2018-2019年普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷

2018-2019年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．12 C ．22D ．2 3.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤ 5.若2101()()x a x x-+的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．2 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．14 D ．187.已知2tan()44πα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．79C ．19-D ．198.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2-∞ D ．1(,)2+∞10.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）A ．443+B ．445+C ．82D ．44582+11.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=，则m 的取值范围是（ ）A ．1(0,][8,)2+∞B ．(0,1][8,)+∞C ．1(0,][4,)2+∞ D ．(0,1][4,)+∞12.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ） A ．3[2- B ．3[2- C ．33[2- D ．33[2- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y ++的最大值为 ．14.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3CP PD =，若1AB BP ⋅=-，则AB AD ⋅= ． 15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2364n n n a a S +=+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）记事件A ：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A 的概率. 20.已知抛物线C ：212y x =，不过坐标原点O 的直线l 交于A ，B 两点. （Ⅰ）若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设过A 且与C 相切的直线为1l ，过B 且与C 相切的直线为2l .当1l 与2l 交于点(1,2)-时，求l 的方程.21.已知2()1ln ()f x x a x a R =--∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与x 轴有唯一公共点A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若不等式12()1x f x e x x -≤+--对任意的1x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: ACBDD 6-10: CBABB 11、12：AD二、填空题13. 4 14. 11 15. 22(2)2x y +-= 16. 711[,]812三、解答题17.（Ⅰ）当1n =时，有2111364a a a +=+，即11(4)(1)0a a -+=. 因为10a >，所以110a +>.从而140a -=，即14a =. 由2364n n n a a S +=+，知2111364n n n a a S ++++=+. 两式相减，得22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--. 即22111336n n n n n a a a a a ++++--=，即2211330n n n n a a a a ++---=， 即11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以130n n a a +--=，即13n n a a +-=. 所以，数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 所以43(1)31n a n n =+-=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为1111()()47710n T =-+-+⋅⋅⋅+1111()()32313134n n n n -+--+++11434n =-+. 18.（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l AB ⊥，2l AD ⊥.因为ABAD A =，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB . 所以1l SA ⊥. 同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C =，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD .同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条， 所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD .所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线. 所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB 、AD 、AS 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)S . 由F 为SC 的中点，得3(1,,3)2F ；由23BE BC =，得(2,2,0)E . 所以1(1,,3)2EF =--，(2,3,6)SC =-，(2,0,0)DC =.设平面SCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n SC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =. 所以(0,2,1)n =.所以cos ,EF n <>EF n EF n⋅=⋅1(1)0()23121190414-⨯+-⨯+⨯=++⨯++4205=所以，直线EF 与平面SCD 4205205. 19.解：（Ⅰ）0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；222(527.5)0.1(1527.5)0.2S =-⨯+-⨯甲22(2527.5)0.3(3527.5)0.2+-⨯+-⨯22(4527.5)0.15(5527.5)0.05+-⨯+-⨯178.75=.（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为0.05、0.8、0.15.()0.650.050.05(0.050.8)P A =⨯+⨯+0.075=.20.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（Ⅰ）解：显然直线l 的斜率存在，设为k ，直线的方程为y kx m =+.由题意，0m ≠.由212y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx m --=.由题意，该方程的判别式24(2)0k m ∆=+>，即220()k m +>★. 则122x x k +=，122x x m =-.因为OA OB ⊥，所以OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，即21212(1)()k x x km x x +++20m +=. 所以2222(1)20m k k m m -+++=.所以220m m -=.解得0m =（舍去），或2m =. 当2m =时，220k m +>，满足()★式. 所以直线l 的方程为2y kx =+. 直线l 过定点(0,2).（Ⅱ）解法一：过点(1,2)-且与C ：212y x =相切的直线的斜率必存在，设其斜率为k ，则其方程为(2)(1)y k x --=-，即(1)2y k x =--.由2(1)22y k x x y=--⎧⎨=⎩消去y 并整理得222(2)0x kx k -++=. 由判别式2(2)8(2)0k k ∆=--+=，解得1k =. 不妨设1l的斜率11k =+2l的斜率21k =由韦达定理，得1212x x k +=，即111x k ==.111(1)2y k x =--(123=+=+所以(1A .同理可得(1B -.直线l的方程为(3y -+=[(1x -+，即直线l 的方程为2y x =+.解法二：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x . 同理，2l 的斜率为2x .1l ：21111()2y x x x x -=-，即1l ：21112y x x x =-.同理2l ：22212y x x x =-. 因为1l 与2l 的交点(1,2)-的坐标为方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的解， 所以211122x x -=-，且222122x x -=-.所以方程2122x x -=-，即21202x x -++=的两个实根是1x ，2x .由21202x x -++=，解得11x =+，21x =又点A ，B 在C ：212y x =上，可得(1A，(1B .直线l的方程为(3y -+=[(1x -+，即直线l 的方程为2y x =+.解法三：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x . 所以，切线1l ：111()y y x x x -=-，即2111y y x x x -=-. 又11(,)x y 是抛物线212y x =上的点，所以21112y x =，即2112x y =. 故切线1l 的方程为11y x x y =-. 同理切线2l 的方程为22y x x y =-.又切线1l 与切线2l 均过点(1,2)-，故112x y -=-，222x y -=-. 所以切点11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标适合方程2x y -=-. 所以l 的方程为2y x =+.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2af x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x af x x-=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<.所以()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--.由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）.①若0f <，则1ln 0222a a a--<.令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 2222a a g a =--111ln 2222a a ⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. 所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=；取正数1c a >+，显然c >>而2()1ln f c c a c =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-.当1x >时，显然1'()10h x x =-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln (1)10h x x x h =-<=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->.又()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数. 则由零点存在性定理，()f x在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意. 注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤. 令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. （1）当0a =时，1()x g x x e -=-.当1x >时，10'()110x g x e e -=-<-=，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，()g(1)0g x ≤=.可见，0a =符合题意. （2）若0a <，显然1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数. 取实数1m a >-+，显然1m >. 则1'()(1)m a g m e m -=-+-[1(1)1]am m≤-+-+-（利用11(1)x e x -≥+-） (1)m m a m-+=-(1)(11)a a am-+-+-+<-20a m =-<. 又'(1)0g a =->，'()g x 在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定点，存在唯一的0(1,)x m ∈使得0'()0g x =.于是，当0(1,)x x ∈时，'()0g x >，函数()g x 在0(1,)x 上是增函数. 所以，当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意. 当0a >时，分如下三种解法：解法一：（3）若01a <≤，1'()1x a g x e x -=--，212''()x a x e g x x--=. 令21()x h x a x e -=-，显然21()x h x a x e -=-在[1,)+∞上是减函数， 所以，当1x ≥时，()(1)10h x h a ≤=-≤，当且仅当1a =时取等号. 所以，当1x ≥时，2()''()0h x g x x =≤，1'()1x a g x e x -=--在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，'()'(1)0g x g a ≤=-<. 所以，()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，01a <≤符合题意.（4）若1a >，1'()1x a g x e x -=--，212''()x a x e g x x--=. 令21()x h x a x e -=-，显然()h x 在[1,)+∞上是减函数，且(1)10h a =->，21()a h a a a e -=-10(1)0a a ae a e -<-<-=，所以，存在唯一的0(1,)x a ∈，使得0()0h x =，即12()a x aae x -=★. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x >；当(,)a x x ∈+∞时，()0h x <. 所以，当(1,)a x x ∈时，''()0g x >；当(,)a x x ∈+∞时，''()0g x <. 所以，'()g x 在(1,)a x 上是增函数，在(,)a x +∞上是减函数. 所以，'()g x 在[1,)+∞上的最大值max '()'()a g x g x =11a x aae x -=--. 将()★式代入上式，得max 2'()1a a a a g x x x =--2210a aa a aa x x <--=-<. 所以，当1x ≥时，'()0g x <，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，1a >符合题意. 综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法二：（3）若0a >，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立1ln x e x a x -⇔-≥-对任意的1x ≥恒成立. 令1()x p x e x -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e ->-=，所以()p x 在[1,)+∞上是增函数.所以min ()(1)0p x p ==. 显然()ln q x a x =-在[1,)+∞上是减函数，max ()(1)0q x q ==.所以，当1x ≥时，()()p x q x ≥，即1ln x e x a x --≥-对任意的1x ≥恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法三：（3）若0a >，1()ln 0x g x x e a x -=--≤对任意的1x ≥恒成立. 令1()x p x x e -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e -<-=，所以()p x 在[1,)+∞上是减函数.所以min ()(1)0p x p ==. 所以，当1x ≥时，()0p x ≤.当0a >，1x ≥时，()ln 0q x a x =-≤.所以，当0a >，1x ≥时，()()()0g x p x q x =+≤恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法四：12()1x f x e x x -=+--1ln 0x e a x x -⇔+-≥. 令1()ln x g x e a x x -=+-，则()0g x ≥对任意的1x ≥恒成立.1'()1x ag x ex-=+-1x xe x a x --+=. 令1()x h x xe x a -=-+，当1x >时，1'()(1)1x h x x e -=+-11(11)10e ->+->， 所以()h x 在[1,)+∞上是增函数.（1）若0a ≥，则1x >时，()(1)0h x h a >=≥，()'()0h x g x x=>， 所以()g x 在[1,)+∞上是增函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≥=.可见，0a ≥符合题意. （2）若0a <，(1)0h a =<，(1)(1)12a h a a e a --=--+2(1)[1()]210a a a a >-+-+-=>.（这里利用了0x >时，1x e x >+）又()h x 在[1,)+∞上是增函数，由零点存在性定理， 知存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得()0a h x =. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x <，()'()0h x g x x=<，所以，()g x 在(1,)a x 上是减函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g <=.可见，0a <不符合题意. 综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：利用(1)0h a =<，lim ()x h x →+∞=+∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点.解法五：12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤. 令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. （1）先寻求使结论成立的充分条件.由(1)0g =，要使()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.只需要()g x 在[1,)+∞上是减函数，即'()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. 而1'()10x a g x e x-=--≤1(1)x a x e -⇔≥-， 所以，只需要1(1)x a x e -≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()(1)x h x x e -=-，11'()1x x h x e xe --=--11(1)x x e -=-+. 显然'()h x 在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，11'()'(1)1(11)10h x h e -≤=-+=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以()h x 在[1,)+∞上的最大值max ()(1)0h x h ==. 则只需要max ()(1)a h x x ≥≥.可见，当0a ≥时，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. （2）当0a <时，'(1)0g a =->，(1)1'(1)11a ag a e a---=--- 121aa e a --=-- 12[1()]1a a a -<-+--（0x >时，1x e x >+）212(1)1a a a---=-201a a =-<-. 又0a <时，1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定理，存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得'()0a g x =. 于是，当(1,)a x x ∈时，'()'()0a g x g x >=， 所以()g x 在(1,)a x 上是增函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g >=. 可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：0a <时，用'(1)0g a =->，lim '()a x g x →+∞=-∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点.22.选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=.当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =.由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （Ⅱ）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=. 由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d ===其中0θ满足0cos θ=0sin θ=由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()θθ=-=02sin 2sin()θθ=-=.因此，当点M位于时，点M 到l的距离取最小值-解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=.由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=.由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±. 所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=.这时，l 与m间的距离d==. 此时点M的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，当点M 位于时，点M 到直线l 的距离取最小值-. 23.选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （Ⅱ）()()31f x g x x a x +=-++3()13ax x =-++2133a ax x x =-+-++ 13ax x ≥-++（当且仅当3a x =时取等号）()(1)3ax x ≥--+（当且仅当()(1)03a x x -+≤时取等号）13a=+. 综上，当3a x =时，()()f x g x +有最小值13a+. 故由题意得113a+>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞.。