利用函数图象判断方程(组)实数解的个数
高考理科数学总复习专题14 利用函数图像研究方程根的个数
的实根，则实数 k 的取值范围是
.
【答案】 ( 1 ,1) 2
[来源:][来源:学+科+网]
3.【2014 天津高考理第 14 题】已知函数 f (x)= x2 + 3x ， x Î R ．若方程 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 4 个
互异的实数根，则实数 a 的取 值范围为__________．
【答案】 (0,1) (9, +∞) ．
【解析】
4.【2014 高考湖北卷理第 10 题改编】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x) = 1 (| x − a2 | + | x − 2a2 | −3a2 ) ，若 ∀x ∈ R ， f (x −1) ≤ f (x) ，则实数 a 的取值范 围为__________．
高考理科数学总复习专题 14 利用函数图像研究方程根的个数
0,0 < x ≤ 1
【原题】已知函数
f
(x)
=| ln
x |，
g(x)
=
|
x2
− 4 | −2, x
，则方程 | >1
f
(x) +
g(x) |= 1 实根的个数为
【答案】4
【考点定位】函数与方程
【命题意图】本题考查函数与方程、函数图像变换等基础知识，考查数形结合思想以及考生运算求解能力． 【方法、技巧、规律】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图 像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数 零点个数的判断通常转化为两 函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且 要明确其变化速度快慢. 【探源、变式、扩展】若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换 作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的 顺序对变换单位及解析式的影响．
利用函数的性质判定方程解的存在
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
y
A
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 14 0 ,
问题引入：
1.方程 x 2 x 1 0 是否有实数解？
2
2.方程 x 2 x 1 0 在区间 (2,3) 上是否有实数解？
2
3.方程 2 3x 0 在区间 (3,5) 上是否有实数解？
x
北师大版数学教材 必修1
利用函数性质判定方程解的存在
北师大版数学教材 必修1
实例分析：
故方程 x x 6 0 在区间 (4, 0) 内有实根,记为 x2 .
2
C
x2
-4 O
x1
4
x
综上可知,方程 x x 6 0 有两个实数解 x1 , x2 .
2
B
北师大版数学教材 必修1
抽象概括:
1.请指出函数的零点的概念. 2.函数的零点与方程的实数解之间有何关系？ 3.用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
北师大版数学教材 必修1
典例分析:
例 2.已知函数 f ( x ) 3x x 2 .问:方程 f ( x ) 0 在 [1,0] 内 有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f ( x) 3 x 的图像是 0 , f (1) 2 0 , 3 x 2 所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
利用函数图象求方程和方程组的解 衡水中学内部资料 精品教学课件
利用二次函数图象和一次函数图象求方程组的解
7．(4 分)如图所示，已知二次函数 y1＝ax2＋bx＋ c(a≠0) 与一次函数 y2 ＝ kx ＋ m(k≠0) 的图象相交于点 y＝ax2＋bx＋c， A(－2，4)，B(8，2)，则方程组 的解 y＝kx＋m x1＝－2， x2＝8， 是__ __ __． y2＝2 y1＝4，
3 16．如图，已知函数 y＝－ 与 y＝ax2＋bx(a>0，b>0)的 x 图象交于点 P，点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的方程 ax2＋bx 3 ＋ ＝0 的解为__x＝－3__． x
x＋y＋1＝0， x1＝－2， 17 ． 已 知 方 程 组 的解为 2 y＝x ＋bx＋c y1＝1， x2＝0， 则直线 y＝－x－1 与抛物线 y＝x2＋bx＋c 有__2__ y2＝－1.
个交点，交点坐标为__(－2，1)，(0，－1)__．
三、解答题(共 28 分) 18．(12 分)利用函象图象求方程和方程组的解： (1)x2＋5x＋6＝0；
解：x1＝－2，x2＝－3
y＝－2x＋6， (2) y＝x2－x.
x1＝2， 解： y1＝2， x2＝－3， y2＝12
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
高二数学函数与方程试题答案及解析
高二数学函数与方程试题答案及解析1.已知函数有零点，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意知有解，即方程有解，可转化为直线与方程所表示的曲线有交点，用数形结合思想可得的取值范围。
【考点】函数的零点与相应的方程根的关系及数形结合思想的应用。
2.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是．【答案】【解析】由于函数在区间上有10个零点（互不相同），因此与函数有10个不同的交点，由于函数周期为3，所以与函数在一个周期内交点个数为4，对于函数，当时，，为翻折之后抛物线的顶点，由于恒成立，要使在一个周期内的交点为4，满足，此时，函数在区间上有10个零点（互不相同）．【考点】函数的交点．3.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）【答案】C【解析】函数在区间上存在零点，满足两条：一是函数在区间连续，二是，满足这两条的是【考点】函数的零点.4.函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，；则，所以函数的零点所在区间为.【考点】零点存在定理.5.已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a＞0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜＜1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3,4．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4,则有＜≤1；综上所述，＜a≤，故选C．考点:函数零点，对新概念的理解，分类整合思想6.函数的零点个数为 ( )A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】在同一个直角坐标系中画出的图像，易知两图像的交点只有一个，故选B。
【考点】利用函数图像判断函数零点的个数。
自主招生第三讲 利用图像判定方程根的个数及函数的最值-学生版
序号：初中数学备课组 教师： 班级：初三 日期 上课时间 学生：主课题:利用函数图像判定方程根的个数及函数最值第一部分 利用函数图像判定方程根的个数基本结论：判断方程根的个数问题，常常运用图像法。
当函数图像并不容易作出时，可以再次进行转化，如：()()f x g x =的根的个数，可以构造函数()()()F x f x g x =-，于是将问题转化为函数()y F x =的图像与x 轴交点个数问题，再依据()F x 的单调性和特殊点的位置来判断 例题1：若关于x 的方程|||1|0x a --=有四个解，求实数a 的取值范围例题2：已知关于x 的方程2230(03)x x a x ---=≤≤，根据下列条件，求出a 的取值范围（1）方程没有实数解 （2）方程有一解 （3）方程没有解例题3：若关于x 的方程2|23|0x x m ---=有四个解，求实数m 的取值范围例题4：若关于x 的方程22||30x x m ---=有三个解，求实数m 的取值范围针对练习：1.已知关于x 的方程2|43|0x x m -++=有四个实数根，求实数m 的取值范围2.已知关于x 的方程|3||1|0x x m -+--=，试就m 的值讨论方程根的个数3.已知方程10||a x +=，有两个实数根，求实数a 的取值范围4.已知方程2|2|30x x a ---=，就实数a 的取值范围讨论方程根的个数5.已知方程2|3|20x x a ---=，就实数a 的取值范围讨论方程根的个数6.已知函数222,31024,3x x x y x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩且使得y k =成立的x 的值恰好有3个，求实数k 的值第二部分 函数的最值1.基本公示（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 当0a >时，当2min 4,24b ac b x y a a-=-= 当0a <时，当2max 4,24b ac b x y a a-=-= (2)若0,0a b >>，则2a b ab +≥（当且仅当a b =时，等号成立） 当a b +为定值时，2max ()()2a b ab += 当ab 为定值时，min ()2a b ab +=2.基本结论：一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤当0k >时，min 1max 2()();()()f x f x f x f x ==当0k <时，min 2max 1()();()()f x f x f x f x ==例题1：若0x >，求函数21y x x x=-+的最小值（直观法）例题 2.已知函数()|||15||15|f x x P x x p =-+-+--（其中15P x ≤≤，015P <<），求函数的最小值例题3.若关于x 的方程22(2)(35)0()x k x k k k R --+++=∈的两个实数根分别为12,x x ，求2212x x +的最小值（配方法）例题4.已知a b >，且2a b +=，求22a b a b+-的最小值（换元法）例题5.求函数2223221x x y x x --=++的最大值，最小值（判别式法）针对练习：1.求函数11(1)y x x =--的最大值2.求函数|1||3|y x x =-+-的最小值3.函数2()23f x x x =-+在[0,]a 上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围4.求函数22()1(4)4f x x x =++-+的最小值5.求函数226121022x x y x x ++=++最小值课后作业：1.若方程|3|0x a --=有一个根，求实数a 的值2.判断方程||21||3x x -+=的解的个数3.已知关于x 的方程2|23|0x x a ---=有两个解，求实数a 的取值范围4.已知05x ≤≤，求函数2()43f x x x =-+的最值5.求函数2365y x x =--+-的最小值6.设a 为实数，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值7.已知关于正整数n 的二次式22y n an =+（a 为实数）若当且仅当5n =时，函数有最小值，求实数a 的取值范围。
集合求参数的取值范围技巧
集合求参数的取值范围技巧在数学和物理等学科中，我们经常遇到需要求解参数的取值范围的问题。
这些问题包括方程的解集、不等式的解集等等。
本文将介绍一些集合求参数取值范围的常见技巧，希望对读者有所帮助。
一、方程的解集在求解方程的解集时，我们常常需要确定参数的取值范围。
以一元二次方程为例，假设方程为 ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c均为已知常数，x为未知数。
我们可以利用二次函数图像的性质来求解方程的解集。
当且仅当二次函数图像与x轴有交点时，方程才有实数解。
首先，我们可以根据二次函数的开口方向和对称轴的位置来判断方程是否有解。
如果a>0，二次函数图像开口向上，对称轴在图像下方，方程有两个实数解。
如果a<0，二次函数图像开口向下，对称轴在图像上方，方程没有实数解。
其次，如果方程有解，则对称轴必定在x轴的上方或下方。
以二次函数的顶点坐标（h，k）为中心，向上画一条与x轴平行的直线。
如果该直线与二次函数图像有交点，说明方程有解；如果该直线与二次函数图像没有交点，说明方程无解。
因此，我们可以通过求解方程f(x) = k来确定参数的取值范围。
二、不等式的解集当求解不等式的解集时，我们也常常需要确定参数的取值范围。
不同类型的不等式有不同的解法，下面我们以一些常见的不等式类型进行讨论。
1. 一元一次不等式对于一元一次不等式，我们可以通过移项变换和分析函数的正负性来求解。
假设不等式为ax + b > 0。
首先，我们可以通过移项变换将不等式转化为等价的形式，即 ax > -b。
然后，我们根据a的正负来确定解集。
如果a>0，则x > -b/a，解集为(-b/a, +∞)；如果a<0，则x < -b/a，解集为(-∞, -b/a)。
2. 一元二次不等式对于一元二次不等式，我们可以通过求解二次函数的解集和分析函数的正负性来求解。
假设不等式为 ax^2 + bx + c > 0。
方程有解问题的常用处理办法
方程有解问题的常用处理办法方程0)(=x f 有解的问题实际上是求函数)(x f y =零点的问题，判断方程0)(=x f 有几个解的问题实际上就是判断函数)(x f y =有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理办法： 一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程0)(=x f 的根，此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数，或由此组合的分式函数。
例1（2010年福建理4）函数⎩⎨⎧>+-≤-+=)0(ln 2)0(32)(2x xx x x x f 的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3解：当0≤x 时，由32)(2-+=x x x f 得1=x （舍去），3-=x ；当0>x 时，由x x f ln 2)(+-=0=得2e x =，所以函数)(x f 的零点个数为2，故选C 。
二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程0)()(=-x g x f ，能够先转化为方程)()(x g x f =，再在同一坐标系中分别画出函数)(x f y =和)(x g y =的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。
次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。
例2（2008年湖北高考题）方程322=+-x x的实数解的个数是解析：在同一坐标系中分别作出函数xx f -=2)(和3)(2+-=x x g的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。
三、导数法在考查函数零点时，需要结合函数的单调性，并且适合用求导来求的函数，常用导数法来判定有无零点。
例3（2009年天津高考题）设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ） A. 在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B. 在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C. 在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D. 在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点解析：令3033131)(>⇒>-=-='x x x x x f ，令30033)(<<⇒<-='x xx x f 所以函数)(x f 在区间)3,0(上是减函数，在区间),3(+∞上是增函数，在3=x 处取得极小值03ln 1<-，又0131)1(,013)(,031)1(>+=<-=>=ee f e e f f ，故选D 。
函数图像九年级知识点归纳
函数图像九年级知识点归纳函数图像是中学数学中的一个重要知识点，它描述了函数在平面直角坐标系中的图像特征。
下面将对九年级学生需要了解的函数图像知识点进行归纳介绍。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，通常用符号y=f(x)表示，其中x为自变量，y为因变量。
函数图像是描述函数关系的可视化工具，通过绘制自变量和因变量的对应关系，可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
二、常见函数的图像1. 线性函数图像线性函数的图像是一条直线，表现为一次函数的关系。
例如，y=2x+1是一条斜率为2，截距为1的直线。
2. 平方函数图像平方函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
例如，y=x^2的图像是一条开口向上的抛物线。
3. 开方函数图像开方函数的图像是一条曲线，具有非线性关系。
例如，y=sqrt(x)的图像是一条单侧的开口向右的曲线。
4. 绝对值函数图像绝对值函数的图像通常是一条V型的曲线。
例如，y=|x|的图像是一条关于y轴对称的曲线。
5. 正弦函数和余弦函数图像正弦函数和余弦函数的图像是一条连续的波浪线。
它们的波峰和波谷交替出现，呈周期性变化。
三、函数图像的特征通过观察函数图像，我们可以得到一些关于函数特征的信息。
1. 函数的取值范围函数图像的上下界限可以帮助我们确定函数的取值范围。
例如，对于一个开口向上的抛物线，它的最低点即为函数的最小值。
2. 函数的单调性函数图像的斜率变化可以帮助我们确定函数的单调性。
如果函数图像在某个区间上递增，那么函数在该区间上是递增的；如果函数图像在某个区间上递减，那么函数在该区间上是递减的。
3. 函数的对称性函数图像的对称性可以帮助我们确定函数的对称轴和对称中心。
例如，对于绝对值函数的图像，它关于y轴对称。
四、利用函数图像解题函数图像在解题过程中起着重要的作用。
1. 判断函数解的个数和范围通过观察函数图像的交点、最值点等信息，可以判断函数解的个数和范围。
例如，求解二次方程y=x^2+2x+1=0，可以通过观察函数y=x^2+2x+1的图像，判断是否有实数解。
方程根的问题
用图像法掌握方程根的问题 二、例题讲解：例1：（实根的个数问题）求方程03222=-+xx 的实根个数。
步骤：利用数形结合的思想，作图判断交点的个数。
1）整理方程：3222+-=x x2）设两个函数：32,22+-==x y y x3）在同一直角坐标系内，作出函数图像：如右图。
4）两函数交于两点，则方程有两根。
例2：方程021=---m x 有两个不同的解，求m 的取值范围。
例3：已知关于x 的方程012332121=---∙----m m x x 有实数解，求实数m 的范围。
例4：（对数方程解的个数问题）求方程8018lg 2-+-=x x x 的解的个数。
分析：利用函数图像的交点个数判断方程解的个数，可类比指数方程的相关解法。
例5：若集合(){}R x x A x∈==,8132，集合(){}R x x x B ∈==,1log 23，则求B A 。
例6：若βα,是方程()03lg 2lg lg 3lg 2lg lg 2=∙+++x x 的两根，则求βα∙。
例7：若方程02lg lg 22=--x x 有两根βα,，则求αββαlog log +的值。
例8：已知关于x 的方程()0log 6lg 52222=+-a a x x 有实根，其中仅有一个较小的根在区间()2,1内，求a 的取值范围。
三、课堂练习：1、（化底数解方程） （1）求方程xx ⎪⎭⎫⎝⎛=-21412的解。
（2）求方程x x 351=-的解。
步骤：1）方程两边化为同底：()x x --=22122 步骤：1）利用换底公式，取对数。
2）令指数相同：x x -=-24 方法：换为以5或以3为底的对数式：x x 3log 5log 515=-3）解方程：得52=x 2）根据对数运算性质进行运算：3log 15x x =-()13log 15=-x()13log 5log 55=-x135log 5=⎪⎭⎫ ⎝⎛x 35log 15=x 35log 5log 55=x 得：5log 35=x2、（换元法解方程（组）） （1）求方程80334=-+xx 的解 （2）解方程组⎩⎨⎧=+=+12333yxy x 解：设相同项为t ，如：设t x=3，0>t 步骤：1）借助化归思想，化方程组为方程。
高考数学专题复习：函数与方程、不等式之间的关系
高考数学专题复习：函数与方程、不等式之间的关系一、单选题1．已知()()()2212710ln f x x ax ax a =---的值域为[)0,+∞，则实数a =（ ）A ．4或0B ．4或35 C ．0或35D ．2或352．已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m-+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ） A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}43．已知函数33log ,0()1log ,x x f x x x ⎧<⎪=⎨-⎪⎩x 的方程21()()012f x mf x ++=有6个解，则实数m 的取值范国为（ ） A ．(1,0)-B．1,⎛- ⎝⎭C ．21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D．2,3⎛- ⎝⎭4．已知函数()()11f x x x =-⋅+，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数解，则实数k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．0和1-D ．0和15．已知函数21,2()(2),2x x f x f x x ⎧-<=⎨-≥⎩，1()32g x x =-，则方程()()f x g x =的解的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．函数21()1x f x x -=-与3()(1)2g x x =-+的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A ．12B ．6C ．4D ．27．函数3()f x x x =+，()3x g x x =+，3()log h x x x =+的零点分别是a ，b ，c ，则它们的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p ，q 一真一假，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)(3,)+∞B ．(1,2][3,)+∞C ．(1,2)[3,)+∞D ．(1,2](3,)+∞9．函数12()log 3sin2xf x x π=-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．710．“方程20x ax a -+=有两个不等的正实数根”的充要条件为（ ） A ．4a >或0a <B ．4a >C ．0a <D ．4a <11．已知函数()sin ln (02)f x x x x π=-<<的零点为0x ，有02a b c π<<<<，使()()()0f a f b f c >，则下列结论不可能成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x b >C ．0x c >D ．0x π<12．不等式240x ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）A ．[]44-，B ．()4,4-C ．()[],44-∞-⋃+∞，D ．()(),44-∞-+∞，二、填空题13．已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，若()2f a =，则实数a 所有可能的取值组成的集合为________．14．定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =；当[]1,0x ∈-时，()2f x x =-，()12g x x =+，则方程()()f x g x =在区间[]8,3-上的所有实根之和为________.15．设,,a b R ∈已知关于x 的不等式()()20a b x b a ++-<的解集为()1,,+∞求不等式()30a b x b a -+->的解集为________16．若对任意的()0,x ∈+∞且0a <，都有()()232x a x b ++≥0恒成立，则4b a -的最小值为________. 三、解答题17．已知函数22()|1|f x ax x ax =--+，其中1a ≤． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）对满足()f x 有四个零点的任意实数a ，当[0,1]x ∈时，不等式()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围．18．已知函数()2f x x ax b =--.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}2|5x x -<<，求关于x 的方程()13218x x x a b --=的解；（2）若()()11f x f x +=-，且()f x 在()0,3上有两个零点，求实数b 的取值范围.19．已知集合A 是满足下列条件的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数0x .使得()()001(1)f x f x f ++=成立.（1）判断幂函数1()f x x -=是否属于集合A ，并说明理由；（2）设()()lg 2xg x a =+，(,2)x ∈-∞，若()g x A ∈，求a 的取值范围；20．已知二次函数()f x 满足(1)()22f x f x x +-=+，且()f x 的图象经过点(1,6)A -． （1）求()f x 的解析式;（2）若[2,2]x ∈-，不等式()f x mx ≤恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数()()()1lg log 0,12a f x x m x a a =+->≠（1）若10a =，且()f x 有零点，求实数m 的取值范围；（2）若()11f =，求证：当1a <()f x 在其定义域上是减函数； （3）若1m =，3a =，不等式1202xx f k ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭对任意实数[]1,2x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知函数()221g x mx mx n =-++，()0n ≥在[]1,2上有最大值1和最小值0.设()()g x f x x=.（其中e 为自然对数的底数） （1）求m ，n 的值；（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -≥在[]2,4x ∈有解，求实数k 的取值范围；（3）若方程()21301xxkf e k e -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.参考答案1．B 【分析】由题意可得()()()()3245ln f x x a x a x a =+⋅-⋅-，分a 的符号进行分类讨论函数的零点，结合值域得出a 的值， 【详解】解：由()()()()()()2212710ln 3245ln f x x ax a x a x a x a x a =---=+⋅-⋅-，由()0f x =，可得23a x =-，或54a x =，或1x a =+，它的定义域为(),a +∞，值域为[)0,+∞，若0a =，则()212ln f x x x =⋅，则函数的值域为(),-∞+∞，不满足条件.若0a >，则根据函数的定义域为(),a +∞，320x a +> 此时，函数()f x 的零点为54x a =，1x a =+，若514a a >+，当51,4x a a ⎡∈⎤+⎢⎥⎣⎦时，()0f x <不满足题意.若514a a <+，当514x a a ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦，时，()0f x <不满足题意. 所以514aa =+，求得4a =； 若0a <，则函数的定义域为(),a +∞，450x a -> 此时函数()f x 的零点为23ax =-，1x a =+， 同理可得213a a -=+，所以35a =-. 综上35a =-，或4a =，故选：B . 【点睛】关键点睛：本题考查函数零点、定义域和值域问题，解答本题的关键是当0a >时320x a +>，函数()f x 的零点为54x a =，1x a =+，若514a a >+，当51,4x a a ⎡∈⎤+⎢⎥⎣⎦时，()0f x <若514a a <+，当514x a a ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦，时，()0f x <，所以514a a =+，求得4a =，属于中档题.2．D【分析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案. 【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.【点睛】已知恒成立、恒有解求参数范围的选择题，借助特值法解更迅捷. 3．D【分析】作出函数()f x 的图象，令()f x t =，则21012t mt ++=，然后结合函数()f x 图象判断关于x 的方程21()()012f x mf x ++=有6个解时，二次方程21012t mt ++=的根的分布情况，再运用二次方程根的分布求解参数m 的取值范围.【详解】令()f x t =，则原方程可化为21012t mt ++=， 作出函数()f x 的图像如图，由图像可知，关于x 的方程21()()012f x mf x ++=有6个解，关于t 的方程21012t mt ++=在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不等实根，由二次方程根的分布得：210121031110421210,22m m m ⎧>⎪⎪⎪->⎪⎪⎨⎪∆=++>⎪⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，解之得：23m ⎛∈-- ⎝⎭.故选：D ． 【点睛】本题考查根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，解答本题的关键在于画出函数()f x 的图象，然后换元，根据函数()f x 的图象分析出方程21012t mt ++=的根的个数及根的分布情况，列出关于m 的不等式组解得答案. 4．D【分析】将()f x 写成分段函数的形式，同时将问题转化为“(),==y f x y k 的图象有两个不同的交点”，根据图象求解出k 的值. 【详解】221,1()1,1x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩， 关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数解⇔(),==y f x y k 的图象有两个不同的交点， 在同一平面直角坐标系中作出(),==y f x y k 的图象如下图：且()()01,10f f ==，由图象可知，当0k =或1k =时，(),==y f x y k 的图象有两个不同的交点， 所以0k =或1k =， 故选：D. 5．B 【分析】先分析()(),f x g x 的函数性质，然后作出()(),f x g x 的图象，根据图象的交点数判断方程()()f x g x =的解的个数.【详解】当2x <时，()21x f x =-是增函数，且()2213f x <-=，()132g x x =-是R 上的减函数，经过点()0,3和()6,0，又因为当2x ≥时，()()2f x f x =-，所以()f x 在[)2,4、[)4,6、[)6,8……上的图象与[)0,2上的图象相同，在同一平面直角坐标系下作出()(),f x g x 的图象如图所示：由图象可知，()(),f x g x 的图象共有4个交点，所以方程()()f x g x =的解的个数是4， 故选：B. 【点睛】思路点睛：求解方程根的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 6．B 【分析】 由1()21f x x =+-与3()(1)2g x x =-+的图象特征，得到它们都关于(1,2)对称，由3y x =与1y x=的交点坐标经过移动可得答案. 【详解】211()211x f x x x -==+--，()f x 的图象可看作是由1y x =的图象先向右移动一个单位，再向上移动2个单位得到，1y x=的图象关于(0,0)对称，则21()1x f x x -=-的图象关于(1,2)对称，3()(1)2g x x =-+的图象可看作是由3y x =的图象先向右移动一个单位，再向上移动2个单位得到，3y x =的图象关于(0,0)对称，则3()(1)2g x x =-+的图象关于(1,2)对称，由于3y x =与1y x=的交点坐标为(1,1)、(1,1)--，两个点先向右移动一个单位，再向上移动2个单位得到(2,3)、(0,1)，所有交点的横坐标与纵坐标之和为246+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，涉及了函数图象的变换过程，反比例函数与幂函数的性质的应用，解题的关键是确定两个函数图象的对称中心. 7．C 【分析】在同一平面直角坐标系中作出33,3,log ,xy x y y x y x ====-的图象，根据图象的交点的横坐标大小关系确定出,,a b c 的大小关系. 【详解】由题意可知：3()f x x x =+，()3x g x x =+，3()log h x x x =+的零点即为33,3,log x y x y y x ===图象与y x =-图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出33,3,log ,xy x y y x y x ====-的图象如下图：根据图象可知：c a b >>， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解“函数()()()h x f x g x =-的零点⇔方程()()f x g x =的根⇔()y f x =的图象和()y g x =图象的交点的横坐标”. 8．B 【分析】根据题意，分别求出命题p ，q 中实数m 的取值范围，再分别讨论p ，q 一真一假即可得到正确选项. 【详解】由命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根， 得240010m m ⎧->⎪-<⎨⎪>⎩，即2m >； 由命题q ：方程244(2)10xm x +-+=无实根，得()2162160m ∆=--<，即13m <<. 因p ，q 一真一假，则：①当p 真，q 假时，21m m >⎧⎨≤⎩或23m m >⎧⎨≥⎩，即3m ≥；②当p 假，q 真时，213m m ≤⎧⎨<<⎩，即12m <≤.综上，(1,2][3,)m ∈+∞. 故选：B. 9．B 【分析】在同一坐标系中画出函数12log y x =的图象和函数3sin2xy π=的图象，根据图象判断即可.【详解】函数零点个数问题转化为曲线12log y x =与3sin2xy π=的交点个数问题，在同一个坐标系中画出它们的大致图象如图. 函数3sin2xy π=的最小正周期是4，当8x =时，12log 83y ==，由图易知，有4个零点. 故选：B.【点睛】判断函数零点的个数的一般方法有：（1）直接法：令()0f x =，若方程有解，则有几个解就有几个零点；（2）数形结合法：将问题转化为函数图象的交点个数求解，作出函数的图象，确定其交点的个数，交点有几个，就有几个不同的交点. 10．B【分析】利用一元二次方程有两个不等正根的充要条件是1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩得解【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则： 212124000a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩．解得4a > 故选:B 【点睛】掌握一元二次方程根的分布是解题关键. 11．A 【分析】函数()f x 的零点问题转化为函数sin y x =与ln y x =交点问题处理即可. 【详解】()sin ln (02)f x x x x π=-<<的零点，即函数sin y x =与ln y x =交点横坐标，又()()()0f a f b f c >，02a b c π<<<<由图可知，()()()0,0,0f a f b f c ><<，或()()()0,0,0f a f b f c >>>所以0a x b c <<<，或0a b c x π<<<<，不可能成立的是0x a <， 故选: A 12．A 【分析】由不等式240x ax ++<的解集为空集，利用判别式0∆≤求解即可. 【详解】∵不等式240x ax ++<的解集为空集， ∴216044a a ∆=-≤⇒-≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题. 13．{-1,1} 【分析】这是个分段函数已知值求自变量的问题，根据分段函数在不同区间函数表达式不同分别求解即可，注意自变量的范围. 【详解】当1a ≤时，即212a +=，21,a =得1a =±，满足条件; 当1a >时，即232a -+=，得12a =，不满足1a >，故舍去; 所以a 的取值集合为{-1,1}. 故答案为：{-1,1} 【点睛】根据x ≥1和x <1分别计算，要注意是否符合前提条件. 14．12- 【分析】由题意，在平面直角坐标系中画出两个函数的函数图像，根据图像的对称性可得函数图像交点关于点(2,0)-对称，根据函数与方程之间的关系得到方程()()f x g x =在区间[]8,3-上的所有实根之和即可. 【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，又因为当[]0,1x ∈时，()2f x x =；当[]1,0x ∈-时，()2f x x =-，()12g x x =+， 画出函数图像如下：由图像可知函数()f x 的图像关于点(2,0)-对称， 又函数()12g x x =+的图像也关于点(2,0)-对称， 所以函数()f x 与函数()g x 的图像交点也关于点(2,0)-对称，所以方程()()f x g x =在区间[]7,3-上的所有实根也关于点(2,0)-对称，设方程()()f x g x =在区间[]7,3-上的所有实根从小到大依次为123456,,,,,x x x x x x ， 所以1624354,4,4x x x x x x +=-+=-+=-由图知函数()f x 与函数()g x 图像在区间[)8,7--上没有交点， 所以方程()()f x g x =在区间[]8,3-上的所有实根之和为：1234564312x x x x x x +++++=-⨯=-， 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查函数与方程的问题，通过数形结合进行解题，在求解过程中，需要熟悉基本初等函数的函数图像及函数的性质，结合两个函数图像性质给出两个函数交点的横坐标之间的关系，进而获得方程实根之间的关系.15．()--1∞，【分析】由不等式与方程的关系知1为()()20a b x b a ++-=的根，可得出,a b 关系，代入不等式求解即可. 【详解】因为不等式()()20a b x b a ++-<的解集为()1,,+∞所以20a b b a ++-=且0a b +<， 即2a b =且0b <，所以()30a b x b a -+->可化为0bx b +>， 解得1x <-，所以不等式的解集为(,1)-∞-， 故答案为：(,1)-∞- 【点睛】本题主要考查了方程的根与不等式的解之间的关系，属于中档题. 16．112-【分析】先由()()2320x a x b ++=求出方程的根，而要使()()232x a x b ++≥0对任意的()0,x ∈+∞恒成02b->，从而得到23(0)4a b b =-<，进而可求出4b a -的最小值.【详解】解：因为()0,x ∈+∞且0a <，所以230x a +=有唯一正根1x = 而方程20x b +=有唯一实根22bx =-；所以要使()()2320x a x b ++≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，由奇穿偶回原理可知12x x =02b->，所以23(0)4a b b =-<，所以2211433()612b a b b b -=+=+-≥ 112-，当且仅当11,648b a =-=-时，4b a -取最小值为112-，故答案为：112- 【点睛】此题考查了方程与零点的问题，不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，考查了运算能力，属于较难题.17．（1）1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）9,8m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）将函数写成分段函数形式，再画出函数图象，数形结合即可得出函数的单调递减区间； （2）首先对参数a分类讨论，得到21a -+<时满足函数有四个零点，即可求出函数的最大值，再根据对勾函数的性质求出参数m 的取值范围． 【详解】解：（1）当1a =时，2221,(,1][1,)()121,11x x f x x x x x x x -∈-∞-⋃+∞⎧=--+=⎨-++-<<⎩ 由图知函数()f x 的单调递减区间为1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）①当1a =时，由（1）知此时函数()f x 不满足要求．②当0a ≤时，22222()11(1)1f x ax x ax ax x ax a x ax =--+=-+-+=-+++，此时函数()f x 为二次或者一次函数，不满足要求． ③当01a <<时，2222(1)1,()1(1)1,,a x ax x f x ax x ax a x ax x ⎧⎛-+++∈⎪ ⎪⎝=--+=⎨⎛⎫⎪-+-∈-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩当x ⎛∈ ⎝时，2()(1)1[(1)1](1)f x a a x ax a x x =-+++=-+--，有两个零点111x a =-+，21x =，均满足要求． 对称轴1110,2(1)22(1)2a x a a ⎛⎫==-∈ ⎪++⎝⎭，此时2max()12(1)4(1)a a f x f a a ⎛⎫==+⎪++⎝⎭． 当1,,xa ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎝⎭时，2()(1)1f x a x ax =-+-，函数()f x 有两个零点，则24(1)a a ∆=--2440a a =+->，得21a -+<，对称轴1112(1)22(1)a x a a =-=-+--，1<<，所以21a -+<符合要求． 当[0,1]x ∈时，2max11()11122(1)4(1)41a a f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫==+=+++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．因为(2a ∈-+，所以(1)(1a +∈-+，因为1y x x =+在12x ⎡⎤∈-+⎣⎦上单调递增，所以max 21522y =+=， 所以max 119()112418f x a a ⎛⎫=+++-< ⎪+⎝⎭ 综上所述9,8m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．18．（1）14x =；（2）10b -<<. 【分析】（1）利用韦达定理求出,a b ，代入()13218x x x a b --=中可得4151x -=，从而解得不等式.（2）由()()11f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，求出a 值.再利用根的分布知识结合二次函数图象求解b 的取值范围. 【详解】解:（1）因为不等式()0f x <的解集为{}25x x -<<， 所以2-和5是方程0f x的两解，所以5210a b =-⎧⎨-=-⎩ 即310a b =⎧⎨=⎩所以1313335108,5252x x x x x x x --==， 因为320x >，所以13551x x -=，4151x -= 故14x =()2因为()()11f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线1x =对称， 所以12a=，得2,a =故有()22f x x x b =-- 因为()f x 在()0,3有两个零点， 所以()000f ∆>⎧⎨>⎩即4400b b +>⎧⎨->⎩ 解得10b -<<. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 19．（1）()f x A ∈,理由见解析；（2）()0,2 【分析】（1）令()()001(1)f x f x f ++=，得出方程，解出判断即可；（2）先根据复合函数的单调性判断出()()lg 2xg x a =+的单调性，再根据()g x A ∈得到00x <，以及()()()001lg 2lg 2lg 2x x a a a ++++=+，化简得到()()001222x xa a a +++=+，令02x t =，根据0x 的范围，求出t 的范围，原式等价于222320t at a a ++--=有一个根()0,1t ∈ ，求解即可.【详解】解：（1）()f x A ∈,理由如下： 令()()001(1)f x f x f ++=， ()11(),0f x x x x-==≠， 即()000111,01x x x +=≠+， 化简得：20010--=x x ，解得：0x0x 即在定义域内存在实数0x ，使得()()001(1)f x f x f ++=成立； 故()f x A ∈；（2）()()lg 2xg x a =+，2x u a =+在(,2)-∞上单调递增，lg y u =在()0,∞+上单调递增，()()lg 2x g x a ∴=+在(,2)-∞上单调递增，又()g x A ∈，∴在定义域内存在实数0x .使得()()001(1)g x g x g ++=成立， 即011x +<， 即00x <，又()()()001lg 2lg 2lg 2x xa a a ++++=+，即 ()()()001lg 22lg 2x xa a a +++=+，即()()001222x xa a a +++=+，令02x t =， 又00x <，()0,1t ∴∈，即()()22t a t a a ++=+，化简得：222320t at a a ++--=， 即()()2210t a t a +-++=， 解得：112at =-，21t a =--， 从而，原问题等价于0112a<-<，或011a <--<， 解得：()()0,22,1a ∈⋃--，又20x a +≥，在(),2-∞上恒成立， 故0a ≥，综上所述：()0,2a ∈. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数元素的性质进行化简.20．（1）2()8f x x x =+-；（2）[]1,3-. 【分析】（1）设出函数的解析式，得到关于a ，b ，c 的方程，求出即可；（2）设()()g x f x mx =-，结合二次函数的性质得到关于m 的不等式组，解出即可． 【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则2(1)(1)(1)f x a x b x c +=++++． 因为(1)()22f x f x x +-=+，所以222ax a b x ++=+，得1a =，1b =． 因为()f x 的图象经过点()1,6A -， 所以()1116f c =++=-，即8c =-． 故2()8f x x x =+-．（2）设2()()(1)8g x f x mx x m x =-=+--． 因为当[]2,2x ∈-时，不等式()f x mx ≤恒成立，所以()()2020g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即42(1)8042(1)80m m ---≤⎧⎨+--≤⎩，解得13m -≤≤．故m 的取值范围是[]1,3-． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．根据二次函数的图象和性质可知()()20F x ax bx c a =++>在闭区间[],m n 上满足()0F x ≤的充分必要条件是()0()0F m F n ≤⎧⎨≤⎩.这是十分简洁的一种不等式恒成立问题，一定要熟练掌握.21．（1）1,4m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析；（3）1351,,24⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）先得到方程x m +m x 求实数m 的取值范围；（2）先求定义域为()0,∞+，再设120x x <<，再证明()()12f x f x >，最后证明函数是减函数；（3）先转化不等式得到：1292xxk -+≥对任意实数[]1,2x ∈恒成立，再参变分离转化不等式得到：1292xx k ≤+-或1292x x k ≥-+对任意实数[]1,2x ∈恒成立，最后求实数k 的取值范围. 【详解】解：（1）若10a =，则()()1lg lg 02f x x m x x m =+-=⇒+=21124m x ⎫⇒==-+⎪⎭，因为0x >，所以，1,4m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.（2）()119f m =⇒=，()()1lg 9log 2a f x x x =+-，其定义域为()0,∞+，设任意实数1x 、()20,x ∈+∞、且120x x <<，()()2221111lg lg 1112111122222222lg9lg log lg lg lg lg 9lg a a a x x x x x x x x f x f x x x x a x x x -⎛⎫⎛⎫+-=->-=-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭221111lg lg 21122210lg 1101lg 0lg a a x x a a x x --⎛⎫⎛⎫<≤⇒-≤⇒≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12f x f x >，当1a <≤()f x 在其定义域上是减函数. （3）若1m =，3a =，则()()31lg 1log 2f x x x =+-，由（2）知()f x 在其定义域()0,∞+上是减函数，又注意到()90f =，问题等价于1292xxk -+≥对任意实数[]1,2x ∈恒成立， 即1292xx k ≤+-或1292xxk ≥-+对任意实数[]1,2x ∈恒成立， 所以min 1132922x x k ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭或max 1512924x x k ⎛⎫≥-+= ⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围是1351,,24⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的零点求参数、函数单调性的证明、利用恒成立问题求参数，是中档题. 22．（1）10m n =⎧⎨=⎩；（2）1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）()0,∞+.【分析】（1）通过二次函数的性质分析()221g x mx mx n =-++在[]1,2上取得最大、最小值的点，然后求解,m n 的值；（2）当()22log 2log 0f x k x -≥在[]2,4x ∈上有解时，可得()2221212log log k xx +-≥在[]2,4x ∈有解，只需使函数()()2222212111log log log h x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭的最大值满足条件即可求解；（3）由()21213123=0111xxx x x k k f e k e k e e e -+-=-+-+----得 ()()21231210x x e k e k --+-++=，然后利用换元法、结合二次方程根的分布问题求解.【详解】解：（1）由题意可知0m ≠，对称轴为1x =，当0m >时，函数()g x 在[]1,2上递增，则()()121024411g m m n g m m n ⎧=-++=⎪⎨=-++=⎪⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩；当0m <时，函数()g x 在[]1,2上递减，则()()121124410g m m n g m m n ⎧=-++=⎪⎨=-++=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩；又0n ≥，故10m n =⎧⎨=⎩. （2）()()22112g x x x f x x x x x-+===+-，所以()222221log 2log log 22log 0log f x k x x k x x-=+--≥在[]2,4上有解时， 则()2221212log log k xx +-≥在[]2,4有解， 令()()2222212111log log log h x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，则只需()max 2h x k ≥成立即可. 当[]2,4x ∈时，211,1log 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2max 11124h x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故124k ≤，得18k ≤.（3）若()21213123=0111xxx x x k k f e k e k e e e -+-=-+-+----， 则()()21231210x x e k e k --+-++=令1x e t -=，0t >，则()()223210t k t k -+++=，若方程()21301xx kf e k e -+-=-有三个不同的实数解， 则1xe t -=有两个解()10,1t ∈，()21,t ∈+∞或()10,1t ∈，21t =即()()223210t k t k -+++=在()0,1和[)1,+∞上有各有一根， 令()()()22321t t k t k ϕ=-+++则()()021010k k ϕϕ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩或()2101032012k k k ϕ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩解得：0k >所以，实数k 的取值范围是()0,∞+ 【点睛】本题考查二次函数的最值问题、与对数不等式有关的不等式有解问题及根据函数零点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时注意参变分离思想、分类讨论思想、数形结合等的运用.。
mxt-函数图象
函数图象◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝ －f (x ) ； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝ f (－x ) ； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝ －f (－x ) ；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝ log a x (a ＞0且a ≠1) . ⑤y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝ f (|x |) .(3)伸缩变换①y ＝f (x )错误!y ＝ f (ax ) .②y ＝f (x )――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝ af (x ) . (4)翻转变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝ |f (x )| 的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝ f (|x |) 的图象．[知识感悟]1．辨明两个易误点(1)在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x 变成x －12.(2)明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．2．会用两种数学思想数形结合思想和函数与方程的思想借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．[知识自测]1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2|x |的图象关于直线x ＝0对称．( )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) (5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＜0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )[解析] 当x ＜0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.[答案] B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是 ________ .[解析] 当x ≤0时，0＜2x ≤1，要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.[答案](0,1]题型一作函数图象(基础保分题，自主练透)作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分， 加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．方法感悟 函数图象的画法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象．2．转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【针对补偿】1．分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋1－1； (3)y ＝x 2－|x |－2.[解] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图1所示(实线部分)．(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示(实线部分)．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2(x ≥0)，x 2＋x －2(x ＜0)，其图象如图3所示．题型二函数图象的识别(高频考点题，多角突破)考向一借助实际问题情境探究函数图象1．(2018·昆明模拟)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是()[解析]由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．[答案]D考向二借助动点探究函数图象2．(2018·北京市东城区二模)动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，A、P两点间的距离与动点所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是()[解析] 由题意可知：对于A 、B ，当位于A ，B 图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除A 、B ，对于D ，其图象变化不会是对称的，由此排除D ，故选C. [答案] C考向三 同一坐标下辨析不同函数的图象3．(1)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )(2)(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝a3x 3＋ax 2＋cx ，g (x )＝ax 2＋2ax ＋c ，a ≠0，则它们的图象可能是( )[解析] (1)当a ＞1时，A 中的直线位置错误，排除A ；D 中的三个函数图象都正确；当0＜a ＜1时，B 中的直线位置错误，排除B ；C 中的直线与指数函数的图象都错误，排除C.故选D.(2)因为f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋c ，则函数f ′(x )即g (x )图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A ，D ；由选项C 的图象可知，当x ＞0时，f ′(x )＞0，故函数f (x )＝a3x 3＋ax 2＋cx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C.选B.[答案] (1)D (2)B考向四 函数图象与解析式对应关系的识别4. (2018·广东深圳4月调研)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )[解析] 因为f ′(x )＝(2x －2＋x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x ，所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，函数单调递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )＜0，函数单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增；又x ＜－2时，x 2－2x ＞0，即f (x )＞0，应选答案B.[答案] B(2)(2018·南昌二模)函数y ＝2sin x 1＋1x2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎭⎫－3π4，0∪⎝⎛⎦⎤0，3π4的图象大致是( )[解析] 函数满足f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，关于原点对称，f (x )＝2x 2sin x1＋x 2，f ′(x )＝(4x sin x ＋2x 2cos x )(1＋x 2)－2x 2sin x ·2x (1＋x 2)2＝4x sin x ＋2x 2cos x ＋2x 4cos x (1＋x 2)2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＞0， 并且f ⎝⎛⎭⎫π2＞0，满足条件的只有A ，故选A. [答案] A考向五 函数图象的变换问题5．(2018·临沂一模)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图象可能是( )[解析] 由f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2，得f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ，根据y ＝f ′(x )的图象知－1－a2＞0，∴a ＞1.则函数g (x )＝|a x －2|的图象是由函数y ＝a x 的图象向下平移2个单位，然后将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到的，故选D.[答案] D方法感悟函数图象的识辨可从以下五个方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 【针对补偿】2．(2018·安徽宿州质检)函数f (x )＝e x 2－2x 2的图像大致为( )[解析]因为f(－x)＝e(－x)2－2(－x)2＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f′(x)＝2x e x2－4x＝2x(e x2－2)，若x∈(0，ln2)，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；若x∈(ln 2，＋∞)，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增，则f min(x)＝f(ln 2)＝2－2ln 2＞0，结合图象的对称性可知应选答案A.[答案]A3．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，则函数y＝f(|x－1|)－1的图象可能是()[解析](1)根据题意，由于函数f(x)是定义在R上的增函数，那么可知函数y＝f(|x－1|)－1的图象先是保留在y轴右侧的图象不变为增函数，再作关于y轴对称的图象，再整体向右平移一个单位，再整体向下平移一个单位，那么可知为先减后增，同时关于直线x＝1对称，故选B.[答案]B题型三 函数图象的应用(重点保分题，共同探讨) 考向一 研究函数性质1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C考向二 确定方程根的个数2．(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是______.[解析] 因为x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， 所以函数y ＝f (x )的图象如图所示．要使存在实数b，使方程f(x)－b＝0有三个不同实根只需函数y＝f(x)的图象与直线y＝b 有三个不同交点，所以只需m>4m－m2，即m2－3m>0.又m>0，所以m>3.[答案](3，＋∞)考向三解不等式3．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，图象如图所示，若x·[f(x)－f(－x)]＜0，则x的取值范围为________.[解析]∵f(x)为奇函数，∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)＜0，结合图象知x的范围为(－3,0)∪(0,3)．[答案](－3,0)∪(0,3)考向四求参数的值或取值范围4．(2018·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x ＞0，－ln (－x )，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(0，＋∞)[解析] 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x ＜0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x ＞0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x ＞0)的交点个数为2即可． 当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时， 设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x ＞0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点． [答案] B考向五 利用函数对称性求值5．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4m[解析] ∵f (－x )＝2－f (x )，∴f (－x )＋f (x )＝2.又∵－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称，函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．∴函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑m i ＝1x i＝0，∑mi ＝1y i ＝2×m2＝m ∴∑m i ＝1 (x i ＋y i )＝m [答案] B方法感悟函数图象应用的常见题型与求解策略 (1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．【针对补偿】4．(2018·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________ .[解析] 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.[答案] 55．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集为______．[解析] 在⎝⎛⎭⎫0，π2上y ＝cos x ＞0，在⎝⎛⎭⎫π2，4上y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝⎛⎭⎫1，π2上f (x )cos x ＜0.因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以f (x )cos x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 [答案] ⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 ◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(十)[A 基础巩固练]1．(2018·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )[解析] 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0，故选B.[答案] B2．(2018·湖南衡阳第二次联考)函数f (x )＝1x＋ln|x |的图象大致为( )[解析] 当x ＞0，函数f (x )＝1x ＋ln x ，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，故排除A ，D ，当x ＜0时，f (x )＝1x＋ln(－x )单调递减，排除C ，选B. [答案] B3．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}[解析] 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． [答案] C4．(2018·甘肃省庆阳市镇原县高三月考)已知函数f (x )＝x a ，g (x )＝a x ，h (x )＝log a x (其中a ＞0，a ≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是( )[解析]幂函数f(x)的图象一定经过(1,1)，当a＞0时经过原点；指数函数g(x)的图象经过点(0,1)，当a＞1时，图象递增，当0＜a＜1时，图象递减；对数函数h(x)的图象经过点(1,0)，当a＞1时，图象递增，当0＜a＜1时，图象递减，对于A，其中指数底数应大于1，而幂函数的指数应小于0，故A不对；对于选项B，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也应大于1，故B对；对于选项C，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而对数函数图象递减，其底数小于1，故C不对；对于选项D，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，指数函数的图象递减，故幂函数的指数应大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．由上，B正确．故选B.[答案]B5．(2018·贵州模拟考试)某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C(t)表示时间段的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()[解析] ∵气温图象在前6个月的图象关于点(3,0)对称，∴C (6)＝0，排除D ； 注意到后几个月的气温单调下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C ；∵该年的平均气温为10℃，∴t ＝12时，C (12)＝10，排除B ；故选A. [答案] A6．(2018·吉林三校联考)若函数f (x )＝(2－m )x x 2＋m的图象如图所示，则m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2) C ．(0,2) D ．(1,2)[解析] 根据图象可知，函数图象过原点， 即f (0)＝0，∴m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，∴2－m ＞0，即m ＜2，函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的， ∴f ′(x )＞0在[－1,1]上恒成立， f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2＞0，∵m －2＜0，∴只需要x 2－m ＜0在[－1,1]上恒成立，∴(x 2－m )max ＜0，∴m ＞1，综上所述，1＜m ＜2，故选D. [答案] D7．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是 ________ .[解析] 当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义， 由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0的x ∈(2,8]． [答案] (2,8]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是______．[解析] 如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．[答案] [－1，＋∞)9．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是______.[解析] 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，0<a <1. 又因为f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0，解得13≤a ≤34.①又方程|f (x )|＝2－x 3恰有两个不相等的实数解1≤3a <2，所以13≤a <23.②由①②知13≤a <23.[答案] 13≤a <2310．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集． [解] (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x ＜4.由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}．[B 能力提升练]1．(2018·安徽蚌埠二模)函数y＝x33x4－1的图象大致是()[解析]由题意，函数在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，故选A.[答案]A2．(2018·成都模拟)f(x)是定义在区间[－c，c](c＞2)上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A．若a＜0，则函数g(x)的图象关于原点对称B．若a＝1,0＜b＜2，则方程g(x)＝0有大于2的实根C．若a＝－2，b＝0，则函数g(x)的图象关于y轴对称D．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根[解析]法一：排除法，当a＜0，b≠0时，g(x)＝af(x)＋b是非奇非偶函数，不关于原点对称，排除A.当a ＝－2，b ＝0时，g (x )＝－2f (x )是奇函数，不关于y 轴对称，排除C. 当a ≠0，b ＝2时，因为g (x )＝af (x )＋b ＝af (x )＋2，当g (x )＝0时，有af (x )＋2＝0，所以f (x )＝－2a ，从图中可以看到，当－2＜－2a ＜2时，f (x )＝－2a才有三个实根，所以g (x )＝0也不一定有三个实根，排除D.故选B.法二：当a ＝1,0＜b ＜2时，g (x )＝f (x )＋b ，由图可知，g (2)＝f (2)＋b ＝0＋b ＞0，g (c )＝f (c )＋b ＜－2＋b ＜0，所以当x ∈(2，c )，必有g (x )＝0，故B 正确．[答案] B3．(2018·广东深圳质检)设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是______．[解析] y ＝2x －1x －2＝2(x －2)＋3x －2＝2＋3x －2，图象如图所示，可知②③正确．[答案] ②③4．(2018·绵阳二诊)已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则a ＋b ＝ ________ .[解析]由图象知f(x)＝0有3个根，分别为0，±m(m＞0)，其中1＜m＜2，g(x)＝0有2个根，－2＜n＜－1,0＜p＜1，由f(g(x))＝0得g(x)＝0或±m，由图象可知当g(x)所对应的值为0，±m时，其都有2个根，因而a＝6；由g(f(x))＝0，知f(x)＝n或p，由图象可以看出当f(x)＝n时，有1个根，而当f(x)＝p时，有3个根，即b＝1＋3＝4.所以a＋b＝6＋4＝10.[答案]105．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．[解](1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0. 因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．[C 尖子生专练](1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证：y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数f (x )＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． [解] (1)证明：设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0)． 设P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)]＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0. 即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． 所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．所以|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又因为a ≠0，所以2a －1＝0，得a ＝12.。
教学设计《利用函数的性质判断方程解的存在》
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计教材：普通高中课程标准实验教科书高中数学(北师大版)必修1第四章函数的应用一、教学目标(一)知识与技能1.结合方程解的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实数解与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.(二)过程与方法1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
(三)情感、态度与价值观1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
二、教学重点与难点教学重点:零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点:探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.三、教学的方法与手段授课类型：新授课教学方法：启发式教学、探究式学习教学辅助: 多媒体四、教学过程(一)问题引入,揭示课题1、教师：同学们回顾一下,我们初中已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，并掌握了一些方程的求解公式，那么我们今天继续来讨论方程解的问题。
请同学们先来看大屏幕这个问题。
思考1：判断下列方程是否有实数解，有几个实数解？x-=2(1)10(3)60-+=(4)ln260x x--=2(2)60x x+-=x x学生活动：回答，思考解法。
教师：第四个方程若利用初中的求解方法我们难以判断！大家想一下，我们初中里面学习过函数与方程之间的关系，那么我们这节课就来学习《利用函数性质判定方程解的存在》（揭示课题）。
通过这节课的学习我们就可以解决第四个问题（揭示课题:利用函数性质判定方程解的存在）教师：我们继续来讨论思考1的这一元二次方程。
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
利用函数性质判定方程解的存在
程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次
方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
巩固练习 1.利用函数图像判断下列方程有没有实数解，有几个： （1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3；
y 2 x( x 2)
0
y
x
y 3
有,2个
没有
两个函数的 交点的横坐 标即为方程 的解
解析 : f(1)= 1> 0,f(2)= -9 < 0，故选A.
【提升总结】
二次函数的零点与二次方程的实根的关系
判别式Δ
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的零点
Δ >0
Δ =0
Δ <0
有两个相异实根 x1,x22 ＋2x＝3 x2 ＋5.
有，1个
有，2个
知识探究 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图像: 在[－2,1]上f(－2)>0，f(1)<0，
.
－2 －1
y
2
.
－1 －2
f(－2)·f(1)<0 , x＝－1是
x
.
1
0
1
2
.
3 4
x2－2x－3＝0的一个解. 在[2,4]上f(2)<0，f(4)>0， f(2)·f(4)<0. x＝3是x2－2x－3＝0的另一个解.
为 2和 3，
所以a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1.
由－6x2－5x－1＝0，得x1＝－ 1 ，x2＝－ 1 .
2023届广西玉林高级中学高一上数学期末达标检测模拟试题含解析
4、D
【解析】由 得 ，
又由 得函数 为偶函数，
所以
选D
5、A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可
【详解】解：y＝cos（2x ）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x ）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
图象关于原点对称，故排除B；
令 ，即 ，解得 ，即 只有一个零点，故排除C，D
故选：A
7、C
【解析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解
详解】对A， ，故 ，错误；
对B， 在第一象限为增函数，故 ，错误；
对C， 为增函数，故 ，正确；
对D， ， ，故 ，错误；
故选：C
【点睛】本题考查根据指数函数，对数函数，幂函数性质比较大小，属于基础题
9、A
【解析】直接按照三角函数图像的平移即可求解.
【详解】 ，所以是左移 个单位.
故选：A
10、C
【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为 的等腰直角三角形，高是 ，其底面积为： ，
侧面积为： ；
圆柱的底面半径是 ，高是 ，其底面积为： ，
侧面积为： ；
∴组合体的表面积是 ，
7．以下四组数中大小比较正确的是（）
A. B.
C. D.
8．已知 是 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， （）
A. B.
C. D.
9．要得到函数 的图像,需要将函数 的图像（）
A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位
【素材】教学案例 用图形计算器解决方程根的个数和近似解问题
函数与方程用图形计算器解决方程根的个数和近似解问题一、教材分析本课为人教A版高中数学必修一第三章函数的应用第一节函数与方程中信息技术应用——借助信息技术求方程的近似解的内容，教学需要一个课时。
本节课是在学生学习了基本初等函数、方程的根与函数的零点、用“二分法”求方程的近似解之后的一个内容。
借助信息技术——图形计算器，将方程根的个数问题转化为两个函数交点个数或函数零点个数问题加以判断。
是对高中阶段学生新学习的指数函数、对数函数、幂函数图像和性质的进一步深入理解与应用，也为进一步学习函数模型及其应用奠定了基础。
教材介绍了两种方法求方程的近似解并设计了一个程序框图。
第一种方法利用计算器或计算机的代数自动求解功能，求方程的近似解；第二种方法利用计算器或计算机的画图功能求方程的近似解；最后设计了一个用“二分法”求方程近似解的程序框图。
前两种方法相互独立，后一个设计呼应了上节课“二分法”求方程近似解。
《数学课程标准》指出在保证笔算训练的前提下，应加强数学教学与信息技术的结合，注重信息技术与数学课程的整合。
基于此笔者对教材内容进行了创造性地开发，由于第一种方法利用计算器或计算机的代数自动求解功能求方程的近似解，学生在学习图形计算器的基本操作时，已经熟练掌握。
它的优势是让学生直观感知结论，所以通常将此法作为学生验证自己结论的工具，渗透到学生的探究活动中去，故此法在这里不进行专门的介绍。
第二种方法利用计算器或计算机的画图功能求方程的近似解，是本节课的重点内容。
笔者设计从学生所学的指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质为基础，以方程根的个数与对应函数的交点或函数的零点之间的关系为方法，首先尝试用手工画图的方法判断方程根的个数，必要时用图形计算器辅助画图。
然后，进一步引导学生利用函数图像和性质进一步探究方程根的范围和近似解问题。
由于用“二分法”求方程的近似解的过程中，数值计算较复杂，得到给定精确度的近似解比较困难，借助图形计算器，比较快捷的通过求两个函数交点的横坐标或函数的零点的方法找到方程的近似解，从而体现信息技术手段的便捷性。