微分关系法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
。
②确定曲线形状：根据微分关系，CA和AD段内，q=0， 剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；DB段内，q=常数， 且为负值（向下），剪力图为向下的斜直线，弯矩图为向 上凸的抛物线。
（3）求分段点截面的内力值，绘Q、M图
Q图： QC右 3 KN QA右 7 KN ， ，据此可作出CA和AD两段Q 图的水平线。 QD右 7 KN QB左 5 KN，据此作出DB段Q图 ， 的斜直线。
q(x),Q(x),M(x)之间的微分关系 与剪力图、弯矩图
根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知 剪力图和弯矩图的形状。例如： 若某段梁上无分布载荷，即q(x)=0，则该段梁的剪力 为常量，剪力图为平行于x轴的直线；而弯矩为x的一 次函数，弯矩图为斜直线,其斜率等于剪力。 若某段梁上的分布载荷q(x)=q（常量），则该段梁的 剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线；而弯矩为x的 二次函数，弯矩图为抛物线。 dM ( x) ，该截面的弯 0 若某截面的剪力Q(x)=0，根据 dx 矩为极值。
例题
例 梁的受力如图(a)，利用微分关系作梁的剪 力、弯矩图。
解：（1）求支座反力 由平衡条件 m A 0和 mB 0分别求出 R A 10 KN ，RB 5 KN 利用平Байду номын сангаас条件 y 0进行校核。
（2）分段确定曲线形状 ①分段：由于载荷不连续，应将梁以A、D为分段点分为 三段绘内力图
(4) 对作出的Q、M图利用微分关系和突变规律、端 点规律作进一步的校核。
如DB段内的均布载荷为负值，该段图的斜率应 为负；CA段的为负值，该段Q图的斜率应为负；AD段 的Q为正值，该段M图的斜率应为正；支座A处剪力图 应发生突变，突变值应为10KN；D处有集中力偶，D截 面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为 3.6KNm；支座B和自由端C处的弯矩应为零等。 (5) Qmax=7 kN，发生在AD段各截面上；Mmax=2.4 kN， 发生在D点偏右截面上。
微分关系法
绘制剪力、弯矩图
基础教学部 力学教研室
分布载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系
从图示承受 任意载荷的 梁上受分布 载荷的段内 截取 微段， 其受力如图 b所示。
作用在微段上的分布载荷可以认为是均 布的，并设向上为正。微段两侧截面上的 内力均设为正方向。
根据平衡条件 Q( x) q( x)dx (Qx ) dQ( x)) 0
dx2 M ( x) dM ( x) M ( x) Q( x)dx q( x) 0 2
略去其中的高阶微量后得到
dQ( x) q( x) dx dM ( x) Q( x) dx
由上式可进一步得出
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
剪力、弯矩和分布载荷集度q之间的平衡微分关系 表明： １．剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载 荷集度。 ２．弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。 ３．弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的 分布载荷集度。
利用微分关系绘制剪力图和 弯矩图的步骤
1．求支座反力； 2．分段确定剪力图和弯矩图的形状； 3．求分段点截面内力，根据微分关系绘制 剪力图和弯矩图； 4. 根据绘图规律进一步校核。 5．确定 Q max 和 M max 。
利 用 微 分 关 系 绘 、 图 。
练习与作业
Q M
M图： M C 0 M A左 1.8 KN m ， ，据此可以作出CA段弯矩图 的斜直线。A支座的约束反力只引起截面A两侧剪力发生 突变，不改变弯矩值，故 M A左 M A右 M A 1.8 KN m， M D左 2.4 KN m ，据此可作出AD段弯矩图的斜直线。 D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突 M 变， M D右 1.2 KN m ， B 0 ；由DB段的剪力图知在E处 Q=0，该处弯矩为极值。根据BE段的平衡条件，BE长 0.5m，于是求得 M E 1.25 KN m 。根据上述D,E,B三个截面的 弯矩值可作出DB段的图。
②确定曲线形状：根据微分关系，CA和AD段内，q=0， 剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；DB段内，q=常数， 且为负值（向下），剪力图为向下的斜直线，弯矩图为向 上凸的抛物线。
（3）求分段点截面的内力值，绘Q、M图
Q图： QC右 3 KN QA右 7 KN ， ，据此可作出CA和AD两段Q 图的水平线。 QD右 7 KN QB左 5 KN，据此作出DB段Q图 ， 的斜直线。
q(x),Q(x),M(x)之间的微分关系 与剪力图、弯矩图
根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知 剪力图和弯矩图的形状。例如： 若某段梁上无分布载荷，即q(x)=0，则该段梁的剪力 为常量，剪力图为平行于x轴的直线；而弯矩为x的一 次函数，弯矩图为斜直线,其斜率等于剪力。 若某段梁上的分布载荷q(x)=q（常量），则该段梁的 剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线；而弯矩为x的 二次函数，弯矩图为抛物线。 dM ( x) ，该截面的弯 0 若某截面的剪力Q(x)=0，根据 dx 矩为极值。
例题
例 梁的受力如图(a)，利用微分关系作梁的剪 力、弯矩图。
解：（1）求支座反力 由平衡条件 m A 0和 mB 0分别求出 R A 10 KN ，RB 5 KN 利用平Байду номын сангаас条件 y 0进行校核。
（2）分段确定曲线形状 ①分段：由于载荷不连续，应将梁以A、D为分段点分为 三段绘内力图
(4) 对作出的Q、M图利用微分关系和突变规律、端 点规律作进一步的校核。
如DB段内的均布载荷为负值，该段图的斜率应 为负；CA段的为负值，该段Q图的斜率应为负；AD段 的Q为正值，该段M图的斜率应为正；支座A处剪力图 应发生突变，突变值应为10KN；D处有集中力偶，D截 面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为 3.6KNm；支座B和自由端C处的弯矩应为零等。 (5) Qmax=7 kN，发生在AD段各截面上；Mmax=2.4 kN， 发生在D点偏右截面上。
微分关系法
绘制剪力、弯矩图
基础教学部 力学教研室
分布载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系
从图示承受 任意载荷的 梁上受分布 载荷的段内 截取 微段， 其受力如图 b所示。
作用在微段上的分布载荷可以认为是均 布的，并设向上为正。微段两侧截面上的 内力均设为正方向。
根据平衡条件 Q( x) q( x)dx (Qx ) dQ( x)) 0
dx2 M ( x) dM ( x) M ( x) Q( x)dx q( x) 0 2
略去其中的高阶微量后得到
dQ( x) q( x) dx dM ( x) Q( x) dx
由上式可进一步得出
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
剪力、弯矩和分布载荷集度q之间的平衡微分关系 表明： １．剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载 荷集度。 ２．弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。 ３．弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的 分布载荷集度。
利用微分关系绘制剪力图和 弯矩图的步骤
1．求支座反力； 2．分段确定剪力图和弯矩图的形状； 3．求分段点截面内力，根据微分关系绘制 剪力图和弯矩图； 4. 根据绘图规律进一步校核。 5．确定 Q max 和 M max 。
利 用 微 分 关 系 绘 、 图 。
练习与作业
Q M
M图： M C 0 M A左 1.8 KN m ， ，据此可以作出CA段弯矩图 的斜直线。A支座的约束反力只引起截面A两侧剪力发生 突变，不改变弯矩值，故 M A左 M A右 M A 1.8 KN m， M D左 2.4 KN m ，据此可作出AD段弯矩图的斜直线。 D处的集中力偶会使D截面左右两侧的弯矩发生突 M 变， M D右 1.2 KN m ， B 0 ；由DB段的剪力图知在E处 Q=0，该处弯矩为极值。根据BE段的平衡条件，BE长 0.5m，于是求得 M E 1.25 KN m 。根据上述D,E,B三个截面的 弯矩值可作出DB段的图。