巧解直角三角形中的最大正方形

合集下载

勾股定理之“赵爽弦图”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)

重难点：勾股定理之“赵爽弦图”模型【知识梳理】“赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效.【考点剖析】一．选择题（共2小题）1．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC ＝56的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．76B．72C．68D．52【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．在如图所示的“赵爽弦图”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，则AH 的长为（）A．6B．C．6D．8【分析】由题意得，设AH＝DE＝CF＝BG＝x，则AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD，EFGH都是正方形．AB＝10，EF＝2，∴设AH＝DE＝CF＝BG＝x，则AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，即102＝x2+（x+2）2，整理得，x2+2x﹣48＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），∴AH＝6．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质，根据题意得到线段的关系，然后根据勾股定理列出方程并求解是解题关键．二．填空题（共4小题）3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为．【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2＝107，∴a2+2ab+b2＝107，∵大正方形的面积为57，∴2ab＝107﹣57＝50，∴小正方形的面积为57﹣50＝7，故小正方形的边长为．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．4．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝4，AB＝5．四边形EFGH的面积是．【分析】四边形EFGH的面积＝四边形ABCD的面积﹣四个全等直角三角形的面积．直角三角形的面积需利用勾股定理求出直角边后解答．【解答】解：因为AB＝5，所以S正方形ABCD＝5×5＝25．Rt△ABF中，AF＝4，AB＝5，则BF＝＝3，所以SRt△ABF＝×3×4＝6，四个直角三角形的面积为：6×4＝24，四边形EFGH的面积是25﹣24＝1．故答案为1【点评】此题主要考查了勾股定理，以及正方形面积、三角形面积，难易程度适中．5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为cm2．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．【点评】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．6．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC 中，若直角边AC＝6cm，BC＝5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是．【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解；②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得解．【解答】解：图①，小正方形的面积＝（6﹣5）2＝1cm2；图②，外围直角三角形的斜边＝＝13cm，周长＝4×（13+6）＝4×19＝76cm，即，需要彩带的长度至少是76cm．故答案为：1cm2，76cm．【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．三．解答题（共3小题）7．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．【分析】（1）由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为（a﹣b）2，也可用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为，以此即可证明；（2）设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，可得S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，则S1+S2+S3＝12y+3x＝16，根据整体思想即可求出S2＝4y+x＝．【解答】（1）证明：，另一方面，即a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2；（2）解：设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，∵S1+S2+S3＝16，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16，∴4y+x＝，∴S2＝4y+x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键．8．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度．【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）先由勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积求CD的长即可．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理，得：AB＝＝5∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD∴CD＝．【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用，属于基本题型．9．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC＝5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．（1）这个风车至少需要绕着中心旋转才能和本身重合；（2）求这个风车的外围周长（图乙中的实线）．【分析】（1）根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．（2）在直角△ABC中，已知BC，AB，根据勾股定理即可计算AC的长，AC＝7，故求得BD即可计算风车的外围周长．【解答】解：（1）：∵360°÷4＝90°，∴该图形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．（2）在直角△BCD中，BD为斜边，已知BC＝5，AB＝，由勾股定理得：AC＝7，CD＝7+5＝12，∴BD＝＝13，∵风车的外围周长为4（BD+AD）＝4（13+5）＝72．【点评】本题考查了旋转角的定义及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中正确的计算BD是解题的关键．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022春•东城区期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝56的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．72B．52C．80D．76【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：D．【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．2．（2021秋•邳州市期中）公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（）A．1B．3C．4D．9【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：如图，∵勾a＝3，弦c＝5，∴股b＝＝4，∴小正方形的边长＝4﹣3＝1，∴小正方形的面积＝12＝1，故选：A．【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．3．（2021春•长垣市期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：5D．1：10【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，∴小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长＝＝2，∴＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．4．（2022秋•青秀区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A．12B．13C．14D．15【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，∴ab＝4，∴大正方形的面积＝4×ab+5＝13，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．5．（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．6．（2022秋•平湖市期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，则小正方形的边长为（）A．B．C．D．2【分析】将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，根据AB＝7，BC＝8，列出二元一次方程组，求出x和y，再求出边长即可．【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，∵AB＝7，BC＝8，∴，解得，∴小正方形的边长为＝．故选A．【点评】本题考查了勾股定理与二元一次方程组的应用，根据题意运用好赵爽弦图是解题关键．7．（2022秋•鄄城县校级月考）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（）A．16cm2B．25cm2C．30cm2D．169cm2【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，∴直角三角形①的面积＝（cm2），故选：C．【点评】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点．8．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边在△ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＝4，则S3为（）A．8B．16C．4D．4+4【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【解答】解：∵S1＝AC2＝4，∴AC＝2，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴S3＝AB2＝16，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．9．（2022秋•温州期末）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG＝5，则小正方形的面积为（）A．15B．16C．20D．25【分析】由等腰三角形性质可得出BF＝CF，利用HL可证得Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），得出AB＝AD＝2AF，根据余角的性质得出∠BAG＝∠ABF，进而推出CF＝BF＝2AG＝10，利用面积法求得BN＝8，再运用勾股定理求得CN＝4，即可求得答案．【解答】解：设小正方形为EHMN，如图，∵四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°，CF∥AG，∵△BCF为等腰三角形，且BF＞AB＝BC，CF＞CD＝BC，∴BF＝CF，在Rt△ABF和Rt△DCF中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），∴∠AFB＝∠CFD，AF＝DF，∴AB＝AD＝2AF，∵CF∥AG，∴∠CFD＝∠DAG，∴∠AFB＝∠DAG，∴AG＝FG，∵∠AFB+∠ABF＝90°，∠DAG+∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠ABF，∴AG＝BG，∴CF＝BF＝2AG＝10，在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，∴（2AF）2+AF2＝102，∴AF＝2，∴AB＝BC＝4，∵S△BCF＝BC•AB＝CF•BN，∴BN＝＝＝8，∴CN＝＝＝4，∵△ABM≌△BCN，∴BM＝CN＝4，∴MN＝BN﹣BM＝8﹣4＝4，∴S正方形EHMN＝（MN）2＝42＝16，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键．10．（2022春•南浔区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接DG，先由已知条件分别求得S2＝CD2＝32＝9，S1＝，小正方形边长为，再由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，进而得AE＝BF＝CG＝DH＝x＝＝EH，再得CH垂直平分ED，再由三角形的“三线合一”得∠DGH＝∠HGE＝45°进而得∠DGI＝90°最后由勾股定理得：GI＝＝＝，即得选项A．【解答】解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故选：A．【点评】本题是一道勾股定理的综合题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，线段的中垂线判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，二次根式计算与化简，关键是巧添辅助线构等腰直角三角形，顺利实现求得答案．二．填空题（共7小题）11．（2022秋•锡山区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为．【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，由勾股定理知，AB＝＝13．故S阴影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝132﹣×5×12＝169﹣30＝139．故答案为：139．【点评】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．12．（2022秋•德惠市期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49．故答案为：49．【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．（2022秋•建邺区校级期中）将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝．【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），然后根据图1、2列出关于a、b 的方程组即可求解．【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），根据图1得：a+b＝6，根据图2得：a﹣b＝2，联立解得：，∴S1＝16，S2＝4，则S1﹣S2＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理证明的应用，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系．14．（2021秋•龙泉驿区校级月考）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是．【分析】先由拼图列出关于面积的方程，再由勾股定理列一个直角三角形三边的方程并整理，最后把值整体代入和平方的展开式（a+b）2＝a2+b2+2ab即可得出答案．【解答】解：∵由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，∴，即，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+16＝33．故答案为：33．【点评】这是一道勾股定理综合题，主要考查了拼图列方程，发现各个图形的面积和a，b的关系是解题关键．15．（2022秋•金台区校级月考）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝6×2＝12，BC＝5．∵∠BCD＝90°∴BC2+CD2＝BD2，即52+122＝BD2∴BD＝13∴AD+BD＝6+13＝19∴这个风车的外围周长是19×4＝76．故答案为：76．【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．16．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为．【分析】由题意可得AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，即可证明△AFG≌△CIJ，FG＝IJ，再根据四边形EFHI为正方形，得到△GHK≌△JEK，从而得到点K为正方形EFHI的中心，过点K作KM⊥FH于点M，由勾股定理得DE＝4，FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，最后用a，b表示出S1+S2＝2（a+b），将a+b的值代入即可求解．【解答】解：由题意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四边形EFHI为正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心，如图，过点K作KM⊥FH于点M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，则FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，∴＝，＝＝2b，∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．故答案为：16．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，解题的关键是寻找全等三角形的条件解决问题．17．（2022秋•宁德期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上说法正确的是.（填写序号）【分析】由全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式，结合“赵爽弦图”的特点，可以解决问题．【解答】解：∵Rt△BCG≌Rt△∴CG＝AE，∠CGP＝∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP＝∠MAE，∴△CGP≌△AEM（ASA），∴S△CGP＝S△AEM，CP＝ME，∴S△AFP﹣S△CGP＝S四边形MEFP∵HE＝GF，∴HM＝PF，∴S四边形MEFP＝S四边形MHGP＝S正方形EFGH＝1，∴S△AFP﹣S△CGP＝1，∵DH2+CH2＝DC2＝9，∴（DH+CH）2＝DH2+CH2+2DH•CH＝9+2DH•CH，∵CH﹣DH＝HG，∴（CH﹣DH）2＝HG2＝2，∴CH2+DH2﹣2DH•CH＝2，∴2DH•CH＝7，∴（DH+CH）2＝9+7＝16，∴DH+CH＝4，∵CH﹣DH＝，∴HC＝＝2+，故答案为：①③④．【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式，关键是读懂“赵爽弦图”并灵活应用以上定理和公式．三．解答题（共2小题）18．（2021秋•凤翔县期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．【分析】（1）先根据勾股定理先求出AB，再根据“双求法”求出CD的长度；（2）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD，德关于x的方程求解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由面积的两种算法可得：，解得：CD＝．（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得＝．【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解．19．（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．【分析】由题意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，再根据S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．【点评】本题是勾股定理证明题，考查了直角三角形面积，正方形面积，利用图形面积得出结论是解题关键．。

初中数学重点梳理：关于直角三角形及矩形和正方形问题的解题方法

求：AD 的长.
【答案】2 19 .
【解析】解：作 AE∥BC 交 CD 于 E， BF⊥AE 于 F， CG⊥AE 于 G.. 在 Rt△ABF 中，
BF＝ 6 Sin45 = 3 , AF＝BF＝ 3 .
在 Rt△CGE 中，
GE＝CGtan30 = 3 × 3 ＝1, 3
∴CE＝2， ED＝4.
即 CD CD = m 1 . （3） AC BC 4m
(1)2－2(2)得： (sinA)2+(sinB)2=( m 2 )2－ m 1 .
m
2m
∵sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1，
∴( m 2 )2－ m 1 =1，
m
2m
m2+7m－8=0,
∴m=1， m=－8.
2、解直角三角形所根据的定理
① 边与边的关系：勾股定理－－－－――c2=a2+b2.
② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=90
③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）
SinA= a ， CosA= b ,
c
c
tanA= a , b
CotA= b . a
A
④ 互余的两个角的三角函数的关系：
两个锐角的正弦值. 求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比
C
A
D
B
【答案】32∶9
【解析】解：作 Rt△ABC 斜边上的高 CD.
则 sinA= CD ,
CD
sinB= .
AC
BC
∵sinA 和 sinB 是方程的两根，
根据韦达定理，得
sinA+ sinB= m 2 ； (1) m

自学初中数学资料直角三角形(资料附答案)

自学资料一、直角三角形【知识探索】1．如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．（简记为：H.L）．【错题精练】例1．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=______．【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S3+S4=2.44．第1页共41页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训故填：2.44．【答案】2.44例2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于点E，F，则线段C′F的长为（）A. 85B. √32C. 35D. 45【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC=10，∵将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，∴∠AEC=∠AEB，∠BAE=∠DAE，∵∠BED=180°，∴∠CEA=90°，即CE⊥AE，∵S△ABC=12AB×AC=12AE×BC，∴AE=4.8，在Rt△ACE中，CE=√AC2−AE2=6.4，∵将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，∴CF=C'F，∠CAF=∠C'AF，∵∠BAE+∠DAE+∠CAF+∠C'AF=∠BAC=90°，∴∠EAF=45°，且CE⊥AE，∴∠EAF=∠EFA=45°，∴AE=EF=4.8，∵CF=CE-EF=6.4-4.8=1.6，∴C'F=1.6=85，故选：A．【答案】A第2页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例3．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【答案】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=22，AE=AC-EC=2-BD=2-（22-2）=4-22，③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．第3页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=12AC=1．例4．△ABC是⊙O的内接三角形；（1）如图1，若BC=4√2，AC=7，∠ACB=45°，求⊙O的半径．（2）如图2，若AB=7，BC=5，AC=8，求∠C的度数及⊙O的半径．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，BE是AC边上的高，连结BO．①请证明：∠CBE=∠ABO；②若AB=7，BC=6，AC=8，请求出⊙O的半径．【答案】解：（1）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图1，在Rt△BCH中，CH=BH=√22BC=√22•4√2=4，∴AH=AC-CH=7-4=3，在Rt△ABH中，AB=√AH2+BH2=5，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，第4页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵∠D=∠ACB=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=√2AB=5√2，∴⊙O的半径为5√22；（2）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图2，设CH=a，BH=b，则AH=AC-CH=8-a，在Rt△BCH中，a2+b2=52①，在Rt△BAH中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-24，解得a=52，在Rt△BCH中，∵BC=5，CH=52，∴∠CBH=30°，∴∠C=60°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∵∠D=∠ACB=60°，∴AD=√33AB=7√33，∴BD=2AD=14√33∴⊙O的半径为7√33；（3）①证明：作直径BD，连结AD，如图3，∵BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=90°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∴∠D+∠ABD=90°，∵∠D=∠ACB，∴∠CBE=∠ABO；②设CE=a，BE=b，则AE=AC-CE=8-a，在Rt△BCE中，a2+b2=62①，第5页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训在Rt△BAE中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-13，解得a=5116，在Rt△BCE中，∵BC=6，CE=5116，∴BE=√BC2−CE2=21√1516，∵∠CBE=∠ABD，∴Rt△ABD∽Rt△EBC，∴BDBC =AB BE，∴BD=6×721√1516=32√1515，∴⊙O的半径为16√1515．例5．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；（2）若CD=4√2，AE=2，求圆O的半径．【答案】解：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°．∴∠AOC=2∠ADE=84°，∴∠OCE=90°-84°=6°；（2）解：因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=12CE=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，所以r2=（2√2）2+（r-2）2，解得：r=3．所以圆O的半径为3．第6页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例6．如图，点D在半圆O上，半径OB=√61，AD=10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=√（2√61）2−102=12，BM=√BD2+DM2=√122+52=13，∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8．故选：D．【答案】D例7．如图所示，P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：（1）△MPD∽△MQE；（2）AD•PD=AE•EQ：（3）PB2+QC2=PM2+QM2．【答案】证明：（1）∵MD⊥AB于点D，ME⊥AC，∠A=90°，∴∠MDP=∠MEA=∠A=90°，∴四边形ADME是矩形，∴AD=EM，AE=DM，∠DME=90°，∵PM⊥QM，第7页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴∠PMQ=90°，∴∠DMP=∠EMQ，∴△MPD∽△MQE；（2）∵△MPD∽△MQE，∴PDEQ =DMEM，∵AD=EM，AE=DM，∴PDEQ =AEAD，∴AD•PD=AE•EQ；（3）如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，∴△MCQ≌△MBN，∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，连接PN，PQ，∵PM⊥QM，∴PM垂直平分NQ，∴PN=PQ，∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠MBN=90°，即△PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，∴PQ2=PB2+QC2，∵PQ2=PM2+QM2，∴PB2+QC2=PM2+QM2．例8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（）cm2．A. 3cm2B. 4cm2C. 7cm2D. 49cm2第8页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49cm2．故选：D．【答案】D例9．如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC=BC，∠DBA=20°，那么∠DCE的度数是______．【解答】解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，AB，∴ED=EB=12∴∠EDB=∠DBA=20°，∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=40°，∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点，AC=BC，AB，CE⊥AB，∴EC=12∴∠DEC=130°，ED=EC，∴∠DCE=25°，故答案为：25°．【答案】25°例10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．第9页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12EF=12AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高125，∴AM的最小值是65．例11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为______．【解答】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，第10页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴∠B=60°，BC=12AB=2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD=BC=2，故答案为：2．【答案】2例12．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【答案】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=√3r，BC=2√3r则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：πr2ℎ′√34（2√3r）2ℎ′=√39π（若设△ABC的边长为a,则圆柱型唇膏和纸盒的体积比为112πa2ℎ′√34a2ℎ′=√39π）（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：l2r•b2r•πr2ℎlbℎ=π4；（3）∵√39ππ4=4√39=√4881＜1∴第二种包装的空间利用率大．例13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=12AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=12AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=12AC=1，∴BN=√2例14．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；【答案】解：（1）∵△ABC 和△BDE 等腰直角三角形，AB=6，BD=2．∴BC=√22AB=3√2，BE=√22BD=√2，∠ABC=∠EBD=45°，∴∠CBE=90°，∴CE=√CB 2+BE 2=2√5；（2）证明：连接AM ，则∠AMC=∠ABC=∠CAF=45°，∵∠ACM=∠FCA∴△ACM ∽△FCA ，∴AC CF =CM AC ，∴AC 2=CM•CF ；（3）∵∠ABC=∠BDE ，∴DE ∥BC ，∴△EDF ∽△CBF ，∴DF BF =DE BC =EF CF ，∴EF EF+CE =DF BD+DF =√23√2=13，∴BF=3，CF=3√5，∵BF•AF=FM•CF ，∴FM=9√55， ∴CM=3√5-9√55=6√55．例15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点B ，C 的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ，直线AB 交x 轴于点P ．若△ABC 与△A'B'C'关于点P 成中心对称，则点A'的坐标为______．【解答】解：如图：点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得BC=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=2√2，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得{2k+b=14k+b=3，解得{k=1b=−1，AB的解析式为y=x-1，当y=0时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P-x A=2-4=-2，y A′=2y A′-y A=0-3=-3，A′（-2，-3）．故答案为：（-2，-3）．【答案】（-2，-3）例16．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为______．【解答】解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2×√2=√2，2在Rt△BAC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BE2+DE2=√（2√2+√2）2+（√2）2=2√5；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=ACsin45°=2×√2=√2，2又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BC2+CD2=√（2√2）2+（√2）2=√10．故BD的长等于4或2√5或√10．【答案】4或2√5或√10【举一反三】1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，BC=4√3，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠AFB′=90°时．在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=4，∴AB=2AC=8，∵BD=CD，∴BD=CD=12BC=2√3，由折叠的性质得：∠BFD=90°，B'E=BE，∴∠BDF=60°，∴∠EDB=∠EDF=30°，∴∠B=∠EDB=30°，∴BE=DE=B'E，∵∠C=∠BFD=90°，∠DBF=∠ABC=90°，∴△BDF∽△BAC，∴BFBC =BDAB，即BF4√3=2√38，解得：BF=3，设BE=DE=x，在Rt△EDF中，DE=2EF，∴x=2（3-x），②如图2中，当∠AB′F=90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE=x．∵AD=AD，CD=DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC=AB′=4，∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，∴∠EB′H=60°，在Rt△EHB′中，B′H=12B′E=12（8-x），EH=√3B′H=√32（8-x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，∴[√32（8-x）]2+[4+12（8-x）]2=x2，解得：x=285，综上所述，满足条件的AE的值为6或285．故答案为：6或285．【答案】6或2852．如图，已知∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连接EF，GM，设△AEF，△CGM的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的是（）A. S1=S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. S1≤S2【解答】解：过E作ER⊥AF，交FA的延长线于R，设△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE=AB，∠ARE=∠ACB=90°，∠EAR=∠CAB，∴△AER≌△ABC，∴ER=BC=a，而FA=b，1∵CG=b ，CM=a ，∴S 2=12ab ，∴S 1=S 2，故选：A ．【答案】A3．如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4．将△AOB 绕顶点O 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与边AB 的交点为点D ，则在旋转过程中，线段B 1D 长的最大值为（）A. 4.5B. 5C. 125D. 85【解答】解：因为OB 1的长度是定值，所以当OD 最短即可OD ⊥AB 时，B 1D 长的取最大值．∵如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4，∴AB=√OA 2+OB 2=√32+42=5，则12OA•OB=12AB•OD ，OD=OA•OB AB =3×45=125．由旋转的性质知：OB 1=OB=4，∴B 1D=OB 1-OD=4-125=85．即线段B 1D 长的最大值为85．【答案】D4．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：PD=PF；（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．【答案】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，又∵∠ADE=∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF；（3）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∵CD=3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1BC．2（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．【答案】（1）解：连接OB和OC；∵OE⊥BC，∴BE=CE；BC，∵OE=12∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；∴四边形AFHG是正方形；（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴（x-6）2+（x-4）2=102；解得，x1=12，x2=-2（不合题意，舍去）；∴AD=12．6．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为______cm2．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3=S正方形1，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形3，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形1=122=144．故答案是144．【答案】1447．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，点D位于边BC的中点上，点E在AB上，点F 在AC上，∠EDF=45°．（1）求证：∠DFC=∠EDB；（2）求证：CF•BE=1；（3）当BE=1时，求△FCD的面积．【答案】（1）证明：∵∠EDF=45°，∴∠EDB+∠FDC=135°，∵∠B=∠C=45°，∴∠DFC+∠FDC=135°，∴∠BDE=∠DFC；（2）证明：∵∠B=∠C，∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴BDFC =BECD，∴CF•BE=BD•CD=1，（3）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，∴BC=2，∵点D位于边BC的中点上，∴BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45°，∴∠BDE=67.5°，∠EDF=45°，∴∠FDC=∠DFC=67.5°，CF=CD=1，∴DC边上的高是√22，∴S△CDF=12×1×√22=√24．8．如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（）A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√3【解答】解：在Rt△BCD中，利用勾股定理得BD=10，设AE=x，则EF=x，DE=8-x，在Rt△DEF中，∵BF=AB=6，∴DF=10-6=4．则（8-x）2=x2+42，解得x=3，在Rt△ABE中，BE=√AB2+AE2=√32+62=3√5．故选：C．【答案】C9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若CF=6，AC=AF+2，则四边形BDFG的周长为（）A. 9.5B. 10C. 12.5D. 20【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，AC，∴BD=DF=12∴四边形BGFD是菱形，设AF=x，则AC=x+2，FC=6，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即x2+62=（2+x）2，解得：x=8，故AC=10，故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20．故选：D．【答案】D10．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=√5，CD=2．（1）求直径BC的长；（2）求弦AB的长．【答案】解：（1）∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，由CE=√5，CD=2，得DE=1，∵△ADE∽△BCE，∴ADBC =DECE，∴BC=2√5．（2）∵△ABE∽△DCE，∴AEAB =DEDC=12，设AE=x，∵AB2+AC2=BC2，∴（x+√5）2+（2x）2=（2√5）2，解得：x=−2√5±8√510，∵x＞0，∴x=35√5，∴AB=2x=65√5．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB 于点D，则CD̂的长为（）A. 16π B. 13πC. 23π D. 2√33π【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴CD̂的长为60π×2180=2π3，故选：C ．【答案】C12．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点．求证：AE=√2MN ．【答案】证明：如图，取AB 的中点G ，连接MG 、NG ，∵M 、N 分别为AF 、BE 的中点，∴NG=12AE ，NG ∥AE ，MG=12BF ，MG ∥BF ，∵CE=CF ，∠C=90°，∴AE=BF ，∠MGN=∠C=90°，∴MG=NG ，∴△MNG 是等腰直角三角形，∴NG=√22MN ，∴AE=2NG=NG=√22×2MN=√2MN ，即AE=√2MN ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6，∵BC=√AB2−AC2=8，∴BD=BC-CD=8-6=2，∵tan∠ABC=DFBD =AC BC，∴DF2=6 8，∴DF=32．②如图2中，当∠DEB=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，在Rt△BDE中，（8-x）2=x2+42，∴x=3，综上所述，满足条件的DF的值为3或32．故答案为3或32．【答案】3或3214．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则斜边中线长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，①AB为斜边时，斜边中线长为12AB=2.5；②AB和BC为直角边长时，由勾股定理得：斜边长=√52+32=√34，则斜边中线长为12AC=√342；故答案为：2.5或√342．【答案】2.5或√34215．已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，D是线段AC延长线上的一点，连结DB、DE，DE与BC交于点G．给出下列结论：①若AD=BD，则AC•AD=AE•AB；②若AB=BD，则DG=2GE；③若CD=BE，则∠A=2∠ADE．其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵AD=BD，E是斜边AB的中点，∴DE⊥AB，又∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴ACAE =ABAD，即AC•AD=AE•AB，①正确；②∵AB=BD，∠ACB=90°，∴BC是△ABD的中线，又DE是△ABD的中线，∴点G是△ABD的重心，∴DG=2GE，②正确；③连接CE，∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，∴EC=EA=EB，∴∠A=∠ECA，CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∵∠ECA=∠CDE+∠CED=2∠ADE，∴∠A=2∠ADE，③正确；故选：D．【答案】D16．已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=√32+42=5，设AN=PN=x，则CN=5=x①当∠NPC=90°时，如图1，∵∠NPC=∠B=90°，∠C=∠C，∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =CNAC ，∴x 4=5−x 5， x=209，即PN=209；②当∠PNC=90°时，如图2，∵∠PNC=∠ABC=90°，∠C=∠C∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =NC AC ，∴x 4=5−x 3， x=207，即PN=207；综上，PN 的长为209或207．故答案为：209或207．【答案】209或207．1．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB=90°，求证：a 2+b 2=c 2证明：连接DB ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，则DF=b-aS四边形ADCB=S△ADC+S△ABC=-12b2+12abS四边形ADCB=S△ADB+S△BCD=12c2+12a（b-a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b-a）化简得：a2+b2=c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2【答案】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b-a），∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b-a），∴a2+b2=c2．2．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A. S1+S3=2S2B. S1+S3=4S2C. S1=S3=S2D. S2=13（S1+S3）【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2=AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3=4S2．故选：B．【答案】B3．如图，沿折痕AE叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，且△ABF的面积为24，求EC的长．【答案】解：∵S△ABF=24，AB=8，∴BF=6．∴AF=10=AD．∴FC=4．设EC=x，则EF=DE=8-x．根据勾股定理，得CF2+CE2=EF2即16+x2=（8-x）2，∴x=3．即EC=3．4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD=8，则弦AB的长为（）A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3【解答】解：解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−82=6，故选：A．【答案】A5．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A. 95B. 125C. 185D. 365【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=125，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（125）2，解得：AM=95，∴AE=2AM=185．故选：C．【答案】C6．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G，下面结论正确的是（）①DB=√2BE；②∠A=∠BHE；③连CG，则四边形BCGD为平行四边形；④AD2+DH2=2DC2．A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC，∴DB=√2BE，BE=DE．∵DE⊥BC，BF⊥CD，∴∠BEH=∠DEC=90°．∵∠BHE=∠DHF，∴∠EBH=∠CDE，∴△BEH≌△DEC，∴∠BHE=∠C，BH=CD，EH=EC，∵▱ABCD中，∴AD=BC，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，∴AD2+DH2=BC2+DH2=（BE+EC）2+（DE-HE）2=（BE+HE）2+（BE-HE）2=2BE2+2HE2=2（BE2+HE2）=2BH2=2DC2，∴正确的有①②④．故选：C．【答案】C7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为______．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，AC，∴BD=DF=12∴四边形BDFG是菱形，过点B作BH⊥AG于点H，∵四边形BDFG是菱形，∴GF=DF=5，∵∠BEF=∠EFH=∠BHF=90°，∴四边形BHFE是矩形，∴BH=EF=1CF=3，2∴S菱形BDFG=GF•BH=15．故答案为：15．【答案】158．已知△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．（1）如图1，若AD=4，求EF的长；（2）如图2，若∠ABC=45°，AB=2√2，求EF的最小值．【答案】解：（1）作直径EP，连结PF，如图1，∵EP为⊙O的直径，∴∠EFP=90°，∵∠P=∠EAF=60°，∴∠PEF=30°，∴PF=12PE，EF=√3PF=√32EP，∵EP=AD=4，∴EF=√32×4=2√3；（2）∵EF=√32EP=√32AD，∴当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，如图2，∵∠ABC=45°，AB=2√2，∴AD=√2AB=2，2∴EF=√3×2=√3，2即EF的最小值为√3．9．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，求BD的长．【答案】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=10．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102．解得：x1=2，x2=0（舍去）．∴BD=2．如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=10，AC=6，∴B′E=4．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42．解得：x=5．∴BD=5．综上所述，BD的长为2或5．10．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB 上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A. 一直减小B. 一直不变C. 先变大后变小D. 先变小后变大【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．延长CP 与圆交于点F，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°，∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴∠FOD=90°，∴∠PCE=45°，∴OP=DQ=y，∴△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=OD2÷2=12.5．故选：B．【答案】B11．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B，∵AĈ=AĈ，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN=AD，CD⊥AB∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=53或x=-3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×53+1=133，即⊙O的半径为133．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28∘，求∠ACD的度数．（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求ab的值．【解答】（1）解：∵∠ACB=90∘，∠A=28∘，∴∠B=62∘，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90∘−∠BCD=31∘；（2）解：①由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√a2+b2，∴AD=√a2+b2−a，解方程x2+2ax−b2=0得，x=−2a±√4a2+4b22=±√a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=（12b+a)2，整理得，ab =34．【答案】（1）∠ACD=31∘；（2）①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②ab =34．13．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”条件删去，其余条件不变，那么∠DAE的度数改变吗？试证明；（3）如果把（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，试探究∠DAE与∠BAC非学科培训∠BAC．理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，∴∠DAE=12∠BAC．第41页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训。

部编数学八年级下册专题18构造三角形中位线的常用技巧(解析版)含答案

专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。

解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(学生版)

解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.322(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.53(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，若a+b=10cm,c=8cm，则Rt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2【变式训练】1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5，则△ABC的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或302直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c=66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD= 12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是()A.54B.74C.154D.254【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC= 3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.34B.1.5 C.53D.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A DE的位置，A D交AB于点F．若△BA F为直角三角形，则AE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DE折叠，点A落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①A 与点E在直线AC的异侧时．如图②，直接写出∠A EB-∠A DC的大小；②A 与点E在直线AC的同侧时，且△A DE的一边与BC平行，直接写出∠ADE的度数．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC∥DM，AB=12，BM=18，求BC的长．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长尺．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为　cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．。

2022八年级数学上册第一章勾股定理测试卷3新版北师大版

第一章勾股定理一、选择题（每题4分，共28分）1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．82．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，83．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．a:b:c=3:4:5 B．∠A:∠B:∠C=1:2:3C．a2:b2:c2=1:2:3 D．a2:b2:c2=3:4:56．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对二、填空:（每空4分，共计28分）8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为．9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度:b= ，c= ．10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答: （填“能”、或“不能”）12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝．14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．三、解答题:（每题11分，共计44分）15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°; （1）求BD的长;（2）求四边形ABCD的面积．18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？四、附加题19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2;（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．参考答案一、选择题（每题4分，共28分）1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解:∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为＝5．故选:A．【点评】本题考查了勾股定理:在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（）A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8【考点】KS:勾股定理的逆定理．【专题】55:几何图形．【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．【解答】解:A、∵6+8＝14，∴不能组成三角形;B、＝10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形;C、∵＝10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形;D、∵＝10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形．故选:D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】算术平方根．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．【解答】解:由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故选:A．【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解:如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．故选A．【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．a:b:c=3:4:5 B．∠A:∠B:∠C=1:2:3C．a2:b2:c2=1:2:3 D．a2:b2:c2=3:4:5【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理．【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形;由三角形内角和定理得出B是直角三角形;即可得出结果．【解答】解:∵a:b:c=3:4:5，32+42=52，∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形;∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠C=90°，B是直角三角形;∵a2:b2:c2=1:2:3，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形，C是直角三角形;∵a2:b2:c2=3:4:5，∴a2+b2≠c2，∴三角形不是直角三角形;故选:D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理;熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm【考点】勾股定理;等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．【解答】解:如图:由题意得:AB=AC=10cm，BC=16cm，作AD⊥BC于点D，则有DB=BC=8cm，在Rt△ABD中，AD==6cm．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理．【专题】网格型．【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【解答】解:∵正方形小方格边长为1，∴BC==2，AC==，AB==，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．故选:A．【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理:已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．二、填空:（每空4分，共计28分）8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为7或25 ．【考点】勾股定理．【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【解答】解:分两种情况:当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25;当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．故答案为:7或25．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度:b= 12 ，c= 10 ．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理进行计算即可．【解答】解:b==12;c==10，故答案为:12;10．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49 cm2．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现:四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解:由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为:49cm2．【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答: 能（填“能”、或“不能”）【考点】勾股定理的应用．【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．【解答】解:能，理由如下:可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．故答案为能．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为2或2．【考点】KQ:勾股定理．【专题】552:三角形．【分析】分两种情况:①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解:分两种情况:①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2，∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3，∴BC＝＝＝2;②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得:AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2;综上所述，BC的长为2或2．故答案为:2或2．【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝﹣1 ．【考点】勾股定理．【专题】11:计算题．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解:如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，故答案为:﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm（杯壁厚度不计）．【考点】KV:平面展开﹣最短路径问题．【专题】27:图表型．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解:如图:将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．三、解答题:（每题11分，共计44分）15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）【考点】勾股定理的应用．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解答】解:如图所示:因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC==15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．【解答】解:由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，∠ACB=90°，则AB==5km．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°; （1）求BD的长;（2）求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理．【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度;（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．【解答】解:（1）∵∠A=90°，∴△ABD为直角三角形，则BD2=AB2+AD2=25，解得:BD=5．（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】应用题;操作型．【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．【解答】解:由折叠可得:△BDC≌△BDE，∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴FD=FB，设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理得:x2=（8﹣x）2+62，解得:x=，即FD=cm，则S△BDF=FD•AB=cm2．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有:折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．四、附加题19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．【考点】勾股定理的应用;三角形的面积;勾股定理的逆定理．【专题】应用题．【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．【解答】解:连接AC，则在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．答:这块地的面积是216平方米．【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2;（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形．【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题;（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S △ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．【解答】（1）证明:延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，∵DE=DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF=FG，∵D是BC中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，∵∠ACB+∠DBE=90°，∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，∵CG2+CF2=FG2，∴BE2+CF2=EF2;（2）解:连接AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，∴S四边形AEDF=S△ABC，∴S△AEF=×5×12=30，∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．。

2019年秋江苏省八年级上册数学期中考试《勾股定理》试题分类——填空题

2019年秋江苏省八年级上册数学期中考试《勾股定理》试题分类——填空题 1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．若32A ∠=︒，则BCD ∠= ︒．2．如图，四边形ABCD 内，90A C ∠=∠=︒，45D ∠=︒，4AB =，42BC =，则BD = ．3．一副直角三角板叠放如图所示，现将含45︒角的三角板固定不动，把含30︒角的三角板绕直角顶点按每秒15︒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为．4．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，若42AC =+，42BC =-，则CD 的长．5．在ABC ∆中，90C ∠=︒，12BC =，13AB =，AC = ．6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以AC 、AB 为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt ABC ∆的面积为．7．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AC =，20BC =，AD BC ⊥，垂足为D ，则AD 的长为．8．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A 的边长为37，另外四个正方形中的数字8，x ，10，y 分别表示该正方形面积，则x 与y 的数量关系是．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是28cm ，210cm ，214cm ，则正方形D 的面积是 2cm ．10．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则此直角三角形斜边上的中线的长为 cm ．11．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30︒角，那么这棵树折断之前的高度是米．12．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，分别以Rt ABC ∆三边为直径作半圆，则阴影部分面积为．13．如图，已知四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，13CD =，12DA =，则四边形ABCD 的面积等于．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，7.5AB cm =， 4.5AC cm =，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s的速度移动，设运动的时间为t 秒，当ABP ∆为等腰三角形时，t 的取值为．15．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，BC = ．16．如图，以Rt ABC ∆的两条直角边为边长向外作正方形1S ，2S ，若2AB =，则正方形1S ，2S 的面积和为．17．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，48A ∠=︒，将其折叠，E 是点A 落在边BC 上的点，折痕为CD ，则EDB ∠的度数为．18．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 为AC 上一点，245ABD BAC ∠=∠=︒，若12AD =，则ABD ∆的面积为．19．在ABC ∆中，90C ∠=︒，2c =，则222a b c ++= ．20．如图，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则12∠+∠= ．21．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，若8ab =，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．22．ABC ∆中，10AB AC ==，16BC =，则BC 边上的高长为．23．ABC ∆中，三边之比为3:4:5，且最长边为10m ，则ABC ∆周长为 cm ．24．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知35C ∠=︒，则BAE ∠的度数为 ︒．25．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 为线段AB 的垂直平分线，25B ∠=︒，则CAE ∠的度数为．26．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 长度为．27．如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤⋯，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2020个等腰直角三角形的面积为．28．斜边上的中线长为5的等腰直角三角形的面积为．29．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果61AB =，11BC =，那么AC = ．30．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m 处，此时绳子末端距离地面2m ，则绳子的总长度为 m ．31．如图，在ABC ∆中，41AB =8BC =，5AC =，则ABC ∆的面积为．32．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以ABC ∆的边AB 、BC 、AC 向外作等腰Rt ABF ∆，等腰Rt BEC∆和等腰Rt ADC ∆，记ABF ∆、BEC ∆，ADC ∆的面积分别是1S ，2S ，3S ，则1S 、2S 、3S 之间的数量关系是33．已知直角三角形的两边长为2和3，则第三边长度为．34．如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，E 在边BC 上且3AE =，90BAE ∠=︒，则CE 的长为．35．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是AC 的中点，作ADB ∠的角平分线DE 交AB 于点E ，6AE =，10DE =，点P 在边BC 上，且DEP ∆为等腰三角形，则BP 的长为．36．已知等腰ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，则ABC ∆的面积为．37．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm ，高为16cm ，现有一根长为25cm 的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是．38．如图，台风过后某中学的旗杆在B 处断裂，旗杆顶部A 落在离旗杆底部C 点6米处，已知旗杆总长15米，则旗杆是在距底部米处断裂．39．如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E的面积是．40．已知等腰直角ABC∆，90==，平面内有一点D，连接CD、AD，若2AD=，CD=，6AB BCABC∠=︒，4则BCD∠=．41．已知小明和小王从同一地点出发，小明向正东方向走了2km，小王向正南方向走了3km，此时两人之间相距km．42．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，两格点A，B之间的距离5（填“>”，“<”或“=”)．43．如图，在33x的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为．44．如图，ABC∆中，5AB ACBC=，点D在BC上，且AD平分BAC∠，则AD的长为．==，645．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积ABCD分别为10和24，则正方形A的面积是．46．如图，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S ，2S ，3S 表示，若15S =，23S =，则3S = ．47．直角三角形的两条直角边长分别是3cm 、4cm ，则斜边长是 cm ．48．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面半径为3厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．49．如图，ABC ∆为等边三角形，BD AB ⊥，BD AB =，则DCB ∠= ︒．50．若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为．2019年秋江苏省八年级上册数学期中考试《勾股定理》试题分类——填空题1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．若32A ∠=︒，则BCD ∠= 32 ︒．【解答】解：90C ∠=︒，90BCD ACD ∴∠+∠=︒，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，90A ACD ∴∠+∠=︒，32BCD A ∴∠=∠=︒，故答案为：32． 2．如图，四边形ABCD 内，90A C ∠=∠=︒，45D ∠=︒，4AB =，42BC =，则BD = 410 ．【解答】解：延长AB ，DC 交于E ，则ADE ∆，BCE ∆都是等腰直角三角形，在Rt BCE ∆中，42BC =则22(42)(42)8BE =+，则4812AE AB BE =+=+=，则12AD AE ==，连结BD ，在Rt ABD ∆中，22412410BD +=．故答案为：4103．一副直角三角板叠放如图所示，现将含45︒角的三角板固定不动，把含30︒角的三角板绕直角顶点按每秒15︒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为 7秒或19秒．【解答】解：如图，当斜边//AB DC 时，60CFE B ∠=∠=︒，604515BED ∴∠=︒-︒=︒，∴旋转角为9015105︒+︒=︒，105157︒÷︒=；如图，将ABE ∆继续逆时针旋转180︒，可得斜边//A B DC ''，此时，旋转角为105180285︒+︒=︒，2851519︒÷︒=；综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为7秒或19秒，故答案为：7秒或19秒．4．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，若42AC =，42BC =CD 的长 73．【解答】解：如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，42AC =+，42BC =-，则由勾股定理知2222(42)(42)6AB AC BC =+=++-=． CD AB ⊥，∴1122AC BC AB CD =． (42)(42)763AC BC CD AB +-∴===．故答案是：73． 5．在ABC ∆中，90C ∠=︒，12BC =，13AB =，AC = 5 ．【解答】解：在ABC ∆中，90C ∠=︒，12BC =，13AB =， 225AC AB BC ∴=-=．故答案为：5．6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以AC 、AB 为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt ABC ∆的面积为 6 ．【解答】解：90ACB ∠=︒，222AC BC AB ∴+=，2925BC ∴+=，225916BC ∴=-=，4BC ∴=，Rt ABC ∴∆的面积4926=⨯÷=．故答案为：6．7．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AC =，20BC =，AD BC ⊥，垂足为D ，则AD 的长为 485．【解答】解：90BAC ∠=︒，16AC =，20BC =，2212AB BC AC ∴=-=，1122ABC S AB AC BC AD ∆==，∴1112162022AD ⨯⨯=⨯， 485AD ∴=．故答案为：485．8．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A 的边长为37，另外四个正方形中的数字8，x ，10，y 分别表示该正方形面积，则x 与y 的数量关系是 19x y += ．【解答】解：正方形A 的边长为37， 37A S ∴=，根据勾股定理的几何意义，得10(8)37A x y S +++==， 371819x y ∴+=-=，即19x y +=．故答案为19x y +=．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是28cm ，210cm ，214cm ，则正方形D 的面积是 17 2cm ．【解答】解：根据勾股定理可知， 1249S S S +==正方形正方形大正方形，2C D S S S +=正方形正方形正方形， 1A B S S S +=正方形正方形正方形，49C D A B S S S S S ∴=+++=正方形正方形正方形正方形大正方形． ∴正方形D 的面积2498101417()cm =---=；故答案为：17．10．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则此直角三角形斜边上的中线的长为 6.5 cm ．【解答】解：直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm∴根据勾股定理斜边的长为：2251213cm +=∴三角形斜边上的中线的长为113 6.52cm ⨯=．11．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30︒角，那么这棵树折断之前的高度是 6 米．【解答】解：一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30︒角，如图，可知：90ACB ∠=︒，2AC =米，30ABC ∠=︒， 24AB AC ∴==米，∴折断前高度为246+=（米)．故答案为6．12．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，分别以Rt ABC ∆三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 6 ．【解答】解：设别BC ，AC ，AB 三边为直径的三个半圆面积分别表示为1S 、2S 、3S ，则有：2211()228BC BC S ππ==，同理，228AC S π=，238AB S π=，222BC AC AB +=， 123S S S ∴+=；123ABC ABC S S S S S S ∆∆∴=++-=阴影，在直角ABC ∆中，223BC AB AC =-=，则1143622ABC S S AC BC ∆==⋅=⨯⨯=阴影．故答案为6．13．如图，已知四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，13CD =，12DA =，则四边形ABCD 的面积等于 36 ．【解答】解：连接AC ，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，2222345AC AB BC ∴=+=+=，在ACD ∆中，22225144169AC CD AD +=+==， ACD ∴∆是直角三角形，111134512362222ABCD S AB BC AC CD ∴=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=四边形．故答案为：36．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，7.5AB cm =， 4.5AC cm =，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s的速度移动，设运动的时间为t 秒，当ABP ∆为等腰三角形时，t 的取值为 3.75或6或7532．【解答】解：在Rt ABC ∆中，222227.5 4.536BC AB AC =-=-=， 6()BC cm ∴=；①当7.5AB BP cm ==时，如图1，7.53.752t ==（秒)；②当7.5AB AP cm ==时，如图2，212BP BC cm ==，6t =（秒)；③当BP AP =时，如图3，2AP BP tcm ==，(62)CP t cm =-， 4.5AC cm =，在Rt ACP ∆中，222AP AC CP =+，所以2224 4.5(62)t t =+-，解得：7532t =，综上所述：当ABP ∆为等腰三角形时， 3.75t =或6t =或7532t =．故答案为：3.75或6或7532．15．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，BC = 8 ．【解答】解：由勾股定理得：22221068BC AB AC =-=-=，故答案为：8．16．如图，以Rt ABC ∆的两条直角边为边长向外作正方形1S ，2S ，若2AB =，则正方形1S ，2S 的面积和为 4 ．【解答】解：以Rt ABC ∆的两条直角边为边长向外作正方形1S ，2S ， ∴正方形1S 的面积是2AC ，正方形2S 的面积是2BC ，222AC BC AB +=， ∴正方形1S ，2S 的面积和为：222224AC BC AB +===．故答案是：4．17．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，48A ∠=︒，将其折叠，E 是点A 落在边BC 上的点，折痕为CD ，则EDB ∠的度数为 6︒ ．【解答】解：90ACB ∠=︒，48A ∠=︒， 90904842B A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， CDE ∆是CDA ∆翻折得到， 48CED A ∴∠=∠=︒，在BDE ∆中，CED B EDB ∠=∠+∠，即4842EDB ︒=︒+∠， 6EDB ∴∠=︒．故答案为：6︒．18．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 为AC 上一点，245ABD BAC ∠=∠=︒，若12AD =，则ABD ∆的面积为 36 ．【解答】解：作ABC ∆关于AC 的对称AEC ∆，延长BD 交AE 于点F ，如图所示：则EAC BAC ∠=∠，BC EC =， 245ABD BAC ∠=∠=︒， 45BAF ABD ∴∠=︒=∠， BF AF ∴=， 90AFD ∠=︒， 90BFE ∴=︒，90EBF E DAF E ∠+∠=∠+∠=︒， EBF DAF ∴∠=∠，在BFE∆和AFD∆中，90,BFE AFDEBF DAFBF AF∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFE AFD AAS∴∆≅∆，12BE AD∴==，6BC EC∴==，ABD∴∆的面积111263622AD BC=⨯=⨯⨯=；故答案为：36．19．在ABC∆中，90C∠=︒，2c=，则222a b c++=8．【解答】解：ABC∆中，90C∠=︒，2c=，2224a b c∴+==，222448a b c∴++=+=，故答案为：820．如图，AC CD=，90B E∠=∠=︒，AC CD⊥，则12∠+∠=90︒．【解答】解：AC CD⊥，90ACD B E∴∠=∠=∠=︒，290DCE DCE ACB∴∠+∠=∠+∠=︒，2ACB∴∠=∠，190ACB∠+∠=︒，1290∴∠+∠=︒，故答案为：90︒．21．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若8ab=，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为3．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a b-，每一个直角三角形的面积为：118422ab=⨯=，214()252ab a b∴⨯+-=，2()25169a b ∴-=-=， 3a b ∴-=，故答案是：322．ABC ∆中，10AB AC ==，16BC =，则BC 边上的高长为 6 ．【解答】解：过A 作AD BC ⊥于D ，则8BD =，在Rt ABD ∆中，10AB =，8BD =，则221086AD =-=．所以BC 边上高的长的高为6．故答案为：6．23．ABC ∆中，三边之比为3:4:5，且最长边为10m ，则ABC ∆周长为 2400 cm ．【解答】解：设ABC ∆三边分别是3xm 、4xm 、5xm ，最长边为10m ， 510x ∴=，解得：2x =，36x ∴=，48x =，681024()2400m cm ∴++==，故答案为：2400． 24．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知35C ∠=︒，则BAE ∠的度数为 20 ︒．【解答】解：ED 是AC 的垂直平分线， AE CE ∴=，35EAC C ∴∠=∠=︒，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒， 9055BAC C ∴∠=︒-∠=︒，20BAE BAC EAC ∴∠=∠-∠=︒．故答案为：20．25．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 为线段AB 的垂直平分线，25B ∠=︒，则CAE ∠的度数为 40︒ ．【解答】解：90C ∠=︒，25B ∠=︒， 902565CAB ∴∠=︒-︒=︒，DE 是线段AB 的垂直平分线，AE BE ∴=，25EAB B ∴∠=∠=︒，652540CAE CAB EAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒． 26．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 长度为5 ．【解答】解：如图所示：2222215AB AC BC =+=+=，故答案为：527．如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤⋯，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2020个等腰直角三角形的面积为 20182 ．【解答】解：第①个直角三角形的边长为01(2)=， 12(2)，第③个直角三角形的边长为22(2)=，第④个直角三角形的边长为32(2)=， ⋯第2020个直角三角形的边长为2019(2)，面积为：2019201920181(2)(2)22⨯⨯=．故答案为：2018228．斜边上的中线长为5的等腰直角三角形的面积为 25 ．【解答】解：根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边长为10，由等腰直角三角形的性质得：斜边上的中线=斜边上的高5=，则面积为1105252⨯⨯=．故答案为：25．29．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果61AB =，11BC =，那么AC = 60 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，61AB =，11BC =，2222611160AC AB BC ∴=-=-=．故答案为60．30．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m 处，此时绳子末端距离地面2m ，则绳子的总长度为 10 m ．【解答】解：过C 作CB AD ⊥于B ，设绳子的长度为xm ，则AC AD xm ==，(2)AB x m =-，6BC m =，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，即222(2)6x x -+=，解得：10x =，即绳子的长度为10m ．故答案为：10．31．如图，在ABC ∆中，41AB =，8BC =，5AC =，则ABC ∆的面积为 16 ．【解答】解：过A 作AD BC ⊥于D ，设BD x =，8DC x =-，由勾股定理可得：2222AB BD AC DC -=-，即224125(8)x x -=--，解得：5x =，2241254AD AB BD ∴--=，ABC ∴∆的面积11841622BC AD ==⨯⨯=，故答案为：16．32．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以ABC ∆的边AB 、BC 、AC 向外作等腰Rt ABF ∆，等腰Rt BEC ∆和等腰Rt ADC ∆，记ABF ∆、BEC ∆，ADC ∆的面积分别是1S ，2S ，3S ，则1S 、2S 、3S 之间的数量关系是12312S S S =+【解答】解：在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ABF ∆、BEC ∆、ADC ∆都是等腰直角三角形，2112S AB ∴=，2221124S EC BC ==，2231124S AD AC ==，22223111444S S BC AC AB +=+=，23112S S S ∴+=，故答案为：12312S S S =+．33．已知直角三角形的两边长为2和3，则第三边长度为 13或5 ．【解答】解：当3是直角边时，由勾股定理得，斜边长222313=+=，当3是斜边时，第三边22325=-=，则第三边长度为13或5，故答案为：13或5．34．如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，E 在边BC 上且3AE =，90BAE ∠=︒，则CE 的长为 1.4 ．【解答】解：过A 作AD BC ⊥，3AE =，90BAE ∠=︒，4AB AC ==，2222345BE AB AE ∴=+=+，125AB AE AD BE ∴==，90ADE ∠=︒，22221293()55DE AE AD ∴--=，222212164()55CD AC AD ∴=-=-=，1691.455CE ∴=-=，故答案为：1.4 35．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是AC 的中点，作ADB ∠的角平分线DE 交AB 于点E ，6AE =，10DE =，点P 在边BC 上，且DEP ∆为等腰三角形，则BP 的长为 2、5、8、18 ．【解答】解：如图：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是AC 的中点， DB AD DC ∴==，DE 是ADB ∠的角平分线， 6AE BE ∴==，10DE =，①DE 中点G 作GP BC ⊥于点P ，得矩形EGPB ，所以152PB DE ==；②作DP DE =，交BC 于两个点P '和P ，作EP ED =④交BC 于点P ④，作DF BC ⊥于点F ，得矩形EBFD ， 6DF BE ∴==，10BF DE ==， ∴根据勾股定理，得48P F BP '==， 1082P B ∴'=-=，或10818P B ''=+=．所以BP 有四个值，分别为2、5、8、18．故答案为2、5、8、18．36．已知等腰ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，则ABC ∆的面积为 12 ．【解答】解：如图，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ， 5AB AC ==，6BC =，116322BD CD BC ∴===⨯=，在ABD ∆中，222AD BD AB +=，2222534AD AB BD ∴=-=-=，11461222ABC S BC AD ∆∴==⨯⨯=，故答案为：12．37．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm ，高为16cm ，现有一根长为25cm 的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 5cm ．【解答】解：如图所示：ABC ∆是直角三角形，底面半径为半径为6cm ，高为16cm ，12AB cm ∴=，16BC cm =，由勾股定理得：2222121620()AC AB BC cm =+=+=，∴吸管露在杯口外的长度最少为：25205()cm -=．故答案为：5cm ．38．如图，台风过后某中学的旗杆在B 处断裂，旗杆顶部A 落在离旗杆底部C 点6米处，已知旗杆总长15米，则旗杆是在距底部 6.3 米处断裂．【解答】解：设旗杆是在距底部x 米处断裂，则折断部分的长为(15)x m -，由勾股定理得：2226(15)x x +=-，解得： 6.3x =，即旗杆是在距底部6.3米处断裂，故答案为：6.3．39．如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是5、8、3、5，则最大正方形E 的面积是 123 ．【解答】解：由勾股定理得，正方形F 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积225889=+=，同理，正方形G 的面积=正方形C 的面积+正方形D 的面积223534=+=，∴正方形E 的面积=正方形F 的面积+正方形G 的面积8934123=+=，故答案为：123．40．已知等腰直角ABC ∆，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，平面内有一点D ，连接CD 、AD ，若2CD =，6AD =，则BCD ∠= 135︒或45︒ ．【解答】解：90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2224432AC ∴=+=，而24CD =，22636AD ==，222AD AC CD ∴=+，ACD ∴∆为直角三角形，90ACD ∠=︒；ABC ∆为等腰直角三角形，45ACB ∴∠=︒，∴①9045135BCD ∠=︒+︒=︒；②904545BCD ∠=︒-︒=︒．故135BCD ∠=︒或45︒．故答案为：135︒或45︒．41．已知小明和小王从同一地点出发，小明向正东方向走了2km ，小王向正南方向走了3km ，此时两人之间相距 13 ．【解答】解：如图所示，90ACB ∠=︒，22222313()AB AC BC km ∴++=．1342．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，两格点A ，B 之间的距离 = 5（填“>”，“ <”或“=” )．【解答】解：如图所示：3AC =，4BC =，90ACB ∠=︒，22345AB ∴=+=，∴两格点A ，B 之间的距离5=，故答案为：=．43．如图，在33x 的网格中每个小正方形的边长都是1，点A 、B 、C 都是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为 45︒ ．【解答】解：由勾股定理得：22215AC BC ==+=，223110AB =+=，22210AC BC AB +==，ABC ∴∆为等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒．故答案为：45︒．44．如图，ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠，则AD 的长为 4 ．【解答】解：AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，132DB DC CB ∴===，AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，222AD BD AB +=，2222534AD AB BD ∴=-=-=，故答案为：445．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积ABCD 分别为10和24，则正方形A 的面积是 14 ．【解答】解：由题意知，224BD =，210BC =，且90DCB ∠=︒，2241014CD ∴=-=，正方形A 的面积为214CD =．故答案为14．46．如图，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S ，2S ，3S 表示，若15S =，23S =，则3S = 2 ．【解答】解：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+可得：123S S S =+；15S =，23S =，则3532S =-=，故答案为：247．直角三角形的两条直角边长分别是3cm 、4cm ，则斜边长是 5 cm ．【解答】解：直角三角形的两条直角边长分别是3cm 、4cm ，则∴斜边长22345cm =+=，故答案为：548．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面半径为3厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 2 厘米．【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即226810cm +=，∴筷子露在杯子外面的长度至少为12102cm -=，故答案为2．49．如图，ABC ∆为等边三角形，BD AB ⊥，BD AB =，则DCB ∠= 15 ︒．【解答】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，60ABC ∠=︒．BD AB ⊥，BD AB =，ABD ∴∆为等腰直角三角形，90ABD ∴∠=︒，BD BC =， 150C B D A B C A B D ∴∠=∠+∠=︒，1(180)152DCB BDC CBD ∴∠=∠=︒-∠=︒．故答案为：15．50．若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为54．【解答】解：三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，2221.52 2.5∴+=，∴此三角形是直角三角形，斜边长为2.5，∴这个三角形最长边上的中线为152.524⨯=，故答案为：54．。

第一章解直角三角形单元测试卷(困难含解析)

浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析）考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点，连结DE，过D作AC的平行线与∠CAB的角平分线交于点F，连结EF，若EF⊥DF，AC=2，则∠DEF的正弦值为( )A. √5−12B. √5+14C. √5−14D. 3+√542. 在△ABC中，已知tanA=tanB，则下列说法不正确的是( )A. 边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离B. 边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴C. △ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部D. 如果△ABC的周长是l，那么BC=l−2AB3. 如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处，折痕为AP，再将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处.给出以下结论：①M是CD的中点；②AD//BC；③∠DAM+∠CPM=90∘；④当AD=CP时，ABCD =√32．其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=12，则sinA的值为( )A. 12B. √22C. √32D. √35. 如图，AB⏜是半径为1的半圆弧，△AOC 为等边三角形，点D 是BC ⏜上的一动点、则△COD 的面积S 的最大值是 ( )A. √34B. √33C. √32D. 126. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，cosB =14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE =∠B ，连接CE ，则CEAD的值为( )A. 32B. √3C. √152D. 27. 已知圆内接正三角形的面积为√3，则该圆的内接正六边形的边心距是( ) A. 2B. 1C. √3D. √328. 如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点E 是BC 边的中点，连接DE ，延长EC 至点F ，使得EF =DE ，过点F 作FG ⊥DE ，分别交CD 、AB 于N 、G 两点，连接CM 、EG 、EN ，下列正确的是：①tan∠GFB =12；②MN =NC ；③CMEG =12；④S 四边形GBEM =√5+12( )A. 4B. 3C. 2D. 19. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值ℎl为( )A. √2B. √2+12C. 4+√24D. 3√2210. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于( )A. 12B. 13C. 14D. 2311. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP=√2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有( )个A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，建筑工地划出了三角形安全区(△ABC)，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距(tan53°=43)( )A. 30√15mB. 30√17mC. 40√10mD. 130m第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有______．14. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为______．，BE=2，则该菱形的面积是______．15.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=3516.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是______cm2．三、解答题（本大题共9小题，共72分。

等腰直角三角形中最大正方形面积

等腰直角三角形中最大正方形面积
在我小时候的数学课上，老师给我们出了一个有趣的问题：如何在等腰直角三角形中找到最大的正方形面积？这个问题一直让我琢磨了很久，直到有一天，我终于找到了答案。

让我们来看看等腰直角三角形是什么样子的。

它有两条边是相等的，而另一条边是直角边。

这种形状给了我一些启示，我开始思考如何在这个三角形中找到一个最大的正方形。

我首先尝试了一些方法，但都没有找到满意的答案。

后来，我决定从直觉上来考虑这个问题。

我想到了一个简单的方法：将这个三角形分成两个等腰直角三角形。

然后，我发现，这两个三角形的直角边正好是一个正方形的边长。

于是，我开始寻找最大的正方形。

我观察到，当这两个三角形的直角边长度相等时，正方形的面积最大。

这时，正方形的边长正好等于三角形的直角边长。

这样，我就找到了在等腰直角三角形中最大的正方形面积。

这个答案让我感到非常满意。

我想，数学真的是一门神奇的学科，它能让我们在看似简单的问题中发现无限的乐趣和智慧。

我希望以后还能遇到更多这样的问题，让我能够继续探索数学的奥秘。

通过这个问题，我不仅学到了如何找到等腰直角三角形中最大的正方形面积，还培养了我的观察力和思考能力。

我相信，只要我们保
持好奇心和探索精神，数学会给我们带来更多的惊喜和启示。

让我们一起享受数学的乐趣吧！。

小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转

小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华，等积变换试平面几何的基础，解决三角形问题几乎无处不在，切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想，在几何中举足轻重，能使复杂的问题巧妙化解。

所以本讲是非常重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．3、夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。

例题精讲【试题来源】【题目】三个正方形ABCD ，BEFG ，HKPF 如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。

初中数学解题模型专题讲解27---弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用

总结与归纳：此类三角形面积最大值问题能否类似于弦图来解决，关键在于这个三角形的某个
5/6
内角或某 2 个内角之和能不能成为一个正多边形的内角. 1.当有一个内角为α 的三角形的对边已知，α 能成为一个正多边形的外角(即剩下
2 个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其面积最大值；
内弦图
图1
图2
弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面积最大值问题.
例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值；
(2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.
解：(1) 如图 3，取 4 个这样的全等直角三角
形组
成外弦图，直角三角形面积等于外
正方形的面
的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结
果.
外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小
值，而内正方形的半径最小值为 2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的
1 面积最大值为： ×2×2=2.
2
分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决这类问题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.
1 S = absinA 、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例 1(2)与例 2(2)，
2 发现 90°和 120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角可以是 45°！我们应当放弃这种方法！

着力培养学生创新能力——评《如何从直角三角形余料中截取尽可能大的正方形》

对危难的应付，对实质的思考以及实验的技巧等。本课通过对这个具有一定难度的综合性问题的探索，为培养和发展学生的智慧提供了可行的途径。
是简单的直角三角形和正方形，但是，其
中蕴涵的知识、能、力和数学思想方技能
法却非常丰富。这为教师完成在教学构
思中预设的目标（期望在教学过程中即
将截取正方形的问题扩展为截取其他学生所熟悉的图形，思考问题的结论；把在直角三角形内的探索扩展到在锐角三角形的探索等等。通过从内部和外部多方面将问题开放，大探索空间，扩培养学生的发散思维能力，形成良好的思维习惯。这种系列化的发现问题和解决问题的整体设计，对发展和完善学生的认知结构
中，生进行了观察、考、现、想、学思发猜
分析、动手操作、计算、比较、出结论等得
一
系列的探索活动，得了问题的结果，获
更重要的是通过对解决问题的过程的经
历和体验，获得大量处理问题的思想方法和活动方式。
方形作出来。样的操作，方面可以提这一高学生的动手能力，一方面，以让学另可生经历动手操作的活动，真正体验和认识到数学的应用价值。
题—— “ 如何从直角三角形余料中截取
尽可能大的正方形” 为教学内容。作这是属于“ 合与实践 ” 综教学板块的内容。新修改的课程标准强调，综合与实 “

华师大版-数学-八年级上册-学案：直角三角形三边的关系验证勾股定理

直角三角形三边的关系验证勾股定理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形，有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b-a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积；②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出.【解】①②可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－2x x--=，解得：5(14)5615,13=+=，两式相减得：22)x+22222AD x ADx=．在Rt △ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A 2cmB 3cmC 4cmD 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由.【解题思路】【解】构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC.在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km，所以AD=150km<200km，即A城受到这次风暴的影响.如图，设AB=AC=200km ，在Rt △ABD 中，应用勾股定理，得)(7501502002222km AD AB BD =-=-=，所以，A 城遭受风暴影响的时间2.10267502≈⨯=（小时）.【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想．知识点4：分类讨论的数学思想例4、在ABC ∆中，15,20,AB AC ==BC 边上的高12,AD =则BC 的长为 _____________ .【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当BC 边上的高AD 在ABC ∆的内部时，如图，由勾股定理，得22222151281,BD AB AD =-=-=得9,BD =222222012CD AC AD =-=-=256，得16,CD =则25BC BD CD =+=；当BC 上的高AD 在ABC ∆的外部时，如图，同样由勾股定理可求得16,CD =9BD =，这时，1697,BC CD BD =-=-=故BC 的长为25或7. 【解】25或7.【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进行讨论. 对应练习：已知直角三角形的两边长分别为5，12，求第三边的长.知识点5：整体思想例5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边是a ，较长直角边是b ，则2)(b a +的值为( )A. 13B. 19C. 25D. 169【解题思路】由勾股定理222a b c+=可得到两个变形：()222a b ab c +-=和()222a b ab c -+=.通过这两个变形，我们可以从,,,,,a b c a b a b ab +-中任意两个出发，求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：13c =，1a b -=，利用()222a b ab c -+=，可求得212ab =，故2)(b a +=22c ab +=13+12=25.【解】选C.【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的.对应练习：如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD 的长为．知识点6：转化思想例6、如图，高速公路的同一侧有A.B 两个奥运村，它们到高速公路所在的直线MN 的垂直距离分别为1AA =2km ，1BB =4km ，811=B A km ，要在高速公路上A.B 之间设一个出口P ，使A.B 两个奥运村到P 的距离之和最短，则这个最短距离是_____________ .B ′B 1A 1PEBANM【解题思路】过B 作关于MN 的对称点B ′，连接AB ′交11B A 于点P.因1PB 垂直平分BB ′，所以PB=PB ′，则AP+PB=AP+ PB ′=AB ′，由“两点之间，线段最短”易知，P 点为到A.B 距离之和最短的点.【解】过点A 作AE 垂直于BB ′于E ，则AE=11B A =8km ，B ′E =1AA +1BB =6km ，由勾股定理，得AB ′=22E B AE '+=10km ，即AP+PB=AP+ PB ′=AB ′=10km ，故最短出口P 到A.B 两个奥运村距离和为10km.【方法归纳】本题可转化为“在直线l 同侧有两点A.B ，试在l 上找一点P ，使PA+PB 最小，利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长20cm BC =，宽16cm AB =的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：（1）找出图中∠FEC 的余角；（2）计算EC 的长.知识点7：化立体为平面例7、有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？【解题思路】在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC ′.【解】由下图可得，AA ′=30 cm ，A ′B ′=50 cm ，B ′C ′=40 cm.△A ′B ′C ′，△AA ′C ′都为直角三角形.由勾股定理，得A ′C ′2=A ′B ′2+B ′C ′2.在Rt △AA ′C ′中.AC ′最长，则AC ′2=AA ′2+A ′B ′2+B ′C ′2=302+402+502=5000＞702. 故70 cm 的棒能放入长、宽、高分别为50 cm ，40 cm ，30 cm 的大箱中.【方法归纳】本题源于生活实际，较有趣味性，能够较好地增强学生的应用意识和实践能力，同时还考查了空间观念. 求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解.对应练习：制一个底面周长为A.高为b 的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的121B C A ，212B C A …则每一根这样的竹条的长度最少是_________.易错警示1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形例8 如图，在ABC △中，10AB =，16BC =，BC 边上的中线6AD =，试说明AB AC =．错解：因AD是BC边上的中线，所以12CD BC=又6AD=，∴在△ADC中，由勾股定理，得22AC AD CD=+=226810+=．而10AB=，故AB AC=．错因分析：由于受题目、结论及图形的影响，不少同学在没有进行推证说明，就先行认为ADC△是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，犯了循环论证的错误．正解：因为AD是BC边上的中线，所以182BD CD BC===．又10AB=，6AD=，且有2226810+=，即222AD BD AB+=，则ADB△是直角三角形，即AD BC⊥．所以，在Rt ADC△中，由勾股定理，22AC AD CD=+=226810+=．从而AB AC=．2、注意分清直角边和斜边例9 在ABC△中，已知90B∠=，A∠，B∠，C∠的对边分别是a，b，c，且6a=，8b=，求c的长．错解：由已知，ABC△为直角三角形．则由勾股定理，得222a b c+=，即226810c=+=．错解分析：错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：222a b c+=的影响而误认为c是斜边，其实，由90B∠=，知b才是斜边（如图）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解：90B∠=，则在Rt ABC△中，由勾股定理，得22c b a=-2268-=73、注意分类讨论例10 已知三角形的两边长为3和4，如果这个三角形是直角三角形．求第三边的长．错解：设第三边的长为x ，则由勾股定理得22234x =+，解得5x =．错解分析：题中没有明确指出直角边和斜边，应分类讨论，而上述解法中误以为所求的第三边即为斜边．因此漏解，值得注意．正解：设第三边的长为x ．（1）当x 为斜边时，由勾股定理，得22234x =+，解得5x =．（2）当x 为直角边时，由勾股定理，得22243x =+．解得x =7．所以，第三边的长为5或7．课堂练习评测1、如果直角三角形的三条边2，4，a ，那么a 的取值可以有（） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个2、如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____________.3、如图，设火柴盒ABCD 的两边之长为a 与b ，对角线长为c ，推倒后的火柴盒是AB ′C ′D ′，试利用该图验证勾股定理的正确性．4、（1）求下列直角三角形未知边的长．（如图所示）（2）求下列图中未知数x，y，z的值．5、如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A.B之间的距离，•一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160•米，•BC•长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？6、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G 的边长为7cm ，求正方形A ，B ，C ，D 的面积．G 7cmFEDCB A7、小红家住在18层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿．（如图所示）如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，•能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？.课后作业练习一、判断题（2×2=4分）1．△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13．（）2．△ABC中，a=6，b=8，则c=10．（）二、填空题（3×7=21分）3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，AB2=50，则BC=_______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15cm，则a=________cm．5．在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c=______．6．一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_______海里．7．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为_______．8．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．（1）若AC=61，CD=11，则AD=______．（2）若CB=113，CD=15，则BD=________．9．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为_______．三、选择题（5×5=25分）10．若等腰△ABC的腰长AB=2，顶角∠BAC=120°，以BC为边的正方形面积为（）．A．3 B．12 C．2716. 43D11．已知等腰三角形斜边上中线为5cm，则以直角边为边的正方形面积为（）．A．10cm2 B．15cm2 C．50cm2 D．25cm212．等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（）．A．56 B．48 C．40 D．3213．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（）．A．2.5cm B．5cm C．5514．如图所示，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C•与点A重合，则折痕EF的长为（）．A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77四、解答题．（8×5=40分）15．用尺规在数轴上找出坐标为5的点．16．如图（a～c）所示，求下列直角三角形中未知边的长．17．如图所示，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，•求梯子的顶端与地面的距离h．18．如图所示，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段．19．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=4，AB=3，BC=12，•求正方形DCEF的面积．五、探索题（10分）20．做8个全等的直角三角形（2条直角边长分别为A.b，斜边长为c），再做3•条边长分别为A.B.c的正方形，把它们拼成2个正方形（如图所示）.你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．。

九年级巧解三角形内接正方形

巧解三角形内接正方形北师版八年级下册第147页的例题：如图，AD 是△ABC 的高，点P 、Q 在BC 边上，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，BC ＝60cm ，AD=40 cm ，四边形PQRS 是正方形。

(1)△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？ (2)求正方形PQRS 的边长。

思考与探究：由正方形PQRS 可知SR ∥BC ，于是△ASR ∽△ABC ，依此有SR AS BC AB =①；同理△BPS ∽△BDA ，又得SP SB AD AB=②. 由①+②，得SR SP 1BC AD+=（*）. 又SR=SP ，则（*）式变为111BC AD SR +=. 至此，例题中的两个小题可轻松方便地解答完毕。

不仅如此，我们还顺便得到了两个优美漂亮的结论，它们的应用较为广泛，特别是在解答某些较难的问题时作用更大，常化难为易化繁为简，收到出奇制胜的效果，以部分中考与竞赛试题为例说明如下:例1(广东佛山中考题)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形。

（1）如图1，在△ABC 中，BC=a ，BC 边上的高AD=h a ，EFGH 是△ABC 的内接正方形，设正方形EFGH 的边长是x ，求证：a aah x a h =+；（2）在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3，∠BAC=90º，请在图2、图3中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积大。

解析:（1）依本文结论，有111a a a a h x a h ah +=+=，a a ah x a h ∴=+。

（2）可能的内接正方形分别如图2、图3中的EFGH 、EGAH.在图2中作AD ⊥BC 于点D ，易知BC=5.据三角形的面积公式，有AD 5214321⨯⨯=⨯⨯，∴512AD =. 对图2、图3分别运用本文结论，得603712551AD 1BC 1HG 1=+=+=，60351273141AC 1AB 1HE 1==+=+=. ∴HG 1＞HE1，HG ＜HE . ∴在直角三角形中，内接正方形的一边落在直角边上时，正方形的面积最大。

专题04 巧用隐圆妙解最值(解析版)

A专题04巧用隐圆妙解最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。

AB的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。

这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。

若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。

（可以解决动点轨迹。

）隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。

(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。

在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。

隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。

隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。

隐圆四：定点定长，隐圆必现。

CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。

若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。

（P为“主动点”，点Q为“从动点。

）典例分析如图1-1，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【点睛】图1-2，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP 中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．图1-3：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．实战训练一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内的动点，点P是BC边上的动点，且∠EAB=∠EBC．连结AE，BE，PD，PE，则PD+PE的最小值为（）A．2√13−2B．4√5−2C．4√3−2D．2√15−2【答案】A【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∵∠EAB=∠EBC，OyxA BCMPOOyxA BCMPOPMCBA xyO图1-1图1-2 图1-3∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴点E在以AB为直径的半圆上移动，如图，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，根据对称性有：PD=PF，则有：PE+PD=PE+PF，则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，E∵∠G=90°，FG=BG=AB=4，∴OG=6，OA=OB=OE=2，∴OF=√FG2+OG2=2√13，∴EF=OF−OE=2√13−2，故PE+PD的长度最小值为2√13−2，故选：A．2．如图，⊙O的半径是√6，P是⊙O上一动点，A是⊙O内部一点，且AO=√3，则下列说法正确的是（）①PA的最小值为√6-√3；②PA的最大值为√6+√3；③当∠OAP=90°时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为3．2则AM=√22AO=√2，在△ADE和△DCF中，{AD=CD∠ADE=∠DCFDE=CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAG=∠CDF，∵∠ADG+∠CDF=90°，∴∠ADG+∠DAG=90°，∴∠AGD=90°，△ADG是直角三角形，∴OG=12AD=2，∵△AHG为等腰直角三角形，∴∠OAG+∠GAM=∠HAM+∠GAM，∴∠OAG=∠HAM，又∵AHAG =MAOA=√22，∴△AMH∽△AOG，∴MHOG =√22，∴MH=√2，∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，如图，连接BM，交圆M于H′，过点M作MP⊥AB于点P，∵∠DAE+∠BAH=45°，∠OAG=∠MAH，∴∠PAM=∠MAH+∠BAH=45°，∴△APM为等腰直角三角形，∴∠BND=∠AND，∴DN平分∠ANB，∵DA⊥AN，过点D作DH⊥BN，∴DA=DH，∴DB=AB-AD=8-DH，在Rt△AND和Rt△HND中，{DN=DNDA=DH，∴Rt△AND≌Rt△HND（HL），∴AN=HN=6，在Rt△ABN中，AB=8，AN=6，∴BN=√AB2+AN2=10，∴BH=BN-HN=10-6=4，在Rt△DBH中，DB=8-DH，根据勾股定理得：DB2=DH2+BH2，∴（8-DH）2=DH2+42，解得DH=3，在Rt△ADN中，DH=DA=3，AN=6，根据勾股定理得：DN2=AD2+AN2，∴DN2=32+62=45，∴DN=3√5，∵∠A=∠NGC=90°，∠AND=∠GNC，∴∠ADN=∠NCG，∵sin∠ADN=ANDN =63√5=2√55，∴sin∠NCG=sin∠NCE=2√55．故选：D．7．如图，边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,E在格点上，连接AE,BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则tan∠AED 的值是（）A．2√55B．2C．√55D．12【答案】D【详解】以O为圆心，1为半径作⊙O，连接OD．∵A,B,C,E在格点上．∴AC=OA=OE=OB=1∴A,B,E在⊙O上∵AD⊥BC∴∠ADB=90°又∵⊙O的直径是AB∴AB=2∵OA=OB∴OD=12AB=1∴点D在⊙O上∴∠AED=∠ABD∴tan∠AED=tan∠ABD=ACAB=12故选：D．二、填空题8．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则√2PC−PD的最大值是．【答案】2【详解】解法1如图：以PD为斜边构造等腰直角三角形△PDM，连接MC，BD，PD，∴∠PDM=45，DM=PM=√22∵四边形ABCD正方形=√2∴∠BDC=45°，DBDC又∵∠PDM=∠PDB+MDB，∠BDC=∠MDB+MDC∴∠PDB=∠MDC在△BPD与△MPC中【答案】9−3√3【详解】解：∵△ABD与△ACE是等腰直角三角形，∴∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴∠ADC=∠ABE，∴∠PDB+∠PBD=90°，∴∠DPB=90°，∴P在以BC为直径的圆上，∵△ABC的外心为O，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，如图，当PO⊥BC时，OP的值最小，∵BC=18，∴BH=CH=9，OH=12OB∴BH=√OB2−OH2=√3OH ∴OH=3√3，PH=9，∴OP=9−3√3．则OP的最小值是9−3√3，故答案为：9−3√3．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为．【答案】5【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝12EF=2，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴DIDG ＝DGCD＝12，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴IGCG =DIDG＝12，∴IG＝12CG，当DB经过圆心O时，CD最小，最小值为4-（√3+1）=3-√3．故答案为：3−√3．15．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【答案】√3【详解】解：连接OA、OB，如图1，∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∠AOB=30°，∴∠APB=12∵AC⊥AP，∴∠C=60°，∵AB=2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，作△ABC的外接圆D，∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，∴∠ADB=120°，如图2，AB2=√3，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为√34∴△ABC的最大面积为√3．故答案为：√3．16．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E为射线BA上一个动点，连接CE，以CE为对称轴折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F，当点F落在直线AD上时，AF的长为．【答案】1或9【详解】解：∵在矩形ABCD中，则CD=AB=3,BC=AD=5，∠D=90°，由折叠的性质，则CF=BC=5，BE=EF，在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF=√52−32=4；①当点E在线段AB上时，如图：∴AF=5−4=1，②当点E在BA的延长线上时，如图：∴AF=5+4=9，故答案为：1或9．17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为．【答案】4825【详解】解：在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∠BAD=90°，∴BD=5，如图，延长CB至点H，使BH=BD=5，∴∠H=∠BDH，∠DBC，∴∠H=12接AE．若AC=6，CD=5，则线段AE的长为．【答案】145/245/2.8【详解】解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CF⊥AB，垂足为F．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，CD=5，∴AD=DB=CD=5，AB=10．∵AC=6，∴BC=√102−62=8．∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CF，∴12×6×8=12×10×CF，解得CF=245．∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，∴BC=CE，BD=DE，∴CH⊥BE，BH=HE．∵AD=DB=DE，∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，∴S△ECD=S△ACD，∴12DC⋅HE=12AD⋅CF，∵DC=AD，∴HE=CF=245．∴BE=2EH=485．∵∠AEB=90°，∴AE=√AB2−BF2=√102−(485)2=145．故答案为145．三、解答题19．在△ABC中，∠ACB=90°，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：AB=CE+BE；(3)如图3，在（2）的条件下，将△ACF沿AC翻折得到△ACF′，M为直线AD上一个动点．连接BM，将△BDM沿BM翻折得到△BMD′．当D′F′最小时，直接写出F′D′FF′的值．【答案】(1)8√55(2)见解析(3)√85−58【详解】（1）解：∵CA＝2CB，BC＝2，∴CA＝4，∵∠ACB=90°，∴tanA=12．∵将线段CA绕点C旋转得到线段CD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠CAD+∠E=∠ADC+∠CDE=90°，∵∠CAD=∠ADC，∴∠E=∠CDE，∴CE=CD=CA=4，∴AE=AC+CE=8，∵CA=4，BC＝2，∠ACB=90°∴AB=√CA2+CB2=2√5，∴sinA=BCAB =22√5=√55，∵AE=8，∴DE=sinA×AE=8√55．（2）证明：过D作DG⊥CD交CE延长线于点G，∵线段CA绕点C旋转得到线段CD，∠ACB=90°，∴CD=CA，△ACD是等腰直角三角形．∵CA＝2CB，∴CD＝2CB，即CB=BD．∵CF⊥AB，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°，∵∠FCB+∠ACF=90°，∴∠CAF=∠FCB．在△ACB与△CDG中，∵{∠CAB=∠GCDAC=CD∠ACB=∠CDG，∴△ACB≌△CDG（ASA）．∴CB=DG，∵CB=BD，∴BD=DG．∵DG⊥CD，∴∠CDG=90°，∵△ACD是等腰直角三角形，∴∠CDA=45°，∴∠EDG=∠EDB=45°．在△BED与△GED中，∵{BD=GD∠BDE=∠GDEED=ED，∴△BED≌△GED（SAS）．∴BE=EG，∴CE+BE=CE+EG=CG．∵△ACB≌△CDG，∴AB=CG，∴AB=CE+BE．（3）如图，过F′作F′K⊥BC交BC延长线于点K，以B为圆心，BC长为半径画圆，由题意得，D′在以B为圆心，BC长为半径的圆上运动，当F′，D′，B三点共线且D′在F′B之间时，D′F′最小．设CB=1，∵CA=2CB，∴FF′=85，∵F′D′=√85−55，∴F ′D′FF′=√85−58．20．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC，M为线段OC上的动点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O′处．(1)如图①，当∠OAM=30°时，求点O′的坐标；(2)如图②，连接CO′，当CO′∥AM时．①求点M的坐标；②连接OB，求△AO′M与△AOB重叠部分的面积；(3)当点M在线段OC（不包括端点）上运动时，请直接写出线段O′C的取值范围．【答案】(1)O′(3√3,3).(2)①M(3,0)，②337.(3)6√2−6≤CO′<6.【详解】（1）解：如图，连接OO′,交AM于Q,过O′作O′N⊥OC于N,由对折可得：AO=AO′=6,OM=O′M,∠OAM=30°=∠O′AM,∴OO′⊥AM,OQ=O′Q,∴∠OAO′=60°,△OAO′是等边三角形，∴OO′=AO=6,∵∠AOM=90°,∴∠OMQ=90°−30°=60°,∵AM⊥OO′，∴∠O′ON=30°,∴ON=√3Q′N=3√3,∴O′(3√3,3).（2）①∵AM∥O′C,∴∠AMO=∠MCO′,∠AMO′=∠MO′C,而∠AMO=∠AMO′,∴∠MO′C=∠MCO,∴MO′=MC,∴OM=O′M=CM=3,∴M(3,0).②如图，连接OB,交AM于Q,交AO′于P,过Q作QD∥OA,交AO′于D,过O′E⊥OC于E,由①得：tan∠AMO=AOOM =2=tan∠O′CE=O′ECE,设CE=x,则ME=3−x,O′E=2x,∴32=(3−x)2+(2x)2,解得：x=65,（不符合题意的根舍去）∴O′E=2x=125,OE=6−x=245,∴O′(245,125),而A(0,6),设AO′为y=kx+6,则245k+6=125,解得：k=−34,(1)若AB=4，求AD的长度；(2)若将△BDE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明AF=DF，AF⊥DF；(3)如图③，在△BDE绕点B旋转的过程中，再将△ACF绕点A逆时针旋转60°到△AC′F′，连接BF′，若AB=4，请直接写出BF′的最大值．【答案】(1)2√5(2)见解析(3)2√3+√2+2【详解】（1）解：在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AB=AC，∴BC=4√2，∠ABC=45°，∵点E为BC的中点，∴BE=2√2，在等腰Rt△BDE中，BDE=90°，BE=2√2，BD=DE，∴BD=DE=2，在Rt△BDA中，∠ABD=90°，AB=4，BD=2，∴AD=√AB2+BD2=√16+4=2√5；（2）证明：如图1，延长AF至G，使FG=AF，连接EG，DG，AD，∵点F是CE的中点，∴EF=CF，在△ACF和△GEF中，{CF=EF∠AFC=∠EFGAF=FG，∴△ACF≌△GEF(SAS)，∴AC=FG，∠ACF=∠FEG，∴AC∥EG，∵AB⊥AC，∴EG⊥AB，∵∠EDB=90°，∴∠DEG=∠ABD，∵AC=AB，∴EG=AB，在△ABD和△GED中，{AB=EG∠ABD=∠GEDBD=DE，∴△ABD≌△GED(SAS)，∴AD=DG，∠ADB=∠EDG，∴∠ADB−∠BDG=∠EDG−∠BDG，∴∠ADG=∠BDE=90°，∴△ADG是等腰直角三角形，（2）如图，连接CF∵M时BC中点，M是EM中点∴EM=MF，BM=CM∵∠BME=∠CMF∴△BEM≌△CFM∴BE=CF，∠EBM=∠MCF∴BE∥CF∵B、E、D共线，A、D、F共线∴BD∥CF∴∠AFC=∠BDA=90°∵AB=AC，∠CAF+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAF=∠BAD∴△ABD≌△CAF∴CF=AD∴CF=AD=BEEF∴AF=AD+DF=BE+√22∴√2AF=√2BE+EF.（3）连接DM，AM，延长AD交CF于N在直线DG 上？如存在，求出点P 的坐标，如不存在，并说明理由；(3)若第四象限有一动点E ，满足BE =OB ，过E 作EF ⊥x 轴于点F ，设F 坐标为(t,0)，0<t <4，△BEF 的内心为I ，连接CI ，直接写出CI 的最小值．【答案】(1)y =x 2-3x -4；点G 在此函数图像上，理由见解析； (2)P 的坐标为(3+√13,9+3√13)或(3−√13,9−3√13) (3)2√10−2√2【详解】（1）解：∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象过点C (0，−4)和点D (2，−6)， ∴{c =−44+2b +c =−6，解得{b =−3c =−4 ，∴y =x 2−3x −4．∵点G 与点D 关于坐标原点对称， ∴G (−2,6)，把x =2代入y =x 2−3x −4，得y =(−2)2−3×(−2)−4=6， ∴G (−2,6)在此抛物线上．（2）设直线DG 的解析式为y =mx +n ， ∵D (2,−6)，G (−2,6)， ∴{2m +n =−6−2m +n =6，解得{m =−3n =0，∴直线DG 的解析式为y =−3x ．假设此抛物线上存在这样的点P (x,x 2−3x −4)，使得它关于x 轴，y 轴的对称点M ，N 恰好都在直线DG 上， ∵M (x,−x 2+3x +4)，N (−x,x 2−3x −4)， ∴x 2−3x −4=3x ，解得x =3±√13，故所求点P 的坐标为(3+√13,9+3√13)或(3−√13,9−3√13)．（3）如图，连接BI ，OI ，EI ，作△OBI 的外接圆⊙M ，连接OM ，BM ，MI ，CM ，过M 作MH ⊥y 轴于H ，∵EF⊥x轴，∴∠BFE=90°，∴∠FBE+∠FEB=90°，∵△BEF的内心为I，∴BI，EI，分别平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE=12∠FBE，∠IEB=12∠FEB，∴∠IBE+∠IEB=12(∠FBE+∠FEB)=45°，∴∠BIE=135°，易证△BIO≌△BIE（SAS）∴∠BIO=∠BIE=135°，∵⊙M是△BIO的外接圆，∴∠OMB=2×（180°－∠BIO）=90°，∴OM=BM=√22OB=2√2，∴MI=OM=2√2，∴∠MOB=∠MOH=45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM=∠HMO=45°，∴OH=HM=√22OM=2，∴CH=OH+OC=2+4=6，∴CM=√HM2+CH2=2√10，∵CI≥CM－MI，当且仅当C、M、I共线时，CI取最小值，∴CI的最小值为2√10−2√2．25．如图，抛物线y=ax2−2ax−3a（a为常数，a<0）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA ＝∠CBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．【答案】(1)−1(2)−43(3)K(6√13+1313,4√13+5213)【详解】（1）∵y=ax2−2ax−3a=a(x2−2x−3)=a(x−3)(x+1)令y=0，解得x1=−1,x2=3令x=0，y=−3a∵抛物线y=ax2−2ax−3a（a为常数，a<0）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴抛物线与x轴的交点为A(−1,0),B(3,0)C(0,−3a)∴OB=3∵OB=OC∴OC=3∴C(0,3)∴−3a=3解得a=−1（2）如图，过点P作PE⊥x轴于点E，∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4∴D(1,4)∵B(3,0),C(3,0)∴CD=√12+12=√2,BC=√32+32=3√2,BD=√(3−1)2+42=2√5∴CD2+BC2=20,BD2=20∴CD2+BC2=BD2∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°∵PE⊥AB∴∠PEB=∠PCD=90°又∵∠PBA=∠CBD∴△BCD∽△BEP∴CDPE=BCBE∵P(m,n)在抛物线y=−x2+2x+3上，∴n=−m2+2m+3∴PE=−n=m2−2m−3,BE=3−m∴√2m2−2m−3=3√23−m整理得(3m+4)(m−3)=0解得m1=−43,m2=3（舍）∵P(m,n)在第三象限，∴m<0∴m=−4 3（3）如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,∴QM 是△BDK 的中位线∴QM =12DK =1 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，当A,Q,M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，∵B(3,0),D(1,4)∴Q(1+32,4+02)即Q (2,2)∵A(−1,0),Q(2,2)设直线AM 的解析式为y =kx +d ，代入点A(−1,0),Q(2,2)，即{0=−k +d 2=2k +d解得{k =23b =23∴直线AM 的解析式为y =23x +23∵DK ∥QM要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，则当CP⊥AB时，PC最短，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°,BP=3，∴CP=√3BP=3√3，∵∠DOP=60°，∴DE=2OD⋅sin∠DOP=9．227．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．【答案】（1）见解析；（2）103【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴ABFC =BFEC，∴64=4EC，∴EC=83，∴DE=DC−CE=6−83=103，∴当DE=103时，∠AED的值最大．28．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．【答案】（1）√2；（2）MN⊥BE;MN=12BE；（3）9π【详解】解：（1）连接AF、AC∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴AB=BC,AG=FG,∠BAD=∠GAE=∠CBA=∠AGF=90°∵AF、AC分别平分∠EAG,∠BAD∴∠BAC=∠GAF=45°∴∠BAC+∠CAG=∠GAF+∠CAG即∠BAG=∠CAF且ΔABC,ΔAGF都是等腰直角三角形∴ACAB=AFAG=√2∴ΔCAF∽ΔBAG∴CFBG=ACAB=√2（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH∵M是CF的中点∴CM=MF又∠CMB=∠FMH∴ΔCMB≌ΔFMH∴BC=HF,∠BCM=∠HFM在四边形BEFC中∠BCM+∠CBE+∠BEF+∠EFC=360°又∠CBA=∠AEF=90°∴∠BCM+∠ABE+∠AEB+∠EFC=360°−90°−90°=180°即∠HFM+∠EFC+∠ABE+∠AEB=180°即∠HFE+∠ABE+∠AEB=180°∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°∴∠HFE=∠BAE又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴BC=AB=FH,EA=EF∴ΔBAE≌ΔHFE∴BE=HE.∠BEA=∠HEF∵∠HEF+∠HEA=∠AEF=90°∴∠BEA+∠HEA=90°=∠BEH∴三角形BEH是等腰直角三角形∵M、N分别是BH、BE的中点∴MN//HE,MN=12 HE∴∠MNB=∠HEB=90°,MN=12 BE∴MN⊥BE,MN=12 BE（3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF 在ΔABF中，O、Q分别是AB、BF的中点∴OQ=12 AFAE同理可得ON=12∵AF=√2AE=6√2∴OQ=3√2,ON=3所以QN扫过的面积是以O为圆心，3√2和3为半径的圆环的面积∴S=(3√2)2π−32π=9π．29．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．【答案】（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）√5−1≤CD≤√5+1【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，。

难点：总集篇-七种典型几何模型专项练习-2024年小升初数学(解析版)

难点：总集篇·七种典型几何模型专项练习一、填空题。

1倾斜正方形的顶点G 恰好落在水平正方形的BC 边上。

如果水平正方形的面积是16，阴影三角形的面积是1，那么倾斜正方形的面积是()。

【答案】18【分析】连接DG ，三角形ADG 的面积是正方形ABCD 面积的一半，也就是8，而三角形ADG 的面积与三角形DEF 的面积之和等于正方形AEFG 面积的一半，进而求出正方形AEFG 的面积。

【详解】如图所示：16÷2=88+1=99×2=18【点睛】本题考查的是一半模型，合理作辅助线是求解问题的关键。

2如右图，在三角形ABC 中，BD =5DC ,AM =MD 。

则AE :EC =()。

【答案】5∶6【分析】连接CM ，△ABE 和△BEC 是同高的三角形，则这两个三角形的面积比就是这两个三角形底的比，即AE EC =S ΔABE S ΔBEC ，同理△AME 和△CEM 也是同高的三角形，即AE EC =S ΔAEM S ΔCEM ，综上所述AE EC=S ΔABE S ΔBEC =S ΔAEM S ΔCEM =S ΔABE -S ΔAEM S ΔBEC -S ΔCEM =S ΔABM S ΔBMC。

△ABM 和△BMD 是同高的三角形，且AM =MD ，则这两个三角形等底等高，面积也相等。

△BMD和△MDC也是同高的三角形，且BD=5DC，则这两个三角形的面积比就是两个底的比，即SΔBMDSΔMDC=51，可以设△MDC的面积是1，则△BMD的面积就是5，即△ABM的面积也是5，△BMC的面积=△MDC的面积+△BMD的面积=6，AEEC =SΔABMSΔBMC=56【详解】设△MDC的面积是1因为BD=5DC则△BMD的面积就是5因为AM=MD则△ABM的面积是5△BMC的面积是5+1=6AE EC =SΔABESΔBEC=SΔAEMSΔCEM=SΔABE-SΔAEMSΔBEC-SΔCEM=SΔABMSΔBMC=56则AE:EC=5∶6【点睛】设有四个三角形的面积分别是S1、S2、S3、S4，当S1S2=ab、S3S4=ab，根据内项积=外项积，bS1=aS 2、bS3=aS4，bS1-bS3=aS2-aS4，b(S1-S3)=a(S2-S4)，则S1-S3S2-S4=ab，得出结论当S1S2=S3S4=ab，则S1-S3 S2-S4=ab。

考点16 直角三角形【无答案】

考点16 直角三角形数学中考中，直角三角形一直是一个较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为：直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点。

出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向等。

一、直角三角形的性质和判定二、勾股定理及其逆定理三、勾股定理与弦图、拼图考向一：直角三角形的性质和判定一．直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半判定有一个角是90°的三角形时直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形摄影定理图形常见的三个应用方向1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在边AC 上点E 处，若∠B ＝65°，则∠ADE 的大小为（）A ．40°B ．50°C ．65°D ．75°2．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，若点D 恰好在边BC 的垂直平分线上，则∠C 的度数为（）1. 等积法（求斜边上的高）2. 同角的余角相等（得∠A=∠BCD ）3. 射影定理在圆中因为直径所对圆周角=90°，转化得此图形，进而利用以上3个结论！A．36°B．30°C．40°D．45°3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF ∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．5.5B．6.5C．7.5D．64．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（）A．变小B．不变C．变大D．先变小再变大5．如图，在△ABC中，点D在AB边上且CD＝CB，BE⊥AC于点E，AB＝8，CE＝6，∠ABE＝30°，则AD的长等于（）A．1B．1.5C．1.6D．26．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（）A．4B．5C．6D．5.57．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝°．8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，AB＝3，则CD＝cm．9．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．考向二：勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理形勾股定理方向去想。

四川省成都市天府第七中学2022-2023学年八年级上学期数学期中试卷(含详解)

四川省成都市天府第七中学2022-2023学年八年级上学期数学期中试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列几组数不能构成直角三角形的是（）A．，，B．2，3，4C．3，4，5D．6，8，102．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（）A．（1，2）B．（﹣3，8）C．（﹣3，﹣5）D．（6，﹣7）3．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠﹣1C．x＞2且x≠﹣1D．x≠﹣14．（4分）若（m+3）x|m+2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．0D．﹣1或﹣35．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．36．（4分）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（）A．m＝5B．m＝2C．m＝3D．m＝67．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB 于E，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）.9．（4分）4的平方根是．10．（4分）若|a﹣b+1|与互为相反数，则a﹣2b＝．11．（4分）若1＜x＜2，则的值为．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过点（2，0）的直线AB垂直于x轴，点P（﹣2，1）关于直线AB的对称点的坐标为．13．（4分）如图，长方体长为7cm，宽为5cm，高为4cm，已知点B与点C距离为2cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离是．三、解答题（共5小题，共48分）14．（12分）（1）计算：|﹣|﹣（2022﹣π）0+（）﹣1+；（2）解方程组．15．（8分）已知x＝，y＝，求x2﹣xy+y2的值．16．（8分）如图，△ABC在正方形网格中，若A（0，3），B（﹣3，﹣1），按要求回答下列问题：（1）计算△ABC的面积；（2）作出△ABC关于x轴对称的图形．17．（10分）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为24米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．（1）求风筝的高度CE；（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM＝8米），则他往回收线多少米？18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2++|c+5|＝0．（1）求a，b，c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标．四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）19．（4分）大于﹣小于的整数有个．20．（4分）已知方程组，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，若按正确的a，b计算，则原方程组的解为．21．（4分）若两不等实数a，b满足a+3＝8，b+3＝8，则+﹣＝．22．（4分）如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…，则点A2022的坐标为．23．（4分）如图，等边△ABC的边长为3+，在三角形内放入正方形DEFG与正方形HFQP，使得E、F、Q三点在边BC上，点P、D分别在边AC、AB上，则这两个正方形面积和的最大值为，最小值为．五、解答题（共3大题，共30分）24．（8分）已知m＝，n是m的小数部分．（1）求n﹣的值；（2）求m3﹣m2﹣3m+n2+．25．（10分）杭州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1～39套（含39套）40～69套（含69套）70套及以上每套服装的价格80元70元60元经调查：两个乐团共88人（甲乐团人数不少于48人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6500元．请回答以下问题：（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责4位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．26．（12分）在△ABC中，AB＝BC，点E是直线AB上一点，BF⊥CE于点F，AH⊥BF于点H，点D 为AC的中点，连接DH．（1）如图1，如果∠ABC＝90°，且E在AB边上，设BH交AC于点M，且F为MB的中点，若BE＝1，则AE＝；（2）如图2，如果∠ABC＝90°，且E在AB边上，求证：HF＝DH；（3）如图3，如果∠ABC＝60°，且E在BA的延长线上，∠ECA＝15°，请探究线段HF与CD之间的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列几组数不能构成直角三角形的是（）A．，，B．2，3，4C．3，4，5D．6，8，10【解答】解：A、，能构成直角三角形，故A不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故B符合题意；C、32+42＝52，能构成直角三角形，故C不符合题意；D、62+82＝102，能构成直角三角形，故D不符合题意；故选：B．2．（4分）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（）A．（1，2）B．（﹣3，8）C．（﹣3，﹣5）D．（6，﹣7）【解答】解：A、点（1，2）在第一象限，故本选项不合题意；B、点（﹣3，8）在第二象限，故本选项不合题意；C、点（﹣3，﹣5）在第三象限，故本选项不合题意；D、点（6，﹣7）在第四象限，故本选项符合题意；故选：D．3．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠﹣1C．x＞2且x≠﹣1D．x≠﹣1【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，x+1≠0，解得，x≥2，故选：A．4．（4分）若（m+3）x|m+2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（）A．﹣1B．﹣3C．0D．﹣1或﹣3【解答】解：∵（m+3）x|m+2|+y＝0是关于x、y的二元一次方程，∴|m+2|＝1且m+3≠0，解得m＝﹣1，故选：A．5．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．3【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．6．（4分）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（）A．m＝5B．m＝2C．m＝3D．m＝6【解答】解：∵和最简二次根式是同类二次根式，∴3m﹣7＝2，解得m＝3．故选：C．7．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB 于E，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6cm，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），设DE＝x cm，则CD＝x cm，BD＝（8﹣x）cm，在Rt△DEB中，BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝DE＝3．故选：B．8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，，故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）.9．（4分）4的平方根是　±2　．【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4，∴4的平方根为±2，故答案为：±2．10．（4分）若|a﹣b+1|与互为相反数，则a﹣2b＝　0　．【解答】解：∵|a﹣b+1|与互为相反数，∴|a﹣b+1|+＝0，∴，解得：，∴a﹣2b＝﹣2﹣2×（﹣1）＝0．故答案为：0．11．（4分）若1＜x＜2，则的值为　2﹣x　．【解答】解：当1＜x＜2时，∴x﹣2＜0，原式＝|x﹣2|＝﹣（x﹣2）＝2﹣x，故答案为：2﹣x．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过点（2，0）的直线AB垂直于x轴，点P（﹣2，1）关于直线AB的对称点的坐标为　（6，1）　．【解答】解：如图，∵直线AB的解析式为x＝2，∴C（2，1），设点P（﹣2，1）关于直线AB的对称点为P′（m，n）∴点C是PP′中点，∴P′C＝PC＝4，∴m＝6，n＝1，∴P（﹣2，1）关于直线AB的对称点的坐标为（6，1），故答案为：（6，1）．13．（4分）如图，长方体长为7cm，宽为5cm，高为4cm，已知点B与点C距离为2cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离是　cm　．【解答】解：将长方体展开，连接AC，根据两点之间线段最短，CD＝7+2＝9，AD＝4，由勾股定理得：AC＝，或如图展开，AC＝＝，＜则需要爬行的最短距离是：cm；故答案为：cm．三、解答题（共5小题，共48分）14．（12分）（1）计算：|﹣|﹣（2022﹣π）0+（）﹣1+；（2）解方程组．【解答】解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2），①×2+②×3得，13x＝39，解得x＝3，把x＝3代入②得，9+2y＝5，解得y＝﹣2，所以原方程组的解为．15．（8分）已知x＝，y＝，求x2﹣xy+y2的值．【解答】解：∵x＝＝＝，y＝＝＝，∴x+y＝+＝，xy＝×＝＝，∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（）2﹣3×＝5﹣＝．16．（8分）如图，△ABC在正方形网格中，若A（0，3），B（﹣3，﹣1），按要求回答下列问题：（1）计算△ABC的面积；（2）作出△ABC关于x轴对称的图形．【解答】解：（1）S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×2×4﹣×1×2＝16﹣6﹣4﹣1＝5；（2）所作△A'B'C'如图所示．17．（10分）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为24米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．（1）求风筝的高度CE；（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM＝8米），则他往回收线多少米？【解答】解：（1）由题意可知AB⊥AE，CE⊥AE，BD⊥CE，∴∠BAE＝∠AED＝∠BDE＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝1.68米，∵∠BDC＝90°，BC＝30米，BD＝24米，∴CD＝＝＝18（米），∴CE＝CD+DE＝18+1.68＝19.68米，答：风筝的高度CE为19.68米．（2）如图，连接BM，则DM＝CD﹣CM＝18﹣8＝10（米），∴BM＝＝＝26（米），∴30﹣26＝4（米），答：他往回收线4米．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2++|c+5|＝0．（1）求a，b，c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P 为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标．【解答】解：（1）∵（a+3）2++|c+5|＝0，∴a+3＝0，b+4＝0，c+5＝0，∴a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5；（2）存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等，理由如下：如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则CE∥x轴，由（1）可知，a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5，∴A（0，﹣3），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣5），∴OA＝3，OB＝4，CE＝3，OE＝5，∴AE＝OE﹣OA＝5﹣3＝2，∴S△ABC＝S梯形OBCE﹣S△ACE﹣S△AOB＝×（3+4）×5﹣×2×3﹣×3×4＝，∵△AOP的面积＝△ABC的面积，∴×3×|m|＝，解得：m＝±，∵P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣，1）；（3）分两种情况：①∠ABP＝90°，AB＝PB时，如图2，过点P作PF⊥x轴于点F，则∠PFB＝90°＝∠BOA，∴∠BPF+∠PBF＝90°，∵∠ABO+∠PBF＝90°，∴∠BPF＝∠ABO，又∵BP＝AB，∴△BFP≌△AOB（AAS），∴BF＝AO＝3，PF＝BO＝4，当点P在第二象限时，OF＝OB﹣BF＝4﹣3＝1，∴点P的坐标为（﹣1，4）；当点P在第三象限时，OF＝OB+BF＝4+3＝7，∴点P的坐标为（﹣7，﹣4）；②∠BAP＝90°，AB＝PA时，如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°＝∠BOA，同①得：△PGA≌△AOB（AAS），∴PG＝AO＝3，AG＝BO＝4，当点P在第一象限时，OG＝AG﹣OA＝4﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；当点P在第三象限时，OG＝AG+OA＝4+3＝7，∴点P的坐标为（﹣3，﹣7）；综上所述，此题中的“小K点”的坐标为（﹣1，4）或（﹣7，﹣4）或（3，1）或（﹣3，﹣7）．四、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）19．（4分）大于﹣小于的整数有　7　个．∴大于﹣小于的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共有7个．∴答案为：7．20．（4分）已知方程组，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为，乙看错了【解答】解：将代入②得，﹣12+b＝﹣2，b＝10；将代入①，5a+20＝15，a＝﹣1．故原方程组为，解得．故答案为：．21．（4分）若两不等实数a，b满足a+3＝8，b+3＝8，则+﹣＝　2　．【解答】解：∵a+3＝8，b+3＝8，∴a﹣b+3（﹣）＝0，∴（+）（﹣）﹣3（﹣）＝0，∴（﹣）（+﹣3）＝0，∵a≠b，∴+﹣3＝0，∴+＝3，∴（+）2＝9，∴a+b+2＝9，∵a+b+3（+）＝16，∴a+b＝7，∴＝1，∴+﹣＝3﹣1＝2，故答案为：2．22．（4分）如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…，则点A2022的坐标为　（506，506）　．【解答】解：由图得，点A的坐标有4种情况，依次在四个象限，2022÷4＝505……2，由余数2可得，A2022在第一象限，505个循环后，在第506个循环上，∴A2022（506，506）．故答案为：（506，506）．23．（4分）如图，等边△ABC的边长为3+，在三角形内放入正方形DEFG与正方形HFQP，使得E、F、Q三点在边BC上，点P、D分别在边AC、AB上，则这两个正方形面积和的最大值为　99﹣54　，最小值为．【解答】解：设正方形DEFG、正方形FQPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，BC＝3+在Rt△ADD中，BE＝DE＝m，在Rt△CPQ中，CQ＝PQ＝n，∵BE+EF+FQ+CQ＝BC，∴m+m+n+n＝3+，∴m+n＝3，∴n＝3﹣m，∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2+，当点G落在AC上，则正方形EFGD的边长最小，正方形PQFH的边长最大，如图，在Rt△BED中，BE＝ED，BD＝DE，∴DE+DE＝3+，解得DE＝3﹣3，在Rt△CPQ中，CQ＝PQ，∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3+，解得PQ＝6﹣9，∴6﹣3≤m≤3﹣3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为；当m＝3﹣3时，S最大，S的最大值＝2（3﹣3﹣）2+＝99﹣54．故答案为：；99﹣54．五、解答题（共3大题，共30分）24．（8分）已知m＝，n是m的小数部分．（1）求n﹣的值；（2）求m3﹣m2﹣3m+n2+．【解答】解：（1）m＝＝＝+1，∵1＜＜2，∴2＜+1＜3，则n＝+1﹣2＝﹣1，n﹣＝﹣1﹣＝﹣1﹣（+1）＝﹣1﹣﹣1＝﹣2；（2）m3﹣m2﹣3m+n2+＝m（m2﹣m﹣3）+（n+）2﹣2＝（+1）×[（+1）2﹣（+1）﹣3]+（﹣1+）2﹣2＝（+1）×（2+1+2﹣﹣1﹣3）+（﹣1++1）2﹣2＝（+1）×（﹣1）+（2）2﹣2＝2﹣1+8﹣2＝7．25．（10分）杭州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1～39套（含39套）40～69套（含69套）70套及以上每套服装的价格80元70元60元经调查：两个乐团共88人（甲乐团人数不少于48人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6500元．请回答以下问题：（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？（3）现从甲乐团抽调a 人，从乙乐团抽调b 人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责4位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．【解答】解：（1）买88套所花费为：88×60＝5280（元），最多可以节省：6500﹣5280＝1220（元）．（2）①甲乐团的人数≤69人，解：设甲乐团有x 人；乙乐团有y 人．根据题意，得，解得：；②甲乐团的人数≥70人，设甲乐团有x 人；乙乐团有y 人．根据题意，得，解得（不合题意舍去）．答：甲、乙两个乐团各有54名和34名学生；（3）由题意，得5a +4b ＝65变形，得a＝13﹣b，因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数得：或．所以共有两种方案：从甲乐团抽调9人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人．26．（12分）在△ABC中，AB＝BC，点E是直线AB上一点，BF⊥CE于点F，AH⊥BF于点H，点D 为AC的中点，连接DH．（1）如图1，如果∠ABC＝90°，且E在AB边上，设BH交AC于点M，且F为MB的中点，若BE＝1，则AE＝；（2）如图2，如果∠ABC＝90°，且E在AB边上，求证：HF＝DH；（3）如图3，如果∠ABC＝60°，且E在BA的延长线上，∠ECA＝15°，请探究线段HF与CD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1，在BC上截取BN＝BE，连接EN，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵F为MB的中点，∴MF＝BF，∵BF⊥CE于点F，∴CB＝CM，∴∠BCE＝∠BCA＝22.5°，∵BE＝BN＝1，∴EN＝BE＝，∠BNE＝45°，∵∠BNE＝∠BCE+∠CEN，∴∠CEN＝22.5°＝∠BCE，∴CN＝EN＝，∵AB＝BC，BN＝BE，∴AE＝CN＝，故答案为：；（2）证明：如图2，连接DF，BD，∵BF⊥CE，∠ABC＝90°，∴∠ABH+∠CBF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ABH＝∠BCF，在△BFC和△AHB中，，∴△BFC≌△AHB（AAS），∴CF＝BH，BF＝AH，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为AC的中点，∴BD＝AD，BD⊥AC，∵∠AMH＝∠DMB，∴∠HAD＝∠FBD，在△ADH和△BDF中，，∴△ADH≌△BDF（SAS），∴DH＝DF，∠HDA＝∠FDB，∴∠HDF＝∠ADB＝90°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴HF＝DH；（3）解：＝，理由如下：如图3，连接CH，在BF上取一点N，使CN＝BN，连接CN，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠CAB＝60°，AB＝CB＝CA，∵∠ECA＝15°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ECA＝75°，∵BF⊥CE于点F，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF＝∠90°﹣∠BCF＝15°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝45°，∵AH⊥BF于点H，∴AH＝BH，∵AC＝BC，∴CH垂直平分AB，∴∠HCA＝∠HCB＝∠ACB＝30°，∴∠FCH＝∠ECA+∠HCA＝45°，∴∠FHC＝90°﹣45°＝45°＝∠FCH，∴CF＝FH，设CF＝HF＝m，∵CN＝BN，∴∠NBC＝∠NCB＝15°，∴∠FNC＝∠NBC+∠NCB＝30°，∴CN＝2CF＝2m，∴FN＝CF＝m，∴BF＝FN+BN＝（2+）m，∴BC＝＝（+）m，∵点D为AC的中点，∴CD＝AC＝m，∴＝＝．。

人教版数学六年级上册《期末检测试题》附答案

数学六年级上册期末测试卷（考试时间90分钟，满分110分）一、我会填（每空1分，共21分）1. 12∶（）＝38＝（）÷72＝（）%＝（）（填小数）。

2. 40分钟是1小时的（）（填分数）；50千克比40千克多（）%。

3. 已知A 和B 互为倒数，则43B A ÷=（）。

4. 刘瑞45分钟步行了115千米，刘瑞每分钟步行了（）千米；步行1千米需要（）分钟。

5. 已知甲数与乙数比是5∶6，乙数与丙数的比是4∶7，那么甲数与丙数的比是（）。

6. 如图，在钟面上，数字8在中心点O 的（）偏（）（）°方向上，数字（）在中心点O 北偏东30°的方向上。

7. 一个圆形牛栏的半径是10m ，用一根粗铁丝把牛栏围上1圈，那么至少需要准备（）m 的粗铁丝。

如果每隔2m 打一根木桩，大约可以打（）根木桩。

8. 如下图，把一个圆平均分成16份，拼成一个近似的梯形，梯形的上底和下底之和为18.84cm ，则圆的面积是（）cm 2。

再把它拼成近似的平行四边形，则平行四边形的周长是（）cm 。

9. 妈妈买了一只新上市的股票，第一天上涨了20%，第二天下跌了18%，现在若卖出这只股票，妈妈是（）。

（填“赚了”、“赔了”或“不赚不赔”）10. 如图中，在边长是2cm 的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是（）cm 2。

11. 下图中每个小正方形的边长是1cm ，按以上规律继续画下去，则第五幅图阴影部分的面积是（）2cm ，如果画到第n 幅图，阴影部分的面积是（）2cm 。

二、我会选择（每题2分，共20分）12. 若a 是非零自然数，下列式子中的计算结果最大的是（）。

A. 0.8a ÷B. 1311a ⨯C. 2111a ÷D. 95%a ⨯ 13. 小林家本月电费比上个月少了16，下面四个数量关系式中符合题意的是（）。

直角三角形内接最大正方形(矩形)的优化解法

正方形（矩形）面积最大时，它的对角线必须与直角三角形的直角边平行。

将正方形（矩形）放在直角三角形内，以直角三角形的直角顶点及一条斜边中点作为其四个顶点，则正方形（矩形）的对应的对角线可以由所求三角形底和斜边中一条斜坐标式表出。

原理可以推导如下：
令直角三角形左侧垂直长度为a, 右侧垂直长度为b, 斜坐标式m(x.y) 。

由勾股定理可得:a^2 + b^2 = m^2 。

由斜坐标式m(x.y) 及该三角形内接最大正方形的四个顶点可得: x = a/2 , y = b/2 , 则有正方形的对应对角线即 m(a/2 ，b/2) 的估值为√(a^2 + b^2 ) 。

根据上述分析得出本题的优化方法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

巧解直角三角形中的最大正方形
在小学数学的图形学习中，直角三角形是最常见的一种,与之相关的题有一类题很有趣。

由于所给条件不同，会用到不同的数学思想和方法。

一、方程思想
在应用题中我们通常可以通过找到相等关系来列方程解，在图形题中有我们最熟悉的周长、面积公式作为相等关系。

题一：图1直角三角形的两条直角边分别为40厘米和10厘米。

三角形中最大的正方形的面积是多少？
解：图2，接正方形对角线.设正方形的边长为x厘米，有方程：
10x÷2﹢40x÷2=40×10÷2
X=8
那么，方形面积就为8×8=64。

二、构造思想
构造法在数学中有着非常重要的地位，在抽屉原理中我们要构造抽屉，在生活中我们把问题构造成数学模型。

图形中我们通常是用切、拼、翻、转等方法来完成。

题二：图3，图中最大正方形的面积是多少？
解：细心的读者应该发现与上题的不同，如果运用上面的方法会涉及到一元二次方程，但是我们如果运用构造法就会有意想不到的效果。

如图4，我们给题中的三角形补上另一块同样的三角形就成为了一个长方形，很容易看出图中正方形阴影部分和长方形阴影部分的面积是相同的，那么正方形的面积=长方形的面积=10×40=400。

题三：如图5，在三角形中作一个最大正方形的面积，求阴影部分的面积是多少？
解：与上两题不同的是这题的条件40和10分别是斜边的两部分，上面的方法也不够用了。

从题中我们可以发现∠1+∠2=90°（如图6），这个条件让我们想到可以把他们拼成一个直角三角形（如图7），这样图中阴影部分就好求了，用40×10÷2=200。

1.如下图,一直角三角形中的空白部分是个正方形,求阴影部分面积,10
享
个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是______．
如图，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上，直角边AC长20厘米，BC长12厘米．正方形的边长为多少厘米？
顺时针旋转下面斜边为40的红色三角形90°，两个红色三角形组成了一个大的直角三角形。

所以红色阴影面积=新直角三角形面积=底×高÷2=60×40÷
2=1200
2如下图所示，连接CE，则直角三角形ABC被划分为两个直角三角形AEC和BEC，由图意
可知：S△ABC=S△AEC+S△BEC，AC和BC已知，由三角形的面积公式可以求出S△ABC，即求出S△AEC与S△BEC的和，而这两个三角形的高都等于正方形的边长，通过列方程即可求出正方形的边长．。