实变函数整理(定理精简版)

定理1.12若A 非空集合,则A 与其幂集φ(A)不对等｡ 证明 假定A 与其幂集φ(A)对等,即存在一一映射 f :A ->φ(A),作集合B={:()x A x f x ∈∉},于是有y ∈A,使f(y)=B ∈φ(A),分析一下y 与B 的关系:(1)若y ∈B,则由B 之定义可知()y f y ∉=B;(2)若y ∉B,则由B 之定义可知()y f y ∈=B ｡这些矛盾说明A 与φ(A)之间并不存在一一映射,即A 与φ(A)并不是对等的｡

n R 中有界闭集的任一开覆盖均含有一个有限子覆盖｡

证明 设F 是n

R 中的有界闭集,Γ是F 的一个开覆盖,可以假定Γ由可列个开集组成:Γ={12,i G G G ……}｡令

k H =

1

k

i i G =,k L =F ⋂H c k (k=1,2…)｡显然,k H 是开集,k

L 是闭集且有k L 1k L +⊃(k=1,2…)｡分两种情况:

1,存在0k ,使得0k L 是空集,即0H c

k 中不含F 的点,从而知F 0k H ⊂,定理得证;2,一切k L 皆非空,则有Canter 闭集套定理知,存在点0x ∈k L (k=1,2…),即0x ∈F 且

0x ∈H c k (k=1,2…)｡这就是说F 中存在点0x 不属于一切k H ,与原假设矛盾,故第(2)种情况不存在｡

定理1.28若F 是n

R 的闭集,f(x)是定义在F 上连续函数且|f(x)|≤M(x ∈F),则存在n

R 上的连续函数g(x)满足| g(x)|≤M,g(x)= f(x),x ∈F ｡ 证明 把F 分成三个点集:A=:

()3M x F f x M ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭

, B=:()3M x F M f x -⎧⎫∈-≤≤

⎨⎬⎩⎭,C=:()33M M x F f x -⎧

⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭

,

作函数1()g x =(,)(,)

3(,)(,)

M d x B d x A d x B d x A -⎛⎫

⎪

+⎝⎭,x ∈n R ｡因为A 与B 是互不相交的闭集,所以1()g x 处处有定义且在n R 上处处连续,此外还有|1()g x |3

M

≤

,x ∈ n R ,|f(x)-1()g x |23

M

≤

,x ∈F ｡再在F 上考察f(x)-1()g x ,用类似方法作n R 上连续函数2()g x ,由于f(x)-1()g x 的界是2M/3,故2()g x 满足|2()g x |12()

33

M

≤,x ∈n R ,

|[f(x)-1()g x ]-2()g x |23≤23M =2

23⎛⎫

⎪⎝⎭M,x ∈F ｡继续,可

得n

R 上连续函数列{()k g x },使|()k g x |1

1233k -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

M,

x ∈n

R (k=1,2…),|f (x)-1

()k

i i g x =∑|≤23k

⎛⎫

⎪⎝⎭M,x ∈F

(k=1,2…)｡表明

1

()k

k g

x ∞

=∑是一致收敛,若记其和函数为

g(x),则其是n

R 上连续函数;表明g(x)=

1

()k

k g

x ∞

=∑=f(x),

x ∈F ｡对任意x ∈n

R ,|g(x)|≤1

|()|k k g x ∞

=∑

≤3M (1+23+223⎛⎫ ⎪⎝⎭+…) ≤3M 1

213

-

= M ｡ 定理 2.16设E 是n

R 中可测集且m(E)>0｡作点集E-E def

={x –y:x,y E ∈},则存在0δ>0,使E-E ⊃B(0,0δ)｡ 证明 取λ满足1-(1)

2

n -+<λ<1,存在矩体I ,使得λ|I|<

m(I

E )｡现在记I 的最短边长为δ,并作开矩体J

=12(,,):||(1,2,....,)2

n i x i δ

ξξξξ⎧

⎫=<=⎨⎬⎩

⎭

…,n ｡从而只需证明J ⊂E-E,即证明对每个0x J ∈,点集I

E 必与点集

(I

E )+{0x }相交｡因为J 是以原点为中心､边长为δ

的开矩体,所以I 的平移矩体I+{0x }仍含有I 的中心｡知m(I

0I+{}x )>2n -|I|｡由此可得m(I

0I+{}x )=

|I|+I+m({0x })-m(I

0I+{}x )<2|I|-2n -|I|,即m(I

0I+{}x )<2λ|I| ｡但由于I

E 与(I

E )+{0x }

有着相同的测度并且都大于λ|I|,同时又都含于

m(I

0I+{}x )之中,故它们必定相交,否则其并集测度要大于2λ|I|,故引起矛盾｡ 定理(EropoB)：

证明 对任给的ε>0,有lim ()k j k j m E ε∞

→∞

=⎛

⎫

⎪⎝⎭=0.现在取正数列1/i (i=1,2…),则对任给的δ>0以及每一个i,存在i j ,

使得1()2

i k i k j m E i δ∞=⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭,令E δ=

11

()i

k i k j E i ∞∞

==,有

m(E δ)≤11()i k i k j m E i ∞∞

==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑≤12

i i δ∞

=∑=δ｡现证明在点集E\E δ=11:|()()|i k

i k j x E f x f x i ∞∞

==⎧⎫∈-<⎨⎬⎩

⎭上,{()k f x }是一致收敛于f(x)的｡事实上,对任给的0ε>,存在i 使得1/i<ε｡从而对一切x ∈E\E δ,当k ≥i j 时,有|()k f x -

f(x)|<1

i

<ε｡说明()k f x 在E\E δ上一致收敛于f(x)｡

定理 3.18(卢津定理)：

证明假定f(x)是实值函数,这是因为m({}:|()|x E f x ∈=+∞)= 0 ｡首先考虑f(x)是可测简单函数:f(x)=

1

()i

p i E i c x χ

=∑,x ∈E=

1

p

i i E =,i

E j E =∅(i ≠j)｡此时,对任给的δ>0及每个E δ,可作E δ中闭集i

F ,使m(i E \i F )<

p

δ

,i=1,2…p ｡因为当x ∈i F 时,f(x)=i c ,故f(x)在i F 上连续｡而12,F F …p F 是互不相交的,可知f(x)在

F=

1

p

i i F =上连续,显然F 是闭集,且有

m(E\F)=

i 1

m(E \)p i i F =∑<1

p

i p

δ

=∑

=δ｡其次考虑f(x)是一般可测函数的情形,由于可作变换g(x)=()

1|()|f x f x +｡故假设

f(x)是有界函数｡根据简单函数逼近,存在可测简单函数列{()k x ϕ}在E 上一致收敛于f(x)｡现在对任给的δ>0

及每个()k x ϕ,均作E 中的闭集k F ,m(E \)k F <

2

k

δ,使

()k x ϕ在k F 上连续｡令F=

1

k k F ∞

=,则F ⊂E,且有

m(E\F)≤1

m(E \)k k F ∞=∑<δ｡因为每个()k x ϕ在F 上都是

连续的,根据一致收敛性,易知f(x)在F 上连续｡ 定理 4.4(Levi 非负渐升列的积分)：

证明 易知f(x)是E 上的非负可测函数,积分()E

f x dx

⎰

有定义｡因为()k E

f x dx ⎰

≤

1()k E

f x dx +⎰

(k=1,2…),所以

lim ()k E

k f x dx →∞⎰有定义,而且从函数列的渐升性可知

lim ()k E

k f x dx →∞⎰≤()E

f x dx ⎰,现令c 满足0

n R 上任一非负可测简单函数,且h(x)≤f(x),x ∈E ｡记

k E ={x ∈E:()k f x ≥ch(x)}(k=1,2…),则{k E }是递增可

测集列且lim k k E →∞

=E,可知lim ()k

E k c

h x dx →∞

⎰

=c ()E

h x dx ⎰｡

于是从

()k E

f x dx ⎰

≥()k

k E f x dx ⎰≥()k

E ch x dx ⎰=

()k

E c h x dx ⎰ 得到 lim ()k E k f x dx →∞⎰≥c ()E

h x dx ⎰｡在上

式中令c->1,有lim ()k

E

k f x dx

→∞⎰≥()E

h x dx ⎰｡依f(x)的积分定义即知lim

()k E

k f x dx →∞⎰≥()E

f x dx ⎰｡