三角形全等判定
三角形全等的判定定理
三角形全等的判定定理
有两条边相等的三角形是等腰三角形;三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三
角形;有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。
其中，构成直角的两边叫做直角边，
直角边所对的边叫做斜边。
全等的条件：
1、两个三角形对应的'三条边成正比，两个三角形全系列等，缩写“边边边”或“sss"。
2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“sas”。
3、两个三角形对应的两角及其夹边成正比，两个三角形全系列等，缩写“角边角”
或“asa”。
4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”
或“aas”。
5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边成正比，两个直角三角形全系列等，缩写“直角边、斜边”或“hl”。
注意，证明三角形全等没有“ssa”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角
相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“hl”证明等同“ssa”。
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1．全等三角形的对应角相等。
2．全等三角形的对应边相等。
3.。
能够完全重合的顶点称为对应顶点。
4．全等三角形的对应边上的高对应相等。
5．全等三角形的对应角的角平分线相等。
6．全等三角形的对应边上的中线相等。
7．全等三角形面积和周长相等。
8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。
全等三角形的判定
全等三角形的判定在我们学习几何的过程中，全等三角形是一个非常重要的概念。
而要确定两个三角形是否全等，就需要依据一定的判定方法。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定。
首先，我们来看看什么是全等三角形。
全等三角形指的是两个三角形的形状和大小完全相同。
这意味着它们的对应边长度相等，对应角的度数也相等。
那怎么判定两个三角形全等呢？最基本也是最常用的方法是“边边边”（SSS）判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形就是全等的。
比如说有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 就全等于三角形 DEF。
接着是“边角边”（SAS）判定法。
如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
比如在三角形 MNO 和三角形PQR 中，MN ＝ PQ，NO ＝ QR，且∠MNO ＝∠PQR，那么三角形MNO 就和三角形 PQR 全等。
然后是“角边角”（ASA）判定法。
当两个三角形的两个角及其夹边对应相等时，这两个三角形全等。
假设三角形 XYZ 和三角形 UVW 中，∠XYZ ＝∠UVW，YZ ＝ VW，∠YZX ＝∠VWU，那么三角形 XYZ 全等于三角形 UVW。
还有“角角边”（AAS）判定法。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
例如在三角形 CDE 和三角形 FGH 中，∠C ＝∠F，∠D ＝∠G，DE ＝ GH，那么三角形CDE 就和三角形 FGH 全等。
对于直角三角形，还有一个特殊的判定方法，那就是“斜边、直角边”（HL）判定法。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
比如说直角三角形 IJK 和直角三角形LMN，斜边 IJ ＝斜边 LM，直角边 JK ＝直角边 MN，那么这两个直角三角形就是全等的。
理解和掌握这些全等三角形的判定方法对于解决几何问题至关重要。
三角形全等的定义与判定方法
三角形全等的定义与判定方法三角形是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和关系是几何学的重要内容之一。
在几何证明中，我们经常会遇到需要判定两个三角形是否全等的问题。
本文将介绍三角形全等的定义和常用的判定方法。
一、三角形全等的定义两个三角形全等的定义如下：如果两个三角形的对应的三边全部相等，那么它们是全等的。
记作ΔABC≌ΔDEF。
二、SAS判定法（边角边法）SAS判定法是指，如果两个三角形的一个边和两个非邻边的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
三、SSS判定法（边边边法）SSS判定法是指，如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
四、ASA判定法（角边角法）ASA判定法是指，如果两个三角形的两个夹角和它们对应的边分别相等，那么这两个三角形全等。
五、AAS判定法（角角边法）AAS判定法是指，如果两个三角形的两个角和它们的一个边分别相等，那么这两个三角形全等。
六、HL判定法（斜边高）HL判定法是指，如果两个三角形的一个斜边和一个高分别相等，那么这两个三角形全等。
在实际问题中，我们经常使用这些判定法来解决三角形全等的证明问题。
下面将通过一些例题来进一步说明这些判定法的应用。
例题1：已知△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，△DEF中，DE=EF，∠DEF=60°，证明△ABC≌△DEF。
解析：根据SAS判定法，我们可以得知：因为AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，所以根据SAS判定法，△ABC≌△DEF。
例题2：已知△ABC中，AC=BC，∠ABC=∠ACB，D是AB的中点，E是AC的中点，证明△BDE≌△ABC。
解析：根据ASA判定法，我们可以得知：因为∠BDE=∠ABC，BE=BC，DE=DA，所以根据ASA判定法，△BDE≌△ABC。
通过以上两个例题，我们可以看出，在解决三角形全等的问题时，选择合适的判定法可以简化证明的过程。
综上所述，三角形全等的判定方法有SAS判定法、SSS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
全等三角形的判定方法
关于三角形的知识点有很多，本篇文章主要介绍全等三角形的五种判定方法，同学们要深刻体会。
三角形全等判定方法：1.三边对应相等的两个三角形全等，简称SSS（边边边）举例：在△ABC中，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.∴△ACD≌△BDC.（SSS）∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）2：三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
简称SAS（边角边）。
举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.∴△ACB≌△ADB.（SAS）∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）3：三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
简称ASA（角边角）。
举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：在△ABE与△ACD 中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.（ASA）4：三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
简称AAS（角角边）。
举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.∴△ABC≌△EDC.（AAS）∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）5：在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称HL（斜边、直角边）。
定义举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）相关概念及性质能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。
直角三角形全等的判定方法及性质
直角三角形全等的判定方法及性
质
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1、全等角形面积和周长相等。
2.全等角对应边的高度相等。
3、全等角形的对应边相等。
4.全等角对应边的中线相等。
5.全等角对应的角的角函数值相等。
6、全等角形的对应角相等。
7.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
8.全等角对应的角的平分线相等。
判定三角形全等定理
判定三角形全等定理三角形全等定理是指，如果两个三角形的三边和三角度分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理是几何学中最基本的定理之一，也是解决三角形相关问题的重要工具。
三角形全等定理的主要内容可以分为以下几个方面：1. 三边相等定理如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SSS定理，其中SSS代表Side-Side-Side，即三边相等。
2. 两边一角相等定理如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。
3. 两角一边相等定理如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为ASA定理，其中ASA代表Angle-Side-Angle，即两角一边相等。
4. 直角三角形全等定理如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SRT定理，其中SRT代表Side-Right-Angle，即斜边和一个锐角相等。
5. 等腰三角形全等定理如果两个等腰三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。
三角形全等定理的应用非常广泛，可以用于解决各种三角形相关问题，例如求解三角形的面积、周长、角度等。
在实际应用中，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的全等定理进行运用，从而得到正确的答案。
总之，三角形全等定理是几何学中最基本的定理之一，它为我们解决各种三角形相关问题提供了重要的工具和方法。
我们需要熟练掌握这些定理，并能够灵活运用它们，从而在解决实际问题时取得良好的成果。
全等三角形判定条件(六种)
全等三角形判定条件(六种)
①边角边公理（SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理（ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论（AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理（SSS)有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理（HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角
三角形全等。
出现两等边三角形、两等腰直角三角形通常用SAS证全等；等腰直角
三角形常见辅助线添法--连结直角顶点和斜边中点；两直角三角形证全等
常用方法：SAS,AAS,HL；出现等腰直角三角形或正方形可能用到K型全等。
全等三角形判定公式
全等三角形判定公式
一种常用的全等三角形判定公式是SSS（边边边）判定法。
如
果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
这意味着
如果三角形ABC和三角形DEF的对应边长分别满足AB=DE, BC=EF, AC=DF，那么这两个三角形就是全等的。
另一种常用的全等三角形判定公式是SAS（边角边）判定法。
如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
这意味着如果三角形ABC和三角形DEF的满足AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF，那么这两个三角形就是全等的。
还有一种全等三角形判定公式是ASA（角边角）判定法。
如果
两个三角形的一对对应角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
这意味着如果三角形ABC和三角形DEF的满足∠A=∠D, BC=EF,
∠B=∠E，那么这两个三角形就是全等的。
这些是常用的全等三角形判定公式，通过这些公式我们可以判
断两个三角形是否全等，从而在解决几何问题时能够更加准确地应
用相似三角形的性质。
三角形全等的判定方法推理过程
三角形全等的判定方法推理过程三角形的全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，也就是它们的三个角度和三边的长度都相等。
现在我们来看一下三角形全等的判定方法推理过程。
1. SSS法（边边边）：若两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
证明：若两个三角形ABC和DEF，它们的三边分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF。
要证明这两个三角形全等，我们需要证明它们的三个角度也完全相等。
由正弦定理可知：∠A=arcsin(sin∠A)，因此可以得到：sin∠A=sin∠D，因此∠A=D由此可知，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。
由余弦定理可知：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠A，因此可以得到：同理，可以得到：cos∠D=(DE²+DF²-EF²)/2DE×DF因为∠A=∠D，所以cos∠A=cos∠D。
因此，(AB²+AC²-BC²)/(2AB×AC)=(DE²+DF²-EF²)/(2DE×DF)，即(AB/DE)=(AC/DF)，因此∠B=∠E。
由正弦定理可知：sin∠B=BF/AB，sin∠E=EF/DE，因此BF/AB＝EF/DE，即BF/EF=AB/DE，因此∠C=∠F。
因此，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。
综上所述，全等的判定方法主要有四种：SSS法、SAS法、ASA法和AAS法。
这些方法都是基于三角形的三边和三角的关系来推导的，是数学学习中的基本知识点之一。
掌握全等的判定方法不仅有助于理解三角形的性质，还能够帮助我们解决各种数学题目。
三角形全等的判定
1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。
2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
典型例题知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。
请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。
解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。
求证：AD∥BC。
知识点二：全等三角形判定2（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC综上：AD∥BC，AD＝BC例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B ＝∠B，这两个三角形全等吗？。
解答过程：（1）全等；（2）不全等。
解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。
在证明题中尤其要注意这一点。
知识点三：全等三角形判定3 例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。
求证：AM是△ABC的中线。
解答过程：∵BE⊥AE，CF ⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。
全等三角形判定定理
全等三角形判定定理全等三角形判定定理是初中数学中重要的一个定理，它可以通过判定两个三角形的对应边、对应角是否相等来推断两个三角形是否全等。
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角完全相等。
首先，我们来看全等三角形的判定定理。
对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边和对应角相等，那么这两个三角形就是全等的。
具体来说，如果有以下几种情况成立，那么可以判定两个三角形全等：1. SSA公式：如果两个三角形的某一对边和两个对应的角相等，那么这两个三角形全等。
这种情况成立有一个例外，即当其中的一个角是直角时，此时无法通过SSA公式判定全等。
2. SAS公式：如果两个三角形的一对边和夹角以及另一对边相等，那么这两个三角形全等。
3. SSS公式：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
基于全等三角形的判定定理，我们可以通过观察两个三角形的对应边、对应角，来判断它们是否全等。
这不仅在数学解题过程中非常有用，也可以帮助我们更好地理解几何知识。
在实际生活中，全等三角形的性质也有着广泛的应用。
例如在建筑设计、地图绘制、机械制造等领域中，全等三角形的概念都有着重要的作用。
通过应用全等三角形的知识，我们可以更准确地进行测量、设计和制造，从而提高工作效率和准确性。
总的来说，全等三角形判定定理是初中数学知识中的重要定理之一，它帮助我们理解三角形的性质，提高数学解题的能力，同时在实际生活中也有着广泛的应用。
通过深入学习和理解全等三角形的判定定理，我们可以更好地掌握几何知识，提升数学应用能力。
希望通过本文的介绍，读者能够加深对全等三角形的认识，运用这一知识更好地解决问题。
全等三角形的判定方法五种例题
全等三角形的判定方法五种例题三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而全等三角形又是其中比较基础且重要的一部分。
那么，如何判断两个三角形是否全等呢？我们可以从以下5个方法入手。
第一种方法：角角角（AAA）判定法。
当两个三角形的对应角度相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两个三角形中角A、角B、角C分别对应相等，则这两个三角形就全等。
第二种方法：边角边（AAS）判定法。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两个三角形中，两边AB、AC相等，并且夹角A的大小也相等，则这两个三角形就全等。
第三种方法：角边角（ASA）判定法。
当两个三角形的一对角和对应边相等，且另外一对角也相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两个三角形中，角A、边BC和角C分别对应相等，并且角B的大小也相等，则这两个三角形全等。
第四种方法：直角边（HL）判定法。
当两个直角三角形的一条直角边和另外一条边相等时，就可以判断它们是全等的。
例如：若在两个三角形中，直角边AB、边AC的长度分别相等，并且三角形ABC还有一个相等的直角，则这两个三角形就全等。
第五种方法：全等多边形拼凑法。
将一个三角形分割成两个或多个小三角形，然后将这些小三角形重新拼凑成另一个三角形。
如果这个三角形和另一个给定的三角形重合，则它们是全等的。
例如：将一个三角形ABC划分成两个小三角形，分别是三角形ABE和三角形AEC，然后将它们重新拼凑成三角形FDC，如果三角形FDC和另一个给定的三角形重合，则这两个三角形就全等。
在实际操作时，我们可以根据题目所给条件，选择一种或多种判定方法，来判断两个三角形是否全等。
因为不同的题目所给条件不同，因此我们要灵活掌握这些判定方法，并且要根据具体情况加以分析和判断。
只有将这些方法掌握好，才能在解题中灵活应用，提高我们的解题能力。
三角形全等的判定方法
三角形全等的判定方法三角形全等是几何学中一个重要的概念，用于判断两个三角形是否完全相同。
在这篇3000字的文章中，将详细介绍三角形全等的判定方法。
一、初步认识三角形全等三角形全等是指两个三角形的对应边和对应角都相等。
通常我们可以通过三个基本准则来判断两个三角形是否全等：1. SSS准则：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
2. SAS准则：如果两个三角形的有一条边和两个边夹角的对应边和夹角都相等，那么这两个三角形全等。
3. ASA准则：如果两个三角形的有一条边和两个角的对应边和角都相等，那么这两个三角形全等。
二、SSS准则详解在SSS准则中，我们需要比较两个三角形的三个边是否对应相等。
具体的判定方法如下：1. 首先，通过直尺和一个非锐角绘制两个已知线段的长度。
2. 然后，从已知长度的端点开始，使用指南针或带刻度的直尺，绘制相应长度的线段。
3. 最后，通过连接这些线段的端点来形成两个三角形。
如果这两个三角形的三个边长度分别相等，则可以判断这两个三角形全等。
需要注意的是，当判断两个三角形全等时，不仅需要比较对应边的长度，还需要考虑到它们之间的顺序。
即使两个三角形的边长相等，但如果它们的顺序不同，那么它们也不能被认为是全等的。
三、SAS准则详解在SAS准则中，我们需要比较两个三角形的一条边和两个边夹角的对应边和夹角是否相等。
具体的判定方法如下：1. 首先，通过直尺和一个非锐角绘制两个已知线段的长度。
2. 然后，在这两个已知线段中的某一点上使用量角器或者带刻度的直尺测量出两个线段之间的夹角。
3. 接着，从夹角的顶点开始，使用指南针或带刻度的直尺，绘制相应长度的线段。
4. 最后，通过连接这些线段的端点来形成两个三角形。
如果这两个三角形的一条边和两个边夹角的对应边和夹角分别相等，则可以判断这两个三角形全等。
四、ASA准则详解在ASA准则中，我们需要比较两个三角形的一条边和两个角的对应边和角是否相等。
三角形全等五个判定方法
三角形全等五个判定方法三角形全等五个判定方法是边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）。
下面就这五个判定方法介绍如下，仅供参考：1、SSS（边边边）即三边对应相等的两个三角形全等。
举例：如图1，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=DC.∴△ACD≌△BDC.（SSS）图1 ∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）2、SAS（边角边）即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
举例：如图2，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB. 图2 ∴△ACB≌△ADB.（SAS）∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）3、ASA（角边角）即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹边也对应相等的两个三角形全等。
举例：如图3，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：在△ABE与△ACD中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.（ASA）图34、AAS（角角边）即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
举例：如图4，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.∴△ABC≌△EDC.（AAS）∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）图45、HL（斜边、直角边）即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
举例：如图5，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=DC.∴Rt△ADC≌Rt△BCD.（HL）图5∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）。
三角形全等的判定定理是什么
经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
而该两个三角形的
三条边及三个角都对应相等。
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。
三角形全等的判定定理
(1)三边对应相等的三角形是全等三角形。
SSS(边边边)
(2)两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
SAS(边角边)
(3)两角及其夹边对应相等的三角形全等。
ASA(角边角)
(4)两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
AAS(角角边)
(5)在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
RHS(直角、斜边、边)
三角形全等顺口溜：全等三角形，性质要搞清。
对应边相等，对应角也同。
角
边角，边角边，边边边，角角边，四个定理要记全。
全等三角形的应用
1.性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
在写两个三角形全
等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
2.当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。
3.用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。
以及相等的角，可以用
于工业和军事。
4.三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。
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三角形全等判定学习内容：全等三角形的判定公理及推论（1）边角边公理（SAS）（2）角边角公理（ASA）（3）角角边推论（AAS）（4）边边边公理（SSS）（5）斜边、直角边公理（HL）知识讲解：1.思想方法：在平面几何中，证明两条线段相等，两个角相等，两条直线互相平行，两条直线互相垂直等问题，常常可以通过证明三角形全等来解决，而且在整个证明过程中，往往要完成多次的三角形全等的证明。
如果需要进行多次的全等三角形证明，可以按以下结构进行：题设△I≌△I'中间条件△II≌△II'结论。
2.这一部分内容几何的证明中，已经开始需要添加辅助线，而辅助线的添加是个难点，从这一章开始，同学们应逐步积累这方面的知识经验。
在第三部分我们专门对这种问题作了研究，以解决这一部分添加辅助线的问题。
例题分析：1．如图所示，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD。
求证：AF=DE。
分析：寻找AF、DE所在的三角形，首先证明ΔAFC≌ΔDEB。
然后证明AF=DE。
证明：∵EB⊥AD（已知）例2，如图，已知AB、CD互相平分于O，过O点引直线与AD、BC分别交于E、F点，求证：AE=BF。
分析：分析证明的思路，我们可以按两个方向进行：（1）“由因导果”：由已知条件，已经可以证明哪几对三角形全等？由此可以得出哪些线段或角相等？能由此得到求证的结论吗？在这道例题中，由已知条件，AO=BO，∠AOD=∠BOC，DO=CO，很快可用（SAS）证得△AOD≌△BOC，于是根据全等三角形的性质又可得AD=BC，∠A=∠B，∠D=∠C的结论，考虑到最终证明的结论，从这三个中间结果中选择最有效的转为新的三角形全等的条件：由于AE与BF分别处于△AOE和△BOF之中，于是选择∠A=∠B，作为新的条件，用（ASA）来证明△AOE≌△BOF，再用全等三角形性质得AE=BF。
（11）“由果索因”：根据求证目标，需证哪一对三角形全等；如果条件不够，能通过证另一对三角形全等提供条件吗？在这道例题中，为了证明AE=BF，由于AE，BF分别在△AOE和△BOF中，可先考虑证明△AOE≌△BOF，已有OA=OB，∠AOE=∠BOF，所缺条件为∠A=∠B或OE=OF，再考虑∠A、∠B又分别在△AOD和△BOC中，看△AOD≌△BOC的条件是否具备，而根据题设证明这一对三角形全等却是很容易完成的。
这两种方法的思考，第一种代表“顺推”思路，而第二种代表“逆推”的思路，但不管哪一种思路，在证明过程的书写时，必须用顺推的方法书写证明。
例3，如图，AC、BD相交于E，AC=BD，AB=DC，求证：BE=CE。
分析：为了证明BE=CE，只要证明△ABE≌△DCE，在这两个三角形中，已有AB=DC，∠AEB=∠DEC，已有一角和所对边分别对应相等，还缺少一个条件，只能再寻找一对角的相等条件，很自然使我们将目光转向证明∠A=∠D，或∠B=∠C，如果要证明角等，图中已经不再有现成的全等三角形，结合条件，只需连结AD，辅助线AD成了两个三角形△ABD和△ACD的一条公共边，从题设构成了一对全等三角形；△ACD≌△DBA，由此找到了证明的完整思路。
证明的路线如下：例4，求证：全等三角形的对应角的平分线相等。
分析：首先要分清命题中的题设和结论部分，从形式上看，题目中似乎只有结论部分，不知道题设应该写什么？实际上，任何一个数学命题都是一个完整的叙述，它们都是判断某一件事情的句子，那么这一句子中必有被判断的对象及判断后得到的结果，那么这个被判断的对象就是命题的条件（题设），结果就是命题的结论。
根据这个标准，例题中的题设应该是：两个全等三角形及其对应角的平分线。
结论是：对应角的平分线相等。
分清了命题的题设与结论两部分，就可以把命题的内容画成相应的几何图形，以便用简单的符号代替文字叙述。
此例题可以这样画图。
画出两个全等三角形，△ABC和△A'B'C'，再做出一对对应角∠A∠A'的平分线AD和A'D'。
在画图时必须注意两点：（1）不要画出题中所没有的多余条件。
如按本题要求，三角形只能画成任意三角形，而不要画成等腰三角形、等边三角形，以免干扰思维。
（2）不忽略题中所指图形应有的性质。
两个三角形全等的，就不应画出一大一小，或形状各异的两个三角形。
然后，结合图形，按每一概念的确切叙述写出已知，求证。
已知：△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线，求证：AD=A'D'。
证明的路线如下：例5，求证：两个三角形的两边和第三边的中线对应相等的两个三角形的第三边也相等。
分析：题目的题设是两个三角形中有两边和第三边的中线对应相等，结论是这两个三角形的第三边相等。
已知△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，D为BC中点，D'为B'C'中点，且AD=A'D'，求证：BC=B'C'分析：由题设可知所给的已知条件不在同一个三角形中，要想充分利用已知条件，就得想办法将这些分散的条件集中在一个三角形中。
因为题目中有中线，常常采用作倍长中线的辅助线，这样创造出全等的三角形，再利用全等三角形的性质。
这样达到将分散的条件集中在一个三角形中的目的，使问题向着可以解决的方向转化。
辅助线的做法：在全等三角形这部分的证明中，已经开始需要添加辅助线，添加辅助线的基本思想就是添加辅助线，构造全等三角形，现在我们介绍一些添加辅助线的方法，供大家学习。
1、按照“中心对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形绕着它的一个顶点旋转180°，得到另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形(或者说，把一个三角形绕着某一个点旋转180°后，得到了另一个三角形，这样的一对三角形叫做中心对称型全等三角形)．如下列基本图形。
说明：当几何问题中出现两条相等的线段在一组对顶角的两边且成一直线时，就可以添加中心对称型的全等三角形进行证明，添加的方法是过端点作平行线．或者按照上边的例题5的方法，截取相等的线段。
例析：如图，已知ΔABC中，AB＝AC，BD=CF．求证：DE＝EF．分析一这个题目要证明的结论是DE=EF．如图所示，这就出现了相等两线段在一组对顶角的两边，而且成一直线，在这种情况下，就可以添加一对中心对称型的全等三角形进行证明。
添加的方法是过D作DG//AC，交BC于G，如图所示，那么ΔDGE和ΔFCE就一定是一对中心对称型的全等三角形。
要证明这两个三角形全等就应抓住一组边相等的条件，而DE=EF是结论不能用，需要证明另一组边。
已知条件告诉我们CF=BD，所以就应该证明CF和它的对应边DG相等，如图所示，也就是证明DB=DG，而DG//AC，所以∠1=∠2，又已知AB=AC，所以∠2=∠B，因此∠1=∠B，那么DB=DG就可以证明了。
分析二：如下图所示，本题也可以过端点F作FH//AB交BC的延长线于H，补出一对中心对称型全等ΔBDE 和ΔHFE。
证明二提示:与上一种证法基本一致,通过证明△EFH≌△EDB来证得DE=EF,注意使用BD//FH,推出角的关系.证明略.2、按照“轴对称”原则，构造全等三角形，添加辅助线。
把一个三角形沿着某一条直线翻转后与另一个三角形重合，那么这一对三角形就叫做轴对称型全等三角形。
基本图形：当几何问题中出现两条相等的线段或两个相等的角关于某一线段或直线成轴对称时，就可以构造轴对称型的全等三角形进行证明。
例析：如图，在正方形ABCD的对角线AC上截取AE=AB，作EF⊥AC交BC于F。
求证：EF=FB.分析：本题目要证明的结论EF=FB。
本题目已知中有AE=AB，又有∠AEF=∠B=90°，所以，连接AF构造△AEF、△ABF全等，容易证明。
以上只是作辅助线的部分方法，同学们要在学习过程中，逐渐积累经验，这个难点一定能解决。
第一阶梯例1、如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，求证：△ABD≌△CDB点拨：判定三角形全等，首先要确定一条相等的边，观察图形，BD是公共边，再由平行条件，得到角相等。
（1）思路沟通后，按着判定三角形全等的条件顺序书写（2）△ABD可看做绕A点旋转180°后，再沿BD翻折与△CDB重合（3）若连结AC交BD于O，△ADO与△CBO全等吗？为什么？这两个三角形怎样才能重合例2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：（1）∠B=∠C（2）AD⊥BC点拨：利用△ABD与△ACD全等，得到∠B=∠C，∠3=∠4再证明AD⊥BC，把△ABD可看做沿AD边翻折后，与△ACD重合。
说明：判定两个三角形全等后，要根据题目的要求，选择所需的是角还是边，再下结论，如上例，改证：D是BC中点，则需要BD=DC。
例3、已知：如图AB=AD，BC=CD，且BD、AC相交于O点。
求证：（1）∠1=∠2 （2）DO=BO点拨：图形中隐含着公共边AC，由△ADC与△ABC全等，可知∠1=∠2，再证△ADO≌△ABO即可，此题证法不唯一。
说明：如何把条件和未知放在某两个三角形中，可先由直观图形的形状观察再结合条件来确定。
第二阶梯例1、已知：如图AD=AE，∠ADC=∠AEB，且BE，CD相交于P，求证：PB=PC点拨：要证PB=PC，可考虑△BPD与△CPE全等，但这两个三角形不具备一条相等的边，所以要利用已知条件，先证△ADC≌△AEB说明：可借助于三角形全等，证明线段相等或角相等，有时可能需证两次全等，才能达到目的，△ADC如何运动才能与△AEB重合，请想一想。
例2、已知：如图AD//BC，AD=BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：（1）AB//CD （2）DF=BE点拨：由△ADC与△CBA全等，得到∠1=∠2，则AB//CD，也可证△ADE≌△CBF，再证△DCF≌△BAE，此题证法不唯一，是应用判定定理的很好图形。
说明：全等三角形的对应角平分线，对应中线，对应高线，周长，面积，都是相等的，在（2）中，可证Rt△AEC与Rt△BFA全等。
例3、已知：如图，AD//BC，AE//CF，AD=BC。
求证：（1）AB=CD（2）AB//CD（3）AE=CF点拨：由条件可知△ABD≌△CDB则（1）（2）得证，在证（3）时，可利用∠3，∠4的邻补角相等，得到△FDC与△EBA全等，则AE=CF。
说明：对于四边形较复杂的题目，一定要看清所给的条件，对于证明的结论有什么用处，寻找可能全等的三角形。