义
对于 维随机变量()n x x x ⋯21,定义其联合特征函数为
定义其第二联合特征函数为
可见,联合特征函数()n ωωω⋯Φ21,就是n 维随机变量()n x x x ⋯21,的联合概率密度函数()n x x x f ⋯21,的n 维傅里叶变换。

对上面两式分别按泰勒级数展开,则阶数r=k 1+k 2+…+k n 的联合矩可用联合特征函数定义如下：
同样的,阶数r=k 1+k 2+…+k n 的联合累积量可用第二特征函函数定义为
3.2随机变量的高阶矩谱和高阶累积量谱的定义
假定高阶矩()121,-⋯k kx m τττ一是绝对可和的,即
则k 阶矩谱定义为k 阶矩的k-1维傅里叶变换，即
假定高阶累积量()121,-⋯k kx C τττ是绝对可和的,即
则k 阶谱定义为k 阶累积量的k-1维离散傅里叶变换，即
高阶谱又叫多谱或累积量谱。

特别地,三阶谱()213,ωωX S 叫双谱，而四阶谱()3214,,ωωωx S 称为三谱。

（3）它们各自提取信号的特点
高斯随机变量x 的一阶累积量和二阶累积量恰好分别是的均值和方差；
高斯随机变量x 的高阶矩只取决于二阶矩2
δ,并不比二阶矩多提供信息,其信息是冗余的； 高斯随机变量x 的高阶累积量()2>k C k 恒等于零。

高阶累积量对高斯过程不敏感。

因此,当加性噪声是高斯有色噪声时,高阶累积量在理论上可完全抑制噪声的影响高阶矩不具备这一性质。

因此我们使用高阶累积量而不是高阶矩作为主要的分析工具。

高阶白噪声的高阶累积量是多维冲击函数,该噪声的多谱是多维平坦的。

这使得我们很容易建立非高斯信号与线性系统传递函数之间的关系。

但是高阶白噪声的高阶矩及其谱却无此优点。

功率谱所包含的信息基本上是在自相关函数中所包含有的信息,这对于一高斯过程的完全统计描述是足够了,但是却不能获得有关高斯性的偏离度和非线性存在的信息。

对比之下,用高阶累积量定义的高阶谱却含有这样的信息；
累积量问题的解具有唯一性。

因为特征函数唯一地确定概率密度；
两个统计独立的随机过程的累积量等于各个随机过程累积量之和,该结论对于高阶矩却不成立。

正是这一性质使得累积量非常适合于作为一种算子来使用。

4 高阶统计量方法的局限性及有待完善的方面
二维自相关匹配（或AR 参数唯一可辨识）并不总是可能的,这是多维信号处理理论中一个尚未解决的难题。

这一难题给累积量理论在多维非高斯信号处理中的应用带来了严重影响。

（1）由于二维高阶累积量具有比二维自相关函数多得多的独立变元,所以要解决方程的唯一最小二乘解的问题将更加困难。

在自相关方法中通常要求使用尽可能宽的自相关滞后区域,以提高AR 参数估计的精度。

在累积量方法中,类似的做法将使得用到的方程个数增加很多,从而计算量大大增加。

（2）二维模型AR 定阶的奇异值分解法至今尚未解决,因此总体最小二乘方法将无法应用。

（3）在能够满足参数唯一可辨识性的二维AR模型尚未找到之前,这将使得二维最大高阶嫡也无法找到闭式解。

（4）虽然利用高阶累积量可以直接计算二维MA参数,但是由于这一直接计算要用到二维AR参数,所以二维AR参数也缺乏唯一可识别性。

（5）二维传递函数和二维多谱的参数化方法不能给出唯一的估计结果,因为二维AR和MA 参数缺乏唯一可辨识性。

（6）由于二维因果模型的唯一可辨识性尚未解决,所以二维非因果模型的唯一可辨识性更难解决。

（7）多维谐波恢复的累积量方法有待解决和研究。

二维谐波恢复的时域分析方法和直接数据法成功地解决了不对二维多项式因式分解（通常是不能因式分解的）进行谐波信号恢复的难题。

如何将它们推广成相应的累积量方法显然是有趣的。

也许更令人感兴趣的是,再进一步将非高斯噪声中谐波恢复的三种方法推广成适用于二维非高斯有色噪声。

因为二维谐波恢复是多信号处理中的一个典型问题。

（8）基于累积量的多维非高斯信号的自适应滤波基本上还是个尚未研究的空白。