金融数学1

如果：U （15） 0.5U (20) 0.5U (10),U 是凹函数，风险厌恶。
如果：U （15） 0.5U (20) 0.5U (10),U 是凸函数，风险爱好。
四、 马科维茨风险溢价
设(0 , h )满足： V (0 (0 , h )) pV (0 h1 ) (1 p)V (0 h2 ) 更一般：V ( E ( )) E (V ( )) 其中 0 h 则称(0 , h )为马科维茨风险溢价（或风险升水） 若(0 , h )越大，表明越厌恶风险。
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y 是可接受的最大保费。
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五、 Arrow-Pratt 绝对风险厌恶函数
下面讨论马科维茨风险溢价和效用函数的关系。 等号左边可写为： V ( E ( ))＝V ( E ) - V ( E )( ) (( )) 将V ( )在E展开，得： V ( E ) V ( )＝V ( E )＋V ( E )( E ) ( E ) 2 ( E ) 2 2 (2) 对(2)两边取期望，得： V ( E ) 2 E(V ( )) V ( E ) ( ) ( E ) 2 2
如果V (0 ) V ( p(0 h1 ) (1 p)(0 h2 )) pV (0 h1 ) (1 p)V (0 h2 ) 即投资者愿意参加赌博，此时V ( x)为凸函数。
定义： 如果V ( x)二次连续可为微V(x)>0,V(x) 0, 则V(E ) E(V( )),称投资者为风险爱好型。
说明：
对于函数图像上的每一对点，当 且仅当连结这些点的弦处在图像上或 其下边，那么该函数为凹的。
定理
凹函数的图像及其下方的点总会 形成一个凸集
设A {( x, y ) | x D, f ( x) y}是f : D T 的图像及其下方的点的集合，其中D R 是一个凸集, 并且T R, 则： f 是一个凹函数 A是一个凸集
由风险溢价的定义：V ( E ( )) E (V ( )) (1)
(3)
由得：
2 V ( E ) ( ) ( ) [ ][ ] V ( E ) 2
V ( x) 称A( x) 为Arrow Pr att绝对风险厌恶函数 V ( x) 1 称T ( x) 为风险容忍函数 A( x) 称R( x) xA( x)为相对风险厌恶函数
若x 若x
y与y y但y
x同时成立, 则x和y偏好无差异，记作x y; x不成立，则x严格地比y好，记作x y.
二、 效用函数
设B是具有偏好关系" "的选择集，U：B R＋的 单值函数，如果x,y B，U(x) U(y)当且仅当x 则称U 为效用函数。 显然，效用函数是偏好关系的定量描述。 y,
如果V (0 ) V ( p(0 h1 ) (1 p)(0 h2 )) ＝pV (0 h1 ) (1 p)V (0 h2 ) 此时效用函数为线性函数，称投资者为风险中性的。
凹、凸函数
函数y f ( x), x D. (1)凹函数的定义 f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) 这里x1，x2 D, 0 1，则称f ( x)为凹函数。 (2)凸函数的定义 f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ) 这里x1，x2 D, 0 1，则称f ( x)为凸函数。
二、数理金融的发展阶段
1、发展初期： 第一次华尔街革命是指1952年马科维茨（H.M. Marcowitz）投资组合选择理论的问世。此后，马 科维茨的学生夏普（W.F. Sharpe）在马科维茨理 论的基础上，提出了资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。他们两人的成果 获得了1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是利 用数学工具，在严格的假设的基础之上，利用数 学推理论证解决了风险资产的定价问题，是将数 学方法应用于金融学成功的范例，也是划时代的 开创性的工作。
分析： 如果购买保险，不发生损失： 35000 - y 如果购买保险，发生损失： 35000 - y -10000 10000 35000 - y 假如：U (35000 - y ) 0.99U (35000) 0.01U (25000) 购买保险 假如：U (35000 - y ) 0.99U (35000) 0.01U (25000) 不购买保险 U (35000 - y )＝0.99U (35000) 0.01U (25000)
称：
0 (0 , h)或者E ( )为确定性等价财富。
设y 0 h1 , x 0 h2
例： 设投资者的效用函数为U ( x) ln x, 初始财富
0 10, 若他进行某项投资，有20％的可能财富
增加到30, 也有80％的可能财富减少到5，求其确 定性等价财富？
数理金融核心篇
五、授课内容
《微观金融学及其数学基础》 第二部分 金融数学基础 第8章 基础微积分和线性代数 第9章 概率论与数理统计 其间穿插讲解金融例子。（上届）
这次改为讲解金融实例为主
第1讲：风险态度和效用函数
假设一个人面临两种选择： （1）确定性获得15元 （2）50％获得10元，50％获得20元。 会选择哪一种？
1990 年诺贝尔经济奖获得者
Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)
Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合 选择理论》
William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型（CAPM)
2、第二阶段（1969－1979） 第二次华尔街革命是指1973年布莱克 （F.Black）和斯科尔斯（M.S.Scholes）期 权定价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔 经济学奖。他们也是利用数学工具解决了 重要的金融衍生产品期权的定价问题。两 次华尔街革命标志着现代金融学的诞生， 同时也产生了一门新的学科：数理金融学
效用函数
一、偏好关系
设B是n维欧氏空间R n中的凸集，在B中引入一个二元 关系记为" "，如果它具有： x; y, 或者y y, y x; z, 则x z; (2) (可比较性)若x, y B, 则x (3) (传递性)若x, y, z B, 如果x 我们称“ ”是一个偏好关系。
（）（反身性）若 1 x B, 则x
课程目标
不在于分析数学原理，而重点学习 利用数学工具分析金融问题的方法。
着重于金融问题的分析与解决
课程要求
预习： 每次上课前尽量预习内容 作业要求： 每次所布置作业下次上课时交给助 教，要求独立完成，不能抄袭。
导 论
一、什么是金融数学？
金融数学（Financial Mathematics）， 又称数理金融学，是利用数学工具研究金 融，进行定量分析，以求找到金融内在规 律并用以指导实践。金融数学也可以理解 为现代数学与计算技术在金融领域的应用。
六、 双曲绝对风险厌恶类函数(HARA)
称形如： 1 r ax ax r V ( x) ( b) , b 0, b 0 r 1 r 1 r 为双曲绝对风险厌恶函数
ax V ( x) a ( b) r 1 1 r ax 2 r 2 V ( x) a ( b) 1 r V ( x ) ax x b 1 1 A( x) a( b) ( ) V ( x) 1 r 1 r a 因此称这类函数为双曲绝对风险厌恶函数。 1 b T ( x) ( )x 1 r a
如果V (0 ) V ( p(0 h1 ) (1 pຫໍສະໝຸດ Baidu(0 h2 )) pV (0 h1 ) (1 p )V (0 h2 ) 即投资者不参加赌博的效用大于参加赌博的效用， 此时V ( x)为凹函数。
定义： 如果V ( x)二次连续可为微V(x)>0,V(x) 0, 则V(E ) E(V( )),称投资者为风险厌恶型。
三、 投资者的风险类型
举例：
假设1、考虑彩票或赌博只有两种状态{h1 , h2 }， 状态h1发生概率为p, 状态h2发生的概率为1 p; 而且ph1 (1 p )h2 0, 表明赌博是公平的； 假设2、投资者的初始财富为0； 假设3、设von Neumann - Morgenstern效用函数 为V ( x), 则投资者参加赌博的期望效用为 pV (0 h1 ) (1 p )V (0 h2 ).
而且， (4) f ( x) 0, x D f 是严格凹的。
假设一个人面临两种选择： （1）确定性获得15元 （2）50％获得10元，50％获得20元。 会选择哪一种？
说明： 取f ( x) U ( x), t 0.5 确定性收入效用 : U （15） 不确定收入的期望效用： 0.5U (20) 0.5U (10)
1997 年诺贝尔经济奖获得者
Robert Merton, (1944-)《连续 时间金融学》 Myron Scholes, (1941-) 期权定 价公式
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-Scholes-Merton 期权定价理论问世
3、第三阶段（1980－至今） 代表人物有D.Duffie、I.Karatzas、J.Cox 等等
解： E (U ( x)) 0.2 ln 30 0.8 ln 5 1.97 若U ( y ) E (U ( x)) ln y 1.97 ye
1.97
7.17
风险溢价为： 10－7.17 2.83
例：保费选择问题 如果一投保人拥有财富35000元， 他面临一风险，可能导致10000元的 损失，发生的概率为1％，问保费y最 多为多少才购买保险，而不是自留风 险？ （假设购买足额保险）
金 融 数 学
第1讲
主讲: 李庆霞 （厦门大学金融系） 联系方式：xiamencherry@126.com 办公室：经B 510
预备知识
高等数学 线性代数 概率论与数理统计 金融学基础
参考教材
《微观金融学及其数学基础》（第2版） 邵宇，清华大学出版社
《数理金融》，郭作祚，清华大学出版社 《金融数学》Joseph Stampfli,(蔡明超译) 机械工业出版社
效用函数存在定理
定理 设选择集B上的偏好关系" "具有保序性、中值性和 有界性，则存在效用函数U : B R＋ , 使得： (1) x y当且仅当U ( x) U ( y ) (2) x y当且仅当U ( x) U ( y )
性质：设U 是效用函数，函数G：R R是正值严格单调 增加函数，容易证明复合函数G。U：B R也是效用函数。 即：一个效用函数通过正单调变换而获得的另一个效用函数 与原来的函数表达同样的偏好顺序。
n
定理 凹性与一阶和二阶导数 设D是非退化的实值区间，f 在D上二次 连续可微，则以下条件等价： (1) f 是凹的； (2) f ( x) 0, x D;
0 0 (3)x D : f ( x) f ( x ) f ( x )( x x ), x D. 0 0
三、数理金融在金融学科体系中的地位
金融学
宏观金融学 包括货币银行学、 国际金融学等
微观金融学 包括投资学、公司理财、 金融工程、金融市场等
数理金融方法
四、数理金融结构框架
数理金融数学基础篇： 1、微积分 2、线性代数 3、概率论 4、随机过程 5、计量经济学 1、资产组合理论 2、资本资产定价模型 3、套利定价理论 4、布朗运动与伊藤方 程 5、布莱克方程