勾股定理及其历史

• 毕达哥拉斯（公元前580—— 公元前500年）
• 毕达哥拉斯是在数学、天文学、 音乐理论上卓有建树的一位希 腊哲学家。英国哲学家波特 兰·罗素曾经写道，毕达哥拉 斯聪明也好，不聪明也好，他 却是一位在智力方面对后世影 响最大的人物，他又是历史上 一个令人惊讶的数学家，因为 他居然创立了一种数字宗教， 其主要教义是灵魂的不灭与轮 回、吃豆有罪以及另外一大堆 怪异的清规戒律。
勾股定理及其历史
勾股定理，是几何学中一颗灿烂而 夺目的明珠，被称为“几何学的基石”， 亦是大家争相研究证明的宠儿，有数学 学家、数学业余爱好者，有国家总统、 王公贵族，也有数学教师、学生和普通 百姓。它被誉为改变世界面貌的十大数 学公式之一。
勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方 和等于斜边c 的平方
以被3整除，另一个被5除尽。两条直角边的乘积可以被12整 除，而所有三边的乘积必可被60除尽。 问题：你能找到像3—4—5一样，边长是连续整数的三角形 吗？
但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留 下的一块数学泥板的研究中，惊讶的发 现上面竟然有15组勾股数，其年代远在 商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前 1900年到公元前1600之间。这些勾股数 组中有些是很大的数，即使在今天也往
从前，周公（周武王之弟）问算于商高：“我早听说过
您是位擅长数学的人，请问古时伏羲测量天文和制定历法， 可是天没有供攀登的台阶，地又不能用尺寸去测量，那么这 些数是从哪里的来的呢？”
商高回答说：“数是根据圆形和方形的数学道理计算得
来的。圆来自方，而方来自直角三角形。直角三角形是根据 乘法九九表通过乘除法的计算得出来的。将一线段折三段围 成直角三角形，一直角边（勾）为三，另一直角边（股）为 四，则斜边（弦）就是五。……”
欧几里得（公元前365年——公元前300年） 希腊几何学家、数论家、天文学家、物理学家，
他以《几何原本》（The Elements）著称于世，那 是一部内容宏富的13卷大书，收录了许多早期的希 腊数学成就。《几何原本》的不朽性使欧几里得成 为一切时代的第一流数学教师。欧几里得的《几何 原本》实际上用来作为讲授几何的范本，几乎长达 2500年之久，它教会了世人怎样进行系统思考。亚 伯拉罕·林肯在具体执法之前需要知道“论证”一词 的意义，他就在其肯塔基州的小木屋里点起蜡烛来 阅读欧几里得的书。除此以外，欧几里得在几何、 天文、光学、音乐方面也有不少著作，可惜其中的 大部分都已经永远失传了。（排名第三）
下面是一组在丢番图与早期希腊数学家时代，就为人所
知的一组便与寻找毕氏三角形的公式：
直角三角形的一边：X=m2-n2
另一直角边： Y=2mn
斜边：
Z=m2+n2
只要选取任何整数m、n，都会得到一个有用的结果。
然后得到：
XY Z
34 5
8 6 10
15 8 17
10 24 26
…………………………
令人动心的性质：在每个三组数中，其中必有一个整数可
毕达哥拉斯的著名定理：在一个直角三角形中，两条较短边 a、b的平方之和等于斜边c的平方，就是说：a2+b2=c2
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学
众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
《周髀算经》
• 在这里，商高明确 的指出了直角三角 形（勾股形）中直 角边和斜边“勾三 股四弦五”的数量 关系，即32+42=52
如果说，商高只是指出了直角三角形三边关系
式的一个特例，那么，《周髀算经》卷上介绍的荣 方和陈子的回答中，陈子（约公元前七世纪的人） 提出欲求斜边长可用“勾股各自乘，并而开方除之” 的方法，则明确揭示了直角三角形三边关系式的一 般形式：c2= a2+b2，即a2+b2=c2。这比毕达哥拉斯 也早了约一个世纪。
因此，在“毕达哥拉斯定理”之前，已经有了
“商高定理”，或者“陈子”定理。如果不用人名 命名，则可称为“勾股定理”。它是中国人商高和 陈子最早发现的。
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勾股定理在西方
• 在西方，人们把这个定理的发现与证明归 功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕 达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为 毕达哥拉斯数。关于这个定理，虽然号称 毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古 希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯 本人及其学派的有关证明，所以人们只能 对他可能用的方法进行一些揣测。有据可 查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》 （公元前3世纪）之中。
毕氏三角形是指a、b、c都是整数的三角形，其中3— 4—5却是毕达哥拉斯的宠儿，因为它是三边之长为连续整数 的唯一的毕氏三角形。还有，它是任何形状的、边长为整数 的三角形中仅有的一个，其边长之和（12）正好等于其面积 的二倍（6）。另外，除了3—4—5三角形之外，只有一个毕 氏三角形的面积是由清一色的数字表示的。它就是693— 1924—2045，其面积是666666。（两个666，是《圣经·启 示录》里著名的野兽数。）
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c， 那么
《周髀算经》卷上“周公问算”中曾经有过这样的记载：
“昔者周公问于商高曰：‘窃闻乎大夫善数也，请问古者包 犠立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问 数安从初？’商高曰：‘数之法出于圆方，圆出于方，方出 于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三，股修四，径 隅五，……’”译成白话文即为：
往不是人们所熟悉的：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
勾股数组 120， 119， 169 3456， 3367， 4825 4800， 4601， 6649 13500， 12709， 18541
72， 65， 97 360， 319， 481 2700， 2291， 3541 960， 799， 1249 600， 481， 769 6480， 4961， 8161
60， 45， 75 2400， 1679， 2929
240， 161， 289 2700， 1771， 3229
90， 56， 106
1971年，尼加拉瓜共和国发行了 十张邮票，上面印有改变世界面貌 的十个数学公式。勾股定理排名第 五。
这些都表明了勾股定理在我们生
活中的重要性，希望有兴趣的同学 可以进一步的进行探索。