五次Bezier曲线的扩展

Bézier曲线曲面的扩展研究
中文摘要
Bézier曲线和曲面广泛应用于CAGD(计算机辅助几何设计)和计算机图形学,对Bézier 曲线或者曲面的设计和形状修改是一个重要的问题。

给定了控制顶点及相应的Bernstein 基以后，Bézier 曲线就确定了；若要修改曲线的形状，必须调整控制顶点。

所以在本文第二章给出了Bézier 曲线的定义以及其相关性质，第三章讨论了吴晓勤,韩旭里等前辈给出的针对四次的Bézier曲线的扩展,得到带有参数λ的曲线,具有与四次Bézier曲线类似的性质；如端点性、对称性、凸包性等.在控制顶点不变的情况下,随着参数λ不同,曲线退化为四次Bézier曲线.
在第四章给出了一组含有参数λ的六次多项式基函数,是五次Bernstein 基函数的扩展；分析了此组基的性质,基于该组基定义了带形状参数的多项式曲线.曲线不仅具有五次Bézier曲线的特性,而且具有形状的可调性和更好的逼近性.参数λ有明确的几何意义：λ越大,曲线越逼近控制多边形,当λ=0 时,曲线退化为五次Bézier曲线.实例表明,定义的曲线为曲线/曲面的设计提供了一种有效的方法.
关键词：Bernstein基函数；Bézier曲线；形状参数；曲线设计
Research on Extension of Bézier Curve and Surface
ABSTRACT
Bézier curve and surfaces are one kind of the most commonly used parametric curves in computer aided geometric design (CAGD) and computer graphics. Developing more convenient techniques for designing and modifying Bézier curve and surfaces are an important problem. Given the control vertex and the corresponding Bernstein, B e zier curve identified; if you want to modify the shape of curve, you must adjust the control vertexes. So in this paper, we give the definition of Bézier curve and its correlation properties in section 2. In section 3, the extension of quartic B e zier curve of Wu and Han are discussed and we get the quartic B e zier curve with shape parameterλ.This curve inherit the outstanding properties of quartic B e zier curve, such as symmetry, endpoint property, convex hull property. And this curve converge to quartic B e zier curve when λ=0.
In this paper, a class of polynomial basis functions with an adjustable parameter λis presented. They are extensions of quintic Bernstein basis functions. Properties of this basis are analyzed and the corresponding polynomial curve with a shape parameterλis defined accordingly. This curve not only inherits the outstanding properties of quintic Bézier curve, but also is adjustable in shape and fit close to the control polygon. This curve converge to quintic Bézier curve whenλ=0. Some examples illustrate the variation curve shapes with different values ofλ.
KEY WORD: Bernstein basis function; Bézier curve; shape parameter; curve design
第一章 前言
1.1 问题的提出
曲线曲面表示是计算机辅助几何设计（CAGD ）中一个重要的研究课题,其中,以Bernstein 基构造的Bézier 曲线由于结构简单、直观而成为CAGD 中表示曲线和曲面的重要工具之一.然而给定控制顶点及相应的Bernstein 基以后,Bézier 曲线的形状就被唯一的确定了,若要修改Bézier 曲线的形状,必须调整控制多边形的顶点.有理Bézier 曲线通过引入了权因子,不改变 控制顶点,由权因子可调整曲线的形状；但有理Bézier 曲线还有一定的缺陷：如权因子的如何选取、权因子对曲线的形状影响还不是十分清楚,求导次数增加,求积分的不方便等.
1.2 研究现状
随着几何造型工业的发展,往往要求调整曲线的形状或改变曲线的位置；人们开始想法推
广Bézier 曲线,在文献[1],[2]中给出了以Bernstein 基定义的Bézier 曲线以及其相关性质.齐从谦等
[]
3,讨论了一类可调控Bézier 曲线, 针对(1)n +个控制点,用Bernstein 基构造一类Bézier 曲线.
该类曲线的参数几何意义不明显、曲线次数过高、增加了曲线的计算量.刘根洪等[]4
,通过将参数t 重新参数化,提出了广义Bézier 曲线和曲面；其目的在于提高连接两端Bézier 曲线的连续阶.梁锡坤[]5
,通过将参数t 有理参数化提出Bernstein －Bézier 类曲线,但曲线不具有对称性.而
韩旭里 等[
]
67-提出了二次,三次，四次Bézier 曲线的扩展,其所用的方法是提高多项式次数以获
得不同于Bernstein 基且含有参数λ的基函数,得到的曲线具有Bézier 曲线类似的性质.此外这种带一个形状参数的曲线还可以在三角多项式空间[10],[11]中生成，同样也是利用这一形状参数的不同取值可对曲线作整体调控。

上面都是一个带一个形状参数的，也有研究带两个或是多个的，胡刚，秦新强等[12]讨论了带两个形状参数的三次、四次Bézier 曲线的扩展，带两个形状参数的好处是不仅可以调整整个曲线的形状也可以对曲线左右进行调整，邬弘毅，夏成林等[13]讨论了带多个形状参数的Bézier 曲线与曲面的扩展，同样可以对曲线的整体进行调整，但又比带两个形状参数的有优势，它可以对曲线的局部进行调整，不仅仅局限于左右。

1.3 研究内容
本文第二部分是简单叙述以Bernstein为基的Bézier曲线的定义以及其相关性质，在第三部分给出吴晓勤,韩旭里等前辈针对四次的Bézier曲线的扩展,也通过增加t的次数,得到带有参数λ的曲线,具有与四次Bézier曲线类似的性质；如端点插值、端边相切、凸包性、变差缩减性、保凸性等.在控制顶点不变的情况下,随着参数λ不同,曲线退化为四次Bézier曲线.在第四部分是在第三部分的基础上给出五次的Bézier曲线的扩展，扩展后的五次Bézier曲线具有五次Bézier曲线的大多数性质。

在此部分还给出了几个曲线应用实例，曲面的拓展。

扩展后的五次Bézier曲面具有五次Bézier曲面的大多数几何性质。

第二章 Bézier 曲线
2.1 基于Bernstein 基函数的Bézier 曲线的定义
Bézier 曲线是采用Bernstein 多项式为基函数的参数曲线,下面介绍Bézier 曲线的定义及其几何性质.
定义1 设{i P }d ⊂ 为平面(d=2)或空间(d=3)的点列,0,1,,,i n = 则n 次Bézier 曲线定义为
0()(),
0 1.n
n
i i i C u PB t t ==≤≤∑ 式中()n i B t 为n 次的Bernstein 多项式,i P 称为控制顶点,用直线段依次连接相邻两个i P 所得的折线多边形称为控制多边形或Bézier 多边形.
2.2 Bézier 曲线的相关性质
用Bernstein 基表示的Bézier 曲线的性质取决于Bernstein 基函数的性质,对01t ≤≤,现列举Bernstein 基函数的相关性质如下： （1）定义式：
(1),0,1,,,0,
.
(){i i
n i
n C
t t i n n i B t --== 其他
（2）非负性：()0,0,1,,.n i B t i n ≥= （3）单位分解性：()()01 1.n
n
n i i B t t t ==+-=⎡⎤⎣⎦∑
（4）短点性质：
(){(){1,0,
1,,
0,
0,
0,
,
010,1,,.n i n i n i i i i n B B i n ==≠≠===
（5）对称性：()()1.n n i n i B t B t -=-
（6）函数递推公式：n 次Bernstein 基函数可分别递推表示成两个n -1次或n +1次的Bernstein 基函数的线性组合,即
()()()()()()11
11111,
11().
11n n n i i i n
n n i
i i t t B t tB t i i B t B t B t n n B ---+++=-++⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭
（7）导函数递推公式：n 次Bernstein 基函数的导函数可递推表示为：
()()()'
111.n n n i i i B t n B B ---=-
（8）最大值：()n i i
B t t n
=在处达到最大值.
（9）积分等值性：对任意的0i n ≤≤,均满足()1
1.1
n i B t dt n =
+⎰ 基于Bernstein 基函数的性质,可直接导出Bézier 曲线的几项重要的性质. （1） 端点插值：()()00,1.n C P C P ==
（2） 几何不变性和仿射不变性：由于Bernstein 基是规范基,作用于Bézier 曲线的仿射变
换等价于该仿射变换作用到其控制顶点上.
（3） 凸包性质：由Bernstein 基函数的非负性和单位分解性,对任意给定的参数t ,Bézier
曲线()C t 都是控制顶点的加权平均,其权因子是Bernstein 多项式()n i B t ,0,1,,.i n = 凸包的几何意义为：Bézier 曲线完全被包含在由控制多边形形成的凸包之内.
（4） 对称性：令*,0,,,i n i P P i n -== 则以*i P 为控制顶点定义的新Bé
zier 曲线与旧Bézier 曲线是同一条曲线,只是参数化方法相反,即
()()()()()()*
*
00
11.n
n
n
n
n n
i i
n i i
i n i i i i n
n
i i i C t P B t P B t PB t PB t C t --========-=-∑∑∑∑
（5） 变差缩减性：任一平面与Bézier 曲线的交点个数不会超过该平面与控制多边形的交
点个数,但包含整个控制多边形的平面除外.
（6） 若移动n 次Bézier 曲线的第j 个控制顶点j P ,曲线上对应参数值为j t n =
的点j C n ⎛⎫
⎪⎝⎭
产生最大的变化.
（7） 升阶性质：根据Bernstein 基函数递推公式,一条n 次的B ézier 曲线可以转化成一
条n +1次的B ézier 曲线,即
()()()1
*10
111,1,0,1,,1,0.11n n n
n i
i
i i i i i i i n C t PB t P B t i i P P P i n P P n n ++==*--+==⎛⎫=
+-=+== ⎪++⎝⎭
∑∑ 其中
第三章 四次Bézier 曲线的扩展
吴晓勤,韩旭里等前辈给出了针对四次的Bézier 曲线的扩展,也通过增加t 的次数,得到带有参数λ的曲线,具有与四次Bézier 曲线类似的性质；如端点插值、端边相切、凸包性、变差缩减性、保凸性等.在控制顶点不变的情况下,随着参数λ不同,曲线退化为四次Bézier 曲线.
3.1 四次Bernstein 基函数的扩展
定义3.1.1 对t [0,1],,R λ∈∈称关于t 的多项式
4
0,431,4222,433,44
4,4()(1)(1)()(42)(1)()(6)(1)()(42)(1)()(1)b t t t b t t t t b t t t b t t t t b t t t λλλλλλλλ=--=+--=+-=-+-=-+ (3.1.1)
为带参数λ的基函数,其中41λ-≤≤.图1为λ=-1 时基函数图形
图1 带参数λ的基函数图形(λ=-1) 上述基函数具有以下性质：
非负性、权性：4
,40()1i i b t =≡∑且,4()0,0,1,2,3,4.i b t i ≥=
对称性：0,44,41,43,42,42,4(1)(),(1)(),(1)().b t b t b t b t b t b t -=-=-= 端点性质：
0,4,42,43,43,34,44,44,4,42,4
1,41,40,40,40,4(0)1
(0)(0)(0)(0)(0)(0)0,(1,2,3,4)(1)1
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)0,(0,1,2,3)i j b b b b b b b i b b b b b b b b j ='''''''========''''''''''========
单峰性：每个基函数在[]0,1上又一个局部最大值.从图1就可判断,通过对基函数求导验证. 单调性：对λ的单调性,即当[0,1]t ∈时0,44,4()()b t b t 和是λ的递减函数,2,4()b t 是λ的递增函数；而当[]0,0.5t ∈时,1,4()b t 是λ的递增函数,3,4()b t 是λ的递减函数；当[0.5,1]t ∈时,1,4()b t 是λ的递减函数,3,4()b t 是λ的递增函数. 特殊性：λ=0时,则有4,4()(),(0,1,2,3,4).i i b t B t i ==
3.2 基于上述拓展基函数的四次Bézier 曲线的扩展
定义3.2.1 给定5个控制顶点(2,3,0,1
,2,3,4),d
i P R d i ∈==对[0,1]t ∈定义曲线 4
,40
()()i i i B t Pb t ==∑ (3.2.1)
称(2)式所定义的曲线为带有参数λ的五次Bézier 曲线,简称五次λ-Bézier 曲线.显然,当
λ=0是,五次λ-Bézier 曲线退化为四次Bézier 曲线.图2从上到下为λ=1,0,-1,-2,-3,-4时的不同的五次λ-Bézier 曲线.
图 2 不同参数值的四次Bézier 曲线
从上述基函数的性质,不难得到拓展的四次Bézier 曲线具有的性质：如端点性质
041232(0),(1);(0)(4)(),(1)(4)()B P B P B P P B P P λλ''===+-=+-；凸包性,对称性,几何不变形和仿射不变性,逼近性,变差缩减性等.
第四章 五次Bézier 曲线的扩展
4.1 曲线的结构及性质
在吴晓勤,韩旭里等前辈的四次Bézier 曲线的拓展的启发下,研究五次Bézier 曲线的扩展如下：
定义4.1.1 对t [0,1],,R λ∈∈称关于t 的多项式
5
0,541,5232,53
2
3,544,55
5,5()(1)(1)()(52)(1)()(10)(1)()(10)(1)()(52)(1)
()(1)b t t t b t t t t b t t t t b t t t t b t t t t b t t t λλλλλλλλλλ=--=+--=+--=+-=-+-=-+ (4.1.1)
为带参数λ的基函数,其中51λ-≤≤.图3 为λ=-1时的基函数图形
图3 带参数λ的基函数图形(λ=-1)
拓展后的基函数具有以下性质：
性质 1 非负性、权性,即5
,50()1i i b t =≡∑且,5()0,0,1,2,3,4,5.i b t i ≥=
性质 2 对称性,即0,55,51,54,52,53,5(1)();(1)();(1)().b t b t b t b t b t b t -=-=-= 性质 3 端点性质
0,5(4),52,53,53,54,54,54,55,55,55,55,55,5,52,5
1,51,51,50,50(0)1
(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)0,(1,2,3,4,5)
(1)1
(1)(1)(1)(1)(1)(1)i j b b b b b b b b b b b b i b b b b b b b b =''''''''''''''''=============''''''''''======(4),50,50,5(1)(1)(1)0,(0,1,2,3,4).b b i '''====性质 4 单峰性,即每个基函数在[]0,1上有一个局部最大值.从图3就可判断,通过对基函数求导验证.
性质 5 对λ的单调性,即当[]0,1t ∈时,0,55,5()()b t b t 和是λ的递减函数,2,5()b t 和3,5()b t 是λ的递增函数；当[0,0.5]t ∈时,1,5()b t 是λ的递增函数,4,5()b t 是λ的递减函数；当[0.5,1]t ∈时,1,5()b t 是λ的递减函数,4,5()b t 是λ的递增函数.
性质 6 当λ=0,则有5,5()(),(0,1,2,3,4,5)i i b t B t i ==,即说明式(4.1.1)给出的基函数是五次Bernstein 基函数的扩展.
定义4.1.2 给定6个控制顶点(2,3,0,1,2,3,4,5)d
i
P R d i ∈==,对[]0,1t ∈定义曲线 5
,50
()()i i i B t Pb t ==∑ (4.1.2)
称(4.1.2)式所定义的曲线为带有参数λ的六次B ézier 曲线,简称六次λ-B ézier 曲线.显然,当
λ=0时,六次λ-B ézier 曲线退化为五次B ézier 曲线.图4从上到下为λ=1,0,-1,-2,-3,-4,-5时的不同的六次λ-B ézier 曲线
.
图 4 不同参数值的五次Bézier 曲线
从上述基函数的性质,可以得到曲线(4.1.2)具有以下性质：
性质1 端点性质：
051054
(0),(1);
(0)(5)(),(1)(5)();B P B P B P P B P P λλ==''=+-=+-
说明曲线(4.1.2)插值于首末端点与控制多边形的首末边相切. 性质2 凸包性
由基函数的性质1可得. 性质3 对称性
以543210P P P P PP 为控制多边形的六次λ-B ézier 曲线和以012345P PP P P P 为控制多边形的六
次λ-B ézier 曲线是相同的,只是定向相反.因为根据基函数的对称性质,可得:
55
,55,50
(1)(1)()()i i j j i j B t b t P b t P B t -==-=-==∑∑
性质4 几何不变性和仿射不变性
曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的位置和方向无关,即曲线的形状在坐标平移和
旋转后不变；同时,对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变换后,所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线. 性质5 逼近性
即当参数λ增大是,相应的曲线更加逼近其控制多边形,突破了五次B ézier 曲线对控
制多变性的逼近. 性质6 变差缩减性
当控制多边形为凸时,平面上任一直线与曲线的交点不超过2；因为直线与控制多边形的交点个数最多为2；
4.2 曲线的应用例子
如图5是当λ=1,0,-1,-2,-3,-4,-5时开曲线的花瓣图形
图5 开曲线的花瓣图形
六次λ-B ézier 曲线与五次B ézier 曲线一样,当首末顶点重合时,可得到一封闭曲线,如图6是当λ=1,0,-1,-2,-3,-4,-5时闭曲线的花瓣图形.
图6 闭曲线的花瓣图形
4.3 曲面的定义
运用张量积的方法,可将曲线推广到曲面上.
定义4.1.3 设有66⨯个控制顶点(,0,1
,2,3,4,5)ij P i j =,其相应的张量积曲面 []5
5
,5,500(,)()(),,0,1,51ij i j i j B u v P b u b v u v λ===∈-≤≤∑∑ (4.3.1)
称为[0,1][0,1]⨯上的双六次λ-B ézier 曲面.可证明双六次λ-B ézier 曲面具有与五次B ézier 曲面相似的几何性质.
第五章 结论
由带有参数λ 的六次多项式基函数构造的曲线具有五次Bézier 曲线的特征,如端点插值、端边相切、凸包性、变差缩减性、等.在计算上,曲线比五次Bézier 曲线的计算量大,可利用海纳算法来计算曲线；曲线的优点是：对于同样的6个控制顶点,参数λ可调整曲线的形状；而且λ 的几何意义明显；在 51λ-≤≤范围内,λ越大,曲线越逼近控制多边形；当
λ＝0 时,曲线退化为五次Bézier 曲线.运用张量积,将曲线推广到曲面,曲面的形状是可调的且具有曲线类似的性质.
在以上研究的基础是可以把五次Bézier 曲线扩展成带两个参数,其扩展后的基函数如下：对于任意[]0,1,,[5,1],t αβ∈∈-称关于t 的多项式为带形状控制参数,αβ的基函数
5
0,541,5232,53
2
3,544,55
5,5()(1)(1)()(52)(1)()(10)(1)()(10)(1)()(52)(1)
()(1)b t t t b t t t t b t t t t b t t t t b t t t t b t t t αααααβββββ=--=+--=+--=+-=-+-=-+
如上的基函数具有大多数Bernstein 基的性质,如非负性、权性、对称性、端点性质、单峰性、单调性,其中当=αβ是才具有对称性。

在此基函数的基础上可以得到带两个参数的五次Bézier 曲线,同样具有大多数Bézier 曲线的性质。

带两个参数的Bézier 曲线比单参数的好处就是可以控制Bézier 的左右方向,双参数的两个参数相等时也就变成了单参数的了,这可以根据实际应用具体决定。

既然对四次、五次的Bézier 曲线可以扩展,对一般的n 次Bézier 曲线可不可以扩展？如果可以扩展,那么高次扩展Bézier 曲线与低次扩展Bézier 曲线具有什么样的关系？这是将来进一步需要研究和完善的工作.
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