五数上册 第三单元 平行四边形、梯形和三角形奥数题

第三单元平行四边形、梯形和三角形
板块一平行四边形的面积
【例题】
例1.一个平行四边形的面积是48平方厘米，其中一组底是高的3倍，这组底和高各是多少？例2.下图是一个平行四边形，一条边上的高是5厘米，它的面积是多少？
4
6厘米
例3.将平行四边形用两条相交线分成4个小平行四边形，已知底和高如下图。

（1）请你比较一下ac与bd的大小。

（a，c，b，d均指图形的面积）
（2）底和高换成其他数，这样的大小关系还成立吗？通过比较你有什么发现？
（3）根据上面的结论，可知下图中a的面积为（）平方厘米。

1.一个平行四边形，底增加4厘米后，面积增加40平方厘米；高增加1厘米后，面积增加15平方厘米，求原平行四边形的面积是多少平方厘米？
2.一个大长方形被分成8个小长方形，其中有5个小长方形的面积如图中的数字所示，填上表中所缺的数，则这个大长方形的面积为_______。

板块二 三角形的面积
【例题】
例1.如下图，已知三角形ABC 的面积是32.4平方厘米，是三角形EFB 面积的3倍。

平行四边形EFCD 的面积是多少？
例2.三角形EFD 的面积比三角形
ABF 的面积多5平方厘米，求ED 的长。

4厘米例3.右图是由两个正方形拼成的图形，其中小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。

1.如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？
2.如图，把一个组合图形分成三块，分别用A、B、C代表，求A块比B块大多少平方米？（单位：厘米）
板块三梯形的面积
【例题】
例1. 如下图，AE=5cm，BD=9cm。

左边梯形和右边三角形的面积相等，求三角形的底是多少？
例2.将一个底边BC长16厘米的直角三角形ABC向右平移6厘米，再向下平移1.5厘米，得到一个图形（如下图），求阴影部分的面积。

例3. 如图，已知在梯形中，a ，b 的面积分别为4厘米和8厘米，则梯形的面积是多少平方
厘米？
【练习】
1.如下图AD=7cm ，BC=13cm ，右边三角形和左边梯形的面积相等，求三角形的底BE 是多少？
板块四 组合图形的面积
【例题】
例1.一个等腰直角三角形，最长的边是10厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？
例2.求图中阴影部分面积。

【练习】
1.求四边形ABCD的面积。

2. 这是一个正方形，图中所标数的单位是厘米，阴影部分面积是。

板块五等积模型
等积模型：
（1）两个三角形等底、等高，其面积相等。

（2）两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系。

（3）两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。

【例题】
例1.如图，在△ABC中，BC=8cm,AD=6cm,E、F分别为AB、AC中点，那么△EBF的面积是多少？
例2.如图，将三角形ABC 的AB 边延长1倍到D ，BC 边延长2倍到E ，CA 边延长3倍到F 。

如 果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是 。

F
A E
B
C
D 【练习】
1.如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD=AB ，延长BC 至E ，使CE=2
1
BC ，F 是AC 的中点，若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多少？
A F
B
C E D
板块六 比例模型
(1)比：两个数相除又叫做两个数的比。

例.
① 甲长方形长是宽的几倍？乙长方形长是宽的几倍？
②甲长方形长与宽的比是（ ）:（ ），乙长方形宽与长的比是（ ）:（ ）。

③甲长方形长与宽的比与乙长方形长与宽的比有什么关系？
比例：表示两个比相等关系的式子叫做比例。

(2)沙漏模型： AB∥CD, C D
AB:CD=AO:OD=BO:OC
O
A B
【例题]】
例1.如图所示，在平行四边形ABCD中，BE=EC,CF=2FD.阴影面积与空白面积的比为。

例2.如图所示，四边形ABCD的面积为1，M、N是对角线AC的三等分点，P、Q是对角线BD 的三等分点，求阴影部分的面积。

(提示：连接AQ、AP、QC、PC。

）
【练习】
1.（1）如图所示，CD:DB=5:2，三角形ABD的面积为40平方厘米，求三角形ABC的面积。

（2）如图所示，已知AD:DC=3:7，并且三角形ABC的面积为30平方厘米，求S
是多少。

△BCD
（3）如图所示，已知BD:DE:EC=3:5:4，三角形ACE 的面积为12平方厘米，求三角形ABD 以及三角形ABC 的面积。

A
B D E C
2.如图所示，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是6，2，3，那么三角形DBE 的面积是 。

板块七 蝴蝶模型
蝴蝶模型：
一、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） D
B C
①s 1∶s 2=s 4∶s 3 或者s 1×s 3=s 2×s 4
② AO ∶OC=(s 1+s 2)∶(s 4+s 3 ) DO ∶OB=(s 1+s 4)∶(s 2+s 3 )
二、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） A a D
①s 2=s 4 ② s 1∶s 3 =a 2∶b 2
③s 1∶s 3 ∶s 2∶s 4=a 2∶b 2∶ab ∶ab ④s 的对应份数为（a+b)2.
【例题】
例1.如图所示，直线AF 与平行四边形ABCD 的边DC 交于点E ，如果△DEF 的面积为5平方厘米，求△BCE 的面积是多少平方厘米？
B C F
例2.如图所示，ABCD 为平行四边形，EF ∥AC 。

如果△ADE 的面积为8cm 2，求△CDF 的面积。

【练习】
1.四边形ABCD 的两条对角线将其分成了四部分，其中三部分的面积如图所示，那么请问： （1）AO:OC= : ,S △AOD :S △COD = : ,S △AOB :S △COB = : . (2)DO:OB= : ,S △AOD :S △AOB = : ,S △COD :S △COB = : . (3)S △AOB 的面积为 ，S 四边形ABCD 的面积为 。

(4)S △AOD ×S △BOC S △AOB ×S △COD (横线上填入“>”、“<”或“=”） （5）S △ABD :S △DBC = : .
2.如图所示，梯形ABCD 中，上底AD 长5厘米，下底BC 长10厘米，三角形BOC 的面积是20平方厘米，梯形ABCD 的面积是 平方厘米。

B C
3.如图所示，正方形ABCD的边长为6厘米,BE=2EC,CF=FD,DE、AF相交于点G。

求△AEG的面积。

B E C
4.如图所示，长方形ABCD中，AD=6厘米，AB=2厘米，AE=EF=FD，求阴影部分的面积。

学霸挑战
1.如图，四边形ABCE是一个平行四边形，△ADE是一个直角三角形，它们组成了梯形ABCD，如果这个梯形的上底、下底和高分别为2cm、5cm和4cm，则图中阴影部分的面积是多少？
2.(人大附）
如下图，有一个长6厘米，宽4厘米的长方形ABCD，已知线段DG,AH,AE,BF的长度依次是1，2，3，4厘米，且四边形AEPH的面积是5平方厘米，四边形PFCG的面积是多少平方厘米？
B F C
3.(人大附）
如下图，四边形ABCD是等腰梯形，ADBE是平行四边形，面积等于8，还知道三角形BCE的面积是2，那么三角形CDE的面积是多少？
本讲作业
1.如图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积。

2.求阴影部分的面积。

3.(比例模型）
（1）如图所示，在三角形ABC中，BC=3DC，AC=3EC，三角形DEC的面积是3平方厘米，三角形ABC的面积是平方厘米。

A
（2）如图所示，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米DE=3厘米，求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的倍。

（3）如图所示，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点，则三角形DEF的面积是。

B D C
4.（比例模型）
如图所示，三角形ABC，D是AC边上靠近A的三等分点，BF=FG=GC，E是BD边上靠近D点的三等分点，已知S
△BEF
=1，那么△ABC的面积是。

A
B F G C
5.（蝴蝶模型）
（1）如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC,AD:BC=1:2,
那么S
△AOD :S
△AOB
:S
△COD
:S
△BOC
= : : : .
A D
(2)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD,对角线AC，BD交于点O，已知△AOB与△BOC的面积分别为4cm2和6cm2，那么△AOD的面积是 cm2，梯形ABCD的面积是 cm2。

6.（蝴蝶模型）如图所示，四边形ABCD是梯形，ABED是平行四边形，三角形AFD的面积是8平方厘米，三角形EFC的面积是2平方厘米，四边形ABEF的面积是16平方厘米。

三角形DFC 的面积是平方厘米。

7.（蝴蝶模型）如图所示，长方形ABCD被CE、BF分成四块，已知其中3块的面积分别为2cm2、5cm2、8cm2，那么四边形OFDC的面积为平方厘米。

B C
答案：
板块一 平行四边形的面积
【例题】
例1. 48÷3=16（平方厘米） 16=4×4
高是4厘米 底是4×3=12（厘米）
例2. 4×5=20（平方厘米）
例3. (1)ac=bd (2)这样的大小关系依然成立。

发现交叉相乘的积相等 （3）10 【练习】
1. 40÷4=10（cm) 15÷1=15(cm) 15×10=150(cm 2)
答：原平行四边形的面积是150平方厘米。

2.
10+5+15+7.5+18+9+27+13.5=105
板块二
【例题】
例
1.3
2.4÷3×2=21.6(平方厘米）
例2. S △BEC =4×5+5=25(平方厘米） EC=25×2÷5=10（厘米） ED=10-4=6(厘米） 例3. 4×4÷2=8（cm 2） 答：阴影部分的面积是8cm 2。

解析：连接CF 。

S △BCF =BC ×EF ÷ S △DCF =DC ×GF ÷2,
因为BC=DC,EF=GF,所以S △BCF =S △DCF 。

所以S △BCH =S △DHF 。

所以S △DHF +S △DHB =S △BCH +S △DHB ,即S △DBF =S △DBC =4×4÷2=8（cm 2） 。

【练习】
1. 4×4÷2=8(cm 2) （8-4）×8÷2=16(cm 2 答：阴影部分的面积是24平方厘米。

2. （50+30）×50÷2=2000（平方厘米） 50×30=1500（平方厘米）
2000-1500=500（平方厘米） 答：A 块比B 块大500平方厘米。

板块三梯形的面积
【例题】
例1. 解析： 5+BC=CD ①
BC+CD=9 ②
由①得，CD-BC=5 ③
②+③,得2CD=9+5 CD=7
例2. s=(a+b)h÷2
=（16-6+16）×1.5÷2 =26×1.5÷2 =19.5(平方厘米）
答：阴影部分的面积是19.5平方厘米。

例3. c=a=4 d=4÷(8÷4)=2 a+b+c+d=2+4+4+8=18(平方厘米）
答：梯形的面积是18平方厘米。

解析：因为a+b=c+b,所以c=a=4（平方厘米）；
因为a，d同底，b,c同底；a,b等高，d，c等高，
所以c÷d=b÷a=8÷4=2
所以d=c÷2=2(平方厘米）
最后把a,b,c,d加起来也就是梯形的面积。

【练习】
1. 三角形的底BE是10cm。

板块四组合图形的面积
【例题】
例1. 10×10÷4=25（平方厘米）
例2.
① ②
③ ④
①+②+③=
41s 正方形 ①+②+④=4
1
s 正方形 所以③=④ 又因为④=② ③=①
所以①=②=④=31×4
1
s 正方形
所以①=③=12×12×12
1
=12
所以阴影的面积为：12×12×2
1
+12+12=96 【练习】
1.分别延长BA 、CD,相交于点E. E 8×8÷2-4×4÷2=24（平方厘米） D 4cm
A
45° B 8cm C
2.①+②+③=41
s 正方形
①+②+④=4
1
s 正方形 ① ②
③ ④
所以③=④
又因为④=② ③=① 所以①=②=④=
31×4
1
s 正方形 所以①=③=20×20×121=3
100
所以阴影的面积为：20×20×21+3100×2=3
800
【例题】
例1.三角形ABC 的面积：8×6÷2=24（平方厘米）
三角形AEF 的面积=三角形EFB 的面积， 三角形AFB 的面积=三角形CFB 的面积 所以三角形EFB 的面积是三角形ABC 的面积的4
1， 所以三角形EFB 的面积：24×
4
1
=6平方厘米。

A
E F
D B C
例2.
6
6 1 2 1 2
1+1+2+2+6+6=18 【练习】 1.
H
连接DC.
∵AB=BD ∴三角形DBC 的面积=三角形ABC 的面积=2
∵CE=21BC ∴三角形DEC 的面积=2
1
三角形DBC 的面积=1
连接BF
∵AF=FC ∴三角形BFC 的面积=2
1
三角形ABC 的面积=1 三角形CEF 的面积=0.5
三角形DCF 的面积=2
∴三角形DEF 的面积=三角形CEF 的面积+三角形DCF 的面积+三角形DCE 的面积 =0.5+2+1 =3.5
【例题】
例1.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BE=EC,CF=2FD.阴影面积与空白面积的比为 1:2 。

设三角形BEG 的面积为1.
因为BE=EC,所以三角形ABG 的面积为2。

三角形AGD 的面积为4.三角形ABD 的面积为6.平行四边形ABCD 的面积为12.
因为CF=2FD ，所以BH:HD=3:1,所以三角形AHD 的面积=6÷4=1.5，三角形AGH 的面积=6-2-1.5=2.5.三角形DHF 的面积=1.5÷3=0.5.
所以阴影部分的面积为1+2.5+0.5=4,空白部分的面积为12-4=8. 所以阴影部分的面积与空白部分面积的比为1:2.
例2.如图所示，四边形ABCD 的面积为1，M 、N 是对角线AC 的三等分点，P 、Q 是对角线BD 的三等分点，求阴影部分的面积。

(提示：连接AQ 、AP 、QC 、PC 。

）
解：S △APQ =31S △ABD ① S △CPQ =3
1
S △CBD ②
①+②:S △APQ + S △CPQ =31(S △ABD +S △CBD ) 即S 四边形APCQ =3
1
S 四边形ABCD
S △MNQ =31S △ACQ ③ S △PMN =3
1
S △APC ④
③+④:S △MNQ +S △PMN =31(S △ACQ +S △APC ) 即S 阴=3
1
S 四边形APCQ
所以S 阴=31×31×S 四边形ABCD =91×1=9
1
【练习】
1.(1)140 (2)21 (3)9 36
2.三角形ADC 的面积=2+6=8 BD:DA=3:8 三角形DBE 的面积:三角形ADE 的面积=3:8
三角形DBE=6÷8×3=2.25
板块七 蝴蝶模型
【例题】
例1.连接AC 。

△DEF 的面积=△ACE 的面积=△BCE 的面积 △BCE 的面积=5平方厘米。

B C F 例2.连接AF 、CE 。

△DCF 的面积=△AFC 的面积△AFC 的面积=△AEC 的面积△AEC 的面积=△ADE 的面积△DCF 的面积=8 【练习】
1.（1）1:2 1:2 1:2 （2）3:8 3:8 3:8 （3）8 （4）33 （5）= （5）1:2
2. 45
3.连接EF,
4. 连接ED A E F D
三角形EBF 的面积=2平方厘米 O
OF:OB=EF:BC=1:3
三角形EBF 的面积=1.5平方厘米 B C
阴影面积= 三角形AEBF 的面积+三角形EBF 的面积=2+1.5=3.5(平方厘米）
学霸挑战
1. 三角形BCF 的面积=平行四边形ABCE 面积的一半：2×4÷2=4平方厘米
三角形ABD 的面积：2×4÷2=4平方厘米
梯形ABCD 的面积：（2+5）×4÷2=14平方厘米
阴影面积：14-4-4=6平方厘米
B A
F
C E D
2.连接EH,EF,HG,FG.
三角形AEH 的面积：2×3÷2=3 2
三角形BEF 的面积：4×1÷2=2
梯形AHBF 的面积：（2+4）×4÷2=12 3 2
三角形HEF 的面积：12-3-2=7
三角形HEP 的面积：5-3=2 5
3 三角形FEP 的面积：7-2=5 2
所以：HP:PF=2:5
所以三角形HPG 的面积:三角形FPG 的面积=2:5
三角形HDG 的面积：4×1÷2=2
三角形FCG 的面积：2×3÷2=3
梯形FCDH 的面积：（2+4）×4÷2=12
三角形HGF 的面积：12-3-2=7
三角形PFG 的面积：7×255
=5
四边形FCGP 的面积：5+3=8
3. 延长EB 交DC 于H
BH 平行
∴BE=BH 三角形BED 的面积= 三角形BHD 的面积=8÷三角形BHC 的面积= 三角形BEC 的面积=2
∴三角形DCE 的面积
本讲作业
1. 5×5÷2=25.5（平方厘米） （9-5）×9÷2=18（平方厘米）
（9-5）×5÷2=10（平方厘米） 25.5+18+10=53.5（平方厘米）
2. 6×6+8×8=100 6×6×
21+8×（6+8）×21+8×（8-6）×2
1=82 100-82=18 3. (1)27 (2)4 (3)5
4.三角形BEF 的面积=1，三角形GEF 的面积=1，三角形DEG 的面积=1，
三角形DBG 的面积=3，三角形DGC 的面积=1.5，三角形DBC 的面积=3+1.5=4.5，
三角形ABD 的面积=4.5÷2=2.25，三角形ABC 的面积=4.5+2.25=6.75，
5. (1)1:2:2:4 (2)6 25
6.连接
平行四边形ABED 的面积=16+8=24（平方厘米），三角形ABE 的面积=24÷2=12（平方厘米）
三角形AEF 的面积=16-12=4（平方厘米） ∴三角形DFC 的面积=4（平方厘米）
7. 连接E 、
S △EOB =S △FOC S △EOB ×S △FOC =2× ∴ S △EOB =S △FOC =4 cm B C
∴S △BFC =8+4 =12 cm 2 ∴长方形ABCD 的面积=24平方厘米。

∴S 四边形DFOC =24-2-5-84=9cm 2。