诱导公式练习题(2)
02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)
三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。
诱导公式练习题含答案
诱导公式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知tan(x+π2)=5，则1sin x cos x=（）A.265B.−265C.±265D.−5262. cos390∘=( )A.1 2B.√32C.−12D.−√323. cos23π6=（）A.1 2B.−12C.√32D.−√324. 已知sin(α2−π4)=√210，则sinα＝（）A.−1225B.1225C.−2425D.24255. 已知tanα=3，则2sin a+cosα2cos a−3sinα的值是（）A.5 3B.1C.−1D.−536. 已知sin(α−π4)=13，则cos(α+π4)的值等于()A.−13B.13C.−2√23D.2√237. 若cosα=−45，且α是第三象限角，则tanα=()A.−34B.34C.43D.−438. 若tanα=√3，且α为第三象限角，则cosα−sinα的值为( )A.−1+√32B.√3−12C.1−√32D.1+√329. 已知f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (3π2−α)cos (π2−α)sin (−π−α)．（1）化简f(α)；（2）若α是第三象限角，且sin (α−π)=15，求f(α)的值．10. 在△ABC 中，∠A,∠C 均为锐角，且|12−sin A|+(cos C −√22)2=0，求∠B 的度数．11. 已知sin (30∘+α)=35，60∘<α<150∘，求cos α的值．12. 已知f(x)=sin (π2+x)−2cos (π+x)sin (π−x)+cos (−x).(1)求f (π4)的值；(2)若f(α)=2,α是第三象限角，求tan α及sin α的值.13. 已知f (α)=sin (α−π)cos (3π2+α)cos (−α−π)sin (5π+α)sin (α−2π).(1)化简f (α)；(2)若sin (α+π2)=−25√6，求f (α+π)的值；(3)若α=2021π3，求f (α)的值．14. 已知f(α)=sin (α−π2)cos (3π2−α)tan (π+α)cos (π2+α)sin (2π−α)tan (−α−π)sin (−α−π).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α−3π2)=15，求f(α)的值.15. 已知sin(x+π3)=13，求sin(4π3+x)+cos2(−x+5π3)的值．16. 已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)−1．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在[0, π]上的单调递增区间．参考答案与试题解析诱导公式练习题含答案一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系．【解答】解：因为tan(x+π2)=sin(x+π2)cos(x+π2)=cos x−sin x =−1tan x=5，所以tan x=−15，所以1sin x cos x =sin2x+cos2xsin x cos x=tan2x+1tan x =−265．故选B．2.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式化简即可得解.【解答】解：cos390∘=cos(360∘+30∘)=cos30∘=√32.故选B.3.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意，直接利用诱导公式和特殊角的三角函数值进行化简求值即可. 【解答】解：已知cos23π6=cos(23π6−4π)=cos(−π6)=cosπ6=√32.故选C.4.【考点】两角和与差的三角函数【解析】两边同时平方，然后结合二倍角正弦公式即可求解．【解答】∵sin(α2−π4)=√210，∴√22(sin12α−cos12α)=√210，即sin12α−cos12α=15，两边同时平方可得，1+2sin12αcos12α=125，则sinα=−2425．5.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】运用诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵sin(α−π4)=13，∴cos(α+π4)=sin[π2−(π4+α)]=sin(π4−α)=−sin(α−π4 )=−13．故选A.7.【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由cos α的值，及α为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin α的值，即可确定出tan α的值即可． 【解答】解：∵ cos α=−45，且α是第三象限角， ∴ sin α=−√1−cos 2α=−35， 则tan α=sin αcos α=34. 故选B . 8.【答案】 B【考点】同角三角函数基本关系的运用 运用诱导公式化简求值 【解析】由tan α=2，即sin αcos α=2，sin 2α+cos 2α=1，且α是第三象限角，即可求解sin α，cos α．从而求解cos α−sin α的值． 【解答】解：∵ tan α=√3，α为第三象限角， ∴ sin α=√3cos α，sin α<0，cos α<0， 由sin 2α+cos 2α=1， 则(√3cos α)2+cos 2α=1， 解得cos α=−12，sin α=−√32． 则cos α−sin α=−12−(−√32) =−12+√32=√3−12． 故选B ．二、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） 9.【答案】f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (3π2−α)cos (π2−α)sin (−π−α) =sin αcos α(−sin α)sin αsin α＝−cos α．∵ α是第三象限角，且sin (α−π)=15，∴ sin α=−15，∴ cos α=−√1−sin 2α=−√1−125=−2√65， ∴ f(α)＝−cos α=2√65． 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果；（2）由α是第三象限角及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，所求式子利用诱导公式化简后，代入计算即可求出值； 【解答】f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (3π2−α)cos (π2−α)sin (−π−α)=sin αcos α(−sin α)sin αsin α＝−cos α． ∵ α是第三象限角，且sin (α−π)=15，∴ sin α=−15，∴ cos α=−√1−sin 2α=−√1−125=−2√65， ∴ f(α)＝−cos α=2√65． 10. 【答案】解：因为|12−sin A|+(cos C −√22)2=0，所以12−sin A =0，cos C −√22=0，所以sin A =12，cos C =√22. 因为∠A,∠C 均为锐角，所以∠A =30∘，∠C =45∘，所以∠B =180∘−30∘−45∘=105∘. 【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为|12−sin A|+(cos C −√22)2=0，所以12−sin A =0，cos C −√22=0，所以sin A =12，cos C =√22. 因为∠A,∠C 均为锐角，所以∠A =30∘，∠C =45∘，所以∠B =180∘−30∘−45∘=105∘. 11. 【答案】已知sin (30∘+α)=35，60∘<α<150∘， 所以90∘<30∘+α<180∘ 所以cos (30+α)=−45，则：cos α＝cos [(30∘+α)−30∘]＝cos (30∘+α)cos 30∘+sin (30∘+α)sin 30∘=−45×√32+35×12=3−4√310． 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】直接利用三角函数关系式的应用求出结果． 【解答】已知sin (30∘+α)=35，60∘<α<150∘， 所以90∘<30∘+α<180∘ 所以cos (30+α)=−45，则：cos α＝cos [(30∘+α)−30∘]＝cos (30∘+α)cos 30∘+sin (30∘+α)sin 30∘=−45×√32+35×12=3−4√310． 12. 【答案】 解：(1)∵ f(x)=sin (π2+x)−2cos (π+x)sin (π−x)+cos (−x)=cos x +2cos xsin x +cos x=3tan x+1,∴ f (π4)=3tan π4+1=31+1=32.(2)∵ 已知f(α)=3tan α+1=2, ∴ tan α=sin αcos α=12,又sin2α+cos2α=1,α是第三象限角,∴ 解得：sinα=−√55.【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵f(x)=sin(π2+x)−2cos(π+x) sin(π−x)+cos(−x)=cos x+2cos x sin x+cos x=3tan x+1,∴f(π4)=3tanπ4+1=31+1=32.(2)∵已知f(α)=3tanα+1=2, ∴tanα=sinαcosα=12,又sin2α+cos2α=1,α是第三象限角,∴ 解得：sinα=−√55.13.【答案】解：(1)f(α)=−sinαsinα(−cosα)−sinαsinα=−cosα(α≠kπ,k∈Z).(2)∵sin(α+π2)=cosα=−2√65，∴ f(α+π)=−cos(α+π)=cosα=−2√65.(3)∵ α=2021π3=674π−π3，∴ f(α)=−cosα=−cos(674π−π3 )=−cosπ3=−12.【考点】运用诱导公式化简求值【解析】(1)由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得f(α)的解析式．(2)由条件利用诱导公式化简可得cosα=−2√65，从而求得f(α)=−cosα的值；(3)α=2021π3=674π−π3，利用诱导公式求得f(α)的值．【解答】解：(1)f(α)=−sinαsinα(−cosα)−sinαsinα=−cosα(α≠kπ,k∈Z).(2)∵sin(α+π2)=cosα=−2√65，∴ f(α+π)=−cos(α+π)=cosα=−2√65.(3)∵ α=2021π3=674π−π3，∴ f(α)=−cosα=−cos(674π−π3 )=−cosπ3=−12.14.【答案】解：(1)由题意知f(α)=−sin(π2−α)(−sinα)tanα(−sinα) sin(−α)(−tanα)[−sin(π+α)]=−cosα(−sinα)tanα(−sinα)−sinα(−tanα)sinα=−cosα.(2)∵cos(α−3π2)=cos(3π2−α)=−sinα=15，∴sinα=−15，又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−2√65, ∴ f(α)=−cosα=2√65. 【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意知f(α)=−sin(π2−α)(−sinα)tanα(−sinα) sin(−α)(−tanα)[−sin(π+α)]=−cosα(−sinα)tanα(−sinα)−sinα(−tanα)sinα=−cosα.(2)∵ cos (α−3π2)=cos (3π2−α)=−sin α=15， ∴ sin α=−15，又α为第三象限角，∴ cos α=−√1−sin 2α=−2√65, ∴ f(α)=−cos α=2√65. 15.【答案】解：∵ sin 2(x +π3)+cos 2(x +π3)=1， 又sin (x +π3)=13，∴ cos 2(x +π3)=1−sin 2(x +π3)=89， ∴ 原式=sin (π+π3+x)+cos 2[2π−(x +π3)]=−sin (π3+x)+cos 2(x +π3) =−13+89=59. 【考点】运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式化简即可.【解答】解：∵ sin 2(x +π3)+cos 2(x +π3)=1， 又sin (x +π3)=13， ∴ cos 2(x +π3)=1−sin 2(x +π3)=89， ∴ 原式=sin (π+π3+x)+cos 2[2π−(x +π3)]=−sin (π3+x)+cos 2(x +π3) =−13+89=59.16.【答案】(Ⅰ)f(x)=2sin x cos x+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)．∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π；(Ⅱ)由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z)．当x∈[0, π]时，单调递增区间为[0,π8brack和[5π8，πbrack．【考点】运用诱导公式化简求值【解析】(Ⅰ)利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期；(Ⅱ)利用复合函数的单调性求出增区间，进一步得到f(x)在[0, π]上的单调递增区间．【解答】(Ⅰ)f(x)=2sin x cos x+2cos2x−1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)．∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π；(Ⅱ)由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z)．当x∈[0, π]时，单调递增区间为[0,π8brack和[5π8，πbrack．。
三角函数诱导公式练习题-带答案
三角函数的诱导公式(1)一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k π C ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ） 2．sin （－6π19）的值是（ ） A ． 21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］； ⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）． 其中函数值与sin3π的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36 C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2A B +=sin 2C 6．函数f （x ）=cos3πx （x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．若α．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．11．．12、求证：tan(2π)sin(2π)cos(6π)cos(π)sin(5π)q q qq q-----+=tanθ．三角函数的诱导公式(2)一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sinα=sinβB. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ）， A. 51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D. 51（5-4） 二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ． 8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题：9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.。
三角函数诱导公式练习题答案.docx
精品文档三角函数的诱导公式一、1．如果 |cosx|=cos （ x+π）， x 的取 集合是（） π π B ．－π 3 πA ．－+2k π≤x ≤ +2k π+2k π≤x ≤+2k π2 222C ．π+2k π≤x ≤3π+2k πD ．（ 2k+1） π≤x ≤2（ k+1 ） π（以上 k ∈ Z ）222．sin （－19π）的 是（）6A ．1B ．－13 3C ．D ．－22223．下列三角函数：4ππ ππ］； ① sin （ n π+）；② cos （ 2n π+ ）；③ sin （ 2n π+ ）；④ cos ［（ 2n+1） π－6 363⑤ sin ［（ 2n+1） π－ π］（ n ∈Z ）．3其中函数 与sinπ的 相同的是（）3A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若 cos （ π+α） =－10 ，且 α∈（－ π， 0）， tan （ 3π+α）的 （ ）52 266 C ．－6D ．6 A ．－B ．22335． A 、B 、 C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A ． cos （ A+B ） =cosCB ． sin （ A+B ） =sinCA B CC ． tan （ A+B ） =tanCD ． sin2=sin26．函数 f （ x ） =cosπx（ x ∈ Z ）的 域 （ ）3A ．{－ 1，－ 1，0， 1，1}B ．{－1，－ 1 ， 1，1}2222C ．{－1，－3，0，3，1}D ．{ －1，－3 ， 3，1}2222二、填空7．若 α是第三象限角，1 2sin(π ) cos(π) =_________ ．22228．sin 1°+sin 2°+sin 3° +⋯ +sin89°=_________ ．三、解答9．求 ： sin （－ 660 °） cos420 °－ tan330 cot °（－ 690 °）．精品文档10．证明：2 sin(π) cos 1 tan(9 π) 1 ． 1 2 sin 2tan(π) 111．已知 cos α= 1 ， cos （ α+β） =1，求证： cos （ 2α+β） = 1．3 312． 化简：1 2 sin 290 cos 430 ．sin 250 cos79013、求证： tan(2 π) sin( 2 π ) cos(6π ) =tan θ．cos( π) sin( 5 π )3π14． 求证：（ 1） sin （ － α） =－cos α；（ 2） cos （ 3 π+α）=sin α． 2参考答案 1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B二、填空题7．－ sinα－cosα 8．892三、解答题3+1．9．410．证明：左边 =2sin coscos2sin 2=－(sin cos )2sin cos，)(cos sin )sin cos(cossin右边 =tan tan sin cos，tan tan sin cos左边 =右边，∴原等式成立．11．证明：∵ cos（α+β） =1，∴α+β=2kπ．∴cos（2α+β） =cos（α+α+β）=cos（α+2kπ） =cosα=1．31 2 sin 290cos43012．解：cos 790sin 2501 2 sin( 70360 ) cos(70360 )=70 )cos(702360 )sin(1801 2 sin 70 cos 70=sin 70cos 70(sin 70cos70 ) 2=sin 70cos 70= sin 70cos70 =－1．cos70sin 7013．证明：左边 =tan() sin() cos( )( tan )( sin ) cos(cos)(sin )=tanθ=右边，cos sin ∴原等式成立．14证明：（ 1） sin （3π－α） =sin［π+（π－α）］=－ sin（π－α） =－ cosα．222（2） cos（3π+α） =cos［π+（π+α）］ =－ cos（π+α） =sinα．三角函数的诱导公式 2一、选择题：π+α )=3 ，则 sin(3π-α)值为（1．已知 sin( ）424A.1 B.—1C.3 D. —322222．cos(+α )= 1 ， 3π <α<,sin(2 -α ) 值为（）—22 A.3 1C. 3D. —32B.2223．化简： 1 2 sin( 2) ? cos( 2) 得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D. ±(cos2-sin2)4．已知 α和 β的终边关于 x 轴对称，则下列各式中正确的是（）A.sin α =sin2βC.cos α =cos β D. cos( 2-α ) =-cos ββ B. sin( - α ) =sin5．设 tan θ=-2, π2θ +cos(- θ )的值等于（），<θ <0，那么 sin22A.1（4+ 5） B.1（4-5） C. 1（4± 5）D.1（ 5-4）5555二、填空题：6．cos(-x)=3， x ∈（ -， ），则 x 的值为．27．tan α =m ，则 sin(α 3 ） cos(π α)．sin( α） π α- cos( )8．|sin α |=sin （- +α），则 α的取值范围是．三、解答题：π α）si n() cos( π α9． sin(2) ．π α）π αsin(3 ·cos( )π） = 1，求 sin （ πx ) +cos 2（5π-x ）的值．10．已知： sin （ x+7 6 4 6611． 求下列三角函数值：（ 1） sin 7 π；（ 2） cos 17 π ；（3） tan （－ 23 π）；3 4 612． 求下列三角函数值：（ 1） sin 4π·cos 25π·tan 5 π；3 6 4（ 2） sin ［（ 2n+1） π－2π］ .32 cos 3sin 2 ( 2π) sin(π) 3π）的值 .13．设 f （ θ）=2cos 2(π) 2，求 f （ 2 cos( )3参考答案 21．C 2．A 3． C 4．C 5．A6．±5π7．m18． [(2k-1),2k]6m 19．原式 =sin α( sin ) cos(π α)sin 2α(π α） α=αsin(·( cos ) sin ?(7ππ ） =sin π 3 11．解：（ 1） sin =sin （ 2π+ 3 = 33 2cos α) = sin α10． 11cos α)16.（ 2） cos 17 π=cos （ 4π+ π ） =cos π = 2 .4 4 4 2（3） tan （－ 23π） =cos （－ 4π+ π3）=cos π=.6 6 62（4） sin （－ 765°） =sin ［ 360°×（－ 2）－ 45°］ =sin （－ 45°） =－ sin45 °=－2.2注：利用公式（ 1）、公式（ 2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值 .12．解：（ 1） sin4π·cos25π·tan3 6=（－ sin π） ·cos π·tan π=（－3 645 π π π π 4=sin （ π+ ） ·cos （ 4π+ ） ·tan （ π+ ）3643）·3·1=－ 3.224（2） sin ［（ 2n+1） π－2π］ =sin （ π－2π）=sin π=3 .333213．解： f （ θ）= 2 cos 3 sin 2cos 32 2 cos 2 cos= 2 cos 31 cos 2cos 32 2 cos 2cos=2 cos3 2 (cos 2cos )2 2 cos 2cos= 2(cos 3 1) cos (cos1)2 2 cos 2cos= 2(cos1)(cos 2cos1) cos (cos 1)2 2 cos 2cos (cos1)(2 cos 2 cos2)=2精品文档∴ f （ π） =cos π－ 1= 1 － 1= － 1.3 3 2 2三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2 α＋ cos 2α=1sin α cos α=tan αtan α cot α =12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一）sin( π－α )＝ sin α sin( π +α )＝ -sin αcos(π－α )＝ -cos α cos(π +α )＝ -cos α tan( π－α )＝ -tan αtan( π +α )＝ tan α sin(2 π－α )＝ -sin αsin(2π +α )＝ sin α cos(2π－α )＝ cos αcos(2π +α )＝ cos αtan(2 π－α )＝ -tan αtan(2 π +α )＝ tan α ππ （二） sin(2 －α )＝ cos α sin( 2 +α )＝ cos αππcos( 2 －α )＝ sin αcos( 2 +α )＝ - sin αππ tan( 2 －α )＝ cot αtan(2 +α )＝ -cot α3π3πsin( 2 －α )＝ -cos αsin( 2 +α )＝ -cos α3π 3π cos( 2 －α )＝ -sin α cos( 2+α )＝ sin αtan( 3π－α )＝ cot αtan( 3π+α )＝ -cot α 2 2sin( －α )＝－ sin α cos(－α )=cos αtan( －α )=－ tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α +β )=cos α cos β－ sin α sin β cos(α－β )=cos α cos β＋ sin α sin β sin ( α +β )=sin α cos β＋ cos α sin β sin ( α－β )=sin αcos β－ cos α sin βtan α +tan β tan( α +β )=1－ tan α tan βtan α－ tan β精品文档4．二倍角公式sin2α =2sin α cosαcos2α =cos2α－ sin2α＝ 2 cos2α－ 1＝ 1－ 2 sin2α2tan αtan2α=1－ tan2α5．公式的变形（ 1）升幂公式： 1＋ cos2α＝ 2cos2α1—cos2α＝ 2sin2α（ 2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2αsin 2α＝1－cos2α22（ 3）正切公式变形： tan α +tan β＝ tan( α +β )（ 1－ tan α tan β）tan α－ tan β＝ tan( α－β )（ 1＋ tanα tan β )（ 4）万能公式（用 tan α表示其他三角函数值）2tan α1－ tan 2α2tan αsin2α＝1+tan 2αcos2α＝1+tan 2αtan2α＝1－tan 2α6．插入辅助角公式asinx ＋ bcosx=a2+b 2sin(x+ φ )(tan φ =b) a特殊地： sinx ± cosx＝ 2πsin(x ±)47．熟悉形式的变形（如何变形）1± sinx ± cosx1± sinx1± cosx tanx ＋ cotx 1－ tan α1＋ tanα1＋ tan α1－ tanαπ若 A、B 是锐角， A+B ＝，则（ 1＋ tanA ） (1+tanB)=248．在三角形中的结论若： A ＋ B＋ C= π ,A+B+Cπ= 2则有2tanA ＋ tanB ＋ tanC=tanAtanBtanCA B B C C Atan 2tan 2＋ tan 2 tan 2＋ tan 2tan 2＝ 1。
三角函数诱导公式专项练习(含答案)
三角函数 诱导公式专项练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．sin (−600∘)=（ ） A ． −√32 B ． −12C ． 12D ．√322．cos 11π3的值为（ ） A ． −√32B ． −12 C ．√32D ． 123．已知sin(30°+α)=√32，则cos （60°–α）的值为A ． 12 B ． −12 C ．√32 D ． –√324．已知 cos (π2+α)=−35，且 α∈(π2,π)，则tan (α−π)=（ ） A ． −34 B ． −43 C ． 34 D ． 435．已知sin(π－α)＝－23，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( )A ．2√55B ． －2√55C ． ±2√55 D ．√526．已知cos(π4−α)=√24，则sin(α+π4)=( )A ． −34B ． 14C ． √24D ．√1447．已知sinα=35，π2<α<3π2，则sin(7π2−α)=（ ） A ． 35B ． −35C ． 45D ． −458．已知 tanx =−125, x ∈(π2,π)，则cos(−x +3π2)=（ ）A ．513B ． -513C ．1213D ． -12139．如果cos(π+A)=−12，那么sin(π2+A)= A ． -12 B ． 12 C ． 1 D ． -1 10．已知cos(π2−α)−3cosαsinα−cos (π+α)=2，则tanα=（ ） A ． 15 B ． −23 C ． 12 D ． −5 11．化简cos480∘的值是（ ）A．12B．−12C．√32D．−√3212．cos(−585°)的值是（）A．√22B．√32C．−√32D．−√2213．已知角α的终边经过点P(−5,−12)，则sin(3π2+α)的值等于()A．−513B．−1213C．513D．121314．已知cos(π+α)=23，则tanα=（）A．√52B．2√55C．±√52D．±2√5515．已知cosα=15,−π2<α<0,则cos(π2+α)tan(α+π)cos(−α)tanα的值为（）A．2√6B．−2√6C．−√612D．√61216．已知sinα=13,α∈(π2,π)则cos(−α)=（）A．13B．−13C．2√23D．−2√2317．已知sin(π+α)=45，且α是第四象限角，则cos(α−2π)的值是( )A．−35B．35C．±35D．4518．已知sin＝，则cos＝( ) A．B．C．－D．－19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－B．C．±D．－k20．＝( )A．sin 2－cos 2B．sin 2＋cos 2C．±(sin 2－cos 2)D．cos 2－sin 221．sin585∘的值为A．√22B．−√22C．√32D．−√3222．sin(−1020°)=（）A．12B．−12C．√32D．−√3223．若α∈(0,π)，sin(π−α)+cosα=√23，则sinα−cosα的值为（ ）A ．√23B ． −√23C ． 43 D ． −4324．已知α∈(π2,π)且sin (π+α)=−35，则tan α=（ ） A ． −34B ． 43C ． 34D ． −4325．已知sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=sin (−θ)，则sinθcosθ+cos 2θ=( )A ． 15B ． 25C ． 35 D ．√5526．若sinθ−cosθ=43，且θ∈(34π,π)，则sin(π−θ)−cos(π−θ)=（ ） A ． −√23B ．√23C ． −43D ． 4327．已知sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=sin (−θ)，则sinθcosθ+cos 2θ=( ) A ． 15 B ． 25 C ． 35 D ． √5528．已知sin(2015π2+α)=13，则cos(π−2α)的值为（ ）A ． 13 B ． -13 C ． 79 D ． −79 29．若α∈(0,π)，sin(π−α)+cosα=√23，则sinα−cosα的值为（ ）A ．√23B ． −√23C ． 43 D ． −4330．已知a =tan (−π6),b =cos (−23π4),c =sin25π3，则a,b,c 的大小关系是( )A ． b >a >cB ． a >b >cC ． c >b >aD ． a >c >b 31．cos7500= A ．√32B ． 12C ． −√32D ． −1232．sin (−236π)的值等于（ ）A ．√32B ． −12 C ． 12 D ． −√3233．sin300°+tan600°+cos (−210°)的值的（ ） A ． −√3 B ． 0 C ． −12+√32D ． 12+√3234．已知α∈(π2,3π2)，tan(α−π)=−34，则sinα+cosα等于（ ）． A ． ±15 B ． −15 C ． 15 D ． −75 35．已知sin1100=a ，则cos200的值为（ ）A ． aB ． −aC ． √1−a 2D ． −√1−a 2 36．点A (cos2018∘,tan2018∘)在直角坐标平面上位于（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 37．如果sin (π−α)=13，那么sin (π+α)−cos (π2−α)等于（ ） A ． −23B ． 23C ．2√23 D ． −2√2338．已知角α的终边过点(a,−2)，若tan (π+α)=3，则实数a = A ． 6 B ． −23C ． −6D ． 2339．cos (2π+α)tan (π+α)sin (π−α)cos (π2−α)cos (−α)=A ． 1B ． −1C ． tan αD ． −tan α 40．已知sin (−α)=−√53，则cos (π2+α)的值为（ ）A ． √53B ． −√53C ． 23 D ． −23参考答案1．D【解析】【分析】直接运用诱导公式，转化为特殊角的三角函数值求解。
诱导公式专项练习题(中等难度)
诱导公式专项练习题一．选择题（共20小题）1．函数y=x2﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（）A．{﹣1，0，3} B．{0，1，2，3} C．{y|﹣1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 2．函数y=+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）3．sin300°等于（）A．﹣B．C．﹣D．4．sin=（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知，且，则tanα=（）A．B．C． D．6．已知sin（）=，则cos（）的值等于（）A． B．C． D．7．已知sin（+α）=，cosα=（）A． B．C．D．8．若sin（﹣α）=，则2cos2（+）﹣1=（）A．B．C．D．9．已知sin（+α）=，α∈（0，），则sin（π+α）=（）A．B．﹣C．D．﹣10．计算：cos210°=（）A． B．C．D．11．已知，则等于（）A．B．C．D．12．cos150°的值为（）A．B．C． D．13．cos（﹣570°）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣14．已知cos（α﹣π）=﹣，且α是第四象限角，则sin（﹣2π+α）=（）A．﹣B．C．±D．15．若=，则tanθ=（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣316．已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±17．若sin（π﹣α）=﹣，且a∈（π，），则sin（+）=（）A．﹣B．﹣C． D．18．已知x∈（﹣，0），tanx=﹣，则sin（x+π）等于（）A．B．﹣C．﹣D．19．已知tanθ=2，则=（）A．2 B．﹣2 C．0 D．20．已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=（）A．B．﹣C．D．﹣二．填空题（共10小题）21．已知，则= ．22．求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值．23．已知4sinα+3cosα=0，则= ．24．已知tanα=3，则= ．25．已知，则= ．26．化简= ．27．已知，则的值为．28．已知tanα=2，则的值为．29．已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）= ．30．化简：= ．三．解答题（共10小题）31．已知sinα=，求tan（α+π）+的值．32．（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知α为第二象限的角，化简：．33．已知（1）化简f（α）（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．34．设，化简．35．f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α∈（0，），且sin（α﹣）=，求f（α）的值．36．设，（1）若，求f（α）的值；（2）若α是锐角，且，求f（α）的值．37．化简：．38．化简：．39．sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．40．（1）已知tanα=﹣4，求的值；（2）已知sin（3π+θ）=，求+的值．诱导公式专项练习题（中等难度）（菁优网）参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•聊城校级模拟）函数y=x2﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（）A．{﹣1，0，3} B．{0，1，2，3} C．{y|﹣1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}【分析】只需把x=0，1，2，3代入计算y就可以了【解答】解：当x=0时，y=0当x=1时，y=1﹣2=﹣1当x=2时，y=4﹣2×2=0当x=3时，y=9﹣2×3=3∴函数y=x2﹣2x的值域为{﹣1，0，3}故答案选A2．（2017•模拟）函数y=+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由题意可得出函数y=+1是增函数，由单调性即可求值域．【解答】解：函数y=+1，定义域为[1，+∞），根据幂函数性质可知，函数y为增函数，当x=1时，函数y取得最小值为1，函数y=+1的值域为[1，+∞），故选D3．（2017•大石桥市校级学业考试）sin300°等于（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选A4．（2017•明山区校级学业考试）sin=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin=sin（π﹣）=sin=．故选：D．5．（2016•模拟）已知，且，则tanα=（）A．B．C． D．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B6．（2015•模拟）已知sin（）=，则cos（）的值等于（）A． B．C． D．【分析】直接利用与互余，即可求出所求结果．【解答】解：因为与互余，所以cos（）=sin（）=，故选B．7．（2013•）已知sin（+α）=，cosα=（）A． B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．8．（2016•模拟）若sin（﹣α）=，则2cos2（+）﹣1=（）A．B．C．D．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则=cos（+α）=sin[﹣（+α）]=sin （﹣α）=，故选：A．9．（2015•二模）已知sin（+α）=，α∈（0，），则sin（π+α）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，再由α的围利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（+α）=cosα=，α∈（0，），∴sinα==，则sin（π+α）=﹣sinα=﹣．故选：D．10．（2016•花山区校级学业考试）计算：cos210°=（）A． B．C．D．【分析】把所求式子中的角210°变为180°+30°，利用诱导公式cos（180+α）=﹣cosα及特殊角的三角函数值化简，即可求出原式的值．【解答】解：cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选B11．（2017•模拟）已知，则等于（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角和差的三角公式求得cosα=cos[（α+）﹣]以及sinα=sin[（α+）﹣]的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵，∴sin（α+）==，而cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，故选：A．12．（2015•区模拟）cos150°的值为（）A．B．C． D．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos30°，运算求得结果．【解答】解：cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣，故选D．13．（2016•南开区模拟）cos（﹣570°）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值．【解答】解：cos（﹣570°）=cos570°=cos（360°+180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选：D．14．（2017春•新余期末）已知cos（α﹣π）=﹣，且α是第四象限角，则sin（﹣2π+α）=（）A．﹣B．C．±D．【分析】利用“π﹣α”这组公式求出co sα，再利用诱导公式对所求的式子进行化简，由α的围和平方关系求出α的正弦值，即求出所求的值．【解答】解：由cos（α﹣π）=﹣得，cosα=，又因α为第四象限角，∴sin（﹣2π+α）=sinα=﹣=﹣．故选A．15．（2016•校级模拟）若=，则tanθ=（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：==，可得sinθ=3cosθ，∴tanθ=﹣3．故选：D．16．（2016•四模）已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到α=θ++2kπ，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可【解答】解：由12sinα﹣5cosα=13，得sinα﹣cosα=1，设cosθ=，则sinθ=，则tanθ==，则方程等价为sin（α﹣θ）=1，则α﹣θ=+2kπ，k∈Z；即α=θ++2kπ，k∈Z，则tanα=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==；k∈Z；故选：B17．（2016•校级一模）若sin（π﹣α）=﹣，且a∈（π，），则sin（+）=（）A．﹣B．﹣C． D．【分析】已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，再利用二倍角的余弦函数公式求出cos的值，所求式子利用诱导公式化简，将cos的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（π﹣α）=sinα=﹣，且α∈（π，），∴cosα=﹣=﹣=﹣，∵cosα=2cos2﹣1，∈（，），∴cos=﹣=﹣=﹣，则sin（+）=cos=﹣．故选B18．（2017•中卫二模）已知x∈（﹣，0），tanx=﹣，则sin（x+π）等于（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】根据x的取值围，tanx的值易得sinx=﹣，所以结合诱导公式求得sin（x+π）的值即可．【解答】解：因为x∈（﹣，0），tanx=﹣，所以sinx=﹣，∴sin（x+π）=﹣sinx=．故选：D．19．（2012•潼南县校级模拟）已知tanθ=2，则=（）A．2 B．﹣2 C．0 D．【分析】直接利用诱导公式化简，然后利用齐次式，分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果．【解答】解：=====﹣2．故选B20．（2013•一模）已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用诱导公式把转化成sin（﹣α），进而利用题设中的条件求得答案．【解答】解：=sin（﹣﹣α）=sin（﹣α）=﹣故选D二．填空题（共10小题）21．（2015•家港市校级模拟）已知，则= ．【分析】根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．【解答】解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣22．（2013•校级模拟）求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值44.5 ．【分析】通过诱导公式sin89°=cos1°，得出sin21°+cos21°=1，依此类推，得出原式=44×1+sin245°，得出答案．【解答】解：∵sin89°=sin（90°﹣1°）=cos1°∴sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1同理sin2°+sin88°=1，…sin44°+sin46°=1∴sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44+=44.5故答案为44.5．23．（2016•模拟）已知4sinα+3cosα=0，则= ．【分析】根据条件得出tanα，使用诱导公式化简．【解答】解：∵4sinα+3cosα=0，∴tanα=﹣．===﹣tanα=．故答案为：．24．（2016•模拟）已知tanα=3，则= 2 ．【分析】将原式分子分母同时除以cosα，化为关于tanα的三角式求解．【解答】解：将原式分子分母同时除以cosα，得==2故答案为：225．（2015春•校级期末）已知，则= ．【分析】利用诱导公式化简所给的式子，运算求得的结果．【解答】解：∵，故答案为．26．（2017春•汪清县校级期中）化简=﹣tanα．【分析】利用诱导公式将原函数化简为：原式=，整理即可．【解答】解：==﹣tanα．故答案为：﹣tanα．27．（2016•市校级模拟）已知，则的值为．【分析】利用诱导公式化简函数的表达式，然后求解函数值即可．【解答】解：==cosα．则=cos=cos=，故答案为：．28．（2012•二模）已知tanα=2，则的值为﹣3 ．【分析】利用诱导公式将原式化简为：=1即可．【解答】解：∵tanα=2，∴===﹣3．∴的值是﹣3．故答案为：﹣3．29．（2016•县自主招生）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）= ．【分析】利用已知条件求出α的一个值，然后求出表达式的值．【解答】解：因为α是第二象限的角，tanα=﹣，所以α=2kπ+，k∈Z，所以sin（90°+α）=cosα=cos=﹣．故答案为：﹣．30．（2014春•东海县校级期中）化简：= 1 ．【分析】分别利用诱导公式sin（π+α）=﹣sinα；cos（π+α）=﹣cosα；cos（2π+α）=cosα；tan（π+α）=tanα；sin（+α）=cosα；sin（2π+α）=sinα，及正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数得到cos（﹣α﹣2π）=cos（α+2π），sin（﹣α﹣2π）=sin（2π+α），再利用tanα=求出值即可．【解答】解：根据诱导公式及正弦余弦函数的奇偶性化简得：===1故答案为1．三．解答题（共10小题）31．（2012•全国模拟）已知sinα=，求tan（α+π）+的值．【分析】根据sinα的值大于0，判断α的围为第一或第二象限角，分象限，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，然后把所求的式子利用诱导公式化简后，把sinα和cosα的值分别代入即可求出值．【解答】解：∵sinα=＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα==，tan（α+π）+=tanα+=+==．当α是第二象限角时，cosα=﹣=﹣，原式==﹣．32．（2015春•校级期末）（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知α为第二象限的角，化简：．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简；（Ⅱ）利用三角函数的基本关系式对代数式变形、化简．【解答】解：（Ⅰ）===﹣cosα．（Ⅱ）=•=．∵α是第二象限角，∴cosα＜0，sinα＞0上式=cosα×+=sinα﹣1+1﹣cosα=sinα﹣cosα=sin（）．33．（2015秋•期末）已知（1）化简f（α）（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．【分析】（1）利用诱导公式化简f（α ）的结果为cosα．（2）利用诱导公式求出sinα，再由同角三角函数的基本关系求出cosα，从而得到f（α）的值．【解答】解：（1）==cosα．（2）∵，∴，又∵α为第三象限角，∴，∴．34．（1980•全国）设，化简．【分析】利用诱导公式化简分式的分子，注意θ的围然后求解即可．【解答】解：原式==．∵，∴π＜θ+，∴sin（θ+）＜0，∴原式=﹣1．35．（2016秋•工农区校级期末）f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α∈（0，），且sin（α﹣）=，求f（α）的值．【分析】（1）由已知利用诱导公式能求出f（α）的值．（2）由已知得sin（）==，cos（）==，由此列方程组求出cosα，从而能求出f（α）．【解答】解：（1）f（α）===﹣cosα．（2）∵α∈（0，），且sin（α﹣）=，∴sin（）===，cos（）=cos+sin===，∴，解得cosα=．∴f（α）=﹣cosα=．36．（2015春•校级期中）设，（1）若，求f（α）的值；（2）若α是锐角，且，求f（α）的值．【分析】（1）利用诱导公式对函数解析式化简整理后，把，代入函数求得答案．（2）利用诱导公式和题设中的值，求得cosα的值，利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而求得tanα的值，代入函数解析式求得f（α）的值．【解答】解：因为===，（1）若，∴f（）==﹣=﹣．（2）若α是锐角，且，∴，∴，，∴．37．（2016春•校级月考）化简：．【分析】利用诱导公式对原式化简整理，进而把且转化为弦，整理求得问题的答案．【解答】解：原式===﹣38．（2014•开福区校级模拟）化简：．【分析】直接利用诱导公式化简，即可求出表达式的值即可．【解答】解：==2．39．（2016春•校级月考）已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，求的值．【分析】把sinα代入到方程中解出即可求出sinα的值进而求出tan2α的值，然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简，将tan2α的值代入即可求出值．【解答】解：∵sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，∴或sinα=2（舍）．故sin2α=，cos2α=tan2α=．∴原式====sec2α=1+tan2α=1+=40．（2015春•校级期末）（1）已知tanα=﹣4，求的值；（2）已知sin（3π+θ）=，求+的值．【分析】（1）tanα=﹣4，将所求关系式中的“弦”化“切”，再将tanα=﹣4代入计算即可；（2）由诱导公式可知sinθ=﹣，利用诱导公式化简后将sinθ=﹣代入计算即可．【解答】解：（1）∵tanα=﹣4，∴原式===2；（2）由已知得sinθ=﹣．一．选择题（共20小题）1．ADADB 6.BCADB 11．ADDAD．16．BBDBD二．填空题（共10小题）21．﹣22．44.5 23．．24．2 25．．26．﹣tanα．27．．28．﹣3．29．﹣．30．1．。
高中数学专题6.5三角函数的诱导公式(2个考点六大题型) 试卷及答案
专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-sin1080=)2820 1．（2023春·北京东城·高一北京市第一六六中学校考阶段练习）sin210=（ ）1210cos120tan 45+= 根据诱导公式，填适当的式子，使为第二象限角，且sin θcos165=（-24sin(α-是ABC的高一校考开学考试）已知ABC为锐角三角形，则下列不等关系中cos cosA>sin cosA>高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）（多选）已知cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 秋·高一课时练习）求证：当2=或3时，tan(cos(2k 2π1203=πsin(2α-秋·高一课时练习）)tan2022,sin2022位于(2)若()0,πθ∈,且()25fθ=-,求cos sinθθ-的值．专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-()3cos390cos36030cos302=+==.辽宁葫芦岛·高一统考期末）17sin4π的值为（sin1080=.()sin1080sin33600sin00=⨯+==；cos高一课时练习）已知12cot5θ=-，且θ为第二象限角，．)2820)()32820sin 836060sin 602=-⨯+==.ππtan 144⎫==⎪⎭. ππ2⎫()1sin210sin 18030sin 302=+=-=-.高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若角【详解】(sin πθ+的终边可能在第三或第四象限CD.2023春·吉林长春列结论正确的是（210cos120tan 45+= 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值. ()()11sin 18030cos 18060210cos120sin 30cos 60221tan 45tan 45tan 451--++-+--====-. 故答案为：-12023春·福建福州·高二校考期末）根据诱导公式，填适当的式子，使 cosα=-cos165=（ 24- ()cos165cos 9075sin 75=+=-，则()75sin 3045sin30cos 45cos30sin 45=+=+1222=⨯+26cos165sin 754+︒=-︒=-． 故选：A ．是ABC的高一校考开学考试）已知ABC 为锐角三角形，则下列不等关系中cos cos A >sin cos A >【分析】因为ABC 为锐角三角形，所以π【详解】因为ABC 为锐角三角形，,,3πcos A >,4πcos A <π因为ABC 为锐角三角形，,2B π+>∴,02A π<<sin(2A π>cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． ()()()cos 90cos 2sin 45sin 135αααα-+=+-，证明见详解.【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可)()()cos 90cos 245sin 135αααα-+=+- 证明：由诱导公式可得()()()cos 90sin ,sin 135sin 45αααα-=-=+，)()()()90cos sin cos cos 2sin cos 45cos sin 4545sin 135sin 45ααααααααααα-+++===++-+ 秋·高一课时练习）求证：当2k =或3时，tan(π)tan(π)cos(2π)sin[(21)π]k k k k αααα-+=-++【答案】证明见解析【详解】(tan 3π+C.2023·全国·高三专题练习）已知 【答案】B2π1203=πsin(2α-ABD2π1203=πtan 4=cos α，所以【详解】(cos πα-)πsin α-=-AB.2023秋·广东河源3π⎫⎛）π6θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，5π6fθ⎛+⎝故答案为：（1）1．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P 位于第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.【详解】()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒=⨯+=> ，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=< ， ()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴ 在第四象限；故选：D.2．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，若tan114a =︒，tan172b =︒，tan 287c =︒，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．()()()f c f b f a >> B ．()()()f c f a f b >> C ．()()()f b f c f a >> D ．()()()f b f a f c >>【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得tan114tan 66a =︒=-︒，tan172tan8b =︒=-︒，tan 287tan107tan 73c =︒=︒=-︒，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案．，04π<-，而060<正确；23,cos π⎛⎫= ⎪3013π<<故选：ACD.4．（2023【答案】－【分析】利用诱导公式化简计算即可π25π5ππππcos tan sin πcos 32πtan π346346⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ πππ3232cos tan 3462234⎛⎫⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：24. 2021秋·北京通州·高一校考阶段练习）已知cos α是方程2320x x --=三象限角，求3sin α⎛-+ ⎝，2sin cos α+3cos 2sin 2ππα⎫⎛+⎪ ⎭⎝⎫⎛+⎪ ⎭⎝全国·高一专题练习）已知）()f θ=-cos θθ=-sin 0θθ-<sin θθ-=。
(完整版)三角函数诱导公式练习题__答案.doc
三角函数的诱导公式一、1．如果 |cosx|=cos （ x+π）， x 的取 集合是（）ππ+2k π B ．－ π3 πA ．－ +2k π≤x ≤+2k π≤x ≤+2k π2 2 22C ．π+2k π≤x ≤3π+2k πD ．（ 2k+1） π≤x ≤2（ k+1 ） π（以上 k ∈ Z ）222．sin （－19π）的 是（ ）6A ．1B ．－13 3C ．D ．－22223．下列三角函数：4π π ππ］； ① sin （ n π+）；② cos （ 2n π+ ）；③ sin （ 2n π+ ）；④ cos ［（ 2n+1） π－6 363⑤ sin ［（ 2n+1） π－ π］（ n ∈Z ）．3其中函数 与sinπ的 相同的是（）3A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤ 4．若 cos （ π+α） =－10 ，且 α∈（－ π， 0）， tan （3π+α）的 （ ）5 2266C ．－6D ．6 A ．－B ．223 35． A 、B 、 C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A ． cos （ A+B ） =cosCB ． sin （ A+B ） =sinCA B C C ． tan （ A+B ） =tanC D ． sin2=sin26．函数 f （ x ） =cosπx（ x ∈ Z ）的 域 （ ）3A ． { － 1，－ 1 ， 0， 1， 1}B ． { － 1，－ 1 ， 1， 1}2 222C ． { － 1，－3， 0，3， 1}D ． { － 1，－3 ， 3， 1}2222二、填空7．若 α是第三象限角，1 2sin(π ) cos(π ) =_________ ．21°+sin 2228．sin 2°+sin 3° +⋯ +sin89°=_________ ．三、解答9．求 ： sin （－ 660 °） cos420 °－ tan330 cot °（－ 690 °）．10．证明：2 sin(π) cos 1 tan(9 π) 1 ．1 2 sin 2 tan(π) 111．已知 cosα= 1 ， cos（α+β） =1，求证： cos（ 2α+β） = 1．3 312．化简： 1 2 sin 290 cos 430 ．sin 250 cos79013、求证：tan(2 π) sin( 2 π) cos(6π) =tanθ．cos(π) sin( 5 π)3π14．求证：（ 1） sin（－α）=－cosα；（2） cos（3π+α）=sinα． 2参考答案 1 一、选择题1．C 2． A 3． C 4． B 5． B6． B二、填空题7．－ sinα－cosα 8．892三、解答题3+1．9．410．证明：左边 =2sin coscos2 sin 2=－(sin cos )2 sin cos，)(cos sin ) sin cos(cossin右边 = tan tan sin cos ，tan tan sin cos左边 =右边，∴原等式成立．11．证明：∵ cos（α+β） =1，∴α+β=2kπ．∴cos（2α+β） =cos（α+α+β）=cos（α+2kπ） =cosα=1．31 2 sin 290 cos43012．解：cos 790sin 2501 2 sin( 70 360 ) cos(70 360 )=70 ) cos(70 2 360 )sin(1801 2 sin 70 cos 70=sin 70cos 70(sin 70 cos70 )2=sin 70cos 70sin 70 cos70－ 1．= =cos70 sin 70 13．证明：左边 = tan() sin( ) cos( ) ( tan )( sin ) cos =tanθ=右边，( cos )( sin ) cos sin∴原等式成立．14证明：（ 1） sin （3π－α） =sin［π+（π－α）］=－ sin（π－α） =－ cosα．22 2（2） cos（3π+α） =cos［π+（π+α）］ =－ cos（π+α） =sinα．22 2三角函数的诱导公式 2一、选择题：π +α )=3，则 sin(3π-α)值为（1．已知 sin( ）424A.1 B. —1C.3 D. —322222．cos(+α )= 1 ， 3π <α<,sin(2 -α ) 值为（）— 2 22A.31C. 3D. —32B.2223．化简： 1 2 sin( 2) ? cos( 2) 得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D. ±(cos2-sin2)4．已知 α和 β的终边关于 x 轴对称，则下列各式中正确的是（）A.sin α =sin2βC.cos α =cos β D. cos( 2-α ) =-cos β β B. sin( - α ) =sin 5．设 tan θ=-2, π2θ +cos(- θ )的值等于（），θ <0，那么 sin 22A.1（ 4+ 5 ） B.1（4-5 ） C. 1（ 4± 5 ）D.1 （ 5 -4）5 555二、填空题：6．cos(-x)=3， x ∈（ - ， ），则 x 的值为．27．tan α =m ，则 sin(α 3 ） cos(π α)．sin( α） π α- cos( )8．|sin α |=sin （- +α），则 α的取值范围是．三、解答题：π α） si n() cos( π α9． sin(2) ．π α）π αsin(3·cos( )π ） = 1，求 sin （ π x) +cos 2（5π-x ）的值．10．已知： sin （ x+7646611． 求下列三角函数值：（ 1） sin 7 π；（ 2） cos 17 π ；（3） tan （－ 23 π）；3 4 612． 求下列三角函数值：（ 1） sin 4π·cos 25π·tan 5 π；3 6 4（ 2） sin ［（ 2n+1） π－2π］ .32 cos3 sin 2 ( 2π ) π) 3sin(π）的值 .13．设 f （ θ）= 2cos 2(π ) 2，求 f （ 2 cos( )3参考答案 21．C 2． A 3． C 4． C 5． A5π m 1,2k ]6．±7．8． [(2k-1)6m 19．原式 = sin α( sin ) cos(π α) sin 2α( cos α)11 π α） α= α = sin α10．α 16sin( ·( cos )sin ?( cos )7ππ ） =sin π 311．解：（ 1） sin =sin （ 2π+3 =.3 32（ 2） cos 17 π=cos （ 4π+ π ） =cos π = 2 .4 4 42（3） tan （－ 23π） =cos （－ 4π+ π ）=cos π=3 . 66 62（4） sin （－ 765°） =sin ［ 360°×（－ 2）－ 45°］ =sin （－ 45°） =－ sin45 °=－2 .2注：利用公式（ 1）、公式（ 2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值 .12．解：（ 1） sin 4π 25π ·tan 5 π ππ π 3 ·cos 6 =sin （ π+ ） ·cos （ 4π+ ） ·tan （ π+ ）4 36 4=（－ sin π） ·cos π·tan π =（－ 3 ） · 3 ·1=－ 3 .3 64 2 2 4（2） sin ［（ 2n+1） π－ 2π］ =sin （ π－ 2π）=sin π = 3 .333213．解： f （ θ）=2 cos 3sin 2cos32 2 cos 2 cos=2 cos 31 cos2cos32 2 cos 2cos2 cos3 2 (cos 2cos )=2 cos 2cos22(cos 3 1) cos (cos 1)=2 cos 2cos22(cos 1)(cos 2cos1) cos (cos 1)=2 2 cos 2cos(cos1)(2 cos 2 cos2)=2 cos2cos2＝ c os θ－ 1，∴ f （ π） =cos π－ 1= 1 － 1= － 1 .3 3 2 2三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2 α＋ cos 2 α=1sin αcos α =tan αtan α cot α =1 2． 诱导公式(奇变偶不变，符号看象限 )（一） sin( π－α )＝ sin αsin( π +α )＝ -sin α cos(π－α )＝ -cos αcos(π +α )＝ -cos α tan( π－α )＝ -tan α tan( π +α )＝ tan α sin(2 π－α )＝ -sin α sin(2π +α )＝ sin α cos(2π－α )＝ cos α cos(2π +α )＝ cos α tan(2 π－α )＝ -tan αtan(2 π +α )＝ tan αππ （二） sin( 2 －α )＝ cos α sin( 2 +α )＝ cos αππcos( 2 －α )＝ sin αcos( 2 +α )＝ - sin αππ tan( 2 －α )＝ cot α tan( 2 +α )＝ -cot α 3π3π sin( 2 －α )＝ -cos αsin( 2 +α )＝ -cos α3π3πcos( 2 －α )＝ -sin α cos( 2 +α )＝ sin α tan( 3π －α )＝ cot α tan( 3π+α )＝ -cot α 2 2sin( －α )＝－ sin αcos(－α )=cos αtan( －α )=－ tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α +β )=cos α cos β－ sin α sin β cos(α－β )=cos α cos β＋ sin α sin β sin ( α +β )=sin α cos β＋ cos α sin β sin ( α－β )=sin αcos β－ cos α sin βtan α +tan β tan( α +β )=1－ tan α tan βtan α－ tan β tan( α－β )=1＋ tan α tan β4． 二倍角公式sin2α =2sin α cos αcos2α =cos 2α－ sin 2α＝ 2 cos 2α－ 1＝ 1－ 2 sin 2α2tan αtan2 α =1－ tan 2α5． 公式的变形（ 1） 升幂公式： 1＋ cos2α＝ 2cos 2α1—cos2α＝ 2sin 2α （ 2） 降幂公式： cos 2α＝1＋ cos2α sin 2α＝ 1－ cos2α2 2 （ 3） 正切公式变形： tan α +tan β＝ tan( α +β )（ 1－ tan α tan β）tan α－ tan β＝ tan( α－β )（ 1＋ tan α tan β )（ 4） 万能公式（用 tan α表示其他三角函数值）2tan α 1－ tan 2α2tan α sin2α＝1+tan 2αcos2α＝1+tan 2αtan2α＝1－ tan 2α6． 插入辅助角公式asinx ＋ bcosx= a 2+b 2sin(x+ φ ) (tan φ = b) a 特殊地： sinx ± cosx ＝ 2πsin(x ±)47． 熟悉形式的变形（如何变形）1± sinx ± cosx 1± sinx1± cosxtanx ＋ cotx1－ tan α1＋ tan α 1＋ tan α1－ tan απ若 A 、 B 是锐角， A+B ＝，则（ 1＋ tanA ） (1+tanB)=248． 在三角形中的结论若： A ＋ B ＋ C= π ,A+B+C π2= 2 则有 tanA ＋ tanB ＋ tanC=tanAtanBtanCAB BCC Atan 2 tan 2 ＋ tan 2 tan 2 ＋ tan 2 tan 2 ＝ 1。
诱导公式练习题 (职业培训)
诱导公式练习题 (职业培训)
简介
本文档旨在为职业培训提供一些诱导公式练题。
通过这些练题，学员可以加深对诱导公式的理解，并通过实践巩固所学的知识。
练题
1. 电路中的诱导公式
已知一个电路中的电感器$L$和电$C$，电感器$L$的自感系数
为$M$，电$C$的电容量为$Q$，电流$I$随时间变化的方程为：
I = M * d^2(q)/d(t)^2
其中，$q$为电$C$上的电荷量。
请问，当电流$I$为定值时，
如何表示电荷量$q$随时间变化的方程？
2. 法拉第电磁感应定律
根据法拉第电磁感应定律，磁通量的变化速率是导致感应电动
势产生的根本原因。
已知一个线圈的磁通量$\Phi$，磁通量的变化
速率随时间$t$的方程为：
d(Phi)/d(t) = B * A * cos(theta)
其中，$B$为磁感应强度，$A$为线圈的面积，$\theta$为磁场与线圈的夹角。
请问，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势
$E$随时间$t$变化的方程是怎样的？
3. 围绕导线的磁场
在距离一根长直导线的距离$r$处，磁场的大小随距离$r$的变化方程为：
B = (mu0 * I) / (2 * pi * r)
其中，$\mu0$为真空中的磁导率，$I$为电流。
请问，在距离为$r$处围绕导线一圈的圆形轨道上行驶的电荷$q$的旋转周期
$T$是多少？
总结
通过以上练习题的实践，学员可以进一步巩固对诱导公式的应用理解。
这些练习题覆盖了电路中的诱导公式、法拉第电磁感应定律以及围绕导线的磁场等方面的知识点，对于职业培训的学习和提高具有一定的帮助作用。
三角函数诱导公式经典例题
三角函数诱导公式练习题及答案1．2cos(−θ)+sin(π−θ)cos(π2−θ)+sin(3π2−θ)=4，求tanθ的值 2．已知f(α)=sin(α−3π)⋅cos(2π−α)⋅sin(−α+32π)cos(−π−α)⋅sin(−π−α)（1）化简f(α)；（2）若α为第四象限角且sinα=−35，求f(α)的值；（3）若α=−313π，求f(α)。
3．已知sin(α+2022π)−6sin(α−3π2)2cos(α−π)−sinα=−tan 3π4． （1）求tanα的值；（2）求sinα−cosα的值。
4．已知sinα=−35，且α为第三象限角.（1）求cosα和tanα的值；（2）已知f(α)=2sin(π+α)+cos(2π+α)cos(α−π2)+sin(π2+α)，求f(α)的值。
5．已知关于x 的方程25x 2−ax +12=0的两根为sinθ和cosθ，其中θ∈(π4，3π4)，（1）求a 的值；（2）求2sin(θ+π2)−cos(θ−π2)+sin(θ−π)cos(π+θ)4cos(θ+π2)−1的值。
6．已知f(α)=cos(π−α)sin(−α−π)sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α). （1）化简f(α)；（2）若角α为第二象限角，且sinα=13，求f(α)的值。
7．已知tanα=2，求cos(π2+α)sin(−α)+cos(2π−α)的值。
8．已知α∈(0，π2)，cosα=35，求sin(π2−α)+cos(3π2−α)sin(3π+α)+cos(π−α)的值。
9．（1）化简sin(π−α)sin(π2−α)cos(π+α)cos(π2+α)．（2）已知：tanα=2，求sinα+2cosα5cosα−sinα的值．10．化简f(α)=sin(π−α)cos(3π2−α)tan(−π−α)cos(−π2−α)tan(2π+α)11．已知cosα=−√55，α是第三象限角，求： （1）tanα的值；（2）sin(3π2−α)cos(π+α)tan(−α−π)cos(2π−α)sin(π−α)tan(−α)的值. 12．已知tanα=12，求13cos(−α)−2cos(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)的值． 13．已知cosα=−45，且tanα>0．（1）求tanα的值；（2）求2sin(π−α)+sin(π2+α)cos(2π−α)+cos(−α)的值． 14．已知3cosα−2sinαsinα+2cosα=−14，cos(π+α)cos(π2+α)sin(3π2−α)cos(3π2−α)sin(3π−α)sin(5π2+α)的值。
诱导公式练习题及参考答案
诱导公式练习一、选择题1、以下各式不正确的选项是 〔 〕A ． sin 〔α＋180°〕=－sin αB ．cos 〔－α＋β〕=－cos 〔α－β〕C ． sin 〔－α－360°〕=－sin αD ．cos 〔－α－β〕=cos 〔α＋β〕 2、假设sin 〔π＋α〕＋sin 〔－α〕=－m ,则sin 〔3π＋α〕＋2sin 〔2π－α〕等于〔 〕 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于〔 〕 A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-4. 的值为〔 〕A ．B ．C ．D ．5、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是〔 〕A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ6．函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 〔 〕A ．5B ．－5C ．6D ．－67、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．438．设,1234tan a =︒则)206cos()206sin(︒-+︒-的值为〔 〕A ．211aa ++ B ．－211aa ++ C ．211aa +- D ．211aa +-9．假设)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为〔 〕A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα10. 对于诱导公式中的角α，以下说法正确的选项是〔 〕 A ．α一定是锐角 B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角11.，则的值为〔 〕A ．B ． －2C ．D ．二、填空题1、求值：sin160°cos160°〔tan340°＋cot340°〕= ．2、假设sin 〔125°－α〕=1213,则sin 〔α＋55°〕=．3、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．4、,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα . 三、解答题1. 求cos 〔－2640°〕+sin1665°的值．2. 化简：．3、 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．4、假设cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．5、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值.。
诱导公式习题
1、(1)已知：，为第三象限角，求的其它三角函数值.解：∵为第三象限角，又，∴，∴，，，.(2)已知：，求的其它三角函数值.解：∵，∴为三、四象限角，[1]当为第三象限时，(同上)；[2]当为第四象限时，，，，，.2、已知：，求.解：[法1]∵，又∴，(分情况讨论)(1)当为一、四象限时，，；(2)当为二、三象限时，，.[法2]∵(下略)。
[法3]∵，又(1)当时，为一、三象限角，，，(2)当时，为二、四象限角，，.小结：已知某角的三角函数值，求它的其余三角函数值时要注意角所在的象限，这主要是在使用，时，要根据角所在的象限恰当选定根号前的正负号.这类题通常有下列几种情况：(1)已知某角的三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；(2)已知某角的三角函数值，但没有指定角的象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有二组解；(3)如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有指定角在哪个象限，那么需要进行分类讨论.注意两种不同的分类方式：①按角所在象限分类;②按字母符号分类(即已知函数值符号定角所在象限).3、已知：，求：(1)的值；(2)的值；(3)及的值.分析：已知条件是切函数，欲求的是弦函数——切化弦.解：(1)∵；(2)∵，又，所以：与同号，∴；(3)当为第一象限角时，；当为第三象限角时，.小结：这一节在求三角函数值时，贯彻解方程的通法.不过，这里的未知数是正弦、余弦、正切.4、化简：(1)；(2).解：(1)；(2)∵，∴，，∴.小结：化简：[1]恒等变形；[2]结果化为最简形式——①项数最少；②函数种类最少；③次数尽量低；④分母中不含三角函数式；⑤根式中不含三角函数式；⑥最好能求值；⑦不含绝对值.在应用同角三角函数的基本关系做以上求值、化简时，应能灵活运用公式，如根据需要可以把变形为，，，，把1用，，，代替，把变形为，等等.5、证明：.分析：基本思想：化异为同！切入点：(1)角；(2)函数名称；(3)式子结构.解：[法1]——右到左，切化弦，由繁到简.右左.[法2](证与原式等价的式子)即证：.左右.或1：化切为割：右左.或2：证明，.或3：化积为差.左右；小结：常用的三角恒等式证明方法：(1)从等式的一边开始证，得它的另一边；(2)综合法：由一个已知成立的等式恒等变形得到所要证明的等式；(3)证明等式左右两边都等于同一个式子；(4)分析法：强调推理过程要正确，如“只需”的词语是不能省的.6、已知：，，求.解：∵，，∴，∵，∴，∴.7、化简：.解：.8、设A、B、C、为的三个内角，求证：(1)；(2)；(3).分析：(1)中，∴，∴；(2)∵；(3)∵.。
诱导公式及典型例题
αα+ 180x yP(x,y)P′(-x ，-y)MM′O(4-5-1)三角函数诱导公式及典型例题【知识梳理】1.公式(一)απαsin )sin(=∙+2kαπαcos )cos(=∙+2kαπαtan )tan(=∙+2k （其中Z ∈k ）2．公式（二）:αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）推导：在单位圆中画出α角与－α角，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)，观察出角的终边关于x 轴对称，结合三角函数定义可得到公式。
3.公式(三)[]απαcos 2(cos -=++1)k[]απαsin 2(sin -=++1)k []απαtan 2(tan =++1)k注：⎩⎨⎧-=+为偶数，为奇数，ααααπαsin sin )sin(n ⎩⎨⎧-=+为偶数，为奇数，ααααπαcos cos )cos(nαπαtan )tan(=+n 【典型例题】例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 45π例2．求下列各式的值： （1）sin(－34π)； (2)cos(－60º)－sin(－210º)例3．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα例4．已知cos(π+α)=－ 21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．（A ）23(B) 21 (C)－23 (D)±23求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒- 2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ） （A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1 公式（四）απαsin )2cos(-=+απαcos )2sin(=+απαsin )2cos(=+- απαcos )2sin(=+-απαcot )2tan(-=+απαtan )2cot(-=+ απαcot )2tan(=+- απαtan )2cot(=+-例5、求证： )2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k例6 的值。
诱导公式练习题及参考答案
《诱导公式》练习一、选择题1、下列各式不正确的是A. s in ( a +180° )二一sin aB. cos (—a +/?)二—cos ( a —p)C. sin (—a—360° ) = — sin aD. cos (—a —“)二cos ( a + 〃)2、若sin (口 + a) +sin (—a)二则sin (3 n + a ) +2sin(2 n — a )等于()A.2B.-3 2 3 —7 m--m Q. - m D. - m3 2 3 23、sin '19 〕_ — n< 6丿的值等于( )A. 1B. 一丄 c.逼 D. &2 2 2 24、攻口果lcosxl=cosex + /r)・^J x 的取值范围是(c )几 3A.[送+ 2吨+ 2切(“Z)B・与+ 2S訐+ 2切(心)3C. [— + 2k^,-^ + 2k7r] {k e Z) D> (一zr+ 2£兀,龙 + 2£兀) {k e Z)222、若 sin (125°一a)二 ,则 sin ( a +55° )5 •已知函数 f(x) = «siiix + Z?tanx + l ,满足 f(5) = 7.则 /(-5)的值为7.设 tan 1234° = a,那么 sin(-206°) + cos(-206°)的值为( )A.B. -4^C.D.yj\ + a 2Jl + Q\l\ +(ryj\ + a 28.若sin(—+ a) = cos(^-a),则a 的取值集合为2( )A. {a\a = 2k^ + —4 keZ}B. {a\a- = 2^--4 keZ]C. {a\a = knk eZ)D. {a I a =z龙=炽+ ―2keZ}二、填空题R 求值：sin160° cos160° (tan340° + cot340° ) = ________________________A. 5B. -5C. 66、sin#・c 峠如苧的值是A.B.D.V3n 2 n 3 n 4n 5 n 6n3COS — + COS^- + COS ~Y~ + cos -+ cos -+ cos -4、已知 sin(a + 0) = 1,则 sin(2a + 0) + sin(2a + 30) = ________________ 三.解答题1、已知询"+沪3,求2cos(—的值.4cos(—“)+ sin(2>r 一 a) 2、若cos a=?, a 是第四象限角，求湎-工厂+空"egg F 的3cos(/r — a) — cos(—;r 一 a) cos(a 一 4才)值.l)53求.(-)+/(-)+.(-)+/(-)的值•4. 设/(x)满足 /(-sin x) + 3/(sin x) = 4sinx-cosx (lxIS —),2(1 )求/(x)的表达式；(2)求/(X )的最大值.《诱导公式》参考答案 一、选择题3、 设/« =sin/rx, W-1) + 1,(x<0)(A >0)cos^x,和 gM = <g(x — l) + l,ABAC BABC二、填空题121、1.2、3、0. 4. 013三、解答题1、7.2、竺.23、g(；) =羊， &(；) = £+ 1，/(；)=sin(—|■兀) + 1,4 2 o 2 3 3/(-) = sin(--) + l, 故原式二3 •'4 44、解析：(1 )由已知等式/(-sin x) + 3/(sin x) = 4 sin x・ cosx ①得/(sin x) + 3/(-sin x) = -4sin xcosx②由3x ①一②，得8 /(sinx) = 16sinx-cosx ,故fM = 2x&-x? •(2)对0<x<l,将函数f(x) = 2xVl-x2的解析式变形，得f(x) = 2&2(1") = 2 J 当"半时，。
高中数学诱导公式精选题2
诱导公式精选题一．选择题（共16小题）1．已知sin（+α）＝，cosα＝（）A．B．C．D．2．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．3．的值是（）A．B．C．D．4．已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣5．sin585°的值为（）A．B．C．D．6．设tan（π+α）＝2，则＝（）A．3B．C．1D．﹣17．＝（）A．B．C．﹣1D．18．sin405°的值为（）A．1B．﹣C．D．﹣9．若，那么的值为（）A．B．C．D．10．定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．B．C．2D．111．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A＞sin B，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形12．tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+ 13．tan300°+sin450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+ 14．已知cos20°＝m，则sin190°的值是（）A．B．C．D．15．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin（x+）是（）A．奇函数B．非奇非偶函数C．常数函数D．偶函数二．填空题（共7小题）17．计算：＝．18．如果sinθ＝，且θ是第二象限角，那么sin（θ+）＝．19．sin（﹣300°）＝．20．已知tanα＝2，则的值为．21．已知，则＝．22．求值sin（﹣）+cos＝．23．sin（﹣π）的值为．三．解答题（共1小题）24．已知．（1）化简f（α）；（2）已知tanα＝3，求f（α）的值．诱导公式精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．已知sin（+α）＝，cosα＝（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）＝sin（2π++α）＝sin（+α）＝cosα＝．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣，则tan（π+α）＝tanα＝﹣．故选：D．【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．的值是（）A．B．C．D．【分析】原式三个因式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝sin（π+）•cos（π﹣）•tan（﹣π﹣）＝﹣sin•（﹣cos）•（﹣tan）＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：A．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用诱导公式把要求的式子化为sin（30°+α），利用条件求得结果．【解答】解：cos（60°﹣α）＝sin[90°﹣（60°﹣α）]＝sin（30°+α）＝，故选：C．【点评】本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．5．sin585°的值为（）A．B．C．D．【分析】由sin（α+2kπ）＝sinα、sin（α+π）＝﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°＝sin（585°﹣360°）＝sin225°＝sin（45°+180°）＝﹣sin45°＝﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．6．设tan（π+α）＝2，则＝（）A．3B．C．1D．﹣1【分析】由tan（π+α）＝tanα及正余弦诱导公式把要求代数式转化为tanα的代数式即可．【解答】解：由tan（π+α）＝2，得tanα＝2，则．故选：A．【点评】本题考查诱导公式及化归思想．7．＝（）A．B．C．﹣1D．1【分析】由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：＝tan（π+）＝tan＝1．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．8．sin405°的值为（）A．1B．﹣C．D．﹣【分析】直接按照三角函数诱导公式计算即可．【解答】解：sin405°＝sin（360°+45°）＝sin45°＝故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用：求值．属于基础题．9．若，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若，那么＝sin[﹣（α+）]＝sin （﹣α）＝﹣sin（α﹣）＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．10．定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．B．C．2D．1【分析】根据题意利用新定义及三角函数恒等变换的应用可求sin（2x﹣）＝，求出y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，得出x1，x2的关系，利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵（sin x）⊗（cos x）＝2，∴由题意可得：2sin x（sin x+cos x）﹣3＝2，可得：sin2x﹣3cos2x＝2，∴2sin（2x﹣）＝2，即：sin（2x﹣）＝，由于y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，且f（）＝1，∴可得x1+x2＝，即x1＝﹣x2，∴cos（x1﹣x2）＝cos（﹣2x2）＝cos（﹣2x2）＝sin（2x2﹣）＝f（x2）＝．故选：B．【点评】本题主要考查了新定义及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A＞sin B，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】利用cos（﹣α）＝sinα及正弦函数的单调性解之．【解答】解：因为cos A＞sin B，所以sin（﹣A）＞sin B，又角A，B均为锐角，则0＜B＜﹣A＜，所以0＜A+B＜，且△ABC中，A+B+C＝π，所以＜C＜π．故选：C．【点评】本题考查诱导公式及正弦函数的单调性．12．tan300°+的值是（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】直接利用诱导公式求解即可．【解答】解：tan300°+＝﹣tan60°+＝1﹣．故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，注意正确利用诱导公式的化简求值，考查计算能力．13．tan300°+sin450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°＝tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）＝﹣tan60°+sin90°＝﹣+1＝1﹣，故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，熟记公式是解决问题的关键，属基础题．14．已知cos20°＝m，则sin190°的值是（）A．B．C．D．【分析】利用二倍角公式得到1﹣2sin210°＝m，求出，利用三角函数的诱导公式得到sin190°＝sin（180°+10°）＝﹣sin10°进一步求出其值．【解答】解：因为cos20°＝m，所以1﹣2sin210°＝m，所以，因为sin190°＝sin（180°+10°）＝﹣sin10°＝﹣，故选：B．【点评】本题考查三角函数的诱导公式及三角函数的二倍角公式的应用，解决给值求值题时，应该先将已知与待求的式子先化简，再找它们间的联系．15．若，且π＜x＜2π，则x等于（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式化简三角函数式，通过角的范围求出三角函数对应的角的值．【解答】解：，，．故选：B．【点评】本题是基础题，考查诱导公式的应用，已知三角函数值求角，送分题目．16．函数f（x）＝sin（x+）是（）A．奇函数B．非奇非偶函数C．常数函数D．偶函数【分析】由题意，利用诱导公式可求函数解析式为f（x）＝cos x，由余弦函数的性质可得函数f（x）是偶函数，由此得解．【解答】解：f（x）＝sin（x+）＝cos x，由余弦函数的性质可得函数f（x）是偶函数．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．二．填空题（共7小题）17．计算：＝．【分析】直接利用诱导公式化简求值即可．【解答】解：由＝cos（4π﹣）＝cos＝．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力．18．如果sinθ＝，且θ是第二象限角，那么sin（θ+）＝﹣．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式，直接求出所求表达式的值．【解答】解：因为sinθ＝，且θ是第二象限角，所以sin（θ+）＝cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．19．sin（﹣300°）＝．【分析】由sin（α+2π）＝sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin（﹣300°）＝sin（360°﹣300°）＝sin60°＝，故答案为．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．20．已知tanα＝2，则的值为﹣3．【分析】利用诱导公式将原式化简为：＝，再将tanα＝2代入计算即可．【解答】解：∵tanα＝2，∴＝＝＝﹣3．∴的值是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查诱导公式的作用及三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是关键，属于基础题．21．已知，则＝．【分析】设α+＝β，则α＝β﹣，将所求式子转化为关于β的三角函数式，运用诱导公式和同角的商数关系式，计算可得所求值．【解答】解：可令α+＝β，则α＝β﹣，则tanβ＝2，＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查诱导公式的运用和同角的三角函数的基本关系式的运用，考查运算能力，属于基础题．22．求值sin（﹣）+cos＝0．【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝sin（﹣4π+）+cos（2π﹣）tan4π﹣cos（4π+）＝sin+0﹣cos＝+0﹣＝0．故答案为：0【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．23．sin（﹣π）的值为．【分析】利用诱导公式，故问题得解．【解答】解：sin（﹣π）＝，故答案为【点评】本题主要考查诱导公式的运用，属于基础题．三．解答题（共1小题）24．已知．（1）化简f（α）；（2）已知tanα＝3，求f（α）的值．【分析】（1）利用诱导公式可得＝cosα，sin（﹣π﹣α）＝sinα，＝﹣sinα，cos（5π﹣α）＝﹣cosα，进而化简化简f（α）；（2）由tanα＝3，将（1）中化简所得式子，分子分母同除以cosα（弦化切）后，代入可得答案．【解答】解：（1）＝（2）∵tanα＝3∴f（α）＝＝＝＝﹣2【点评】本题考查的知识点是诱导公式，同角三角函数间的基本关系，（1）的关键是理解“奇变偶不变，符号看象限“的原则，（2）的关键是掌握“弦化切“的技巧．。
第四课时 三角函数诱导公式例题展示(笔记整理)
第四课时 三角函数诱导公式例题展示（笔记整理）知识点一：第一组诱导公式展示诱导公式二:关于原点对称.sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.弧度时的关系式为:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.诱导公式三：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.诱导公式四:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.公式一—四:α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.例1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225°;(2)sin 311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°). 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-;(2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π)=-(-sin 3π)=23; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练1.利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′) =-cos29°45′=-0.868 2; (2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23. 例2 （2007全国高考,1）cos330°等于( ) A.21 B.21- C.23 D.23-答案:C变式训练2.化简:οοοο790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:οοοο790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21οοοοοοοο++++-+ =οοοοοοοο70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--οοοο. 知识点二：第二组诱导公式展示诱导公式六：公式五、六公式左边的角分别是2π±α,23π-α.其中2π,23π是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.例3.证明(1)sin(23π-α)=-cosα;(2)cos(23π-α)=-sinα. 证明:(1)sin(23π-α)=sin[π+(2π-α)]=-sin(2π-α)=-cosα; (2)cos(23π-α)=cos[π+(2π-α)]=-cos(2π-α)=-sinα. 点评:由公式五及六推得23π±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到212+k π(k∈Z )的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.例4. 化简.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ 解:原式=)]2(4sin[)]sin()[sin()cos ()]2(5cos[)sin )(cos )(sin (a a a a a a a a +++----+---ππππππ =)2sin()]sin ([sin )cos ()]2cos([cos sin 2a a a a a a a +------ππ=aa cos sin -=-tanα. 变式训练 3.已知cos(6π-α)=m(m≤1),求sin(32π-α)的值. 解:∈32π-α-(6π-α)=2π,∈32π-α=2π+(6π-α). ∈sin(32π-α)=sin ［2π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m. 4.已知sinα是方程5x 2-7x -6=0的根,且α为第三象限角, 求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +•--•-•-•+ππππππ的值.解:∈5x 2-7x -6=0的两根x=2或x=53-, ∈-1≤x≤1,∈sinα=53-. 又∈α为第三象限角,∈cosα=2sin -1-=54-. ∈tanα=43. ∈原式=)sin (sin )tan (tan )cos ()cos (2a a a a a a -•-••-•-=tana=43。
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基 础 巩 固
一、选择题
1．若cos65°＝a ，则sin25°的值是( ) A ．－a B ．a C.1－a 2 D ．－1－a 2
[答案] B
2．若sin(π2＋θ)<0，且cos(π
2－θ)>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角
[答案] B
3．已知cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－3
5，且α是第二象限角，则sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫α－3π2的结
果是( )
A.45 B ．－4
5 C ．±45 D.35
[答案] B
[解析] ∵cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－3
5， ∴－sin α＝－35，∴sin α＝3
5， 又α是第二象限角，∴cos α＝－4
5，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－3π2＝cos α＝－4
5.
4．已知sin α＝35，则sin(π
2＋α)的值为( ) A ．－3
5 B ．－4
5 C.4
5 D ．±45
[答案] D
[解析] sin(π2＋α)＝cos α，而sin α＝3
5， ∴cos α＝±45，于是sin(π2＋α)＝±4
5.
5．已知sin(α＋π4)＝13，则cos(π
4－α)的值为( ) A.22
3 B ．－22
3 C.1
3 D ．－13 [答案] C
[解析] cos(π4－α)＝cos[π2－(π
4＋α)]． ＝sin(α＋π4)＝1
3.
6．已知cos(3π2＋α)＝－3
5，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )
A.45 B ．－4
5 C ．±45
D.35
[答案] B
[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－3
5， ∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2
α＝－4
5.
二、填空题
7．化简sin (15π2＋α)cos (α－π2)
sin (9π2－α)cos (3π
2＋α)＝________. [答案] －1 [解析] 原式
＝sin[8π＋(α－π2)]cos (π
2－α)sin[4π＋(π2－α)]cos[π＋(π
2＋α)]
＝
sin (α－π
2)sin α
sin (π2－α)[－cos (π
2＋α)]
＝－cos αsin α
cos α[－(－sin α)]
＝－1.
8．已知sin(α－π4)＝35，那么cos(α＋π
4)的值是__________． [答案] －3
5
[解析] ∵(α＋π4)－(α－π4)＝π
2， ∴α＋π4＝π2＋(α－π4)，
∴cos(α＋π4)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－3
5. 三、解答题
9．化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π
2－α)
cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π
2＋α). [解析] 原式＝
sin α(－cos α)sin αcos[2π＋(π＋π
2－α)]
－cos αsin[2π＋(π－α)]sin[－(π－α)]sin[2π＋(π
2＋α)] ＝sin αsin αcos[π＋(π
2－α)]sin (π－α)[－sin (π－α)]sin (π2＋α)
＝sin αsin α[－cos (π
2－α)]sin α(－sin α)cos α＝sin α(－sin α)(－sin α)cos α＝tan α.
10．已知角α的终边经过点P (－4,3)， 求
cos (π
2＋α)sin (－π－α)
cos (11π2－α)sin (9π
2＋α)
的值． [解析] ∵角α的终边经过点P (－4,3)， ∴tan α＝y x ＝－3
4.
∴原式＝－sin α·sin α
－sin α·cos α
＝tan α＝－3
4.
能 力 提 升
一、选择题
1.已知sin(5π2＋α)＝1
5，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.25
[答案] C
[解析] 本题考查诱导公式，由sin(π2＋α)＝cos α＝1
5，知选C. 2．已知sin α＝513，则cos(π
2＋α)等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－1213 [答案] C
[解析] cos(π2＋α)＝－sin α＝－5
13.
3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π
2－α)等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－3
2 [答案] A
[解析] 由已知，得sin α＝1
2， 则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12.
4.若sin(π3－α)＝13，则cos(5π
6－α)的值为( ) A.13 B ．－13 C.223 D ．－223
[答案] B
[解析] cos(5π6－α)＝cos[π2＋(π
3－α)] ＝－sin(π3－α)＝－1
3.
5．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π
2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－2
4 D.24 [答案] A
[解析] sin(α＋π2)＝cos α＝13，又α∈(－π
2，0)， 所以sin α＝－
1－cos 2α＝－22
3，
则tan α＝sin α
cos α＝－2 2.
6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，sin(α－5π)·sin(3π2－α)等于( )
A.34
B.3
10 C ．±310 D ．－310
[答案] B
[解析]
sin α＋cos αsin α－cos α
＝
tan α＋1tan α－1
＝2，解得tan α＝3，则原式＝(－
sin α)(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2
α＝tan αtan 2α＋1＝332＋1
＝3
10. 二、填空题
7．已知α是锐角，且2tan(π－α)－3cos(π
2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是______________．
[答案] 310
10
[解析] 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，∴tan α＝3.又tan α＝sin α
cos α，
∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2
α，sin 2
α＝910. ∵α为锐角，∴sin α＝310
10.
8．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π
2－α)＝________. [答案] 3
4
[解析] ∵sin(π2＋α)＝cos α＝3
4， ∴sin(π2－α)＝cos α＝34.
9．化简
cos (5
2π－α)cos (－α)
sin (32π＋α)cos (21
2π－α)
＝________.
[答案] －1 [解析] 原式
＝cos[2π＋(π
2－α)]cos α
sin[π＋(π2＋α)]cos[10π＋(π
2－α)]
＝cos (π
2－α)cos α
－sin (π2＋α)cos (π2－α) ＝
sin αcos α
－cos αsin α
＝－1.
三、解答题
10．(2011～2012·宜春高一检测)化简：
cos (2π－α)sin (3π＋α)cos (3π2－α)
cos (－π
2＋α)cos (α－3π)sin (－π－α). [解析] 原式＝cos α(－sin α)(－sin α)
sin α(－cos α)sin α＝－1.
11．若sin(180°＋α)＝－10
10，0°<α<90°.
求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．
[解析] 由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)，得sin α＝1010，
cos α＝31010，
∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)
cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)
＝－sin α－cos α
－cos α＋sin α ＝－1010－31010－31010＋1010
＝2.
12．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π
2－α)tan 3α
cos (π2－α)cos (π
2＋α)
的值．
[解析] 由已知得sin α＝－3
5.
∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－4
5.
∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)
3
sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝3
4.。