用区间套定理证明Darboux定理

１ 引
言
达布（ Ｄ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ Ｇ） 定 理是数 学分 析 中的一个 重要 定理 ， 它 描述 了导 函数 的一个 特 殊性 质 ： 无论 导 函
数 是否 连续 ， 它必 定具 有介值 性 ， 也就 是说 ， 导 函数不 可能 出现第 一类 间断 点 ， 这对 我们 研究 可微 函数 的 导 函数 是有 重要 意义 的 （ 见 文献 ［ １ —６ ３ ） ． 关 于这 个定 理 的证 明 ， 传统 的方法 是利 用费 尔 马 （ Ｆ ｅ ｒ ｍａ ｔ ） 定 理． 探 索用 新 的方 法来 证 明这 个 定理 ， 尤 其是 利用 实数 完备 性定 理给 出 Ｄ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ定 理 的证 明是一个 非 常有价 值 的问题 ．
（ ｉ ｉ ）当 一 。 。时 ， 区 间列 的长度 ｛ （ ６ 一ａ ）｝所成 的数 列收敛 于零 ， 即ｌ ｉ ｍ（ ６ 一ｎ ） 一０ ， 则 区间 的 端点 所成 两数 列 ｛ ｎ ｝及 ｛ ｂ ）收敛 于 同一极 限 ， 并且 是所 有 区间 的唯一 公共点 ．
文献 ［ ７ ］ 中作 者 利用 区间套 定 理证 明 了 Ｒｏ ｌ ｌ ｅ定 理和 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ中值定 理 ， 受文献［ ７ ３ 思想 的启 发 ，
本 文利 用 区间套 定理 对 Ｄ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ定 理 给出 了一种 新 的证 明．
２ 预 备 知 识
我们 列 出与本文 研究 主题 相关 的结 论如下 ：
盟
≤厂 ， （ ）
．
这与（ ２ ． １ ） 矛盾 ． 同理可 证 ， 对 任 意 的 ∈ （ 口 ， ６ ）， ｆ （ ｚ） ≥ｆ （ ６ ）也 不 成 立． 故 存 在 Ｃ∈ （ ｎ ， ６ ）， 使 得
ｆ （ 口 ） ＜ ｆ （ ｃ ） ＜ ｆ （ ６ ）．
ｆ （ ６ ） 一ｌ ｉ ｍ ＞ｆ （ ） ，
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ ０ ８ — ０ ９ — １ ８
第 ３期
高心 军 ： 用 区间套定 理证 明 Ｄ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ定理
９ ５
由极限的局部保号性 ， 存在 ＞ ｏ ， 当ｏ ＜Ｉ ｘ －６ Ｉ ＜ 时， 有
性） ．
引理 １ 若 厂（ ）在 区 间 上 可 导 ， ， ６ ］（ ＝ ＝ ，ｆ （ ｎ ） ＜ ｆ （ ６ ）， 则 存 在 ｃ∈ （ ｎ ， ６ ）， 使 得
＿ 厂 （ ｄ ） ＜ ｆ （ ｃ ） ＜ ｆ （ ６ ）．
证
反证 法． 假 设任 意 ｚ ∈ （ ｎ， ６ ）， 均有 ｆ （ ｚ） ≤ｆ （ ｎ ）． 因
第 ２ ９卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ６月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． ２ ９， №． ３
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
用 区 间套 定 理 证 明 Ｄａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ定 理
高 心 军
（ 四Ｊ Ｉ Ｉ 大学 数学学 院， 成都 ６ １ ０ ０ ６ ５ ）
＜ ＜ ６ 时， 有 立
＞厂 ， ）． 特别地 ， 当６ 一
＞ 厂（ 口 ）． 于是 ， 对任意 Ｘ ｏ ∈（ ６ 一 ， ６ ）， 有
丛
山 ０ ｕ
＞厂 百度文库 （ ）
．
（ ２ ． １ ）
而任意 ｚ∈ （ ｎ ， ６ ）， 均有 厂 （ ｚ ） ≤ｆ （ 口 ）， 故任意 ｚ 。 ∈（ ６ 一 ， ６ ） ｎ（ ｎ ， ６ ）时 ， 有厂 （ ｚ 。 ） ≤ｆ （ 口 ）， 即
海涅（ Ｈｅ ｉ ｎ ｅ ） 归 结原理 ［ １ ］ ｌ ｉ ｍｆ（ ｘ） 一Ａ 的充分 必要 条件 是对 于任何 满足 ｌ ｉ ｍｘ 一 。 且 ≠ 。
ｚ — ● ｎ — ｏ。
（ 一 １ ， ２ ， ３ ， … ）的数列 ｛ ３ ２ ｝都 有 ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ ） 一Ａ ． 区 间套原 理＿ １ ］ 设 一 无穷 闭 区间列 ｛ ［ ｎ ， ｂ ］）适合 下 面两个 条件 ： （ ｉ ）后 一 区间在 前一 区 间之 内 ， 即对 任一 正整 数 ， 都有 ａ ≤ａ ｎ ＋ ＜ｂ ≤ｂ ；
ｌ ｉ ｌ ｍ 丛
一
≤ ｆ ， （ ａ ） ≤ 【 ） ．
．
÷ ０
上
０
根据极限的局部保号性 ， 存在 。 ＞０ ， 当０ ＜ ｌ ｚ —Ｘ ｏ ｌ ＜ 时， 有 三
ＪＬ 山 ０
≤厂 ， （ ） 只要 Ｘ ｏ 充
．
分 靠 近 ｂ， ｂ就 会 落在 （ ｚ 。 ， ｚ 。 ＋ ）之 内 ， 故
Ｄ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ定理 卜。 设 厂（ ｚ ）在 区间 上 可 导 ， ， ６ ］（ ＝ ＝Ｊ， ｆ （ 口 ） ≠ｆ （ ６ ）， 则对 于在 ｆ （ ｎ ）与
ｆ （ ６ ）之 间 的任一 实 数 “ ， 至 少 存在 一 点 ∈ （ 口 ， ６ ）， 使得 ｆ （ ） 一 Ｕ（ 即ｆ （ ｚ ）在 区 间 Ｉ上 具 有介 值
［ 摘 要 ］Ｄ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ定理 是数 学分 析 中 的一 个 重 要定 理． 在 已有 文 献 的 基 础 上 ， 对 该 定 理 作 了进 一 步 的 研 究， 利用 区 间 套定 理 给 出 了 它 的 新 的 证 明 方 法 ． 证明思路与现有的其它证明思路是不同的．
［ 关 键 词 ］ 区 间套 定 理 ； Ｄ ａ ｒ ｂ ｏ ｕ ｘ定 理 ；局 部保 号 性 ［ 中 图分 类 号 ］Ｏ１ ７ ２ ． １ ［ 文献标识码］Ｃ ［ 文章编号］１ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ９ ４ — ０ ３