线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系数学系数052 蒋春摘要：通过对二元线性方程组，三元线性方程组，四元线性方程组有关系数矩阵，增广矩阵的秩的分析，对其列，行向量的线性相关性分析，初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。

关键词：线性方程组 空间直线 系数矩阵 增广矩阵 矩阵秩 线性相关性引言：判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了几何与代数的完美结合，虽在解析中给出了两条判定定理，但在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用方程组系数矩阵，增广矩阵的秩，对其列，行向量的线性相关性作出系统研究，并给出了一些非常有用的结论。

1：二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系设线性方程组：11112222a x b y c l a x b y c l +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩因为i i i a x b y c +=表示平面内一条直线i l 根据解析几何知1l 与2l 的几何关系： ○1：相交的充分必要条件是（不重合）：()11221a b a b ≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ○2平行的充分必要条件是：()1112222a b c a b c =≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ○3重合的充分必要条件是：()1112223a b c a b c ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为1122a b A a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，111222a b c B a b c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦现记线性方程组增广矩阵的列向量112a a α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122b b α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，132c c α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则○1：由条件（1）相交的充分必要条件是（不重合）：1α与2α线性无关，即[]1112220a b A a b αα⎡⎤==≠⎢⎥⎣⎦或则Rank(A)=2 几何图形：○2由条件（2）平行的充分必要条件是： 1α与2α线性相关，1α、2α、3α线性无关，Rank(A)=1, Rank(B)=2 几何图形：○3由条件（3）重合的充分必要条件是： 1α、2α、3α线性相关，即Rank(A)= Rank(B)=1 几何图形：例：直线1l 与2l 的方程分别为269x y +=，4127x y +=确定他们的位置关系。

解：2626,41200⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26926941270011⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭262691,24124127Rank Rank ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即26412⎛⎫ ⎪⎝⎭线性相关，2694127⎛⎫⎪⎝⎭线性无关∴直线1l 与2l 是相互平行（不重合的）。

2：三元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系设线性方程组111112222233333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d πππ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩ 由解析几何知i i i i a x b y c z d ++=是空间内一个平面i π 两平面相交的充要条件是[]1：111222::::a b c a b c ≠ 平行的充要条件是11112222a b c d a b c d ==≠ 重合的充要条件11112222a b c d a b c d === 即相交的充要条件是1112222a b c rank a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭平行的充要条件是1112221a b c rank a b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭且111122222a b c d rank a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭重合的充要条件即111122221a b c d rank a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111122223333a b c d B a b c d a b c d ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦现记线性方程组增广矩阵的列向量1123a a a α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1223b b b α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1323c c c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1423d d d α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦现记线性方程组系数矩阵的行向量[]1111a b c β=[]2222a b c β=[]3333a b c β=线性方程组增广矩阵的行向量[]11111a b c d γ= []22222a b c d γ= []33333a b c d γ=由《高等数学》第五版 []2我们知1β，2β ，3β是平面1π ，2π，3π的法向量(1): 当()1233Rank ααα=时，()12343Rank αααα=。

这时方程组有唯一解。

几何意义：三个平面相交于一点。

几何图象：图形说明：三个1π ，2π，3π交于一点。

（2）当()1232Rank ααα=即()1232Rank βββ=时○1当()12342Rank αααα=时，参考《线性代数》[]3方程组有无数个解，且导出组的基础解系只有一个解向量。

几何意义：三个平面交于一条直线。

1，()1232Rank γγγ=且123γγγ中有两个向量相关。

几何意义：两个平面重合与第三个平面相交于一条直线。

几何图形：图形说明：有两个平面（不访设为1π ，2π）重合与第三个平面（3π）相交于一条直线。

2，()1232Rank γγγ=且123γγγ中两两向量无关。

几何意义：三个平面两两交于一条直线。

几何图形：图形说明：三个平面1π ，2π，3π两两交于一条直线。

○2当()12343Rank αααα=时由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组没有解。

1123,,βββ中有两个相关几何意义：其中两个平面平行，他们和第三个平面相交。

几何图形：图形说明：平面1π ，2π平行与平面3π相交。

2123,,βββ中有两两无关几何意义：三个平面两两相交，围成一个三棱拄 几何图形：图形说明：三个平面1π ，2π，3π两两相交，围成一个三棱拄 （3）当()1231Rank ααα=时，即()1231Rank βββ=，此时三个平面的法向量平行，就有三个平面平行。

○1当()12341Rank αααα=时，方程组有无数多个解，导出组的基础解系有两个解向量，此时三个平面代表同一个平面。

几何意义：三个平面重合 几何图形：图形说明：三个平面1π ，2π，3π重合。

○2()12342Rank αααα=时，方程组无解1，123γγγ中有两个向量相关。

这时有两个平面重合，第三个平面与他们平行。

几何意义：两个平面重合，第三个平面与他们平行。

几何图形：图形说明：两个平面（设为1π ，2π）重合与第三个平面（3π）平行。

2，123γγγ中有两两向量无关。

这时，三个平面相互平行不重合。

几何意义：三个平面相互平行不重合。

几何图形：图形说明：三个平面1π ，2π，3π相互平行不重合。

例： 1123()T a a a α=，()2123Tb b b α=()3123Tc c c α=，()4123Td d d α=1123()a a a β=，()2123b b b β=，()3123c c c β=，则三个平面0(1,2,3)i i i i a x b y c z d i +++==相交成三条平行的直线的充分条件是[] []4（A ）123()2rank a a a =，1234()3rank a a a a = （B ）123a a a 任两个线性无关，且4a 不能由123a a a 线性表出 （C ）123a a a 任两个线性相关，且4a 不能由123a a a 线性表出（D ）123,,βββ任两个线性无关，但123,,βββ线性相关，且4a 不能由123a a a 线性表出解：由题意得，线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 根据条件三个平面相交成三条平行的直线，则根据上面讨论满足条件的图形为：其相应的条件为123()2rank a a a =()12343Rank αααα=，123,,βββ中有两两无关对应为（D ）选项，即123,,βββ任两个线性无关，但123,,βββ线性相关，且4a 不能由123a a a 线性表出。

3，空间直线与空间平面的位置关系：1111122222..............a x b y c z d l a x b y c z d ππ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩ 如果111222::::a b c a b c ≠即1112222a b c rank a b c ⎛⎫=⎪⎝⎭则平面1π，2π相交成一条直线设为l 。

根据解析几何知识可化为直线的标准方程[5]000x x y y z z X Y Z---==式中112201122b d b d x a b a b --=，112201122d a d a y a b a b --=，00z =，1122b c X b c =，1122c a Y c a = ，1122a b Z a b = 设空间平面π方程33333a x b y c z d π++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 根据解析几何知识直线l 与平面3π的位置关系[6]1相交的充要条件：3330a X b Y c Z ++≠2平行的充要条件：3330a X b Y c Z ++= 3030303a x b y c z d ++≠3直线在平面上的充要条件：3330a X b Y c Z ++= 3030303a x b y c z d ++=设方程组111112222233333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d πππ++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩同前面一样设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为111222233a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111122223333a b c d B a b c d a b c d ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦现记线性方程组增广矩阵的列向量1123a a a α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1223b b b α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1323c c c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1423d d d α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦现记线性方程组系数矩阵的行向量[]1111a b c β=[]2222a b c β=[]3333a b c β=线性方程组增广矩阵的行向量[]11111a b c d γ= []22222a b c d γ= []33333a b c d γ=○1相交的充要条件：3330a X b Y c Z ++≠ 几何意义：直线l 与平面3π相交，此时只有一个交点。