数学三十六计续集20：位值原理
20之内的加减心算技术
20之内的加减心算技术(2013-01-20 16:50:55)标签：由于近段时刻，许多家长在辅导幼儿20之内的加减法时显现了很多疑问，来找我询问20之内的加减法咱们在班上是如何教学的，为了方便列位家长的教学方式与咱们同步，此刻将咱们上课时的教学方式与列位家长分享如下：一、20之内数的加法。
一、要想熟练把握20之内数的加法运算，必需熟练10之内数的,加法，也确实是不进位加法。
如：5+4=9，6+2=8等，尤其要记住相加等于10的两个数：如5+5=10，6+4=10等。
（10之内的加减是20之内的加减的基础，请列位家长必然在家帮忙幼儿把握10之内的加减法，那个基础是以2--10的分成为基础的，因此家长能够采取用10根小棒，来幼儿来自己试探来把握，如此幼儿的明白得就会更深刻一些，毕竟是通过自己实践得来的，因此也可不能要求小孩去死记硬背，实际上是在游戏中把握了10之内的分成）二、在进行进位加法时，刚开始学习能够采纳数一数的方式或是接着数。
如8+5=，能够从8后面接着数五个数，9,10,11,12,13。
因此8+5=13（那个是在方才开始的时候，以后就不用这种方式了。
3、一般是采纳“凑十法”。
运用凑十法能将20之内的进位加法转化为学生所熟悉的10加几的题目，从而化难为易。
仍是8+5=，咱们是如此教小孩的，：“胡老师，我想的是5，5能够成2和3，8+2=10，5分了2走，还剩3，10+3=13，因此这道题等于13.”（在幼儿方才开始学习的时候，必然要让小孩把这段话说出来，因为确实是要让小孩知其然还要知期因此然，不管运用那种方式，都需要学生在计算时，说出算理，学生在熟知算理的基础，慢慢将算理内化到内心，形成口算的基础。
2。
“凑十法”需要注意先看大数如9+6=，就要看9需要凑几组成十。
我在网上搜到一首童谣：小朋友,拍鼓掌,大伙儿一路把十凑, 9凑1, 8凑2,7凑3来6凑4，两5相凑恰好够!3.需要幼儿把握的一些识记的东西：第一个需要识记的是：10加几就等于10几，例如：10+1=11 10+2=12，一直加到9，第二个需要识记的确实是1+1=2 2+2=4 3+3=6 4+4=85+5=10 6+6=12 7+7=14 8+8=16 9+9=18 10+10=20二、20之内数的减法一、第一看个位够不够减，若是够减，能够直接从个位中减去，如：15-4=11，要求小孩会说，咱们是如此说的：“胡老师，我想的是先把十位上的1移到等号后，再把5-4等于1，因此这道题等于11（一样的方才开始的时候，必然要求小孩要说出是怎么样做的）二、个位不够减，就要看这道题的减数，若是减数是9,8等各数，能够采纳破十法。
小学思维数学讲义：位值原理-带详解
⼩学思维数学讲义：位值原理-带详解位值原理1. 利⽤位值原理的定义进⾏拆分2. 巧⽤⽅程解位值原理的题位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越⼤，如果这种联系过程中，只⽤我们的⼿指头，那么到了“⼗”这个数，我们就⽆法数下去了，即使象古代墨西哥尤⾥卡坦的玛雅⼈把脚趾也⽤上，只不过能数⼆⼗。
我们显然知道，数是可以⽆穷⽆尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表⽰它们，如何对它们进⾏运算。
这就涉及到了记数，记数时，同⼀个数字由于所在位置的不同，表⽰的数值也不同。
既是说，⼀个数字除了本⾝的值以外，还有⼀个“位置值”。
例如，⽤符号555表⽰五百五⼗五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表⽰五个⼀，最左边的五表⽰五个百，中间的五表⽰五个⼗。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三⼤法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同⼀个数字，由于它在所写的数⾥的位置不同，所表⽰的数值也不同。
也就是说，每⼀个数字除了有⾃⾝的⼀个值外，还有⼀个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表⽰2个⼀，写在百位上，就表⽰2个百，这种数字和数位结合起来表⽰数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。
3.解位值⼀共有三⼤法宝：（1）最简单的应⽤解数字谜的⽅法列竖式（2）利⽤⼗进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列⽅程解答模块⼀、简单的位值原理拆分【例 1】⼀个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，⼗位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以⼗位数字加个位数字等于100÷10＝10。
三十六计.pdf
三十六计原序用兵如孙子，策谋三十六。
六六三十六，数中有术，术中有数。
阴阳燮理，机在其中。
机不可设，设则不中。
【按语】解语重数不重理。
盖理，术语自明；而数，则在言外。
若徒知术之为术，而不知术中有数，则数多不应。
且诡谋权术，原在事理之中，人情之内。
倘事出不经则诡异立见，诧事惑俗而机谋泄矣。
或曰，在三十六计中，每六计成为一套，第一套为胜战计，第二套为敌战计，第三套为攻战计，第四套为混战计，第五套为并战计，第六套为败战计。
第一计瞒天过海备周则意怠，常见则不疑。
阴在阳之内，不在阳之对。
太阳，太阴。
【按语】阴谋作为，不能于背时秘处行之。
夜半行窃，僻巷杀人，愚俗之行，非谋士之所为也。
如：开皇九年，大举伐陈。
先是弼请缘江防人，每交代之际，必集历阳，大列旗帜，营幕蔽野。
陈人以为大兵至，悉发国中士马，既而知防人交代，其众复散。
后以为常，不复设备。
及若弼以大军济江，陈人弗之觉也，因袭南徐州，拔之。
第二计围魏救赵共敌不如分敌，敌阳不如敌阴。
【按语】治兵如治水，锐者避其锋，如导疏；弱者塞其虚，如筑堰。
故当齐救赵时，孙子谓田忌曰：“夫解杂乱纠纷者不控拳，救斗者不搏击。
批亢捣虚，形格势禁，则自为 解耳。
”第三计借刀杀人敌已明，友未定，引友杀敌，不自出力，以《损》推演。
【按语】敌象已露，而另一势力更张，将有所为，便应借此力以毁敌人。
如：郑桓公将欲袭郐，先向郐之豪杰、良臣、辨智、果敢之士尽书姓名，择郐之良田赂之，为官爵之名而书之，因为设坛场郭门之处而埋之，衅之以鸡猪，若盟状。
郐君以为内难也，而尽杀其良臣。
桓公袭郐，遂取之（《韩非子·内储说下》）。
诸葛亮之和吴拒魏，及关羽围樊、襄，曹欲徙都，懿及蒋济说曹曰：“刘备、孙权外亲内疏，关羽得志，权必不愿也。
可遣人劝蹑其后，许割江南以封权，则樊围自释。
”曹从之，羽遂见擒（《长短经·格形》）。
第四计以逸待劳困敌之势，不以战；损刚益柔。
【按语】此即致敌之法也。
兵书云：“凡先处战地而待敌者佚，后处战地而趋战者劳。
数学三十六计
[转载]学数学36计(2010-07-30 11:22:39)转载原文标签：转载原文地址：学数学36计作者：李广学第1计：挖掘潜能。
不管你现在情况怎样，你都要相信自己还有巨大的潜能。
从现在到高考进步50名的大有人在，进步80名的也有可能。
.第2计：坚定意志。
高考其实是看谁坚持到最后，谁就笑到最后。
考生应全力以赴知难而进，战胜惰性提升意志.第3计：调好心态。
心态决定成败，高考不仅是知识和智力的竞争，更是心理的竞争。
考生应努力改变最近的不良心态。
第4计：把握自我。
复习时紧跟老师踏踏实实地复习没有错，但也要有自我意识：“我”如何适应老师的要求，如何根据自己的特点搞好最后阶段的复习，如何在“合奏”的前提下灵活处理“独奏”。
第5计：战胜自我。
面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有“战胜自我”，才能海阔天空。
第6计：每日做题。
每日做些题目，让自己保持对问题的敏感，形成模式识别能力。
当然，做题的数量不能多，难度不宜大。
第7计：一次成功。
面对一道题（最好选择陌生的中档题）用心去做，看看能否一下子就理出思绪，一做就成功。
一份试卷，若不能一次成功地解决几道题，就往往会因考试时间不够而造成“隐性失分”。
第8计：讲求规范。
建议考生找几道有评分标准的考题，认真做完，再对照评分标准，看看答题是否严密、规范、恰到好处。
第9计：回到基础。
一般说来，考前不宜攻难题，既没有这么多的时间，也没必要。
要回到基础，把基础打扎实，在考试时才能做到“基础分一分不丢”。
第10计：限时训练。
可以找一组题（比如10道选择题），争取限定一个时间完成；也可以找1道大题，限时完成。
这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水平。
第11计：激活思维。
可以找一些题，只想思路：第一步做什么，第二步做什么……（不必具体详解）再对照解答，检验自己的思路。
这样做，有利于在短时间里获得更多的解题方向。
第12计：勤于总结。
应当把每一次练习当成巩固知识、训练技能的一次机会。
【为学溪精品】数学天机36计
高
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1 1 1 1 1 1 + + + +L+ + 2 2 ，则 3 12 30 60 nC n −1 (n + 1)C n
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第1计
●计名释义
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●典例示范 ［例题］ （2006 年鄂卷第 15 题）将杨辉三角中的每一个 数 C n 都换成分数
r
令 an =
n→∞
lim an =
.
长
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然 大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 的主意.
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数学破题 36 计
目
第1计 第2计 第3计 第4计 第5计 第6计 第7计 第8计 第9计 第 10 计 第 11 计 第 12 计 第 13 计 第 14 计 第 15 计 第 16 计 第 17 计 第 18 计 第 19 计 第 20 计 第 21 计 第 22 计 第 23 计 第 24 计 第 25 计 第 26 计 第 27 计 第 28 计 第 29 计 第 30 计 第 31 计 第 32 计 第 33 计 第 34 计 第 35 计 第 36 计 芝麻开门 西瓜开门 诸葛开门 关羽开门 才子开门 勇士开门 模特开门 小姐开门 瞎子开门 聋子开门 耗子开门 小刀开门 钥匙开门 鲜花开门 驿站开门 摆渡开门 化归开门 转换开门 模式开门 讨论开门 图表开门 数形开门 探索开门 杠杆开门 函数开门 数列开门 方程开门 三角开门 向量开门 统计开门 解几开门 立几开门 导数开门 参数开门 符号开门
小学奥数数论位值原理知识点
小学奥数数论位值原理知识点【篇一】1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个"位置值"。
例如"2",写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三*宝：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式，列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答4、位置原理重难点：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式，列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答【篇二】位置原理例题：例1.a、b、c是1——9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍?解答：组成六个数之和为:10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b=22a+22b+22c=22(a+b+c)很显然，是22倍例2.一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍于25之差，求这个数。
解答：设它百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c则100a+10b+c=4(10b+c)化简得5(20a-6b+5)=3c因为c为正整数,所以20a-6b+5是3的倍数又因为0≤c≤9所以0≤3c/5≤5.4所以0≤20a-6b+5=3c/5≤5.4所以3c/5=3即c=5所以20-6b+5=3化简得3b-1=10a按照同样的分析方法,3b-1是10的倍数,解得b=7最后再算出10a=3*7-1=20则a=2所以答案为275。
【篇三】练习题1.有一类三位数,它的各个数位上的数字之和是12,各个数位上的数字之积是30,所有这样的三位数的和是多少2.一个两位数,各位数字的和的5倍比原数大4,求这个两位数.3.一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和,求这个三位数.4.将一个三位数的数字重新排列,在所得到的三位数中,用最大的减去最小的,正好等于原来的三位数,求原来的三位数.5.在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码,这个两位数就变成了三位数,有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数,恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.6.将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大8802.求原来的四位数.7.将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数.现有一个四位数码互不相同,且没有0的四位数M,它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大4338.求这个四位数.。
三十六计全解
三十六计全解一、胜战计第一计:瞒天过海备周则意怠，常见则不疑。
阴在阳之内，不在阳之对。
太阳，太阴认为防备得周全更容易使人大意，习以为常的事，就容易失去警觉，秘密隐藏在公开的事务里，并非存在与公开暴露的事务之外，公开暴露的事务发展到极端，就形成了最隐秘的潜藏状态。
原意是指用各种巧妙的伪装，混淆皇帝的视听，瞒骗他上船，使其在不知不觉中跟随大队人马安全顺利地渡过大海;比喻用谎言和伪装向别人隐瞒自己的真实意图，在背地里偷偷地行动。
第二计:围魏救赵共敌不如分敌;敌阳不如敌阴。
攻打兵力集中的敌人，不如想办法分散兵力再进攻;先打击气势旺盛的敌人，不如后打击气势旺盛的敌人。
原指战国时齐军用围攻魏国的方法，迫使魏国撤回攻赵部队而使赵国得救。
后指袭击敌人后方的据点以迫使进攻之敌撤退的战术。
第三计:借刀杀人敌已明，友未定，引友杀敌，不自出力，以损推演。
目标敌人已经明确，但是不确定盟友是谁，借用盟友的力量去打击敌人，自己不出面也不出力，就可以达到目的，是由易经的“损”卦推演而出。
计谋比喻自己不出面，假借别人的手去害人。
为了保护自己的实力而巧妙地利用矛盾的谋略。
第四计:以逸待劳困敌之势;不以战，损刚益柔。
想要围困敌兵，不一定要用作战的方式;可以逐渐消耗敌人的有生力量，使敌人由强变弱，使“强敌”受损失而使“弱己”有所增益。
指在战争中做好充分准备，养精蓄锐，等疲乏的敌人来犯时给以迎头痛击。
第五计:趁火打劫敌之害大，就势取利，刚绝柔也。
在敌方处于危机的时候，就要趁机对敌人使用武力而夺取胜利，这就是强者趁势击败处于厄境之敌的策略。
趁人家失火的时候去抢劫;比喻趁别人紧张危急的时候去捞取好处或趁机害人。
第六计:声东击西敌志乱萃，不虞。
坤下兑上之象，利其不自主而取之。
敌人意志混乱，不严整。
是水在上，地在下的卦相，利用敌人的不能自我控制而攻取他们这个成语是使对方产生错觉以出奇制胜的一种战术，一种策略思想，意为表面上声称攻打东边，实际上却攻打西边。
位值原则——精选推荐
位值原则红孩儿专题前言：同一个数字，由于它在数里的位置不同，所表示数的大小也不同。
也就是说，每一个数字除了本身的值外，还有一个“位置值”。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，用阿拉伯数字和位值原则可以表示出整数。
例如，358=3×100+5×10+8×1。
根据问题的需要，有时我们要用字母代替阿拉伯数字表示数，这时要在字母上画一条横线，如：abc，它表示a×100+b×10+c×1，这种表示方法用以区别abc= a×b×c。
例题精讲：例1：证明：ab + ba 必是11的倍数。
分析与解：如果停留在两位数的层面上思考题目，则会觉得很难说清道理，通过实际例子会认为这是千真万确的，无须说明。
位值原则的用意是把一个多位数拆成几个单独的（仅含一个计数单位）数，然后进行重新组合，并从中分析出问题的实质。
解：ab + ba = （10a+b）+（10b+a）=11a +11b=11（a+b）显然11（a+b）必是11的倍数，所以ab + ba 必是11的倍数。
命题得证。
例2：在一个三位数的前面加上一个3可以组成一个四位数，在它的后面加上一个3也能组成一个四位数，这两个四位数的差是1368。
求原来的三位数是多少？分析与解：我们可以设这三位数是a，而不要设成abc ，不然在使用数值原则时，拆开的数中含的字母太多，不易使用解方程的方法求解，但我们时刻要记住，这里的a是一个三位数，在它前面加的数字3是千位上的数字，表示3×1000，a则表示a×1，比如342表示342个1也就是342×1；当在a后面加数字3时，a的计数单位是十，表示a×10，而不表示a×1000。
这里还需要考虑a的最高位是比3大还是比3小，如果a的最高位上的数字比3大，则是：a3 － 3a =1368；如果a的最高位上的数字比3小，则能得到：3a － a3 =1368。
数学教学中的三十六计
数学教学中的三十六计高博提起数学教学，总是会让人联想起一条条的定律、公理；一道道的计算题、应用题，简单枯燥的感觉油然而生。
其实，在数学中蕴含着许许多多的乐趣，只要教师善于发现和引导，那么，数学教学将让你和学生们一起获益。
这里，我们不妨利用兵法中的三十六计来谈谈今天的数学教学：第一计：暗渡陈仓对于数学教学中的重点和难点，教师不妨先以思考题的形式让学生课前进行预习和研究，在预习和研究过程中，无论学生是否能够将重难点解决，都会在一定程度上加深了他对这部分知识的印象。
比如：第九册的《简易方程》一节，学生们对于解简易方程以前有所接触，只是没有明确概念而已，那么难点应该是对方程，方程的解，解方程这几个概念的明确。
针对这一点，我事先给学生留了这样的连线思考题：方程一个值方程的解一个过程解方程一个等式这样，学生在课前对这三个概念的区别就有了初步的印象，在课堂上对于相关的知识就能有针对性的提出问题，明确了听课重点，使知识学习得到深化。
这样明修栈道、暗渡陈仓，既锻炼和培养了学生的自学能力，又提高了课堂效率。
第二计：无中生有在我们现在使用的九义小学数学教材中，有一些课时的知识容量比较少，学生通过自学完全可以掌握，这时，教师就要善于“无中生有”，从中发现和提炼研究的课题，使数学课变为研究课，体现数学的研究性。
例如，我在教学“乘法交换律和结合律”的时候，抓住“加法交换律和结合律”这一已学知识，让学生联系它去证明乘法是否也有交换律和结合律，并自己总结、归纳公式；在学习“三角形内角和180度”时，我则是重点让学生去寻取各种各样的途径来证明三角和的内角和是180度。
这样，在学习知识的同时，培养学生的研究意识，使他们体会数学知识的整体性和关联性。
第三计：打草惊蛇教师往往容易有这样一个错误的想法，对于自己要讲的内容讳莫如深，深怕学生知道。
我倒认为，如果学生不知道才真是件糟糕的事情。
每每在有新行动之前，我都要提前和学生们渗透一下：“老师明天可能要讲什么课了，课上我要重点考察什么”“下节课堂上我有可能要测试大家的口算了”“明天我有可能要在三角形分类部分出一个思考题”等等。
位值原理与整数四则运算
位值原理与整数四则运算本文将介绍位值原理与整数四则运算。
首先，我们将简要介绍位值原理，然后分别讨论整数加法、减法、乘法和除法的计算方法。
一、位值原理位值原理是指数与其位值之间的数学关系。
在十进制系统中，每一位上的数字代表的是10的n次方倍，其中n是该位的索引（从右向左）。
例如，数字1234的每一位可以表示为：1×10^3+2×10^2+3×10^1+4×10^0同样，再看二进制系统。
在二进制系统中，每一位上的数字代表的是2的n次方倍，其中n是该位的索引（从右向左）。
例如，数字1101的每一位可以表示为：1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0二、整数加法整数加法的计算方法是将两个数的每一位进行相加，并考虑进位。
从右向左逐位相加，如果两位相加的和大于等于基数（10或者2），就需要进位。
进位的结果会在下一位的计算中被考虑。
例如，我们计算十进制数37和58的和时：37+58—-在二进制中，计算1101和1011的和时：1101+1011三、整数减法整数减法的计算方法是将被减数减去减数。
从右向左逐位相减，如果被减数的其中一位小于减数的对应位，那么需要向高位借位。
例如，我们计算十进制数124减去58时：124-5866-1011110四、整数乘法整数乘法的计算方法是将两个数的每一位进行相乘，并将结果相加。
首先，我们计算第一个数的每一位与第二个数的乘积，然后按照位权相加的原则得到最后结果。
例如，我们计算十进制数23乘以5时：23×5在二进制中，计算1101乘以11时：1101×1111010000(向左移动一位，相当于乘以2)1101(向左移动三位，相当于乘以8)五、整数除法整数除法的计算方法是将被除数除以除数，得到商和余数。
从被除数的最高位开始，逐步向下计算商和余数。
例如，我们计算十进制数50除以7时：7---------7，50-49------因此，商为7，余数为1、即50除以7的结果是7余1101-------------10综上所述，位值原理为我们提供了一种计算整数四则运算的方法。
36计_360百科
36计_360百科“三十六计”兵书36计一语，先于著书之年，语源可考自南朝宋将檀道济（？—公元436年），据《南齐书·王敬则传》：“檀公三十六策，走为上计，汝父子唯应走耳。
”意为败局已定，无可挽回，唯有退却，方是上策。
此语后人赓相沿用，宋代惠洪《冷斋夜话》：“三十六计，走为上计。
”。
及明末清初，引用此语的人更多。
于是有心人采集群书，编撰成《三十六计》。
但此书为何时何人所撰已难确考。
原书按计名排列，共分六套，即胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计。
前三套是处于优势所用之计，后三套是处于劣势所用之计。
每套各包含六计，总共三十六计。
其中每计名称后的解说，均系依据《易经》中的阴阳变化之理及古代兵家刚柔、奇正、攻防、彼己、虚实、主客等对立关系相互转化的思想推演而成，含有朴素的军事辩证法的因素。
解说后的按语，多引证宋代以前的战例和孙武、吴起、尉缭子等兵家的精辟语句。
全书还有总说和跋。
三十六计是我国古代兵家计谋的总结和军事谋略学的宝贵遗产，为便于人们熟记这三十六条妙计，有位学者在三十六计中每取一字，依序组成一首诗：金玉檀公策，借以擒劫贼，鱼蛇海间笑，羊虎桃桑隔，树暗走痴故，釜空苦远客，屋梁有美尸，击魏连伐虢。
三十六计金蝉脱壳、抛砖引玉、借刀杀人、以逸待劳、擒贼擒王、趁火打劫、关门捉贼、浑水摸鱼、打草惊蛇、瞒天过海、反间计、笑里藏刀、顺手牵羊、调虎离山、李代桃僵、指桑骂槐、隔岸观火、树上开花、暗渡陈仓、走为上、假痴不癫、欲擒故纵、釜底抽薪、空城计、苦肉计、远交近攻、反客为主、上屋抽梯、偷梁换柱、无中生有、美人计、借尸还魂、声东击西、围魏救赵、连环计、假道伐虢。
折叠编辑本段原典六六三十六，数中有术①，术中有数。
阴阳燮理②，机在其中。
机不可设，设则不中③。
兵书作者注释①数中有术：数目里包含着谋略。
②阴阳燮理：阴阳相互协调的道理。
③机不可设，设则不中：时机不能过分完备，过分完备就会贻误战机。
折叠编辑本段按语解语重数不重理。
数学破题36计(17-20)
第17计 化归开门江山一统●计名释义整数乘法有口诀：2×3=6，5×7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀，那么分数在怎样作乘法呢？35675327352=⨯⨯=⨯，原来是在进行“转化”，变成了分子分母上的整数乘法.化归思想，连小学生都在用，有一老师问学生：前100个偶数的和为多少？一学生回答：10100.老师问怎么来的？学生回答：由前100个自然数的和来的： 2+4+…+200=2×（1+2+…+100）=2×5050=10100. 这就是数学解题中的“化归法”，复杂向简单化归，陌生向熟悉化归，未知向已知化归。
●典例示范【例1】 已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +1.求数列的通项公式及前n 项和S n .【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列，但又看到其中既含等差数列又含等比数列：比如把递推式中的常数1去掉，则变成等比数列，把系数2换成1则变成等差数列.为此，破题工作在化归上寻找入口：向等比（等差）数列转换.【解答】 在递推式a n +1=2a n +1两边加1，化为(a n +1+1)=2(a n +1)，数列{a n +1}为等比数列，公比q =2. 所以a n +1=2n -1(a 1+1)，即a n =2n -1，且S n =2n -n-1.【插语】 本数列的一般形式为：a n +1=ka n +b (k ≠0、1，b ≠0)，有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例，分别是k =1，或b =0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得：设a n +1+c=k (a n +c )=ka n +kc ⇒a n +1=ka n +kc-c ⇒kc-c=b ，c =.1-k b 对于上题，b =1，k =2，因此解得c =1.【点评】 化归开门体现在本题中：把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元，实际上是a n +1+c=b n +1=kb n . 说来也很滑稽，对中学生来讲，不向“等比（等差）”化归，还有什么别的出路呢？ 【例2】 已知三条抛物线y =x 2+4ax -4a +3，y =x 2+(a -1)x +a 2，y =x 2+2ax -2a 中至少有一条抛物线与x 轴有交点，求实数a 的取值范围.【解答】 解答本题如果从正面入手，将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x 轴有交点的三类七种情况加以讨论，过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考，即考虑三条抛物线都不与x 轴相交，则只要解下列不等式组：.12302131,212308404)1(,0)34(4162322221-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--<><<-⎪⎩⎪⎨⎧<+=∆<--=∆<-+=∆a •a a a a •a a a a a a 从而可得或解得所以使得原命题成立的实数a 的取值范围是a ≤.123-≥-a 或【点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面，则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.【例3】 已知a ，b ，c 均为正整数，且a 2+b 2+c 2+48<4a +6b +12c ，求a b cc b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++111的值.【解答】 因为原不等式两边均为正整数，所以不等式a 2+b 2+c 2+48<4a +6b +12c 与不等式a 2+b 2+c 2+48+1≤4a +6b +12c 等价，这个等价不等式又可化为(a -2)2+(b -3)2+(c -6)2+(c -6)2≤0,故.111163.2=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎩⎪⎨⎧===abcc b a •c b a 于是可得【点评】 将等式与不等式对应转化，是转化数学问题常用的、有效的手段.●对应训练1.空间两条异面直线a ，b 所成的角为3π，过不在a ,b 上的任意一点P 作一条直线c ，使直线c 与直线a,b 成相等的角θ，则θ的取值范围为 ( )A .θ∈ΦB .θ∈{2π} C .θ∈［3π，2π] D .θ∈［6π，2π］2.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则qp 11+等于 （） A .2a B.a 21 C.4a D.a43.函数f (x )满足:对任意实数x,y 都有f (x )+f (y )=)1(xyyx f ++，且当x <0时，都有f (x )>0. 求证：).21()131()111()51(2f n n f f f >+++++●参考答案1.解析 若在三维空间考虑该问题，就显得千头万绪.如右图所示， 过直线b 上任意一点A 作直线 a ′∥a ，a ′与b 确定平面a ， 把点P 移动到A 点，问题便转化为过A 点作一条直线c ′与直线a ′，b 所成的角均为θ，求θ的取值范围.易知当直线c ′在平面a 内时， 第1题解图直线c ′与a ′，b 所成的角最小为6π，当c ′⊥a 时，直线c ′与a ′，b 所成的角最大为2π，故选D.2.解析 一般解法是先求出焦点F 坐标为（0，a41)，然后由直线PQ 的方程与抛物线的方程联立，求出p ，q 的值,运算过程繁杂，容易出错.若把一般性的PQ 的直线方程转化为特殊性的方程，即取PQ 与x 轴平行的方程y=a41，很快就能选出正确答案C .应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果.3.证明 易证f (x )为奇函数,且当x >0时都有f (x )<0.先从⎪⎭⎫⎝⎛++1312n n f 入手，向题设条件转化:由于,2111121111)2)(1(11312+∙+-+-+=-++=++n n n n n n nn故有⎪⎭⎫⎝⎛++1312n n f =.2111⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n f n f再整体处理不等式左端数列的和有.2121211141313121131111512⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n f f •n f n f f f f f •n n f f f依题意021>+n ，恒有021<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n f ，则.212121⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛f n f f 故原不等式成立.点评 本题融函数、数列、不等式为一体，正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.第18计 转换开门亦必亦充●计名释义转换是化归的实施.化归重在理念，转换重在操作.转换是寻找“替身”，由彼及此，“彼”得对“此”全盘负责.因此，转换前面经常冠以“等价”二字，即“等价转换”.从“条件”的角度看问题，转换是在寻找解决问题的充要条件，而化归有时在寻找解决问题的充分条件，甚至是探究中的必要条件.●典例示范【例1】 设0<a <1，a 1=1+a ，a n +1=a an +1，用数学归纳法证明：对一切a ∈N +，都有a n >1.【分析】 n =1时，结果显然.在由k 到k +1时，关键在如何利用递推式. 【解答】 （i)n =1时，a 1=1+a >1，命题真;(ii)假设n=k 时，命题真，即a k >1. 对n=k +1，欲使a k +1>1，只须a k +1=.11>+a a k【插语】 因为a k >1，所以k a 1<1，由递推式a k +1=ka 1+a 推不出a k +1>1来，因此，问题向何处转化，得另寻对象.递推式中，a k 出现在分母上，要得到a k +1成立必须找a k 的取值范围.【续解】 欲使a k +1=ka 1+a >1,必须且只须对一切n ∈N +, 都有a k <.11a -【插语】 以下问题转化为用数学归纳法证明1<a k <.11a-【续解】 （i)n =1,显然有1<a 1<.11a - (ii)假设n=k 时，不等式成立，即1<a k <.11a-对于n=k +1，a k +1=k a 1+a >(1-a )+a =1. 又a k >1k a 1⇒<1ka 1⇒+a <0+a . 因为1-a 2<1⇒(1+a )(1-a )<1⇒1+a <.11a - 所以ka 1+a <1+a <a -11，即a k +1<.11a - 由（i)(ii)可知，对一切n ∈N +，都有1<a n <.11a- 【点评】 证完了吗？证完了.不用证原来的不等式了，因为已经证明原不等式的“等价替身”.【例2】 在复平面内，复数2i)31(i1i-++对应的点位于 （ ） A .第一 B .第二象限 C .第三象限 D.第四象限 【解答】2i)31(i 1i -++=i )3221(23i)322(2i)1i(-+-=--+-.这里322123--与都是负数，故复数2i)31(i1i -++对应的点位于第三象限，选C .【点评】 本解实施由复数向实数的转换.【例3】 设f (x )=log 3(x +6)的反函数为f -1(x )，若［f -1(m )+6］［f -1(n )+6］=27， 则f (m+n )= .【解答】 由f (x )=log 3(x +6)⇒f -1(x )=3x -6.f -1(m )+6］［f -1(n )+6］=27⇒3m ·3n =33⇒m+n =3.∴f(m+n )=log 3(3+6)=2. 【点评】 本解实施函数与其反函数之间的互相转换.【例4】 定义在R 上的函数f (x )的图象关于点（43-，0）对称，且满足f (x )= -f (x +23)，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)的值为（）A.1B.2C.3D.4【解答】 由f (x )= -f (x +23)⇒f (x +3)= f ［(x +23）+23］=-f (x +23)=f (x )知f (x )是最小正周期T =3的周期函数；由f (x )的图象关于点（43-，0）对称，知（x,y ）的对称点是（-23-x ，-y ）.也就是若y =f (x )，则必-y =f (-23-x )，或y =-f (-23-x ). 而已知f (x )=-f (x +23)，故f (-23-x )=f (x +23),今以x 代x +23，得f (-x )= f (x )，故知f (x )又是R 上的偶函数.于是有：f (1)=f (-1)=1；f (2)= f (2-3)=f (-1)=1；f (3)= f (0+3)= f (0)=-2; ∴f (1)+f (2)+f (3)=0，以下，这个数列每3项之和为0. 而2006=3×668+2，于是f (2006)=0×668+f (1)+f (2)=2，故选A .【点评】 本解实施的是由繁向简的转换. 【例5】 对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1+x 2)= f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1· x 2) =f (x 1)+f (x 2)；③2121)()(x x x f x f -->0；④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2121x x x x f <2)()(21x f x f +，当f (x )=lg x 时，以上结论中正确结论的序号是.【解答】 取x 1=10，x 2=100， 那么lg(10+100)=lg110，而lg10×lg100=2，知①不成立；lg(10×100)=lg1000=3，而lg10+lg100=1+2=3，知②成立；10010100lg 10lg -->0显然成立，③正确；lg210010+=lg55=lg 3025，1000lg 2100lg 10lg =+，则④不成立. 综上，只有②③成立.【点评】 本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.●对应训练1.函数y =x x22sin sin 3+(x ≠k π；k ∈Z )的值域是 () A .［23，+∞） B .（1，23］ C.（0，4］ D . ［4，＋∞） 2.若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 () A.4005 B.4006 C.4007D.4008 3.设复数z 满足zz+-11=i ，则|1+z |= () A.0 B.1 C.2D.24.在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ( ) A.76 B.65 C.54 D.325.若双曲线2x 2-y 2=k (k >0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k = ()A.1B.4C.6D.8●参考答案1.D令u=sin 2x ，则0<u ≤1，又∵y =u 3+u 在（0,1］上是减函数，∴u =1时，y min =31+1=4.故值域为［4，＋∞）.2.B ∵a 1>0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004<0，且{a n }为等差数列. ∴{a n }表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a 2003是绝对值最小的正数，a 2004第一个负数），且|a 2003|>|a 2004|, ∵在等差数列{a n }中，a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0，S 4006=2)(400640061a a +>0.∴使S n >0成立的最大自然数n 是4006. 3.C 利用合分比性质，由i 11=+-zz，解得z =-i ， ∴|1+z |=|1-i|=2. 4.B设每个三棱锥的体积为V′，则剩下的凸多面体的体积是V =1-8V '，V ′=48131********=⨯⨯⨯⨯ ∴V =1-8V ′=1-481×8=.655.C 双曲线为1222=-ky x k，a 2=2k ，b 2=k ，∴c 2=a 2+b 2=k 23，由条件：c -c a 2=2，即c b 2=2. ∴b 2=2c ，得：k =2·.23k ∴k 2=6k ，k >0，∴k =6 第19计 模式开门请君入瓮●计名释义数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.●典例示范【例1】 实数x ，y 满足x 2+(y -1)2=1，则使不等式x+y+c ≥0恒成立的实数c 的取值范围是 （ ）A .［-12-，2-1］B .［2-1，+∞) C.( 2-+1，2-1) D .(-∞，2--1)【分析】 容易看出：x 2+(y -1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c ≥0表示直线y=-x-c 即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x ，y ）既在直线y=-x-c 上方，又在圆x 2+(y -1)2=1上运动时，实数c 应满足什么条件？ 【解答】 如图，斜率为-1的直线 y=-x-c 切圆x 2+(y -1)2=1于A ，B ， 交y 轴于M ，N .连AB ， 则AB 过圆心C （1，0）.等腰直角三角形MCB 中，∣CB ∣=1， ∴∣CM ∣=2，设M （0，-c ）， 必-c =1-2，得M （0，1-2）.当且仅当-c ≤1-2时，圆x 2+(y -1)2=1 例1题解图 上的点在直线y=-x-c 上或其上方.于是c ≥2-1，选B.【例2】 正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++2222222224331531x zx z z y y xy x ，则xy +2yz +3xz 的值是 .【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.【解答】 将原方程组改写如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=︒∙-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=︒∙∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222222224120cos 23315150cos 31231xz z x z y y x y x ，构造如图的直角三角形ABC ，使AB =5， AC =4，BC =3.又在△ABC 内取一点P ， 使∠APB =150°，∠APC =120°， ∠BPC =90°.显然符合题设条件. ∵S △APB +S △BPC +S △CP A =S △ABC ， 而S △APB =21x ·31y ·sin150=341xy ，S △APC =21xz ·sin120°=43xz ， 例2题解图 S △BPC =21z ·31y =321yz ，S △ABC =6.∴341xy +43xz +321yz =6， ∴xy +2yz +3xz =24.3.【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a 个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x 个标段的新路和n 个道路交叉口，n 与x 满足关系n=ax+b ，其中b 为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k 万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n 越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ=)1(21β+.(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的 25％，求新建的x 个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p 的取值范围.(Ⅲ)当b =4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p 最高时，问原有道路标段为多少个？ 【解答】 （Ⅰ）新建x 个标段，则应建n=ax+b 个道口，建x 个标段需kx 万元，建（ax+b ）个道口需y=k β(ax+b )(万元). (Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］, ∴0.05≤)1(21β+≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,又p =y kx =)4()41(41)(2b a a b a a a b ax x +=+∙=+βββ. ∵p >0,β>0，∴b a a 42+>0，当β∈［4,9］时，β1∈［91，41］，所求p 的范围是： )4(4)4(922b a ap b a a +≤≤+.(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大， 故β=9，又b =4. ∴p =721162911691)16(92=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a a a a ，当且仅当a =a 16. a >0，即a =4时，造价比p =721为最高. ∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n 、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小? 【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来.【解答】 设扇形OAB 的半径为R ，中心角为2α. (1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，则S □CDEF ＝DE ·EF =Rsin θ·ααθα2sin 22sin )2sin(2R R =-·［cos2(α-θ)-cos2α］当2(α-θ)=0，即θ=α时，S □CDEF 有最大值22R tan α.（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF ＝OE ＝R cos θ，则S □CDEO =DE · EF =R sin θ·R cos θ=22R sin2θ，当2θ=2π即θ=4π=α，S □CDEO 有最大值22R . (3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF 为扇形的内接矩形，取B A的中点M ，连结OM ，则∠BOM =α,∠DEO =π-α，令∠DOM =θ，则矩形面积S=CD ·DE =2R ·sin θααθαθαθαsin sin )sin(sin 2sin )sin(22R R R =-=-［cos (2θ-α)-cos α］，当cos(2θ-α)=1.即θ=2α时，S max =2tan sin )cos 1(22αθαR R =-.此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF ，再沿其周界切开即可.例4题解图●对应训练1.已知a<b<c ，求证：a 2b +b 2c+c 2a <ab 2+bc 2+ca2.2.已知a ，b ，c ，d 为实数，求证：.)()(222222d b c a d c b a ++±≥+++3.设n 是大于1的自然数，求证：.2121211511311+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 4.若a ，b ≠0，且a 2+b 2=1，求证：.91122≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a5.α,β,γ均为锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，求证：tan αtan βtan γ≤.426.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x -221x (万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（百台）. (1)把利润l 表示为产量x 的函数L (x); (2)年产量为多少时，企业所得利润得大？ （3）年产量为多少时，企业才不会亏本？7.在边长为5cm ，6cm ，7cm 的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm 2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论●参考答案1．原题即证：a 2b +b 2c +c 2a -ab 2-bc 2-ca 2<0或a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c )<0.设f (a )=a 2(b-c )+a (c 2-b 2)+bc (b-c ) (a<b<c ),这里b-c <0，且Δ=(b+c )2(b-c )2-4bc (b-c )2=(b-c )4>0. ∴f (a )的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x =2c b +，而2cb +>b>a ，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-2,c b •上递增，f (a )<f (b )，但f (b )=0,f (a )<0，故a 2b +b 2c +c 2a <ab 2+bc 2+ca 2.2,设有A (a ,b )，B (c ,d )两点，连接AO ，OB ，显然|OA |+|OB |≥|AB |(当A 、O 、B 共线时等式成立).∴222222)()(d b c a d c b a -+-≥+++若将点B 的坐标改为 (-c ,-d )，则有：222222)()(d b c a d c b a +++≥+++. 第2题解图3⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1211511311111n A,即122563412-∙∙=n n A, 则nn A 212674523+∙∙∙∙> . ：A 2>2n +1，∴A =121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n2. 即2121211511311111+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∙∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n. 4.在坐标平面内设有两点A (a ，b ),B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--b •a1,1，则|AB |=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 设过A 的直线l ：ax+by -1=0.∵a ·a +b ·b -1=a 2+b 2-1=0, ∴点A (a ，b )符合条件a 2+b 2=1. 作BC ⊥l 于C ，则|AB |≥|BC | （当直线l ⊥AB 时等式成立）.∵|BC |=,3|111|22=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ba b b a a 第4题解图∴2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥3. 即2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ≥9.5分别为a ，b ，c ，连接BD 1，设∠BD 1B 1=α, ∠BD 1A =β，∠BD 1C =γ.∵BD 1=222c b a ++，B 1D 1=22b a +, AD 1=22c b +,CD 1=22a c +，∴满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图 于是tan α·tan β·tan γ=222222ca b cb a ba c +∙+∙+≤221222=∙∙acbc ab abc故tan α·tan β·tan γ≤.42 6.（1）年产量在500台以内（即0≤x ≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x >5）.只能售出500台，x (百台)的生产成本为C (x )=0.25x +0.5(万元). 故利润函数L (x )=R (x )-C (x).当0≤x ≤5时，L (x )=(5x -21x 2)-(0.25x +0.5)= -21x 2+4.75x-0.5. 当x >5时，由于只能售出500台，∴L (x )=(5×5-21×52)-(0.5+0.25x )=12-0.25x.于是⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-≤≤⋅-⋅+=)5(25012)50(50754211)(2x x •x x x x L.(2)为使利润最大，须求L (x )的最大值，显然x >5时不可取（会造成积压）.当0≤x ≤5时，∵L ′(x )=-x +4.75，命L ′(x )=0，得x =4.75，L (x )的图像为开口向下的抛物线，∴当x =4.75时，［L (x )］max=3234521419212=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.(3)为使企业不亏本，必须L (x )≥0.显然，0≤x ≤5时，应使-21x 2+4.75x -0.5≥0. 即2x 2-19x +2≤0，解得0.11≤x ≤14，综合得：0.11≤x ≤5.x >5时，应使12-0.25x ≥0，得5<x ≤48.于是，为使企业不亏本，产量应在11台至4800台之间. 7.可以办到.如图所示，证明如下： 设△ABC 内切圆半径为r ，则S △ABC =21(5+6+7)r=9r① ∵cos B =51652493625=∙∙-+∴sin B =6522511=- ∴S △ABC =21·5·6·652=66（cm 2） ② 第7题解图 比较①，②：9r =66得r =632（cm ），于是S ⊙O =338383622⨯>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=8（cm ）2. 第20计 讨论开门防漏防重●计名释义为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”.分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使: ①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.●典例示范【例1】 已知a ∈R ，函数f (x )=x 2|x-a|.(1)当a =2时，求使f (x )=x 成立的x 的集合；（2）求函数y =f (x )在区间［1，2］上的最小值.【分析】 (1)只需分两种情况讨论；（2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.【解答】 (1)当a =2时，f (x )=x 2|x -2|=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2)2(2)2(22•x x x •x x x当f (x )=x 时，即x 2(x -2)=x (x ≥2)或x 2(2-x )=x (x <2)x 3-2x 2-x =0，x (x 2-2x -1)=0,x 1=0(舍去），x 2=1-2(舍去），x 3=1+2.当x 2(2-x )=x 时，∴x 3-2x 2+x =0，x (x 2-2x +1)=0，x =0或x =1. 综上所述：a =2时，f (x )=x 成立的x 的集合为{0，1，1+2}.(2)f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-a•x x a x a •x a x x )()(22若a ≤1时，即a <1≤x ≤2，f (x )=x 3-ax 2.∴f ′(x )=3x 2-2ax =0，∴x 1=0，x 2=32a ∵1≤x ≤2，∴32a<x ，0<x . ∴x =0或x =32a 都不在［1，2］内，而x ∈［1，2］， f ′(x )>0，即f (x )在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a ，f (2)=8-4a . ∴f (x )min =1-a .若a ∈(1，2)，即f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-212323x •a ax x a x •ax x当1≤x ≤a 时，f (x )=-3x 2+2ax =0，x 1=0，x 2=32a. 若a <32时，1≤x<a ，f ′(x )<0. ∴f ′(x )=-x 3+ax 2在［1，a ］为减函数， ∴f (x )min =-a 3+a 3=0.当a ≤x ≤2时，f ′(x )=3x 2-2ax =0，x 1=0，x 2=32a. 当x ∈［a ，2］，f ′(x )>0. ∴f (x )在［a ，2］上为增函数. ∴f (x )min=0.当a >2时，x ∈［1，2］. f (x )=x 2(a-x )= ax 2-x 3. ∴f ′(x )=2ax -3x 2=0. ∴x 1=0，x 2=32a若34<32a ≤2，f (x )在［1，32a ］上为增函数. f (1)=a -1，f (32a )=94a 3-278a 3=274a 3.f (x )在［32a ，2］为减函数，f (2)=4a-8. ∴f (x )min 为a -1，4a -8中的较小数.即2<a <37时，f (x )min = 4a-837≤a ≤3，f (x )min =a-1 a >3时，x ∈［1，2］时，f ′(x )>0∴f (x )min =f (1)=a-1.综上所述，a ≤1时，f (x )min =1-a,a ∈(1，2)时，f (x )min=0, a ∈(2，37)时，f (x )min = 4a-8; a ∈［37，3］时，f (x )min =a -1; a ∈(3，+∞)时，f （x ）min =a-1.【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x 的取值进行讨论，第（2）问中对a 的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在. 【例2】 设f (x )=g (x )-h (x )，其中g (x )=2x 3+x +5，h (x )=(3a +3)x 2-12a (1-a )x +x.(1)若x >0，试运用导数的定义求g ′(x );(2)若a >0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x )的单调递增区间与单调递减区间.【解答】（1）g ′(x )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆++∆-∆+∙=∆-∆+→∆→∆x x x x x x x x x x g x x g x x 3300)(2lim )()(lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+∆∆+∆∆+∆+∆∙→∆)()()(332lim 3220x x x x xx x x x x x x =xx xx x x x x x x 216}1])()(33[2{lim 222+=+∆++∆+∆+→∆.(2)由f (x )=g (x )-h (x )=2x 3-(3a +3)x 2+12a (1-a )x +5得f ′(x )=6x 2-(6a +6)x +12a (1-a )=6(x -2a )(x-1+a ),令f ′(x )=0得x =2a 或x =1-a. ①当0<a <31时，0<2a <1-a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递增，在［2a ，1-a ］上单调递减，在［1-a ，6］上单调递增； ②当31≤a <1时，0<1-a ≤2a <6，于是函数f (x )在［0，1-a ］上单调递增，在［1-a ，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；③当1≤a <3时，1-a ≤0<2a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；④当a ≥3时，1-a <0<6≤2a ，于是函数f (x )在［0，6］上单调递减.【点评】 本题中对a 的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.●对应训练1.若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定:当且仅当A 1=A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是 A 27 B 26 C 9 D82.若数列{a n }的通项公式为a n =2)23()1(23n n n n n ------++，n ∈N +，则)(l i m 21n n a a a ++∞→ 等于 （ ）A2411B2417C 2419D 24253. 如图，已知一条线段AB ，它的两个端点分别在直二面角α-l-β的两个面内转动， 若AB 和平面α、β所成的角分别 为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.第3题图●参考答案1.A由于A ={a 1，a 2，a 3}=A 1∪A 2，以A 1为标准分类.A 1是，则A 2={a 1，a 2，a 3}，这种分拆仅一种，即C 03·C 33=1;如A 1为单元素集，有C 13种可能,对其中每一种，例如A 1={a 1}，由于必有a 1，a 3∈A 2，且a 1∈A 2或a 1∉A 2都符合条件. 这种分拆有C 13·C 12=6种. 如A 1为双元素集，有C 23种可能,对其中每一种，不妨设A 1={a 1，a 2}，则必a 3∈A 2，此外对a 1，a 2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有C 23·4=12种.若A 1为三元素集，则A 2可以是{a 1，a 2，a 3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n 分奇数、偶数两种情况进行讨论.解析：根据题意，得a n =⎪⎩⎪⎨⎧--为偶数为奇数•n •n nn ,3,,2∴{a 2n -1}是首项为21，公比为41的等比数列，{a 2n }是首项为91，公比为91的等比数列. ∴)(lim )(lim )(lim 423121 +++++=++∞→∞→∞→a a a a a a a n n n n=.24191911219141=-+- 故选C .点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； （4）归纳总结：将各类情况总结归纳.3.分析：由于AB 于l 的位置关系不定，故需分类讨论. 解：（1）当AB ⊥l 时，显然θ1+θ2=90.（2）当AB 与l 不垂直时，在平面α内作AC ⊥l ，垂足为C ，连结BC .∵平面α⊥平面β，∴AC ⊥平面β. ∴∠ABC 是AB 与平面β成的角，即∠ABC =θ2.在平面β内作BD ⊥l ，垂足为D ，连结AD . 同理可得∠BAD =θ1. 在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，∵BD<BC ，∴ABBCAB BD <，即sin θ1<sin ∠BAC . ∵θ1与∠BAC 均为锐角，∴θ1<∠BAC . 而∠BAC +θ2=90°，∴0°<θ1+θ2<90°. （3）若线段AB 在直线l 上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°.点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.。
用数字密码巧记三十六计
数字密码速记“三十六计”中国经典兵法成语三十六计里面有一计为大家所熟知：“三十六计走为上策”，但是大家是否知道这三十六计都是哪些呢，知道了你能记住吗？今天我就给大家介绍一个能让你倒背如流的记忆方法：数字密码来快速记忆三十六计。
现在我们就一起来学习这个方法吧！第一计：瞒天过海1的数字密码是“树”。
你要渡过一片大海，但你的船不能被天上的敌机发现，这时你想了一个好办法，用一棵大树顶在头上，偷偷地渡过了大海。
当你想到1的时候，就想到树，想到树的时候，就想到你用树瞒着天上的敌机，安全渡过大海，这就是“瞒天过海”。
第二计：围魏救赵2的数字密码是“鸭子”。
我们想象有一大群鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。
这座城堡叫做魏，由于魏家人把它们的旧照（救赵）给抢走了，那些勇敢的鸭子把魏家给围了起来，要求魏家人把旧照还给它们。
当你想到2的时候，就想到鸭子，鸭子在做什么呢？它们在“围魏救赵”。
第三计：借刀杀人3的数字密码是“耳朵”。
想象在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人，但没想到，却把自己的一只耳光砍掉了。
想到3就想到耳朵，借把刀来杀人却砍掉了自己的一只耳朵。
这就是“借刀杀人”的结果。
第四计：以逸待劳4的数字密码是“红旗”。
想象你拿了一面红旗，站在山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁！”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。
当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。
第五计：趁火打劫5的数字密码是“钩子”。
想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子去偷店里的珠宝。
这就是＂趁火打劫＂！第六计：声东击西6的数字密码是“勺子”。
想象你手上拿着一把很有魔力的勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你就想到这个有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
第七计：无中生有7的数字密码是“拐杖”。
想象有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是＂无中生有＂呀。
位值原理巧算
位值原理巧算以位值原理巧算为标题，我们来探讨一下位值原理在计算中的应用。
位值原理是一种数学原理，用于计算大数的加减乘除。
在计算过程中，我们常常需要进行多位数的加减乘除运算，而位值原理可以帮助我们更快速、更准确地进行计算。
我们来看一下位值原理在加法中的应用。
在进行多位数的加法运算时，我们从低位开始逐位相加，并保留进位。
例如，我们要计算1234和5678的和，我们从右往左逐位相加：4+8=12，保留2，7+3+1=11，保留1，6+2+1=9，保留9，5+1=6。
最终得到的结果是6912。
这个计算过程与位值原理是一致的。
接下来，我们来看位值原理在减法中的应用。
在进行多位数的减法运算时，我们从低位开始逐位相减，并借位。
例如，我们要计算5678减去1234，我们从右往左逐位相减：8-4=4，7-3=4，6-2=4，5-1=4。
最终得到的结果是4444。
这个计算过程同样符合位值原理。
除法中的位值原理稍微复杂一些。
在进行多位数的除法运算时，我们需要从被除数的高位开始逐位地进行除法计算，并将余数带到下一位的计算中。
例如，我们要计算5678除以1234，我们首先将5678的高位5除以1234，得到商4和余数2。
然后将余数2带到下一位的计算中，得到24除以1234，得到商0和余数24。
接着，将余数24带到下一位的计算中，得到240除以1234，得到商0和余数240。
最后，将余数240带到下一位的计算中，得到2400除以1234，得到商1和余数116。
所以，5678除以1234的结果是0.4161。
这个计算过程同样符合位值原理。
我们来看位值原理在乘法中的应用。
在进行多位数的乘法运算时，我们需要将一个数的每一位与另一个数的每一位相乘，并按位相加。
例如，我们要计算1234乘以5678，我们从右往左逐位相乘：4乘以8得到32，保留2；4乘以7得到28，保留8；4乘以6得到24，保留4；4乘以5得到20，保留0。
然后，我们移到第二位1，同样逐位相乘并按位相加：1乘以8得到8，再加上第一位的进位2，得到10，保留0，1乘以7得到7，再加上第一位的进位2，得到9，保留9，1乘以6得到6，再加上第一位的进位2，得到8，保留8，1乘以5得到5，再加上第一位的进位2，得到7，保留7。
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小学生教育必读经典《三十六计》完整版,图文并茂【古时《三十六计》完整版】图文并茂，值得为孩子永久收藏，终生研读！第一套胜战计1第一计：瞒天过海备周而意怠，常见则不疑，阴在阳之内，不在阳之对。
太阳，太阴。
译：认为准备万分周到，就容易松劲；平时看惯了的，就往往不再怀疑了，秘计隐藏在暴露的事物中，而不是和公开的形式相排斥。
非常公开的往往蕴藏着非常机密的。
2第二计：围魏救赵共敌不如分敌，敌阳不如敌阴。
译：树敌不可过多，对敌要各个击破，对现在还不忙于消灭的，要隐藏我们的意图。
3第三计：借刀杀人敌已明，友未定，引友杀敌，不出自力，以损推演。
译：作战的对象已经确定，而朋友的态度还不稳定，要诱导朋友去消灭敌人，避免消耗自己。
4第四计：以逸待劳困敌之势，不以战，损刚益柔。
译：控制敌方力量发展的命脉来扼杀他，而不采取进攻的形势，这就是"损刚益柔"原理的演用。
5第五计：趁火打劫敌之害大，就势取利，刚决柔也。
译：敌方的危机很大，就乘机取利，用优势力量攻击软弱的。
6第六计：声东击西乱志乱萃，不虞"坤下兑上"之象；利其不自主而取之。
译：敌人乱撞瞎碰，摸不清情况，这是《易经》"萃"封上所说的"坤下兑上"的混乱征状。
必须利用敌方失去控制力的时机加以消灭。
第二套敌战计7第七计：无中生有诳也，非诳也，实其所诳也。
少阴，太阴，太阳。
译：无中生有是运用假象，但不是弄假到底。
而是使假象变真相，大小假象，掩护真相。
8第八计：暗渡陈仓示之以动，利其静而有主，"益动而巽"。
译：故意暴露行动，利用敌方固守的时机，便主动偷袭。
9第九计：隔岸观火阳乖序乱，阴以待逆，暴戾恣睢，其势自毙。
顺以动豫，豫顺以动。
译：敌人内部分裂，秩序混乱，我便等待他发生暴乱，那时敌人穷凶极恶，翻目仇杀，势必自行灭亡。
我要根据敌人变动作好准备；作好准备之后，还要根据敌人的变动而行动。
数学破题36计 第20计 讨论开门 防漏防重
第20计 讨论开门 防漏防重●计名释义为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”. 分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使: ①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.●典例示范【例1】 已知a ∈R ，函数f (x )=x 2|x-a |.(1)当a =2时，求使f (x )=x 成立的x 的集合； （2）求函数y =f (x )在区间［1，2］上的最小值.【分析】 (1)只需分两种情况讨论； （2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.【解答】 (1)当a =2时，f (x )=x 2|x -2|=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-2)2(2)2(22•x x x •x x x当f (x )=x 时，即x 2(x -2)=x (x ≥2)或x 2(2-x )=x (x <2) x 3-2x 2-x =0，x (x 2-2x -1)=0, x 1=0(舍去），x 2=1-2(舍去），x 3=1+2.当x 2(2-x )=x 时，∴x 3-2x 2+x =0，x (x 2-2x +1)=0，x =0或x =1. 综上所述：a =2时，f (x )=x 成立的x 的集合为{0，1，1+2}.(2)f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-a•x x a x a •x a x x )()(22若a ≤1时，即a <1≤x ≤2，f (x )=x 3-ax 2.∴f ′(x )=3x 2-2ax =0，∴x 1=0，x 2=32a ∵1≤x ≤2，∴32a<x ，0<x .∴x =0或x =32a 都不在［1，2］内，而x ∈［1，2］，f ′(x )>0，即f (x )在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a ，f (2)=8-4a . ∴f (x )min =1-a .若a ∈(1，2)，即f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-212323x •a ax x a x •ax x当1≤x ≤a 时，f (x )=-3x 2+2ax =0，x 1=0，x 2=32a .若a <32时，1≤x<a ，f ′(x )<0. ∴f ′(x )=-x 3+ax 2在［1，a ］为减函数，∴f (x )min =-a 3+a 3=0.当a ≤x ≤2时，f ′(x )=3x 2-2ax =0，x 1=0，x 2=32a . 当x ∈［a ，2］，f ′(x )>0.∴f (x )在［a ，2］上为增函数. ∴f (x )min =0.当a >2时，x ∈［1，2］. f (x )=x 2(a-x )= ax 2-x 3. ∴f ′(x )=2ax -3x 2=0. ∴x 1=0，x 2=32a若34<32a ≤2，f (x )在［1，32a ］上为增函数. f (1)=a -1，f (32a )=94a 3-278a 3=274a 3.f (x )在［32a ，2］为减函数，f (2)=4a -8.∴f (x )min 为a -1，4a -8中的较小数. 即2<a <37时，f (x )min = 4a -837≤a ≤3，f (x )min =a -1 a >3时，x ∈［1，2］时，f ′(x )>0 ∴f (x )min =f (1)=a -1.综上所述，a ≤1时，f (x )min =1-a , a ∈(1，2)时，f (x )min =0, a ∈(2，37)时，f (x )min = 4a-8;a ∈［37，3］时，f (x )min =a -1; a ∈(3，+∞)时，f （x ）min =a -1.【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x 的取值进行讨论，第（2）问中对a 的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.【例2】 设f (x )=g (x )-h (x )，其中g (x )=2x 3+x +5，h (x )=(3a +3)x 2-12a (1-a )x +x .(1)若x >0，试运用导数的定义求g ′(x );(2)若a >0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x )的单调递增区间与单调递减区间. 【解答】 （1）g ′(x )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆++∆-∆+∙=∆-∆+→∆→∆x x x x x xx x xx g x x g x x 3300)(2lim )()(lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+∆∆+∆∆+∆+∆∙→∆)()()(332lim 3220x x x x x x x x x x x x =xx xx x x x x x x 216}1])()(33[2{lim 2220+=+∆++∆+∆+→∆.(2)由f (x )=g (x )-h (x )=2x 3-(3a +3)x 2+12a (1-a )x +5得f ′(x )=6x 2-(6a +6)x +12a (1-a )=6(x -2a )(x-1+a ),令f ′(x )=0得x =2a 或x =1-a . ①当0<a <31时，0<2a <1-a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递增，在［2a ，1-a ］上单调递减，在［1-a ，6］上单调递增； ②当31≤a <1时，0<1-a ≤2a <6，于是函数f (x )在［0，1-a ］上单调递增，在［1-a ，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；③当1≤a <3时，1-a ≤0<2a <6，于是函数f (x )在［0，2a ］上单调递减，在［2a ，6］上单调递增；④当a ≥3时，1-a <0<6≤2a ，于是函数f (x )在［0，6］上单调递减.【点评】 本题中对a 的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.●对应训练1.若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定:当且仅当A 1=A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是A 27B 26C 9D 8 2.若数列{a n }的通项公式为a n =2)23()1(23nnn nn------++，n ∈N +，则)(lim 21n n a a a ++∞→ 等于 （ ）A2411 B2417 C2419 D24253. 如图，已知一条线段AB ， 它的两个端点分别在直二面角α-l-β的两个面内转动， 若AB 和平面α、β所成的角分别为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.第3题图●参考答案1. A 由于A ={a 1，a 2，a 3}=A 1∪A 2，以A 1为标准分类. A 1是，则A 2={a 1，a 2，a 3}，这种分拆仅一种，即 C 03·C 33=1;如A 1为单元素集，有C 13种可能,对其中每一种，例如A 1={a 1}，由于必有a 1，a 3∈A 2，且a 1∈A 2或a 1∉A 2都符合条件. 这种分拆有 C 13·C 12=6种.如A 1为双元素集，有C 23种可能,对其中每一种，不妨设A 1={a 1，a 2}，则必a 3∈A 2，此外对a 1，a 2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有 C 23·4=12种.若A 1为三元素集，则A 2可以是{a 1，a 2，a 3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n 分奇数、偶数两种情况进行讨论.解析：根据题意，得a n =⎪⎩⎪⎨⎧--为偶数为奇数•n •n nn,3,,2∴{a 2n -1}是首项为21，公比为41的等比数列，{a 2n }是首项为91，公比为91的等比数列.∴)(lim )(lim )(lim 423121 +++++=++∞→∞→∞→a a a a a a a n n n n=.24191911219141=-+-故选 C .点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； （4）归纳总结：将各类情况总结归纳.3.分析：由于AB 于l 的位置关系不定，故需分类讨论. 解：（1）当AB ⊥l 时，显然θ1+θ2=90° .（2）当AB 与l 不垂直时，在平面α内作AC ⊥l ，垂足为C ，连结BC .∵平面α⊥平面β，∴AC ⊥平面β. ∴∠ABC 是AB 与平面β成的角，即∠ABC =θ2. 在平面β内作BD ⊥l ，垂足为D ，连结AD . 同理可得∠BAD =θ1. 在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，∵BD<BC ，∴ABBC ABBD <，即sin θ1<sin ∠BAC .∵θ1与∠BAC 均为锐角，∴θ1<∠BAC . 而∠BAC +θ2=90°，∴0°<θ1+θ2<90°. （3）若线段AB 在直线l 上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°.点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.。
为什么说20以内数的加、减法是多位数计算的基础？
为什么说20以内数的加、减法是多位数计算的基础？什么缘故说20以内数的加、减法是多位数运算的基础？先从多位数加减法看。
在运算多位数的加减法过程中，总是一位数对一位数地相加及相减。
两个一位数相加的和，或是得几或是得十几，不超过20。
与其相对应的减法或是几减几或是十几减几，总称为20以内数的加、减法。
为了使多位数加减法的运算正确而迅速，第一应熟练把握20以内数的加、减法。
例如：在运算过程中有：4+9=13，5+2+1=8，3+7=10。
（20以内数的1083 加法）又如：5346在运算过程中有：6-6=0，14-9=5，13-1-8=4，5-1-3=1。
（20以内数的减法）再从多位数的乘、除法看，在运算多位数乘、除法的过程中，既要用到乘法口决，也要用到加、减法。
例如：在运算过程中用到20以内加法的地点有：8＋0=8，5＋6=11，8＋1＋2 =11。
又如：在运算过程中用到了20以内减法的地点有：16-8=8，14-1-8=5.2-1-1=0，11-4=7.8-1-6=1，5-5=0。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。
语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
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如果 a=1， 7b +16c = 83, b = 5, c = 3, 只有一组解。 这个数为 153。 如果 a=2，无解。 所有的“好数”只有一个是：153。
《数学三十六计搞定小升初》 一书自出版发行以来， 虽有些不足之处， 但仍受到广大高年级学生，学生家长，奥数教师同行的喜爱，我希望下一 阶段把我还有的一些实际教学中的想法与做法记录下来汇编成三十六计 续集。每一篇文章都希望得到大家的指导，以期博采众长，惠及学生。 在书最终成稿前，图片，数据，以及选编例题的难度与次序都要再 加工，请多提宝贵意见。 使用或转载我的各种文章请注明：马到成功老师
abcd
写 三 次 形 成 一 个 12 位 数
abcdabcdabcd ，请说明这个数一定能被
3，7，13 整除。
（三位截段求差，或分解 100010001。）
【精典名题 5】一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数 字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是 63，则 原四位数可能是多少? 【思路点拨】 abcd dbca 999(a d )(a d ) ， 所以， 63 | 999( a d ) 7 | ( a d ) 所以 a=9，d=2 或 a=8，d=1， 若 9 | 9bc2 ，则 b+c=7 或 16，试验得：9702，2709； 若 9 | 8bc1 ，则 b+c=9 或 18，试验得：8631，1638.
3
升学模拟 20 1. 已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008， 则所有这 样的四位数之和为多少?
2. 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码， 这个 两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的 三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。
3. 设六位数 abcdef 满足 fabcde f abcdef ，请写出这样的六位数．
【精典名题 1】 某八位数形如 2abcdefg ，它与 3 的乘积形如 abcdefg 4 ， 则七位数 abcdefg 应是多少？
7 【思路点拨】设 abcdefg x ，则 2abcdefg 2 10 x ，
abcdefg 4 10 x 4 ，根据题意，有
2 10
【精典名题 3】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的 四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有 0 的四位数 M ，它比 新数中最大的小 3834，比新数中最小的大 4338．求这个四位数。 【思路点拨】设组成这个四位数的四个数码为 a ， b ， c ， d ( 9 a b c d 1 )， 则有 abcd dcba 3834 4338 8172 ， 可得 999(a d ) 90 (b c ) 8172 7992 180 ，
5
多也就 9+9+9+9，乘以 17 后不到 1000。 所以只能是三位数。 设它是 abc ，那么用位值展开：
100a +10b + c = 17 a +17b +17c,
所以： 83a = 7b +16c ，
7b +16c ≤ 7 × 9 +16 × 9 = 207, 所以
a 只能是 1 或 2。
数学三十六计搞定小升初续集之 20：位值原理
作者：马到成功老师 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不 同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一 个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示 2 个百，这种数字和数位结合起来表示 数的原则，称为写数的位值原理。 位值原理的表达形式：以六位数为例： abcdef a×100000+b× 10000+c×1000+d×100+e×10+f。 在数论题目中有大量运用位值原理解决的题型，给大家找一些 来简单了解。
6
7
x 3 10 x 4 ，
得 7 x 6 107 4 59999996 ，所以 x 8571428 。
【精典名题 2】用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成各位数字互不相 同的四位数，例如 1023、2341 等，求全体这样的四位数之和。
1
【思路点拨】这样的四位数共有 A（4、1）×A（4、3）=4×4×3×2 =96 个。按千位，百位，十位，个位分别求和比较方便。 1、2、3、4 在首位各有 96÷4=24 次，和为（1＋2＋3＋4）×100 0×24=240000； 1、2、3、4 在百位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）× 100×18=18000； （注：百位共 96 个数字，另 24 个为 0 占位，和 为 0 不计，下面十位，个位情况相同。） 1、2、3、4 在十位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）× 10×18=1800； 1、2、3、4 在个位各有 24÷4×3=18 次，和为（1＋2＋3＋4）× 1×18=180； 总和为 240000＋18000＋1800＋180=259980。
则 a d 8 ， b c 2 ， a 9 ， d 1 ， M 1cb9 4338 ，且 M 的四位数字 分别为 1、 c 、 b 、9，由于 8 9 17 的个位数字为 7，所以 b ， c 中有 一 个 为 7 ， 但 bc 2 ， 所 以 c 不 能 为 7 ， 故 b 7 ， c 5 ， M 1579 4338 5917 。
2
【精典名题 4】 若 abcde 是五位数，因为：
abcde ab 1000 cde ab 1001 cde ab ab 7 1113 cde ab cde ab 能被
所 以 ， 若
7 或 11 或 13 整除，则 abcde 也能被 7 或 11 或 13 整除。
fabcde f 105 x ， abcdef 3,令 abcde x ， 则： 10x f
可得 x
f 105 f 10 f 1
．此时可将 f 1 ，2，3，4，5，6，7，8，9 一一代入
1 时， x 111111 ；当 f 4 时， x 102564 f 10 x f ，
进行检验，可得当 f 个数满足条件。 4，答案： 792。
提示：222（ a b c ）=3595+ abc =222×16+179=222×17。 5*，一位数 a = 17 a ，没有： 两位数 ab ： 10a + b = 17 a +17b ，无解。 也肯定不会是四位数或以上。如果这个数大于 1000，数字和最
4. 已知 abc 是一个三位数（ a、b、c 是三个不同的数字），且由
a、b、c 三个数字组成的另外五个三位数之和为3595，那么这六个
三位数中，最大数与最小数的差为
.
5. *我们将本身是它各位数字之和17倍的正整数称为“好数”， 试找出所有的好数。
4
参考答案： 1 ， 设 这 样 的 四 位 数 为 abcd ， 则 abcd a b c d 2008 ， 即 1001a 101b 11c 2 d 2008 ，则 a 1 或 2． ⑴若 a 2 ，则 101b 11c 2d 6 ，得 b c 0 ， d 3 ， abcd 2003 ； ⑵ 若 a 1 ， 则 101b 11c 2d 1007 ， 由 于 11c 2d 11 9 2 9 117 ， 所 以 101b 1007 117 890 ，所以 b 8 ，故 b 为 9， 11c 2d 1007 909 98 ，则 c 为偶 数，且 11c 98 2 9 80 ，故 c 7 ，由 c 为偶数知 c 8 ， d 5 ， abcd 1985 ； 所以，这样的四位数有 2003 和 1985 两个，其和为： 2003 1985 3988 。 2，因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两 位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数， 得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数 是 ab ，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a＋10b＋5＝（10a ＋5）×9，化简得a＋b＝4。变成的三位数只能是405，315，225， 135。
这个结论可以推广到任意多位数的“三位截段法”。根据以上的方 法，如果十位数 2011ab0417 为 101 的倍数，那么 a, b 的和是多少？
【思路点拨】 根据 abcd ab 100 cd ab 101 cd ab ， 可以将多位数 “两 位截段”，然后用奇数段的和减去偶数段的和来判断是否被 101 整 除。 由十位数 2011ab0417 为 101 的倍数， 则 (17 ab 20) (4 11) ab 22 应 为 101 的倍数，则 ab 79 ， a, b 之和为 16。 思考：将一个任意四位数