坐标变换与电机统一理论

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第5章 坐标变换与电机统一理论
5.1.2 坐标空间的确定 以三相交流电机为例，用正交三维空间中的坐标系来表征 电机各相的瞬时值，如电流 ia、ib、ic ，电压 ua、ub、uc ， 磁链 a、 b、 c 等。 为了便于讨论问题，可设交流电机一组对称三相稳态电流 的瞬时值为 ia I m cos1t 2π （5-4） ib I m cos(1t ) 3 i I cos( t 2 π ) c m 1 3 同步角速度（角频率）
经坐标变换，可变换到旋转正交三维空间x、y、z系统。该坐标
系统中由互相垂直的x轴与y轴所组成的平面，与旋转向量I 所在 的P平面重合， 且以同步角速度绕垂直于 x、y 轴的第三轴线z
旋转。y轴超前x轴90电角度。该x、y、z旋转坐标系统与A、B、
C静止坐标系统均表示在图5-3中，可见旋转向量I 相对于x、y、 z旋转坐标系统是静止的。
（5-1）
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第5章 坐标变换与电机统一理论
矩阵形式
x1 c11 c12 c1n x '1 x c x ' c c 2n 2 2 21 22 xn cn1 cn 2 cnn x 'n
第5章 坐标变换与电机统一理论
第5章 坐标变换与电机统一理论
5.1 坐标变换理论 5.2 电机统一理论 5.3 直流电动机模型 5.4 交流异步电动机模型
5.5 交流同步电动机模型
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第5章 坐标变换与电机统一理论
电机种类很多，普通的就有直流电机、交流异步电机和交 流同步电机，还有许许多多的特种电机或控制电机。这些电机
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第5章 坐标变换与电机统一理论
写成矩阵形式
cos ix i 2 sin y 3 iz 1 2
2π 2π cos( ) cos( ) 3 3 ia 2π 2π sin( ) sin( ) ib 3 3 1 1 ic 2 2
重要意义。
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第5章 坐标变换与电机统一理论
5.1.1 线性变换简介 线性变换的定义是：对于某一组变量 x1 ,' , x' 2 ,, x' n 去代替，这些新变量与原变量
之间有着线性的关系，表现为一组线性方程，即
x1 c11 x '1 c12 x '2 c1n x 'n x c x ' c x ' c x ' 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 x '1 cn 2 x '2 cnn x 'n
（5-17）
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第5章 坐标变换与电机统一理论
将上式代入式（5-10），得
2 2π 2π I [ia cos ib cos( ) ic cos( )]x 3 3 3 2 2π 2π [ia sin ib sin( ) ic sin( )] y 3 3 3 1 (ia ib ic ) z 3
（5-22）
大小问题？
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第5章 坐标变换与电机统一理论
ia1 ia ia2 ia0，ib1 ib ib2 ib0，ic1 ic ic2 ic0
（5-18）
2 2π 2π ix [ia cos ib cos( ) ic cos( )] 3 3 3 2 2π 2π iy [ia sin ib sin( ) ic sin( )] 3 3 3 1 iz (ia ib ic ) 3
（5-7）
媒介坐标系统
a-b-c
C P平面 c O b
示，则需将该投影乘以一个系
数“
2 3
Im
a
”。下面我们就用a、
A
b、c 轴线上的投影值来表示三 相电流 ia、ib、ic 。
3 Im 2
图5-2 A-B-C轴线与a-b-c轴线的投影关系
B
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第5章 坐标变换与电机统一理论
5.1.3 坐标变换的一般方法 在静止的正交三维空间A、B、C系统中， 所表征的电磁量
基本关系可知
I ia a ib b icc 2 3 2π 2π I m [a cos b cos( ) c cos( )] 3 2 3 3
（5-10）
由式（5-6）可知，向量I方向上的单位向量应为
I I I 3 Im 2
（5-11）
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第5章 坐标变换与电机统一理论
该单位向量就是x轴的单位向量 的关系为
x
，它与单位向量 a、b、c
x
I 2 2π 2π [a cos b cos( ) c cos( )] 3 3 3 3 Im 2
（5-12）
y轴的单位向量可定义为
dI （5-10） d t y dI dt
1 I m 2π 2π y [a sin b sin( ) c sin( )] 3 3 3 1 I m 2 2 2π 2π [a sin b sin( ) c sin( )] 3 3 3
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第5章 坐标变换与电机统一理论
这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三维空间A、B、 C坐标系中的旋转向量I 在各轴上的投影表示，即旋转向量I 每 一瞬间在三维空间A、B、C坐标轴上的投影为 ia、ib、ic ， 用向量形式表示如下：
I Aia Bib Cic 2π 2π AI m cos1t BI m cos(1t ) CI m cos(1t ) 3 3
x y z
a b c
sin cos 2 2π 2π cos( ) sin( ) 3 3 3 2π 2π cos( ) sin( ) 3 3
1 2 x 1 y 2 z 1 2
z 与 a、b、c
z
1 3
(a b c )
（5-15）
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第5章 坐标变换与电机统一理论
cos 2 sin 3 1 2 2π 2π ) cos( ) 3 3 a 2π 2π sin( ) sin( ) b （5-16） 3 3 1 1 c 2 2 cos(
（5-21）
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第5章 坐标变换与电机统一理论
式（5-20）与式（5-21）为一般的静止坐标系统A、B、C与 旋转坐标系统x、y、z之间的变换关系式。由于 ia、ib、ic 和
ix、iy、iz 分别为旋转向量I 在静止坐标系统与旋转坐标系统中
各轴线上的投影，且 ia、ib、ic 之瞬时值可通过与旋转坐标系统 同一平面P的“媒介坐标系统a、b、c”去表征，旋转坐标系统的 转速，若从与a、b、c系统的相对转速去理解，显然不一定是同 步转速，可以是任意转速，即式（5-20）与式（5-21）可适用于
B
A
π 6
π 2
图5-1 正交三维空间A-B-C
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第5章 坐标变换与电机统一理论
如图5-2所示，A、B、C轴线在P平面上的投影分别为a、b、 c 轴线，它们互差120电角度。由于a 轴与A 轴之间的夹角为
Im 2 arccos arccos 3 3 Im 2
若A、B、C轴线上的坐标直接 用a、b、c 轴线上的投影来表
A
I
ω1 x
v
dI dt
A
a
b
B 图5-2 A-B-C轴线与a-b-c轴线的投影关系
图5-3 静止的A-B-C坐标系与旋转的x-y-z坐标系
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第5章 坐标变换与电机统一理论
设t=0时，I与a轴重合，则任何时刻I与a轴的夹角 1t （也就是x轴与a轴的夹角）。
由于向量I与a、b、c轴线在同一平面P之内，从空间向量的
1 2 ix 1 iy 2 iz 1 2
（5-20）
sin cos ia i 2 cos( 2π ) sin( 2π ) b 3 3 3 ic 2π 2π cos( ) sin( ) 3 3
虽然结构各异，但在电磁本质上却都是一种具有相对运动的耦
合电路，因此其数学模型的建立应具有相似性或统一性。 坐标变换理论和电机统一理论就是建立电机通用数学模型 的基础。
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第5章 坐标变换与电机统一理论 5.1 坐标变换理论
坐标变换是一种线性变换（线性代数），在高等数学里已
初步涉及到这些内容，不过那里只限于平面坐标的变换，并且
任意转速的旋转坐标系统。
转速问题？
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第5章 坐标变换与电机统一理论
另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，可为时间t 的函 数。设 ia、ib、ic 为一不对称的三相系统的电流量，其中含有正
序、负序和零序三个分量，即
ia ia1 ia 2 ia0 ib ib1 ib 2 ib0 i i i i c c1 c2 c0
由于旋转向量I 的线速度可表示为其角速度 ω1 与I 的向量积，
即
dI v ω1 I dt
（5-8）
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第5章 坐标变换与电机统一理论 ω 1是旋转向量I 相对于静止的A、B、C系统的角速度，其向量
的表示式为
C P平面
ω1 1 z
z 轴
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单位向量
y z O B
c O C P平面
向量形式
X CX '
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第5章 坐标变换与电机统一理论