4.实际问题与数学建模

专题四实际问题与数学建模

知识梳理

初中用来解决实际问题的数学模型主要有一元一次方程,二元一次方程(组), 可化为一元一次方程的分式方程,一元二次方程,一元一次不等式,一次函数,反比例函数,二次函数.中考的20题,22题和填空题、选择题就是通过对这几种数学模型的组合，全面考察这几种数学模型的实际应用.

在解决这类问题时，要仔细审题，准确把握题意，分清考察的方向（是方程，还是不等式，还是函数），根据题意列出方程，不等式或函数关系式.如考察的内容是函数，也可根据题意或图象信息，用待定系数法求出函数关系式.然后解方程或不等式，或根据函数的相关性质解决实际问题.

直击考点

考点1 由实际问题列方程：

1. 某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%．设把x公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为（）

A．54+x=80%×108 B．54+x=80%（108-x）C．54-x=80%（108+x）D．108-x=80%（54+x）2. 在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，可方程组为（）

3. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）

A．（32-2x）（20-x）=570 B．32x+2×20x=32×20-570

C．（32-x）（20-x）=32×20-570 D．32x+2×20x-2x2=570

4.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）

A ．1000（1+x ）2=1000+440

B ．1000（1+x ）2=440

C ．440（1+x ）2

=1000 D ．1000（1+2x ）=1000+440 5. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后

程组 .

6.2017年，为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多0020，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是 （ ） A ．

()0030305120x x -=+ B ．003030520x x -= C.003030

520x x += D ．()0030305120x x

-=+

7. 2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的D6767次动车首发成功，鄂尔多斯市自此迎来了动车时代，已

知两地铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x 千米，则可列方程为（ ） A ．﹣

=40

B ．

﹣

=40 C

．

﹣

= D ．

﹣=

考点2 方案选择和方案设计:

1. “五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以下信息，解答下列问题：

（1）设租车时间为x 小时，租用甲公司的车所需费用为y 1

元，租用乙公司的车所需费用为y 2元，分别求出y 1，y 2关于x 的函数表达式；

（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．

2. 市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A，B两种风景树共900棵．A，B两种树的相关信息如表：

若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购A、B两种树各多少棵？此时最低费用为多少？

3.某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．

（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？

（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？

4.某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．

今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：

（1）求今年A

（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？

考点3 图象信息题中的行程问题

1.小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A、B两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后

2.5小时追上小带的车；④

当小带和小路的车相距50千米时，t=5

4

或

15

4

t ．其中正确的结论有（

）A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④

2.A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与骑车时间x（h）的函数关系．

（1）甲骑车速度为km/小时，乙的速度为km/小时；

（2）求l1、l2的函数表达式；

（3）出发几小时后两人相遇？

3.已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．（1）图中的线段l1是（填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向千米处；

（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；

（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度．

4.A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：

(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是（填l1或l2）；甲的速度是km/h，乙的速度是km/h

(2)甲出发多少小时两人恰好相距5km？