Chapter3-2 频域图像增强复习课程

N 1
x0
f
xexp
j2ux /
N
正变换
N 1
f x F uexp j2ux / N
逆变换
u0
其中： x 0,1, , N 1;u 0,1, , N 1
F(u)是复函数，可以写成: F(u)=R(u)+jI(u)=|F(u)|exp[j(u)]
F(u)称为f(x)的傅立叶频谱， (u)称为相位角
傅立叶变换
Fourier had crazy idea (1807):
Time and Frequency 信号的分解：
时域
=
+
频域
信号的分解： 时域
频域
信号的分解： 时域
频域
信号的分解： 时域
频域
信号的分解： 时域
频域
离散傅立叶变换(DFT)简介
一维离散付立叶变换对：
F u
1 N
频谱
例2
实际图像及傅立叶频谱
3.2.2 频域增强
频域增强是首先经过傅里叶变换，将图像从空间域 变换到频域，然后在频域根据想突出的有用的信息 （或想削弱或抑制信息）的需要，对频谱进行处理， 再将其反变换到空间域，从而得到增强后的图像。
假定原图像f(x,y)，经傅立叶变换为F(u,v)，频域增强 就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成 分进行调整，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像 g(x,y)。该过程可以通过下面流程描述：
§3.2 频域图象增强
3.2.1 傅里叶变换 3.2.2 频域增强
1、低通滤波 2、高通滤波 3、带通和带阻滤波 4、同态滤波 5、频域技术与空域技术
3.2.1 傅里叶变换
问题的提出：
图像变换的目的及应用：
图像变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图 像处理技术的基础。图像变换是将原定义在图像空间 的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入 图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行 处理和分析。 图像变换是对图象信息进行变换，使能量保持但重新 分配。以利于加工、处理（滤除不必要信息(如噪声)， 加强/提取感兴趣的部分或特征）。 傅里叶变换在图像分析、滤波、增强、压缩等处理 中都有着非常重要的应用。
输入 f(x,y)
系统H(u,v)
输出 g(x,y)
DFT
H (u, )
IDFT
f (x, y) F (u, v) G(u, ) g(x, y)
滤波
其中,G(u，v)= H(u,v)·F(u,v), H(u,v)称为传递函数或 滤波器函数。
频域增强
DFT
H (u, )
IDFT
f (x, y) F (u, v) G(u, ) g(x, y)
因此，二维反变换是通过一组被适当加权的基图像求和而 重构原图象。变换矩阵中的每个元素就是其对应的基本图 像在求和时所乘的倍数。
我们想分解图像中的快变与慢变成分，一 个非常好的分解方法：
可以将图像变换看作若干个图像的加权和，加权系 数F(u,v)为：
例1
图像函数及傅立叶频谱
图像函数
灰度图
4 x0
4
1 [2 3 4 4] 3.25 4
F (1) 1 3 f (x) exp[ j2x / 4]
4 x0
1 [2e0 3e j / 2 4e j 4e j3 / 2 ] 1 [2 j]
4
4
F (2) 1 3 f (x) exp[ j4x / 4]
4 x0
f(x)全部值对FT 都产生影响；反 之，全部变换系 数对反变换也产 生影响。
M 1 N 1
f (x, y) F(u, v)h(x, y,u, v) u0 v0
式中：g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向 变换核。
基图像的概念
h(x,y,u,v) 称为基图像。
变换的物理意义
M 1 N 1
正变换 F (u, v) f (x, y)h * (x, y, u, v) x0 y0
边缘信息，即高通滤波；
反变换
M 1 N 1
f (x, y)
F (u, v)h(x, y, u, v)
u0 v0
任何一种变换都定义了一组基本函数（二维情况也把基本
函数称为基本图像），构成变换空间的基。
正变换是对信号进行分解，变换获得信号在基函数上的投 影，变换系数是各基函数在信号中占有的量；
反变换是一个合成过程，通过将各个分量相加来合成原始 信号。
Fourier基函数
(a)正弦分量（前1/2）
0 1 2 3 4
5 6 7
8
0ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
8
12
16
(b)余弦分量（前1/2）
0 1 2 3 4
5 6 7
8
0
4
8
12
16
例：DFT的计算
一维函数的四个采样值为f(0)=2, f(1)=3, f(2)=f(3)=4.
F (0) 1 3 f (x) exp[ 0] 1 [ f (0) f (1) f (2) f (3)]
1
M 1 N 1
f x, yexp j2 ux / M vy / N
MN x0 y0
u 0,1, , M 1; v 0,1, , N 1
逆变换
M 1 N 1
f x, y Fu,vexp j2 ux / M vy/ N u0 v0
x 0,1, , M 1; y 0,1, , N 1
滤波
DFT
H (u, )
IDFT
f (x, y) F (u, v) G(u, ) g(x, y)
滤波
❖ 可 以 通 过 选 择 合 适 的 频 率 传 递 函 数 H(u,v) 来 突 出
f(x,y)的某一方面的特征，从而得到需要的图像g(x,y)。
如:利用传递函数H(u,v)突出高频分量，以增强图像的
1 [2e0 3e j 4e j2 4e j3 ] 1 [1 j0]
4
4
F (3) 1 3 f (x) exp[ j6x / 4]
4 x0
1 [2e0 3e j3 / 2 4e j3 4e j9 / 2 ] 1 [2 j]
4
4
2）二维离散付立叶变换
正变换
Fu, v
M 1N 1
j 2 ( ux vy )
F(u, v)
f (x, y)e M N
x0 y0
f (x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)e M N
MN u0 v0
写成一般形式：
M 1 N 1
F(u, v) f (x, y)g(x, y,u, v) x0 y0