总结求逆矩阵方法

3、逆矩阵的求法
1.1一般矩阵的逆矩阵的求法
定义3.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使A B =B A =E ，则称
A 为可逆矩阵，并称
B 是A 的可逆矩阵。

例3.1 已知n 阶矩阵A 满足0322=-+E A A 。

证明A +4E 可逆并求出()14-+E A . 证明：把0322=-+E A A 变形为(A +4E )（E A 2-）=-5E ，可得（A +4E ）
（E A 5251+-）=E ，所以存在一个矩阵B =E A 5
2
51+-，B 使（A +4E ）B =E 。

由定义得A +4E 可逆，且B ()14-+E A =B =E A 5
2
51+-.
3.1.2 用伴随矩阵去求逆矩阵
定理3.1.1 n 阶矩阵A =（ij a ）为可逆的充要条件是A 非奇异。

且
1-A =
A 1112111222212n n n n
nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，其中ij A 是A 中元素ij
a 的代数余子式。

矩阵
112111222212n n n
n
nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
称为矩阵A 的伴随矩阵，记作*A ，于是有1-A =A 1 *A . 例3.2 判断矩阵A =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡343122321，A 是否可逆？若可逆，求 1-A . 解： 因为A =2≠0，所以A 可逆。

又
11A =2，12A =-3，13A =2， 21A =6，22A =-6，23A =2， 31A =-4，32A =5，33A =-2.
所以1-A =A 1*A =21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----222563462
=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----111
2532323
1. 3.1.3 用初等变换去求逆矩阵
如果A 可逆，则A 可通过初等行变换化为单位矩阵E ，即存在相应的初等矩阵1E 、2E …s E 使s E …2E 1E A ＝E （1），用1-A 又乘上式两端，得s E …2E 1E E
＝1-A （2），比较（1）、（2）两式，可知当A 通过行初等变换化为E 的同时，对单位矩阵E 作同样的初等行变换，就化为A 的逆矩阵1-A .同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。

(1)初等行变换
如果n 阶矩阵A 可逆，作一个 n ⨯2n 的矩阵（A ，E ），然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时即化为1-A 了。

即（A ，E ）→（E ，1-A ）.
例3.3 用初等行变换求矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡521310132的逆矩阵。

解：（A ,E ）−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132−→−⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521−→− ⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-----316161100123
210103
461361001，故1-A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡-
---
-316161123
213461361. (2)初等列变换
如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n ⨯n 的矩阵⎥⎦⎤
⎢⎣⎡E A ，然后对此矩阵施以初等列
变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 化为1-A ,即⎥⎦
⎤⎢⎣⎡E A −→−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-1A E .
例3.4 用初等列变换求矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101111123的逆矩阵。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A =⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡100
10
01001
11112
13
−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000
11
01100011312
1
1−→−⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------302110120201201011−→−⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡----1221101202010010
11
−→
−⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21121102110201001011−→
−⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-----2111
12112111
021*******−→
−⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-----2111
12102111
021*******−→
−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
---2111
121021110210001001,所以1-A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---12122012121. (3)混合采用初等行、列变换
如果n 阶矩阵A 可逆，列出三个矩阵如下：E ，A ，E （E 为单位矩阵）。

对这三个矩阵施以变换，当对A 做一次行变换，便对左边的矩阵E 做同样的行变换；每对A 做一次列变换，便对右边的矩阵E 作同样的列变换。

最后可得：P ，
E ，Q ,所以1-A =Q P .
3.4用分块矩阵去求逆矩阵
设A 、B 分别为p 、q 阶可逆矩阵，则1
0-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡B C A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡----1110
B CB A A ， 1
0-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡B D A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110B DA B A ，1
00-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡B A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--110
0B A ， 1
00-⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡B A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--001
1A
B . 例3.5 求矩阵S ＝⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--311
15221001
10012的逆矩阵。

解：令A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1112，B ＝⎥
⎦⎤⎢⎣⎡3152，D ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1121，所以1
-A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111 1
-B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2153，1
1---DA B ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--1173019.
故1-S ＝1
0-⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡B D A
＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110B DA
B A ＝⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2111753301900210011
. 分解矩阵求逆法，即将已知矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。

定理3.1.2 设A 为n 阶可逆矩阵，且A ＝B ＋X C Y ，其中1-B 已知，C 是r ⨯r 可逆阵，r ≤n ，又设1-C ＋1-B 可逆，则
1-A ＝1-B －1-B X ()
1
11---+X
YB C Y 1-B . （１）
例3.6求矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡55
432
6443265332
66554423
21
的逆矩阵。

解：A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11111+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡654326543265432
66554433
22
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11111+⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡11111
11
111
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡5432111111= B +X 2E Y 由公式得：1-A =191⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-----13543261443265153266554416327
特别的，当X 是n ⨯l,Y 是1⨯n ，且C =（1）时，公式（1）就变成了
1-A =1-B -X
YB 1
11
-+1-B X 1-B ，此公式为Sherman-Morrvson 公式。

例3.7 A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--512010211，求1-A .
解：设B ＝⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡300010001，X ＝⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101，Y ＝[]212-，则 A ＝B ＋B Y ，1-B ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3100010001，Y 1
-B X ＝[]212-⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡3100010001⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101＝34- 1
-B X Y 1-B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3100010001⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101[]212-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3100010001=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡-
-923
13
200
3202
, ∴1-A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡3100010001-3411-⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡--923
13200
03202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎣⎡--112010235. 利用Sherman-Morrvson 公式可很快的求出类型，如：A =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡b a a a b a a a b .........的矩阵的逆。

例3.8 当b ≠a 时，且b ≠(1-n )a 时，求证：1-A =
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--E a n b a
E a b )1(1. 证明：∵A =b a
b a b a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦+⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a
a a a a a a ..................... =（b-a ）E+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡a a a []1...111. 于是由Sherman-Morrvson 公式定理可求得A 的逆为：
1-A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--E a n b a E a b )1(1，其中E =⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1...11............1 (11)
1 (11)
. 由该例题若求形如矩阵A 的逆，只要将a 、b 的值代入上述公式，即可求得。

这比用初等变换、分块矩阵和伴随矩阵法要简单得多。

3.1.6 特征多项式法
定理3.1.3 设A 是n ⨯n 矩阵，则A 可逆⇔存在常数项不为0的多项式g （x ），使
g (A )=0.
证：必要性，设A 的特征多项式为：f (λ)=0111a a a n n n ++⋅⋅⋅++--λλλ其中，0a =
()n
1-A ≠0，而f (A)=0，故f (x)是适合条件的g （x ）.
充分性，设g （λ）=01b b b m m ++⋅⋅⋅+λλ，0b ≠0,
则0=g(A)=E b E b A b A b m m 001-++⋅⋅⋅+=A （E b A b m m 11+⋅⋅⋅+-） 所以1-A =-0
1
b （E b A b m m 11+⋅⋅⋅+-）. 递推法利用n 阶可逆矩阵的n -1阶矩阵的逆来递推得到原矩阵的逆。

引理3.1.4 任何一个m +1阶可逆方阵都可以只通过行列互换初等变换化为左上角为m 阶可逆块的方块方阵形式，即对任意m +1阶可逆方阵1+m A ，存在互换初等矩阵
i P （1
-i P =i P ）（i =1,2,…,n ）使得1P 2P …j P 1+m A 1+j P …n P
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡m m
m m
b B σε，其中，m B 为m 阶可逆方阵，m ε为m ×1阶矩阵，m σ为1×m 阶矩阵，m b =11++m m b ，于是
1
1-+m A =j P …2P 1P 1
-⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡m m
m m b B σεn P …1+j P . 证明：由1+m A 可逆知，至少有一个m 阶子式不为零，于是可以只通过行列的互换变换将
此子式对应的矩阵换到左上角，得到新矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡m m m m
b B σε形式，即存在互换初等矩阵
i P （1
-i P =i P ）（i =1,2,…,n ）使得1P 2
P …j P 1+m A 1+j P …n P =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡m m
m m b B σε，其中，m B 、m ε、m σ、m b 如条件所设，于是根据互换初等矩阵性质1-i P =i P 即可得到定理后半
部分结论。

根据引理 3.4,只需要考虑左上角的m 阶分块为可逆矩阵的m +1阶可逆方阵
1+m A .
引理3.1.5 设m +1阶可逆方阵1+m A =（ij a ）=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡m m m m
a A αβ，其中m A 为m 阶可逆方
阵，
m β为m ×1阶矩阵，m α为1×m 阶矩阵，m a =1,1++m m a ，则m a -m a 1
-m A m β≠0.
证明：由分块矩阵乘法及m A 可逆，，有
⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m m m
a A αβ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10
1
1m m m A A β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---m m m m m m m
A a A E βαα1
10，(1) 由1+m A 可逆，即可得到m a -m a 1
-m A m β≠0，证毕。

推论 令m c =m a -m a 1-m A m β，则m c =1+m A 1-m
A =1+m A 1
-m A =
m
m A A 1+.
证明：在（1）式两边取行列式既得。

根据引理3.5，可得到下面的结论。

定理3.1.6 1+m A ，m A ，m β，m α，m a ，m c 如引理及推论所述，又令m γ=-1-m A m β，
m δ=-m α1-m A ，则11
-+m A
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001m A +m c 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡1m
m m m δ
γδγ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-00
01
m A +m c 1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1m γ[]1m δ， 其中，1
-m
A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡111a .
证明：显然1-m A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡111a ，设1+m A 的逆矩阵1
1-+m A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡m m m m b B σε，其中m B 为m 阶方阵m ε为m ×1阶矩阵,m σ为1×m 矩阵，m b =11++m m b ，根据
1+m A 1
1
-+m A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m m m a A αβ⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m m m b B σε=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡100m E ，其中m E 是m 阶单位矩阵，再 由分块矩阵乘法和矩阵相等得到矩阵方程组
根据m A 可逆，由（3）式得m ε=-m b 1
-m A m β， （6）
将（6）式代入（5）式得m b =
m
m m m A a βα1
1
--=
m
c 1
， （7） 将（7）式代入（6）式得m m m c A βε1--==m c 1
m γ， （8）
又由（2）式得m B =1-m A -1
-m A m βm σ， （9）
将（9）式代入（4）式得m σ=m m m m m A a A βαα1
1
----=m
c 1
m δ， （10） 将（10）式代入（9）式得
m B =1-m
A +m c 1（-1-m A m β）m δ=1
-m A +m
c 1m γm δ， （11） 综合（7）（8）（10）（11）即可得到
1
1
-+m A
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001m A +m c 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡1m
m m m δγδγ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001m A +m c 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡1m γ[]1m δ.定理证毕。

推论1 设 1+m A =diag(1a ,2a ,...,1+m a )(i a ≠0,i =1,2,...,m +1),则
11-+m A =diag(11-a ，12-a ，...，11-+m a ).
证明：此时m δ=0，m γ=0，m c =1+m a ,于是
11-+m A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001
m A +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+11000m a =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+-11100m m a A =......=diag(11-a ，12-a ，...，1
1-+m a ) . 推论2 设A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡d c b a (0≠-bc ad )，则1
-m A =bc ad -1⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--a c b d . 证明：设a ≠0，此时1
1
-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1，1δ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a c ，1γ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-a b ，1c =a bc ad -，所以
1
1-A =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡0001
a
+
bc ad a -⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---12a
c c b a bc
=bc ad -1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--a c b d ，
上式在a =0也成立，证毕。

例3.9 求矩阵A 的逆矩阵，其中A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---165283141.
解：11-A =（1），且2A =8
34
1=-4≠0，于是1δ=（-3），1γ=（-4），1c =（-4），所以
12-A =⎥
⎦⎤⎢⎣⎡0001-41⎥⎦⎤⎢⎣⎡--13412=41⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1348； 又2δ=-41（-58，26），2γ=-4
1⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-10，2c =-21
，所以 11-A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡--000041
4301
2+（-2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
1213
22941813
829000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----213292132
1301
2. 最后给出右下角为m +1阶可逆矩阵的1+m A 逆矩阵的递推公式。

定理3.1.7 设m +1阶方阵1+m A =（ij a ）=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡m m
m m
A a αβ，其中m A 为m 阶方阵,m β为1⨯m ，m α为m ⨯1矩阵，m a =11a ，则当m A ，1+m A 皆可逆时，有
1
1
-+m A
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1000m A +m m m m A a αβ1
1
--⎥⎦⎤⎢⎣⎡------1111
1
m m m m m m m m A A A A βααβ，其中1
1-A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡++1,11m m a . 1、重要结论法
利用逆矩阵的性质及一些结论，可迅速地求出一类矩阵的逆阵，这些性质和结论是：
(1)初等矩阵的逆阵：E ()1,-j i ＝E （i ，j ），E ()()1,-k i ＝E （i ,（k
1
））， E ()()1,-k i ＝E （j （k ），i ）． (2)()1-AB ＝1-B 1-A ； (3)()
1
-T
A ＝()
T
A 1-；
(4)正交阵的逆阵：1-A ＝T A ；
(5)主、次对角线上的分块对角阵的逆阵：设i A 都是方阵，且det i A ≠0，i=（1，2，…s ）
则， 1
12
s A A A -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=1
11
2
1s A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦； 1
12
s
A A A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=11
2
11
s A A A ---⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 例3.10 设A =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡--12
3123
220，B =⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡10
02200033，求()1-AB . 解：注意到61A 为正交矩阵，
由（4）知，1
61-⎪⎭⎫ ⎝⎛A =T
A ⎪⎭
⎫
⎝⎛61=61T A ，所以1-A =61
T A ；由（5）或（1）得：1-B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100
02000
3
； 于是()1-AB =
6
11
-B T A =61
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡--112222330. 例3.11 设A =1210
00000000
0n n
a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，≠i a 0 (i =1，2，...，n )，求1-A . 解：设A =⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡00
1n a A ，其中1A =diag(1a ，2a ，…，1-n a )，由于det A ≠0，据（5） 得1
-A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--00
1
1
1A a n ，这里1-A =diag （11-a ，12-a ，…，1
1--n a ）
，故
1-A =1
1
10001
00
1000n n a a a -⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
. 2、和化积法
对于一类给出矩阵之和的有关等式问题，通过适当的恒等变换，可化为形如
A B =E 的形式，从而判断所求矩阵的可逆性，且可求出其矩阵。

例 3.12 设n 阶方阵A 满足2A +2A -3E =0，说明A +n E 是否可逆。

若可逆，求此矩阵逆阵。

解：由2A +2A -3E =（A +n E ）（A -（n -2）E ）－（2n -2n -3）E ＝0得， (A +n E ）（A -（n -2）E ）＝－（2n -2n -3）E ＝－（n －3）（n ＋１）E . ｉ）当n ≠3且n ≠－1时，A +n E 可逆， 且()1-+nE A ＝－
)
1)(3(1
+-n n （A -（n -2）E ）；
ｉｉ）当n ＝3时，有（A ＋3E ）（A －E ）＝0，若A ＝E ，则A ＋3E ＝4E ，()1
3-+E A ＝
41
E ，若A ≠E ，
（A ＋3E ）X ＝0有非零解，得E A 3+＝0，故A ≠3E 不可逆；
ｉｉｉ）当n ≠－1时，有（A ＋3E ）（A －E ）＝0，若A ＝－3E ，则A －E ＝－
4E ，()1--E A ＝－41
E ，若A ≠－3E ，则A ＋3E ≠0，（A －E ）X ＝0有非零
解，得E A -＝0，故A －E 不可逆。

3、设元法
对于给定的可逆阵A ，可假设1-A 的每个待求元，据A 1-A ＝E 及矩阵相等的条件，利用解方程组，逐个求出个元素。

例3.13 已知：A ＝⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡4321
A A A A ，其中1A 、4A 分别为r 、s 阶可逆方阵，，求1-A . 解：设1
-A ＝⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡42
21
Z Z Z Z ，其中i Z 与i A （i ＝１，２，３，４）为同形阵。

由A 1-A ＝⎥⎦⎤⎢
⎣⎡4321
A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4221
Z Z Z Z ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡s r
E E 2100，得 注：应用此法，还可得出：
（１）1
431
0-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡A A A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----141
131
4110A A A A A （1A ，4A 可逆）; （２）1
421
0-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡A A A
＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-----1
414
211110
A A A A A （1A ，4A 可逆）; （３）14320
-⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡A A A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----01
2131
2413A A A A A （2A ，3A 可逆）; （４）1
3
21
0-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A
＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----131121
`2
1
30A A A A A （2A ，3A 可逆）。

3.2 循环矩阵的逆矩阵的求法
由循环矩阵的性质（3）可知A =（0a ，1a ，2a ，...，1-n a ）的逆矩阵为
1-A =1-A （0x ，1x ，2x ，...，1-n x ），其中i x ，i =0，1，2，...，n -1是线性方
程
组T A 011n x x x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=100⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的唯一解。

例3.14求A =A （1，2，3）的逆矩阵。

解：构造线性方程组T A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡001.已知A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡132213321，T A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123312231， 解线性方程组得⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
230321
23321
321321x x x x x x x x x ，得1x =182-，2x =187，3x =181
故1-A =1-A （182-，187，18
1
）.
此方法在阶数比较大时要经过初等变换化为阶梯型才可解出方程组，此时计算量比较大，比较适用于低阶循环矩阵。

3.2.2 欧几里得算法
令g (x)=n x -1则g (ξ)=0，即g (x)是ξ的最小零化多项式，ξ同前，R 为
全体实数集，设R [x ]是R 上的一元多项式环，B 为R 上全体循环矩阵构成的集合，则B 关于矩阵的加法和乘法构成交换环，定义ϕ：R [x ]→B ，f (x )→f (ξ)，
f (x )∈R [x ]，易证ϕ是R [x ]到B 的满环同态，由同态基本定理可得
[]B x R ≅ϕ
ker ，
即
[](
)
B x x R n ≅-1
. 定理3.2.1 循环矩阵A =A （0a ，1a ，2a ，...，1-n a ）可逆，当且仅当（f (x )，
n x -1）=1，
即存在u (x )，v (x )∈R [x ]使得f (x )u (x )+v (x )（n x -1）=1，其中 f(x)=0a +1a x+2a 2x +....+1-n a 1-n x =1.
利用定理可构造如下求逆的方法：求出f (x )与n x -1的最大公因式d (x )及u (x )、v (x )∈R [x ],使得：f (x )+v (x )（n x -1）=d(x ) （1）.
若d (x )不是非零常数，则A （0a ，1a ，2a ，....，1-n a ）不可逆；d (x )若是非零常数p ，则A （0a ，1a ，2a ，....，1-n a ）可逆此时将ξ代入（1）式得f (ξ)
u (ξ)=p ，从而1-A =
p
1
u (ξ). 例3.15 判断下列矩阵A =⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡24444
4244444244
4442444442是否可逆？若可逆，求其逆。

解：利用辗转相除法可得5x -1=f (x )(4
1
41-x )+2121-x ,
f (x )=(322416823+++x x x )(2121-x )+18.上两式中消去2
1
21-x ，并整理得
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++72222181234x x x x f (x )+()()
13224168181523-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-x x x x =1. 由上知d (x )=10≠,故A 可逆，且u (x )=
()
7222218
1
234-+++x x x x ，
则u (ξ)=A （187
-
，91，91，91，9
1）=1-A . 用欧几里德方法求循环矩阵的逆矩阵可直接判断该矩阵是否可逆，并且计算
起来比较快捷。

3.2.3 用三角算法（此算法可得循环矩阵求逆矩阵的公式）
由循环矩阵性质（6）我们得知存在σ，使得1-σA σ=
()()
()011n f f f εεε-⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦.因为det σ为─Vandermonde 行列式，当k ≠1时有k ε≠1ε，故det σ≠0，因此σ可逆，从而A 可逆。

当且仅当()∏-=10
1n i f ε≠0，且
1
-A =σ()
()
()011n f f f εεε-⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
1-σ，设1-A =1-A （0b ，1
b ，...，1-n b ）
， 由 矩阵乘法规则可得公式：j b =
n
1
()∑-=--1
1n i i i i
n f εε
，j =0，1，2，...，n -1.
在一般情况下，用以上公式时需要进行大量的三角函数的计算，然而对于许多特殊的情
况，只要充分利用n 次单位根的性质，就可以比较容易的求出所需要的逆矩阵。

3.3一类阶数较高矩阵的逆矩阵的求法
对于二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a （1）当bc ad -时，则可逆，且其逆为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1，利用这一简单结论可得出形如（2）
111111
a
b
c
d
一类方阵的逆
矩阵，其中（2）中未标的元素主对角线上全为1，其它元全为0.
定理3.3.1 矩阵（2）可逆，且矩阵（1）的逆为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡h g f e
，则矩阵（2）的逆为 1
1
1
1e f g
h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
. 证明：设矩阵（2）为A ，对A 施行一系列交换两行和两列的初等变换，则A 化
成
1
1
1
1e b g
d
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，这相当于存在ij P 型的初等矩阵，使得 （3）s P ⋅⋅⋅2P 1P A 1P 2P ⋅⋅⋅s P =1A 成立，由于A 可逆，则1A 可逆，易知
1
1-A =1
1
1
1e f g
h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，对(3)式两边求逆得
()()1121121---⋅⋅⋅⋅⋅⋅P P P A P P P s s =1
-A =11
1
1e f g
h ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，对等式两边左乘1P 2P ⋅⋅⋅s P ，右乘s P ⋅⋅⋅2P 1P 得
（4）1P 2P ⋅⋅⋅s P 1
1
1
1e b g
d
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，由（4）式知，1-A 是通过11-A 施行行交换两行和两列初等变换得到的，而对11-A 施行的初等变换，正是（3）式中对A 施行的初等变换，只是初等变换的先后次序恰恰相反，则有
1
-A =1
1
1
1e f g
h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
.
例3.16 判定矩阵A =⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡100000010040001000000100
020*********是否可逆？若可逆求其逆。

解：由
3423=1≠0，知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423可逆，其逆为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--3423，所以矩阵A 可逆，由定理知1
1-A =⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--100
00
0030040001000000100020
03000
0001.。