理论力学 刚体的平动和定轴转动

§7-4 刚体内各点的速度和加速度的矢量表示
用矢量表示角速度与角加速度
z
三维定轴
转动刚体
x
考察三维定轴转动刚体
角速度矢量、角加速度矢量
ω k d k
dt
y
α
k
dω dt
d 2
dt 2
k
用矢积表示刚体上点的速度与加速度
vP ω rP
aP
dvP dt
dω dt
rP
ω drP dt
考察三维定轴转动刚体
刚体的转动方程： ＝f (t)
转动角速度： 转动角加速度：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
3. 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度：
v ω r, a α r, an ωv
解：板运动过程中， 其上任意直线始终平 行于它的初始位置。 因此，板作平移。
1、运动轨迹
C点的运动轨迹与A、
B两点的运动轨迹形状 相同，即以O点为圆心
l为半径的圆弧线。
例题2
已知：O1A＝ O1B ＝l；O1A杆的角速度 和角加速度 。
求： C点的运动轨迹、速度和加速度。
2、速 度
vC= vA= vB= l
dt dt 2
讨论
（1）匀速转动 =常量
＝ 0+ t
2 n n
60 30
（2）匀变速转动 =常量
0 t
0
t
1
2
t2
2
2 0
2
§7-3 刚体内各点的速度和加速度
速度
S＝R
M0
R
O
R——转动半径
M
v
v dS R d R
dt dt
★ 转动刚体内任一点的速度的大小， 等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直
α rP ω vP
aP aPn
aP α rP aPn ω vP
例题6
已知：长方体尺寸和 ；
求：长方体上D点的速度
解：建立图示坐标系
z
A 2 B
D
rAD
C
2 a
b
d y
4
c
raD 4 j 2k
x
ω 2 i 4 j 2 k
24
24
24
i jk
vD ω rAD
2
24
4
24
2 2 j 4 k
3、加速度
aC aA (aC )2 (aCn )2
(a
A
)
2
(a
n A
)
2
(l)2 ( 2l)2
l 2 4
§7-2 刚体绕定轴的转动
z
刚体转动的运动方程
三维定轴
转动刚体
＝f (t)
刚体转动的角速度
d
dt
A
刚体转动的角加速度
B
特征：如刚体在运动时，其上 有两点保持不动。
d d 2
已知：OA＝l； ＝ t
A
求：T型杆的速度和加速度
O
M
Cx
解：T型杆作平动，建立图示坐 标系，取M点为研究
B
xM l sin l sin t
vM
dxM dt
l cost
aM
dvM dt
l 2 sin t
例题2
已知：O1A＝ O2B ＝l；O1A杆的角速度 和角加速度 。
求： C点的运动轨迹、速度和加速度。
rB rA AB AB 常矢量
B1 B2
B
B3 B4
★ 刚体平动时，其上各点 的轨迹的形状完全一样。
vB vA
rB
A A1 A2 A3
A4
rA
aB aA
O
★ 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每 一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
刚体的平动可归结为研究刚体内任一 点的运动。
例题 1
第 7 章 刚体的简单运动
刚体的平行移动 刚体绕定轴的转动 转动刚体内各点的速度和加速度 速度和加速度的矢量表示 结论与讨论
§7-1 刚体的平行移动
特征：如果在物体内任取一直
o1
o2
线，在运动过程中这条直线始
终与它的最初位置平行，这种
A
B
运动称为平行移动，简称平动
或移动。
直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线 曲线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为曲线
（2） 每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的 夹角都有相同的值。
思考题
试计算杆端A点和C点 的速度、加速度，并画 出其方向。
C A
b
B
a
O
a
例 题 3 已知：h; vo
求：OA杆的转动方程、角速 度和角加速度
解：建立图示坐标系
y
O
x
h
A
v0 x
tan x v0t
hh
arctan( v0t )
24 6 6
042
结论与讨论
1. 刚体的平行移动：平刚体内任一直线在运动过程中，始终与它 的最初位置平行。 ★ 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。 ★ 刚体平动时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、 方向都相同。
刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。
2. 刚体绕定轴转动：刚体运动时，其中有两点保持不动。 两点的连线称为转轴。
h
d hv0
dt h2 v02t 2
d
dt
2hv03t (h2 v02t 2 )2
例 题 5 已知： ; v ; r
求：卷盘的角加速度
v
解：由定轴转动公式
v r
r
O
对此式求导：
0 d r dr
dt
dt
d dr
dt
r dt
半径的表达式：
r
ro
2
dr
dt
2
2
v2 2 r3
v
O
距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而 指向转动的一方。
加速度
a
d 2S dt 2
R
d 2
dt 2
R
an
v2
( R ) 2
R 2
a a2 an2 R 2 4
tan
a an
2
an O
M
a
a v
O
M
a
结论
（1） 每一瞬时，刚体内所有各点的速度和加速度的大 小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。