最新人教版高中数学教案《幂函数》

幂函数

教学目标

1．知识目标

（1）了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数图象的变化情况和性质。

2．能力目标

（1）培养学生观察分析归纳能力；

（2）培养学生概括抽象和识图能力；

（3）培养学生数形结合的意识和思想。

3．情感目标

培养学生合作、交流、探究的意识品质，激发学生的学习兴趣和学习欲望。

教学重点从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质

教学难点幂函数的图象和性质的总结

教学用具多媒体平台，几何画板课件

教学过程

【导入新课】

回答下列问题

1．如果张红买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的蔬菜的量w（千克）之间有何关系？

2．如果正方形的边长a，那么其面积S如何表示？

3．如果正方体的边长为a ，那么它的体积V 如何表示？ 4．如果正方形的面积为S ，则它的边长a 如何表示？

5．某人在t 秒内骑车行进了1千米，那么他骑车的平均速度v 为多少？

答：12

231(1)(2)(3)(4)(5)p w S a V a a S v t -===== 【推进新课】

提出问题

问1：上述问题中的五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点？是否为指数函数？

提示：用x 表示自变量，用y 表示函数值，上述函数式变成：以下

五个函数

12

3

12

,,,,y x y x y x y x y x -=====

它们都是形如y x α=的函数。从而给出幂函数的定义：

一般地，函数y x α=叫做幂函数(power function)，其中x 是自变量，α是常数。

练习：判别下列函数中哪些是幂函数

①y=0.2x

②y=2x 2

③y=x 3

2④y=x 2+x ⑤y=-x 3 ⑥0y x =

解： ①y=0.2x 的底数是0.2，因此不是幂函数；

②22y x =的变量2x 的系数是2，因此不是幂函数；

③y=x 3

2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； ④y=x 2+x 变量是和的形式，因此不是幂函数； ⑤y=-x 3的变量3x 的系数为-1，因此不是幂函数；

⑥0y x =的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数。

思考：（1）幂函数与指数函数有什么联系和区别？

（2） 幂函数具有哪些性质？研究函数应该从哪些方面考虑？前面指数函数、对数函数研究了哪些内容？是如何研究的？ （根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数的图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，研究幂函数也如此）

（3） 幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？.

例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：

①y=x 3

②y=2

1

③y=x 2

-④y=x 3

2

探究：（1）怎样便于看出幂函数的定义域？

（分数指数应化成根式，负指数写成正数指数再写

出定义域。 ）

（2）观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？ 只要幂函数的定义域是关于原点对称的（或者说定义域中有负数），则其一定具有奇偶性。

【动手实践】

画出1

2

3

12

,,,,y x y x y x y x y x -===== 五个函数的图象，完成下列表格

值域 奇偶性

单调性

共同点

图象分布

学生利用描点法在同一坐标系中画出五个函数图象，然后教师利用几何画板将五个函数的图象用追踪点的方法展示。

完成表格：

y x =

2

y x =

3

y x =

1

2

y x =

1y x -=

定义域 R R R {}0x x ≥ {}0x x ≠ 值域

R

{}0y y ≥

R

{}0y y ≥ {}0y y ≠

设问：（1）上述函数有哪些共同特点？

当指数为正数时，如1

232

====

,,,

y x y x y x y x

（1）图象都过点（0,0）和（1,1）；

（2）在［0,＋∞）上是增函数。

当指数为负数时，如1

y x-

=

（1）图象过点（1,1）；

（2）在（0,＋∞）上是减函数。

（2）通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数

的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函

数的图象，这时可以通过什么途径来判断？

答：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断。 【类比联想、拓展探究】

我们研究的几个常见的幂函数的性质，是否也适合其他的幂函数，一般的幂函数怎样去研究它的性质呢？让同学们讨论、猜想一般的幂函数的图象和性质

老师用几何画板画出函数y x α=在第一象限内的图象，改变α的值，让学生观察、分析所得的函数图象，在动态的变化过程中，让学生了解幂函数的本质和共性。从而给出幂函数y x α=的性质：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）

（2）当α>0时，图象过（0,0），（1,1），并且在[0，+∞）上是增函数；

特别地，当α＞1时，(0,1),x y x α∈=的图象都在y x =的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大；当0＜α＜1时(0,1),x y x α∈=的图象都在y x =的上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大； （3）α<0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）是减函数，与坐标轴无交点；

（4）其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出。 例2：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：