总结求逆矩阵方法
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3、逆矩阵的求法
1.1一般矩阵的逆矩阵的求法
定义3.1.1 设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使A B =B A =E ，则称
A 为可逆矩阵，并称
B 是A 的可逆矩阵。
例3.1 已知n 阶矩阵A 满足0322=-+E A A 。证明A +4E 可逆并求出()14-+E A . 证明：把0322=-+E A A 变形为(A +4E )（E A 2-）=-5E ，可得（A +4E ）
（E A 5251+-）=E ，所以存在一个矩阵B =E A 5
2
51+-，B 使（A +4E ）B =E 。
由定义得A +4E 可逆，且B ()14-+E A =B =E A 5
2
51+-.
3.1.2 用伴随矩阵去求逆矩阵
定理3.1.1 n 阶矩阵A =（ij a ）为可逆的充要条件是A 非奇异。且
1-A =
A 1112111222212n n n n
nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，其中ij A 是A 中元素ij
a 的代数余子式。矩阵
112111222212n n n
n
nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
称为矩阵A 的伴随矩阵，记作*A ，于是有1-A =A 1 *A . 例3.2 判断矩阵A =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡343122321，A 是否可逆？若可逆，求 1-A . 解： 因为A =2≠0，所以A 可逆。又
11A =2，12A =-3，13A =2， 21A =6，22A =-6，23A =2， 31A =-4，32A =5，33A =-2.
所以1-A =A 1*A =21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----222563462
=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----111
2532323
1. 3.1.3 用初等变换去求逆矩阵
如果A 可逆，则A 可通过初等行变换化为单位矩阵E ，即存在相应的初等矩阵1E 、2E …s E 使s E …2E 1E A ＝E （1），用1-A 又乘上式两端，得s E …2E 1E E
＝1-A （2），比较（1）、（2）两式，可知当A 通过行初等变换化为E 的同时，对单位矩阵E 作同样的初等行变换，就化为A 的逆矩阵1-A .同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。 (1)初等行变换
如果n 阶矩阵A 可逆，作一个 n ⨯2n 的矩阵（A ，E ），然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时即化为1-A 了。即（A ，E ）→（E ，1-A ）.
例3.3 用初等行变换求矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡521310132的逆矩阵。 解：（A ,E ）−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132−→−⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521−→− ⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-----316161100123
210103
461361001，故1-A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡-
---
-316161123
213461361. (2)初等列变换
如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n ⨯n 的矩阵⎥⎦⎤
⎢⎣⎡E A ，然后对此矩阵施以初等列
变换，使矩阵A 化为单位矩阵E ，则同时E 化为1-A ,即⎥⎦
⎤⎢⎣⎡E A −→−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-1A E .
例3.4 用初等列变换求矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101111123的逆矩阵。 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A =⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡100
10
01001
11112
13
−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡000
11
01100011312
1
1−→−⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------302110120201201011−→−⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡----1221101202010010
11
−→
−⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21121102110201001011−→
−⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-----2111
12112111
021*******−→
−⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-----2111
12102111
021*******−→
−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
---2111
121021110210001001,所以1-A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---12122012121. (3)混合采用初等行、列变换
如果n 阶矩阵A 可逆，列出三个矩阵如下：E ，A ，E （E 为单位矩阵）。对这三个矩阵施以变换，当对A 做一次行变换，便对左边的矩阵E 做同样的行变换；每对A 做一次列变换，便对右边的矩阵E 作同样的列变换。最后可得：P ，
E ，Q ,所以1-A =Q P .
3.4用分块矩阵去求逆矩阵
设A 、B 分别为p 、q 阶可逆矩阵，则1
0-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡B C A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡----1110
B CB A A ， 1
0-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡B D A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110B DA B A ，1
00-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡B A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--110
0B A ， 1
00-⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡B A ＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--001
1A
B . 例3.5 求矩阵S ＝⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--311
15221001
10012的逆矩阵。 解：令A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1112，B ＝⎥
⎦⎤⎢⎣⎡3152，D ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1121，所以1
-A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111 1
-B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2153，1
1---DA B ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--1173019.