第3次 函数的极限
1.3 函数的极限
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节 函数的极限
=
当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.
如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节 函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有
三次方函数极限推到求导
三次方函数极限推到求导
三次方函数是一种非常重要的函数形式，在数学中有着广泛的应用。
在求解三次方函数的极限和导数时，我们可以采用一些特定的方法和技巧，可以让我们更加便捷地求解这些问题。
首先，我们需要了解三次方函数的定义和特性。
三次方函数可以用公式y=x^3来表示，其中x是自变量，y是因变量。
三次方函数在x轴的左侧呈现下凸曲线，在x轴的右侧呈现上凸曲线，同时具有一点对称性，即关于原点对称。
在求解三次方函数的极限时，我们可以使用夹逼定理、变量替换和泰勒公式等方法。
夹逼定理是一种基于数列极限的方法，可以通过构造夹逼数列来求解三次方函数的极限。
变量替换则是一种将函数变量转换为其他变量的方法，可以将三次方函数转换为其他更容易求解的函数形式。
泰勒公式则是一种将函数近似为多项式的方法，可以通过泰勒展开式来求解三次方函数的导数。
在求解三次方函数的导数时，我们可以使用求导法则、链式法则和复合函数法则等方法。
求导法则是一种基于函数导数性质的方法，可以通过对函数进行求导来得到三次方函数的导数。
链式法则则是一种将复合函数的导数分解的方法，可以将三次方函数拆分为多个函数的组合形式，然后分别求导。
复合函数法则则是一种将函数的导数转化为其他函数的导数的方法，可以通过将三次方函数转化为其他函数的组合形式来求解其导数。
通过以上方法，我们可以更加深入地理解和掌握三次方函数的
极限和导数性质，为我们在实际问题中的应用提供了有力的支持。
函数的极限
课程教案课程教案附页定理1：函数∕α∙)当Λ-→X0时极限存在的充要条件是左极限与右极限同时存在且相等，即Iim f(x) = Iiin f(x).-V→Λo-V→⅞例 8∙P12 例 4、5.2、自变量•、趋于无穷大时函数的极限(1)A→+∞定义11：设函数/(_¥)在区间(α+oo)(d>0)内有立义.如果当x→+∞时，对应的函数值/(X)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数/(x)当x→+oo时的极限，记作Iinl f(x) = A,或者/(x) → A (X → +∞)..V→+M例 9.P12 例 6.(2) A → -∞定义12：设函数/(X)在区间(-oc,α)(α<O)内有定义.如果当A→-∞时，对应的函数值/Ct)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数∕ω当x→-∞时的极限，记作 Iimf(x) = A,或者f(x) → A (A →-∞).Λ->-X例 9.P12 例 6.(3)A-→ X定义13：设函数/co当忖>"(α>o)时有上义.如果当A-→∞时，对应的函数值 /(X)能够无限趋近于某个常数A,则称A是函数/(X)当x→∞时的极限，记作 Iim f (x) = A t或者f(x)→ A (x→∞).X >00例 10.P13 例&定理2：函数f(x)当XToC时极限存在的充要条件是Iim f(x)与Iim f(x)同时存Λ→-X Λ→+X在且相等，即Iinl f(x) = Iim f(x)..v→-αo.v→÷αc∙*例 11.P13 例 9、10.第三节无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是极限过程中常见的两种变疑.一、无穷小量1、定义定义14：如果函数/(x)在X的某一变化过程中极限为0,则称/(x)为该过程中的无穷小量,简称无穷小.例 12.P14 例 1、2. 讲授法练习讲授法听讲思考、练习听讲IOminIOminIOmin3）函数/（x）是否是无穷小量与自变量兀的变化过程有关，例如因为Iim- = O,所以丄为当Λ →∞时的无穷小星而Iim丄=IH0,所以当xτl时，丄不再是无穷小X XTl X XM.因此在说函数∕α∙）是无穷小量时必须指明自变量X的变化过程.2、性质（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量.（2）有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.（3）常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.（4）有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.例 13.P14 例 3.3、无穷小量的比较定义15：设α, 0是同一变化过程中的两个无穷小量，且α≠0.（1）如果IimE = O,则称0是α的高阶无穷小，记作β = o（a）.a（2）如果IimE=C（C H O）,则称0与α是同阶无穷小•特别地，当C = I时，则称a0与α是等价无穷小，记作a〜P・例如P15熟记：当XTO时常见的等价无穷小P15.定理3： P15定理1.3例 14.P15 例 4.二、无穷大量定义 16： P16 定X 1.12IinV（X） = OC （无穷大量）例如，丄是当XTO时的无穷大，记作Iiml = ∞:X E X1是当XTI时的无穷大，记作Iim 1-∞:/是当Λ∙→+OC时的无穷大，记作Iim e x=+∞↑x→÷βInX是当x→0+时的无穷大，记作IimInX = -OO。
高等数学极限方法总结_2
一、 极限定义、运算法则和一些结果1. 定义: （各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）。
说明: （1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明, 例如: ； ； ；等等（2）在后面求极限时, （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。
2. 极限运算法则定理1 已知 , 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有 （1）（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B BA x g x f 说明: 极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。
3. 两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xx x （2） e x x x =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明: ( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。
一定注意两个重要极限 成立的条件。
例如: , , ；等等。
4. 洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当 时, 下列函数都是无穷小（即极限是0）, 且相互等价, 即有:x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。
说明: 当上面每个函数中的自变量x 换成 时（ ）, 仍有上面的等价关系成立, 例如: 当 时, ～ ； ～ 。
定理4 如果函数 都是 时的无穷小, 且 ～ , ～ , 则当 存在时, 也存在且等于 , 即 = 。
5. 洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时, 函数 和 满足: （1） 和 的极限都是0或都是无穷大；（2） 和 都可导, 且 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限 也一定存在, 且等于 , 即 = 。
高等数学第七版1-3函数极限
解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
4x 1 9 , lim4x 1 9 x2
13
3. 左、右极限(单侧极限)
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
y 1 x y
x0
x0
1
lim f ( x) 1.
O
x0
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
x从左侧无限趋近 x0 , 记作 x x0—-;
x从右侧无限趋近 x0 ,
记作
x
x+. 0
y x2 1 x
14
左极限 0, 0, 使得 x0 x x0时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A x x0
或
f ( x0 ) A.
右极限 0, 0,使得 x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A x x0
lim(3x 1) 5 x2
10
例3 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
分析： 函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点
是否有极限并无关系．
证
x2 1 f (x) A x 1 2 x 1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x x0
时,
成立 ,
故
lim
xx0
x
x0
.
这是证明吗？
非 常 非 常
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
高数第二讲(清华版)
1
第二讲
函数极限
一、函数极限
二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则
四、两个重要极限
五、无穷小量与无穷大量
2019/3/7 2
极限的重要性 （1） 极限是一种思想方法
从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续
（2）极限是一种概念
微积分中许多概念是用极限定义的
（3） 极限是一种计算方法
x x0
x
即存在 即存在 M M 0和 0 和 0 N , 使当 0, 使当 0 xx x0 N 时 ,时, 就有 f( xM ) 就有 f ( x) . M.
2019/3/7 13
性质3:（保号性） 设 lim f ( x ) A 存在
(1) 如果A 0, 则 0, 使当 0 x x0 时, 就有f ( x ) 0. ( 2) 如果 0, 使当0 x x0 时,
2
都是 x 0 时的无穷小量. 1 x , e , arctanx 2 x 2 x 时的无穷小量.
2019/3/7
都是
22
定义2： 在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。 G 0, 0, 使当 0 x x0 时,
2019/3/7 27
（三）三个重要关系 1.（无穷小与无穷大） 若在自变量的某一个变 化过程中 , f ( x ) 是无穷大, 则在这个变化过程中 , 1 是无穷小. f ( x) 2.（极限与无穷小） l i m f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
x ห้องสมุดไป่ตู้x
(1) l i m[c f ( x )] c A
高等数学的教学课件1-3函数的极限
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
求函数极限的方法与技巧6篇
求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。
通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。
在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。
那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。
我们来说一说函数极限的定义。
对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
要求函数的极限，就是要找到这个L。
1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。
如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。
2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。
根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。
3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。
夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。
4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。
通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。
除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。
2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。
3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。
4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。
多元函数的极限及连续性
返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1-3'函数的极限
lim (x +1) = 2
y
y
x +1 x ≥1 y = x −1 x <1
o x
o
1
xห้องสมุดไป่ตู้
x2 −1 lim =2 x→ x −1 1
lim f (x) = 不存在
x→ 1
y
o
x
1 lim = ∞ (不存在) x→0 x
左右极限(单侧极限 单侧极限) 三、左右极限 单侧极限
x → x0 时,
lim 定理3.2 x→x f ( x) = A 的充分必要条件是 定理
0
x→x0
lim f ( x) = lim f ( x) = A 或 + −
x→0
+ − f ( x0 ) = f ( x0 ) = A
定理2.2 又提供了讨论分段函数在分段点 0处是否 又提供了讨论分段函数在分段点x 定理 存在极限的方法. 存在极限的方法
y
1 y= 2 x +1
y
o
x
o
x
x→+∞
lim arctgx =
π
2
1 lim 2 =0 x→+∞ x + 1
2
x→−∞
lim arctgx = −
x→∞
π
1 lim 2 =0 x→−∞ x + 1
limarctgx不存在
1 lim 2 =0 x→∞ x + 1
容易得到以下结论:
x→∞
lim f (x) = A的充分必要条件是
x→+∞
lim f (x) = lim f (x) = A.
x→−∞
若lim f (x) = A, 则称直线y = A是曲线 = f (x)的 y
大学高数2-3极限的运算法则
03
复合函数的极限运算法则
函数的极限与复合函数的极限
函数的极限
当函数在某点的自变量趋于某值时，函数值的极限。
复合函数的极限
对于复合函数$f(g(x))$，当$x$趋于某值时，$g(x)$趋于某值，则$f(g(x))$的极限存在。
复合函数的极限运算法则
乘法法则
若$f(x)$和$g(x)$在某点的极 限都存在，则$f(x) cdot g(x)$ 在该点的极限也存在，且$f(x) cdot g(x) = f(x) cdot g(x)$。
01
02
03
04
加法运算性质
两个无穷小量的和仍为无穷小 量。
减法运算性质
两个无穷小量的差仍为无穷小 量。
乘法运算性质
有限个无穷小量的乘积仍为无 穷小量。
除法运算性质
有限个无穷小量的商仍为无穷 小量，但除数不能为无穷大量 。
05
极限的运算技巧
利用等价无穷小替换求极限
等价无穷小替换是求极限的一种常用方法，通过将复杂的表达式替换为简单的无穷 小量，可以简化计算过程。
在等价无穷小替换中，常用的等价无穷小量包括：当x趋近于0时，sin x ≈ x，tan x ≈ x，e^x - 1 ≈ x，ln(1 + x) ≈ x等。
使用等价无穷小替换求极限时，需要注意替换的准确性和适用范围，以确保结果的 正确性。
利用洛必达法则求极限
01
02
03
洛必达法则是求极限的一种重要 法则，适用于0/0型和∞/∞型的 极限问题。
利用反常函数求极限
总结词
反常函数包括无界函数和无穷大量，求极限时需要注意函数的定义域和性质。
详细描述
对于无界函数和无穷大量，需要分别讨论其类型和性质，利用等价无穷小替换、夹逼准则等方法求极 限。在处理反常函数时，需要注意函数的定义域和性质，以及无穷小与无穷大的关系。
大学数学第1章： 函数、极限、连续
（1）常值函数 y = c
y
c
O
x
（2）幂函数 y = x
µ
(µ是常数 )
y
y = x2
1
(1,1)
y=x
y= x
o
1 y= x
1
x
（3）指数函数 y = a
1 x y=( ) a
x
(a > 0, a ≠ 1) （ y = e x）
y = ax
(a > 1)
•
( 0,1)
（4）对数函数 y = log a x
由基本初等函数经过有限次 有限次四则运算和有限次 有限次复合运 有限次 有限次 算所构成并能用一个式子表示 用一个式子表示的函数，称为初等函数。 用一个式子表示 例如， y＝ sin3x 、 u＝ sin(ωx＋φ) （ω、φ是常数） 都是初等函数。 凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数.含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。
(a > 0, a ≠ 1) （y = ln x）
y = log a x
(1,0 ) •
(a > 1)
y = log 1 x
a
对数函数与指数函数互为反函数. 对数函数与指数函数互为反函数.
(5)三角函数 (5)三角函数 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = x
设
与δ是两个实数，且δ＞0，数集
称
邻域
x0
{x
x − x0 < δ }
为点 x0 的δ邻域，记作 U ( x 0 , δ )；点 x0 和数δ分别称为 这个邻域的中心和半径。
高等数学：第三节 函数的极限
21/41
例5 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x) A x2 1 2 x 1 ,
x1 任给 0, 要使 f ( x) A , 只要取 ,
则当0 x 1 时,就有
x2 1 2 ,
x1
x2 1
lim
2.
x1 x 1
类比数列极限的定义，可用如下的数学语言刻画 “自变量无限增大”、 “函数无限接近于A”: x X 表示x 的过程;
f ( x) A 表示 f ( x) A 可任意小.
4/41
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
24/41
例6
证明 lim
x2
1 .
x2 x2 4 4
条件放大法
证 因为x 2，故不妨假设 x 2 1,即1 x 3,
x2 1 1 x2 1 x2 x2
x2 4 4 4 x 2 4 1 2 12
第三节 函数的极限
一、自变量趋向无穷时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结、思考题、作业
1/41
数列极限：un f (n), n N un a : n 时，f (n) a 函数极限：y f ( x) y A :自变量x的某个变化过程中时，
相应函数值f ( x)无限接近于A 自变量无限变化方式的差异：
6/41
20. x 情形 : lim f ( x) A x
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作
泰勒公式求极限
泰勒公式求极限S1：函数极限存在情况讨论根据S2的分析，我们知道函数极限在排除有界变量等特殊情况之下，可通过使用泰勒公式分别将分子分母等价位一个x的幂次项（最低幂次），从而化为式limx→0axkbxl1.极限为0的情况当（，a=0，b≠0）或(a≠0,b≠0,k>l)时，limx→0axkbxl=02.极限为∞的情况当（，a≠0，b=0）或(a≠0,b≠0,k<l)时，limx→0axkbxl=∞3.“上下同阶”的情况此时有k=l且（，a≠0，b≠0）时，limx→0axkbxl=ab毋庸置疑，考研的考点就是第三种情况！在我做题的逻辑上，是先进行S2的“等价无穷小”（泰勒公式），才进行后面的情况探讨，实际上，大家也可以看出来，化成最低幂次的形式，结果显然易得，或许根本不需要分类讨论，这就是我为什么刚开始没写这部分的原因，没有探讨的深度！实际上，你只要用泰勒公式做个30道题左右，自然会体悟出泰勒公式使用的注意点，希望大家身体力行，否则，即便看了我的分享，可能在考场上也无法用到！S2：更为广泛的等价无穷小！那么，就让我们来阐述以下泰勒公式的使用注意点！首先给出常用的8个泰勒展开公式！当x→0时，一些常用函数可用一组多项式来表示，即sinx=x−x36+o(x3)arcsinx=x+x36+o(x3)tanx=x+x33+o(x3)arctanx=x−x33+o(x3)cosx=1−x22+x424+o(x4)ln(1+x)=x−x22+x33+o(x3)ex=1+x+x22+x36+o(x3)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+α(α−1)(α−2)6x3+o(x3)(或α=±1或12最常用)tips：在考研数学范围内，以上常用函数和展开项数均达到考研考察的上限！一.x→0一定要注意此处给的泰勒公式仅适用于x→0时的情况，所以，当（）x→a（a≠0）或x→∞时的情况，需要先进行代换，即令t=x−a或t=1x,此时，有t→0，即可放心使用泰勒公式。
极限运算法则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
高等数学(第五版)同济大学主编_1-3函数的极限
例如, 例如
x<0 x≥0
y = 1− x
y
1
y = x2 + 1
o
x
分x > 0和x < 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 − 0; 从左侧无限趋近 x从右侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 + 0; 从右侧无限趋近
8
左极限
记作 lim f ( x) = A 或
先看一个例子
x
2
问题: 过程中,对应 问题: 函数 y = f (x) 在 x → x0 的过程中 对应 无限趋近于 趋近于确定值 函数值 f (x) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小;
0 < x − x0 < δ 表示 x → x0的过程 .
满足不等式 f ( x ) − A < ε , 那末常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x → x 0 时的极限, 记作 时的极限,
x → x0
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A(当x → x 0 )
"ε − δ"定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时,
n→ ∞
y = sin
1 x
1 取 {x ′ } = , lim xn = 0, 且 xn ≠ 0; ′ ′ n 4n + 1 n→ ∞ π 2 1 而 lim sin = lim sin nπ n→ ∞ x n n→ ∞ 1 4n + 1 = lim 1 = 1, 而 lim sin = lim sin π n→ ∞ n→ ∞ x ′ n→ ∞ 2 n 1 二者不相等, 二者不相等 故 lim sin 不存在. x→0 → x
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lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
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练习： 求下列函数极限，若极限不存 在，说明理由。 函数 如图示：
lim arctan x ?
x
lim e x ?
x
2 x lim 2 x 3x
2
?
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练习：
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0 x x0
a x , x 1 且 lim f ( x) 存在, 则 2. 设函数 f ( x) 2 x 1, x 1 x 1
2
a
3
.
第四节 目录
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作业:
P19 2
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定义（通俗版） 函数 当自变量 无限趋于 时，对应的函数值
无限接近常数值 则称常数 A 为函数 当 时的极限,
记作 lim f( x) A 或
x
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1 ?. 例6. 思考 lim x x 1 lim 0. x x
y
O
1 y x
x
注:
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两种特殊情况 :
2.99999 6.999993
风速
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定义（通俗版） 函数 当自变量 在 无限接近 的某个去心邻域有定义 时，对应的函数值
无限接近常数 值
则称常数 A 为函数 极限,
0
。
当 时的
记作:
lim f ( x) A 或 x x
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例1.
例2. 例3. 求
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2. 左极限与右极限
左极限 : f
( x0 ) lim x x0
f ( x) A
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
x x0
定理 .
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
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3. 性质
定理1 .（极限唯一性） 若 存在，则唯一。
定理2 .（局部保号性） 若 且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x) 0. ( f ( x) 0)
A A A
y
y f ( x)
x0 x0 x
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
第三节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第一章
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. 时函数极限的定义
引例. 鼻子测风速的故事
风扇Leabharlann 鼻子的位置2.9 62.99 6.7
2.999 6.92
2.9999 6.991
x x0
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例4. 给定函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 O 1 x y x 1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 . 因为
x 0 x 0
y x 1
x
lim f ( x) A -----当自变量
无限趋于 。
时，对应的函数值
无限接近常数值 无限趋于
-----当自变量 时，对应的函数值
lim f( x) A
x
x
无限接近常数值
lim f( x) lim f( x) A
x
。
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例7. 思考