学而思2012年春季四年级超常123班难题汇总

学而思2012年春季四年级超常123班难题汇总
第一讲小数
本讲是小数的入门，主要是小数的计算，难度不大，掌握一些常用方法即可。

小数计算常用的方法有：(1)凑数、(2) 扩大再缩小、(3)提取公因数、 (4)平方和平方差公式、 (5)解方程、 (6)换元法。

希望孩子领会各种方法的要领。

作业看了一遍，没有太大难度。

在此分析几道张老师课堂上讲解的补充题目，会对大家有用途的。

11、【补充1】计算：2012×22+407×80+3256
12、【补充2】2012年12月21日是电影玛雅人末日，20121221这个数的数字和是11，2012年所有日期(日期用8位数字表示)中是11的倍数的有多少个？
13、【补充3】1个两位数除以6余3，如果十位数字和个位数字对换后的两位数仍然除以6余3，则称这样的一对数为“学而思数”，问“学而思数”共有多少对？
14、【补充4】正12边形怎么画？如果正12边形的面积是81，则图中阴影部分的面积是多少？
15、【补充5】某船往返甲乙两岸，共用12小时，前6小时比后6小时多走80千米，顺水速度比逆水速度大16千米/小时，求甲乙两岸距离。

第二讲 长度与角度综合 21、【学案3】如图，正五边形ABCDE ，若△CDF 为正三角形，试求∠BFE 的度数。

22、【例4】已知一正多边形，其内角小于160°，且大于150°，试求出此多边形可能是哪几种正多边形？ 23、【作业8】华罗庚爷爷说：数学是中国人民所擅长的学科。

请小朋友求解《九章算术》中一个古老问题：“今有木长二丈，围之三尺。

葛生其下，缠木七周，上与木齐。

问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱地面周长3尺。

葛藤生于圆柱底部A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B 点，则葛藤的长度是__。

A B
C
D E
F
1 2 3 20 21
20/7 3
24、【例7】如图，点P 在锐角∠AOB 的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使△PCD 的周长最小。

25、【作业7】如图，A 、B 两个电话机到电话线l 的距离分别为3米和5米，CD=6米。

若由l 上的一点分别向A 、B 连电话线，最短为_____。

26、【例5】如图，对角线BD 将矩形ABCD 分割为两个三角形，AE 和CF 分别是两个三角形上的高，长度都等于6cm ，EF 的长度为5cm ，求矩形ABCD 的面积。

27、【例8】如图，四边形ABCD 中，AB ＝30，AD ＝48，BC ＝
14，CD ＝40，又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD 的面积。

B l
B
C
D A
B C D E
28、【学案4】如图，图中的四边形ABCD 中，AB=BC=CD ，∠B=168°，∠C=108°，求∠D 是多少度？ 29、【例6】如图,△ABC 是等腰三角形，O 位于△ABC 内，已知：∠CAB = 96°，∠ABO=12°，∠OAB=18°，那么∠AOC=？
第三讲 等积变形
31、【例3】如图，三角形ABC 被分成甲、乙两部分，BD ＝DC ＝4，BE ＝3，AE ＝6，乙面积是甲面积的几倍？
32、【例4】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD ＝AB ；延长BC 至E ，使CE ＝BC ；延长CA 至F ，使AF ＝2AC ，求三角形DEF 的面积。

33、【例7】如图，O 是长方形ABCD 内一点，已知△OBC 的面积是5cm 2
，
△OAB 的面积是2cm 2
，求△OBD 的面积是多少？
A B
O
32
121
乙甲B D
E 2P D O
34、【学案3】直角梯形ABCD 中，AB ＝15，BC ＝12，AF 垂直于AB ，阴影部分的面积为15，求梯形ABCD 的面积。

35、【学案4】如图，D 是三角形ABC 一边上的中点，两个长方形分别以B 、D 为顶点，并且有一个公共顶点E ，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE 的面积是多少？
36、【例5】如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积。

37、【例6】在梯形ABCD 中，OE 平行于AD 。

如果三角形AOB 的面积是7平方厘米，则三角形DEC 的面积是________平方厘米。

38、【补充1】正方形边长为8，A 、C 两点的水平距离为2，B 、D 两点的垂直距离为1，求阴影面积。

B
B
1
A
B
B
C
39、【例8】如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC ＝5，以AC为一边向△ABC外作正方形ACDE，中心为O，求△OBC的面积。

3A、【补充2】四边形ABCD的面积为40，E、F分别为对角线BD、AC的中点，延长BA、CD相交于G，求△GEF的面积。

3B、【补充3】六边形ABCDEF，3组相对边分别平行且相等，△ACE与△BDF线段相交围成一个小六边形，这个小
六边形的面积是10，求边上的6个三角形的阴影部分的
面积。

B
B
第四讲组合
40、【补充1】一个圆桌周围有8把椅子，编号从1～8，有8个人，编号也从1～8，和自己编号相同的椅子称为自己的位置，目前没有一个人坐在自己的位置上。

证明转若干次，至少有2人坐在自己的位置上。

41、【补充2】某电子表在6时20分25秒时，显示6:20:25，那么从5时到6时这1个小时里，此表显示的5个数字都不相同的情况共有______种。

42、【补充3】在1～20这二十个数中，任取十个数相加的和与其余十个数相加的和相乘，能得到______个不同的乘积。

43、【例5】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外2名英语、日语都精通。

从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。

问这样的分配名单可以开出多少张？
44、【例6】从1～25这25个自然数中，每次取出2个不同的数，是它们的和是4的倍数，共有______种不同的取法。

45、【例7】把10个相同的球放入3个不同的盒子里，若要求
(1)每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？
(2)某些盒子里允许空着，有多少种放法？
(3)每个盒子里至少有2个球，有多少种放法？
46、【例8】某种奖券的号码有9位，如果奖券至少有2个非零数字并且从左边第一个非零数字起，每个数字小于它右边的数字，就称这样的号码为“中奖号码”，如000000015，000001257。

“中奖号码”有多少个？
47、【学案2】正五边形的边和对角线构成多少个三角形（包括延长线相
交所成的三角形）。

48、【学案3】在掷硬币时，如果用Z表示正面朝上，用F表示方面朝上，那么掷硬币的序列就表示为由Z和F组成的数列。

我们可以统计这种序列中正面紧跟着方面（FZ）的出现次数，正面紧跟着正面（ZZ）的出现次数，…。

例如序列ZZFFZZZZFZZFFFF是掷15次硬币的结果，其中有5个ZZ、3个ZF、2个FZ、4个FF。

在掷15次硬币的序列中恰有2个ZZ、3个ZF、4个FZ、5个FF的序列共有多少个？
49、【学案4】如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为“迎春数”。

那么，小于2008的“迎春数”共有________个。

4A、【作业1】某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语。

现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游，则不同的选择方法有多少种？
4B、【作业4】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？
4C、【作业5】光明小学甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出十四个节目。

如果每个班至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有多少种？
4D、【作业6】要将n+1个不同的小球放入n个不同的盒子，有多少种不同的放法不出现空盒子？
4E、【作业7】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种。

4F、【作业8】一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有多少种不同排法？
第五讲排列组合综合应用
51、【例1】在图中1×5的格子中，填入1～8中的5个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边两个数都大。

共有多少种不同的填法。

52、【例4】有6个数2、3、4、5、6、7。

(1)从其中任取2个数作为乘数，可以得到多少个不同的积？
(2)上述积中有多少个偶数？
53、【例6】某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续3天参观，其余学校均只参观1天，则在这20天内不同的安排方法数是多少种？
54、【例7】现有12支不同的铅笔：
(1)平均分成3堆，有多少种不同的分法？
(2)分成3堆，一堆1支，一堆2支，一堆9支，有多少种不同的分法？
(3)分成3堆，一堆10支，另两堆各1支，有多少种不同的分法？
55、【例8】如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，建三座桥将
这4个岛连接起来，则不同的建桥方案共有多少种？
56、【学案3】由数字1、2、3组成的五位数，要求这五位数中1、2、3至少各出现一次，那么这样的五位数有多少个？
57、【学案4】A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法有多少种？
58、【作业】现有8张人民币，面值分别为0.5元、1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元。

以下各题只计张数、不计数额。

作业1第(2)问：平均分给甲乙丙丁四位同学，有多少种不同的分法？
作业4：平均分成4份，共有多少种不同的分法？
59、【补充1】5个男生与5个女生站成一排，要求5个男生从左到右按照从高到低排列，5个女生从左到右也是从高到低排列，共有多少种不同的排列方法？
5A、【补充2】8人围成一圈，甲乙必须挨着，乙丙必须分开，有多少种坐法？
第六讲最值问题（一）
61、【例1】用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？
62、【例3】将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时人数最少的那组有多少人？
63、【例4】有7个盘子排成一排，依次编号为1、2、3、…、7。

每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个。

其中1号盘放了18个，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等。

请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？
64、【例5】红、黄、蓝3种颜色的球分别有11、12、17个，每次操作可以将2个不同颜色的球换成2个第三种颜色的球，则在操作过程中，红色球至多有多少个？
65、【例6】羊村小学四年级进行一次数学测验，测验共有15道题。

如果小喜喜、小沸沸、小美美、小懒懒答对的题目分别是11道、12道、13道、14道，那么他们四人都答对的题目最少有______道。

66、【例7】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，则此几何体至少用了多少块木块。

67、【补充1】用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，如图给出了主视图、左视图，求最多用多少块木块？最少用多少块木块？
68、【例8】如图，一个长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34
厘米，那么大长方形的面积最大是多少平方厘米？
69、【学案1】用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式。

6A 、【学案2】由26=12+52=12+32+42，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和。

问360最多能表示为多少个互不相等的非零自然数的平方和？请构造出此时的拆分法。

16-x 15-x 14-x 13-x x E D C B A
6B、【学案3】黑板上写着1、2、3、4、…、10各一个。

小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上
它们的平均数，最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？
的面积为16，DE交BG与C，那么四边形BEGD的面积最小
为_______。

6D、【补充2：超常班学案3】一个两位数除以其各位上的数字之和，求所得到的余数的最大值。

6E、【补充3】一列自然数，任3个相连的和都不小于6，任4个相连的和都小于8，这个数列最多能
有几项。

6F、【作业】除了作业6（最不利原则）和作业8（和一定差小积大）简单一点外，其他的题目或多或
少的都有一些障碍或者叫关键点。

作业的解答以学而思提供的答案为主。

【作业1】3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小是多少？
【作业2】(1)请将1、2、3、4填入算式“□□×□□”的方格中。

要使得算式结果最大，应该怎么填？
(2) 请将1、2、3、4、5、6填入算式“□□□×□□□”的方格中。

要求5、6分别填入在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大，应该怎么填？
【作业3】有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分成两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？
【作业4】一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23，这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？
【作业5】有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60。

这5袋糖块总共最少有多少块？
【作业7】用7个长4厘米、宽3厘米的长方形拼成一个大长方形，在所有可能的拼法中，大长方形周长的最小值是_____厘米。

第七讲 破译字母竖式与横式问题
71、【学案1】下题是由1～9这九个数字组成的算式，其中有一个数已经知道，请将其余的数字填入空格，使算式成立。

□×□＝5□ ； □□÷□×□＝□
72、【例3】在乘法算式“迎杯×春杯＝好好好”中，不同汉字表示不同的数字，相同汉字表示相同的数字。

请问“迎＋春＋杯＋好”等于多少？
73、【例7】在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，
每个空格代表一个非零数字。

求A 、B 和C 分别代表什么数字。

74、【学案4】把下列除法算式中的“*”所表示的数字写出来。

75、【例4】在下列的算式中，a 、b 、c 分别代表0～9中的三个不同的数字，数字b 是_______。

abc ×cba ＝acbba
*****0****************78
76、【补充1】已知：31÷36＝ɑ2÷2!+ɑ3÷3!+ɑ4÷4!+ɑ5÷5!+ɑ6÷6!，
0≤ɑ2＜2，0≤ɑ3＜3，0≤ɑ4＜4，0≤ɑ5＜5，0≤ɑ6＜6，求ɑ2、ɑ3、…、ɑ6。

77、【例8】算式见图，式中画的“*”表示缺掉的数字，将竖式补充完整。

78、【学案2】在下边的乘法算式中，“二”、“月”、“四”、“日”、“数”、“学”、“科”、“普”、“节”分别表示1～9中的不同数字，且“二”=2，“四”=4，如果四位数“二月四日”的22倍等于五位数“数学科普节”，那么，“数”+“学”+“科”+“普”+“节”的和等于_______。

二月四日×22＝数学科普节
79、【例2】在下面的算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字，若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。

祝贺×华杯赛＝第十四届
7A 、【例5】一个六位数abcdef ，如果满足4×abcdef =fabcde ，则称abcdef 为“迎春数”（如4×102564＝410256，则102564就是“迎春数”）。

请你求出所有“迎春数”的总和。

0*****************
**
*8*
*
7B 、【例6】如图加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么汉字“我爱夏令营”表示的5位数是_______。

7C 、【学案3】一个前两位与后两位数字分别相同的四位数是一个自然数的平方，求出所有满足条件的四位数。

7D 、【补充2】ABCDEF 被667整除，A ～F 为4～9之间不重复的数字，求A ～F 分别为哪一个数字？
7E1、【作业1】在下面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150，那么所填的3个数字之和是多少？ □，□8，□97
7E2、【作业2】已知A+AB +ABC +ABCD ＝4321，那么A 、B 、C 、D 之和___。

数 学 夏 令 营 好+数 学 夏 令 营我 爱 夏 令 营
7E3、【作业3】在下面的等式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字，当“开放的中国盼奥运”代表什么数时等式成立？
盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷□＝开放的中国盼奥运
7E4、【作业4】已知A、B、C、D、E、F、G、H、L、K分别代表0至9中的不同数字，且有下列4个等式成立：
D－K×L＝F，E×E＝HE，C÷K＝G，H×H×…×H＝B(K个H)，求A+C。

7E6、【作业6】下面的算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字表示不同的数字。

如果以下三个等式成立：
迎迎×春春＝杯迎迎杯，
数数×学学＝数赛赛数，
春春×春春＝迎迎赛赛。

那么，迎+春+杯+数+学+赛＝__________。

7E7、【作业7】在下面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

那么“迎+春+杯”等于多少？
迎+春×春＝迎春，(迎+杯)×(迎+杯)＝迎杯
7E8、【作业8】等式：潮州54＝39×1市6，恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”
代表的三位数是_______。

第八讲数的整除特征（二）
801、【补充1，小学数论】找出10个连续自然数全是合数。

802、【补充2，初中数论】证明质数有无穷个。

803、【补充3】乘积1×2×3×……的末位有53个0，最后被乘的自然数最小是多少？最大是多少？811、【例1】在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？
812、【例2】一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？
813、【例3】有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这个六位数能被11和13整除。

求出后两位数。

814、【例4】如果一个六位数a2000b能被26整除，所有这样的六位数有______（必须写全，缺一不可！）。

815、【例5】多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除，求这样的A最小值。

816、【例6】某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？
817、【例7】一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？
818、【例8】用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成多少个被11除余5的六位数？
821、【学案4】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。

那么这三个数字的和是_______。

822、【学案1】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数？
823、【学案2】在六位数11□□11的两个方框中各填入一个数字，使此数能被17
和19整除。

方框中的两位数是多少？
824、【学案3】请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数，这个五位数最大是多少？
831、【作业5】将1996加上一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是_______。

832、【作业2】六位数20□□08能被99整除，□□是_______。

833、【作业1】一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？
834、【作业7】一个不超过5000的自然数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，则满足条件的数有多少个？
835、【作业3】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？
836、【作业6】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，则称之为“十全数”，例如3785942160就是一个十全数。

现已知一个十全数能被1、2、3、…、18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是_______。

837、【作业4】将自然数1,2,3,…,依次写下去形成一个多位数“123456789101112…”，当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次能被90整除。

请问：N是多少？
838、【作业8】将自然数1,2,3,…,依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”，当写到某个数自然数N时，所形成的多位数恰好第一次能被72整除。

请问：这个自然数N是多少？
第九讲 几何计数（一）
【例4】如图，一块3×3方格网板上钉了9颗铁钉，如果用线绳围成三角形，最多可以围成多少个不同形状的三角形？
【例7】可用几种方法将下图中的1个3×3的正方形ABCD 分成一个1×1的正方形和四个2×1的矩形？
【例8】一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸片？怎样裁？请画图说明。

【学案1】下图中ABCD 是平行四边形。

图中的线段分别与AB 、AD
或BE 平行。

图中包含阴影三角形的平行四边形共有多少个？
【学案2】如图，木板上钉着16个钉子，形成4行4列的正方形钉阵。

那么橡
皮筋一共能套出_____个长方形，______个三角形。

A
【学案3】从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），共能剪出______种不相同的图形（经过旋转或翻转也相同的图形视为同一种）。

【学案4】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。

在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【作业2】下图有多少个三角形？
【作业4】如下图，8枚圆形棋子放在4×4的棋盘中，用不同的方法连接各棋子的圆心，可以得到三种位置且大小不同的正方形。

如果棋盘上每个格都放一枚圆形棋子（如图）,用不同的方法连接各枚棋子的圆心，那么出现与左下图那样的位置不同（不论大小是不是相等）的正方形一共有多少个。

（编者注：实际上就是指让你按大小和位置去分类数正方形共有多少个）
【作业6】如下图方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形共有
_个。

【作业7】在8×8的表格中可以数出多少如图所示的“凸”字形图形？
（“凸”字形图形可旋转）
【作业8】用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留缝隙地拼成一个11×12的大长方形，最多用1×7的小长方形_____块。

第十讲几何计数（二）
【例1】下图是由5个边长为2、3、4、5、6的正方形组成的图形，请你想一想，若在图上添加一个正方形，图中最多会出现几个正方形。

【例2】一个由正方形小方格组成的100×100的正方形中，共有__个正方形。

【补充1】4个4×4的大正方形如下图叠放在一起，图中共有多少
个正方形？
【学案1】图中共有多少个正方形？
【例3】下图有多少个长方形？多少个正方形？
【补充2】3×3方格，所有长方形的面积和是多少？
6
5
4
3
2
【例4】如图，有20个边长为1的小正方形拼成一个4×5长方形中有一
格有“☆”。

求：(1)图中正方形的个数；
(2)图中长方形的个数；
(3)图中含☆的正方形的个数；
(4)图中含☆的长方形的个数；
(5)图中所有长方形的面积之和；
(6) 图中所有含☆的长方形的面积之和。

【例5】下图中有多少个长方体？
【例6】一个棱长为12的正方体是由1728个木制的棱长为1的小正方体堆垒而成。

那么，你从一点最多能看到棱长为1的小正方体______个。

【例7】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边
形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖。

从里向外的第一
层包括6个正方形和6个正三角形，第二层包括6个正方形和18
个正三角形，以此类推，第8层含有正三角形个数是_______。

【例8】在德国不来梅举行的第48届
世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒
乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，
其中第一堆只要一层，就一个球；第2、
3、4、……堆最底层(第一层)分别按下
图所示方式固定摆放，从第二层开始，
每层的小球自然垒放在下一层之上，第
n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)
表示第n 堆的乒乓球总数，则：
(1) f(5)=______；
(2) 若f(n)=286，则n=____。

【学案2】如图，其中每条线段都是水平的或者竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米。

求：(1)图中长方形的个数；(2)包含“@”号的长方形的个数；
(3)所有长方形面积的和。

(4)所有包含“@”号的长方形的面积之和。

【学案3】如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点。

以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数。

C D A
B
【学案4】有100个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为蓝色。

将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体。

大正方体的表面为白色的面积至少是__平方厘米。

【作业4】一个用旧了的量角器，大部分的刻度都已经磨损，只有下列刻度还看得清楚：0°,4°,10°,16°,43°,89°和180°，用这个量角器量角度时，有_______个角度（不大于180°）能够一次性直接量出来。

【作业6】在平面上有7个点，其中每3个点都不在同一条直线上。

如
果在这7个点之间连结18条线段，那么这些线段最多能构成____个三
角形。

【补充3】一个5×5×5的大正方体，前后、左右、上下中心的小正方形块长条被掏空。

求掏空后的表面积是多少？C D A
B
【补充4】一个5×5×5的大正方体，前后、左右、上下中心位置都掏空一个十字星的5个长条。

求掏空后的表面积是多少？
第十一讲解二元一次方程组
111、【例2】已知自然数ɑ和b满足等式ɑb+a=289，ɑb+b=288，则ɑ和b分别为_______。

112、【例5】某次数学竞赛，分两种方法给分。

一种是先给40分，每答对一题给4分，不答题不给分，答错扣1分；另一种是先给60分，每答对一题给3分，不答题不给分，答错扣3分，小明在考试中只有2道题没有答，以两种方式计分他都得102分。

求考试一共有多少道题？
113、【例6】一些奇异的动物在草坪上聚会。

有独角兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）。

如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量的2倍。

那么有多少只独角兽参加聚会？
114、【例7】甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人所拿的自然数得分，重复玩了3次后，甲共得19分，乙和丙各得13分，那么这三张牌上写的数是哪三个数？
115、【例8】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。

如果把书全都分给第一组，一部分小朋友能拿到5本，其他小朋友能拿到4本；如果把书全都分给第二组，一部分小朋友能拿到4本，其他小朋友能拿到3本。

问：两组一共有多少人？
116、【学案2】在S岛上居住着100个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神。

向岛上的每一位居民提三个问题：(1)您崇拜太阳神吗？(2) 您崇拜月亮神吗？(3)您崇拜地球神吗？
对第一个问题有60人回答：“是”；对第二个问题有40人回答：“是”；对第三个问题有30人回答：“是”。

他们中有多少人说的是假话？
117、【学案3】某次数学比赛，分两种方法给分。

一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分。

某考生按两种判分方法均得81分，这次比赛共多少道题？。