常见曲面的参数方程

§４、5 常见曲面得参数方程

本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。

掌握旋转曲面得参数方程得建立。

掌握直纹面得参数方程、

本节难点:旋转曲面得参数方程。直纹面得参数方程。

在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。

(一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标

设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是

则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是

其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则

再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程

(4、5.1)

特别地,当母线为坐标面上得径线

时,(4。５、１)成为

(4.5.２)

例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。２)得其参数方程为

(4、5。3)

它与§2。１中得球面参数方程得形式就是相同得。

(４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。

利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。空间中点得这种坐标叫做球坐标。显然,轴上点得球坐标可取任意值、

把(４.5。3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即

(4、5。４)

反之,有

(4。5.５)

当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。

例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,

图4—１7

绕轴旋转所生成得、由(４、５、2)得其参数方程为

(4、5。６)

利用参数可得圆柱面上得一种曲纹坐标,从而我们可引入空间得又一种坐标系。设为空间任意一点,它到轴得距离为,过作以轴为轴,半径为r得圆柱面,则在这圆柱面上具有曲纹坐标,可令对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得圆柱面,再由在这圆柱面上确定点。空间中点得这种坐标叫做柱坐标。与球坐标一样,轴上点得柱坐标可取任意值、把(４.５、６)中得常数换为变数,即得柱坐标与直角坐标间得关系式

(4。5、7)

反之,有

(4、5.8)

当时,,从而面上得点也只需即可确定,所以柱坐标也就是平面极坐标在空间中得另一种推广、像广义极坐标一样,柱坐标也可以推广到负值情形。

在一个坐标系下,若让一个坐标固定而其它坐标变化,则所得轨迹叫做坐标曲面;若一个坐标变化而其它坐标固定,则所得轨迹叫做坐标曲线。

例如在柱坐标系下,坐标曲面,(常数)就是以轴为轴,半径等于得圆柱面;坐标曲面(常数)就是过轴得平面(若限定,则轨迹为半平面);(常数)就是平行于面得平面。显然, 坐标曲线可瞧作就是两个不同类得坐标曲面得交线,如坐标曲线,(叫做线)就是圆柱面与面得平行面得交线,因而就是位于平面上,中心在轴,半径为得圆。

我们已经瞧到,用球坐标或柱坐标表示曲面或曲线,有时就是比较简单明了得。但要注意,在不同坐标系下,同一方程可能表示不同得图形。例如方程,在球坐标系下表示得就是球面,而在柱坐标系下表示得却就是圆柱面。

(二)直纹面得参数方程

因为直纹面得母线就是直线,所以其参数方程为

其中就是这直线上点得参数。只因为直纹面就是一族单参数直线构成得,族中母线就是随着一个参数而变动得,即均为得函数,所以这直母线族方程可以写成

(4.5、9)

其中为族得参数,一个值对应族中一条直母线、当曲面瞧作就是运点轨迹时,就就是由所有母线上得点构成得,故(4、5、9)即为它得方程。

令就是,得直纹面上一曲线、它与所有得母线都有公共点,可称为直纹面得导线。

特别地,当分别为常数(即母线互相平行)时,直纹面(４、5。9)为柱面

(4、５、10)

而当分别为常数(即导线只含一点)时,直纹面(4.5。9)为锥面

(４。5.１１)

平面可以瞧作以直线为导线得柱面、设一个平面通过定点平行于两个不共线向量,我们以为方向向量,过引一直线

为导线,以为母线得共同得方向向量,则由(4、5。１０)得到平面得参数方程

(４。5。１２)

例3、求以直线,为导线,母线平行于直线得柱面得参数方程。

解:将导线方程改写成

并取为参数,得导线得参数方程为

再将它与一同代入(3。5。10)使得所求柱面得参数方程为

显然,这柱面就是个平面。

习题4－５

１、求下列曲线按指定轴旋转生成得曲面得参数方程:

(1) 绕Ｚ轴旋转

(２)绕轴旋转。

2、已知径线得参数方程与旋转轴,写出旋转曲面得参数方程

(1) 绕轴旋转

(２) 绕轴旋转。

3、一锥面以为顶点,以椭圆为导线,试求其参数方程。

4、利用直母线得方程,求单叶双曲面与双曲抛物面得参数方程。

5、设以为参数得一族直线,试求:

(１)这族直线所构成得直纹面;

(2)这直纹面得参数方程;

(3)这直纹面得一条导线。

6、设直纹面有一条直导线,且母线平行于一个与导线相交得定平面,则此直纹面叫做劈锥曲面。今以定平面为面,它与直导线得交点为原点,试求劈锥曲面得参数方程、７、试求球坐标系得坐标曲面与坐标曲线。