解三角形知识点总结
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辽宁家教协会咨询电话：02462610358
=
a+b+c sin A + sin B + sin C
2.已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形（以已知 a,b,A,为例讨 论三角形解的情况） (1)当 A 为钝角或直角时,必须 a>b 才能有且只有一解；否则无解。 (2)当 A 为锐角时,如果 a≥b,那么只有一解； 如果 a<b,那么可分下面三种情况来讨论:①若 a>bsinA,则有两解; ②若 a=bsinA,则只有一解; ③若 a<bsinA，则无解。 评述： 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 bsinA<a<b 时,有两解；其它情况时则只有一解或无解。
b=2RsinB; c=2RsinC.
b sin A ； sin B
已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a = 2.化角为边： sin A =
a ; 2R
sin B =
b ; 2R
sin C =
c 2R
已知三角形的任意两边与其中一边的对角可求其他角的正弦值, 如 sin A = sin B
四、关于解三角形问题常用的重要结论： 1.三角形中的一些常用结论 (1)三角形内角和定理的应用： A＋B＋C＝π， (i)由 B+C=π-A 可得出: sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA,tan(A+B)=-tanC, (ii)由
sin
B+C π A = − 可得出: 2 2 2 B+C A B+C A B+C A = cos , cos = sin , tan = cot 2 2 2 2 2 2
S=
=
1 ai ha ( ha 表示a边上的高) ； 2
1 abc ab sin C = 2 R 2 sin A sin B sin C = 2 4R
a 2 sin B sin C A B C A B C = = s 2 tan tan tan = r 2 cot cot cot 2sin( B + C ) 2 2 2 2 2 2
①北偏东 α � 即由指北方向顺时针旋转 α � 到达目标方向； ②北偏本 α � 即由指北方向逆时针旋转 α � 到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④， i 为坡比） 2.ΔABC 的面积公式
a b
二、余弦定理： 1.求边形式：a2=b2+c2－2bccosA．
b2=Hale Waihona Puke Baidu2+c2－2accosB； c2=a2+b2－2bccosC；
b2 + c2 − a2 2.求角形式： cos A = ; 2bc
a 2 + c2 − b2 cos B = ; 2ac
cos C =
a 2 + b2 − c2 。 2ab
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1 = r (a + b + c ) 2
= s( s − a)( s − b)( s − c) = rs ，其中 s = a + b + c
2
��� � ���� 1 x y − x y AB = (x ,y ), = 1 2 2 1 ，其中 1 1 AC = (x 2 ,y 2 ) 2
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解三角形部分知识点归纳总结
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一、正弦定理：
a b c = = = 2R ; sin A sin B sin C
正弦定理得应用： 1.化边为角：a=2RsinA;
(2)三角形中的边角关 系 三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然； 注:在ΔABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件 (∵sinA>sinB ⇔
a b > ⇔ a>b ⇔ A>B) 2R 2R
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b．
重要结论:①A＞B＞C ⇔ sinA＞sinB＞sinC; ②sinA:sinB:sinC=a:b:c. ③
a b c a+b b+c a+c = = = = = sin A sin B sin C sin A + sin B sin B + sin C sin A + sin C
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三、应用举例 1.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫 仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
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2
(2 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位 角为α(如图②) 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是 相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 (3)方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
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=
a+b+c sin A + sin B + sin C
2.已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形（以已知 a,b,A,为例讨 论三角形解的情况） (1)当 A 为钝角或直角时,必须 a>b 才能有且只有一解；否则无解。 (2)当 A 为锐角时,如果 a≥b,那么只有一解； 如果 a<b,那么可分下面三种情况来讨论:①若 a>bsinA,则有两解; ②若 a=bsinA,则只有一解; ③若 a<bsinA，则无解。 评述： 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 bsinA<a<b 时,有两解；其它情况时则只有一解或无解。
b=2RsinB; c=2RsinC.
b sin A ； sin B
已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a = 2.化角为边： sin A =
a ; 2R
sin B =
b ; 2R
sin C =
c 2R
已知三角形的任意两边与其中一边的对角可求其他角的正弦值, 如 sin A = sin B
四、关于解三角形问题常用的重要结论： 1.三角形中的一些常用结论 (1)三角形内角和定理的应用： A＋B＋C＝π， (i)由 B+C=π-A 可得出: sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA,tan(A+B)=-tanC, (ii)由
sin
B+C π A = − 可得出: 2 2 2 B+C A B+C A B+C A = cos , cos = sin , tan = cot 2 2 2 2 2 2
S=
=
1 ai ha ( ha 表示a边上的高) ； 2
1 abc ab sin C = 2 R 2 sin A sin B sin C = 2 4R
a 2 sin B sin C A B C A B C = = s 2 tan tan tan = r 2 cot cot cot 2sin( B + C ) 2 2 2 2 2 2
①北偏东 α � 即由指北方向顺时针旋转 α � 到达目标方向； ②北偏本 α � 即由指北方向逆时针旋转 α � 到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④， i 为坡比） 2.ΔABC 的面积公式
a b
二、余弦定理： 1.求边形式：a2=b2+c2－2bccosA．
b2=Hale Waihona Puke Baidu2+c2－2accosB； c2=a2+b2－2bccosC；
b2 + c2 − a2 2.求角形式： cos A = ; 2bc
a 2 + c2 − b2 cos B = ; 2ac
cos C =
a 2 + b2 − c2 。 2ab
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1 = r (a + b + c ) 2
= s( s − a)( s − b)( s − c) = rs ，其中 s = a + b + c
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��� � ���� 1 x y − x y AB = (x ,y ), = 1 2 2 1 ，其中 1 1 AC = (x 2 ,y 2 ) 2
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一、正弦定理：
a b c = = = 2R ; sin A sin B sin C
正弦定理得应用： 1.化边为角：a=2RsinA;
(2)三角形中的边角关 系 三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然； 注:在ΔABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件 (∵sinA>sinB ⇔
a b > ⇔ a>b ⇔ A>B) 2R 2R
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b．
重要结论:①A＞B＞C ⇔ sinA＞sinB＞sinC; ②sinA:sinB:sinC=a:b:c. ③
a b c a+b b+c a+c = = = = = sin A sin B sin C sin A + sin B sin B + sin C sin A + sin C
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三、应用举例 1.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫 仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
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(2 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位 角为α(如图②) 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是 相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 (3)方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）