生活中的小概率事件

浅谈生活中的小概率事件

□尚海涛李国栋杨洋

【内容摘要】数学源于生活，概率统计作为数学的分支，更是如此。书中许多的概念和方法都有很明显的现实背景，如果在教学中能够结合它在生活中的应用组织教学，不仅能增强数学的趣味性和实用性，而且对提高学生学习数学的兴趣有

很大的帮助。本文从生活中的小概率事件谈起，总结了两个关于小概率事件的原理，结合生活中的实例，介绍了这

两个原理的应用。

【关键词】小概率事件；小概率原理；小概率累积原理

【基金项目】本文为江西科技学院概率统计精品课程项目（编号：kc1011）研究成果。

【作者简介】尚海涛（1980 ），男，河南新乡人；江西科技学院讲师，硕士

李国栋，杨洋；江西科技学院

一、何谓小概率事件

任一事件A在一次试验中可能发生也可能不发生，但是它发生的可能性的大小是客观存在的，对它发生的可能性大小的量度称为A的概率，记为P（A），并且规定0≤P（A）≤1。在概率统计中，我们把概率接近于0的事件称为小概率事件。但实际中多大的概率值算小呢？这个因人因事而异。一般地，我们把在一次试验中你以为不会发生的事件称为小概率事件，通常情况下，事件发生的概率在0．01或0．005以下都视为小概率事件。

生活中，我们不乏听到或遇见诸如“飞机失事”、“某地发生车祸”、“某某彩票中了大奖”、人生四喜之一的所谓“他乡遇故知”、“说曹操曹操到”、“某国突发军事政变”等等，这样的例子不胜枚举，在数学上我们称它们为小概率事件。

二、小概率原理

根据大数定律，事件A的频率n A/n依概率收敛于A发生的概率p，即当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，若P（A）很小时，则它在大量重复试验中出现的频率应该也很小，例如P（A）=0．01意味着在100次重复试验中，A大约仅发生1次，因此若只做1次试验，则认为A在本次试验中不发生。也就是说，概率很小的事件在一

监控系统，与机组和辅助系统的控制系统通信互联，建立相应的全厂实时生产过程数据库，其主要功能有全厂生产过程监控系统、厂级性能计算、机组性能试验、经济指标分析及诊断、运行优化操作指导系统和全厂负荷优化调度系统等。

三、电力行业热工自动化系统的未来发展动向及前景

随着国家法律对环保日益严格的要求和计算机网络技术的进步，未来热工系统将围绕“节能增效，可持续发展”的主题，向智能化、网络化、透明化，保护、控制、测量和数据通信一体化发展，新的测量控制原理和方法不断得以应用，将使机组的运行操作和故障处理，像操作普通计算机一样方便。

进一步提高模拟量控制系统的调节范围和品质指标，是火电厂热工自动化控制技术研究的一个方向。虽然目前有关自适应、状态预测、模糊控制及人工神经网络等技术，在电厂控制系统优化应用的报道有不少，但据笔者了解真正运行效果好的不多。随着电力行业竞争的加剧，安全、经济效益方面取得明显效果、通用性强、安装调试方便的优化控制专用软件（尤其是燃烧和蒸汽温度优化、性能分析软件）将会在电厂得到亲睐、进一步发展与应用。

目前机组的AGC均为单机方式（由调度直接把负荷指令发给投入AGC的机组）。由于电网负荷变化频繁，使投入AGC的机组始终处于相应的变负荷状态，锅炉的蒸汽压力和温度波动幅度大，辅机、阀门、挡板等设备动作频繁，这种方式对机组和设备的寿命都会产生一定的负面影响。随着发电成本的提高，发电企业需从各个角度考虑如何切实降低电厂运行成本，延长机组的使用寿命。因此配置全厂负荷分配系统（即电网调度向电厂发一个全厂负荷指令，由电厂的全厂负荷分配系统，以机组的煤耗成本特性为基础，在机组允许的变化范围内，经济合理地选择安排机组的负荷或变负荷任务，使全厂发电的煤耗成本最低，降低电厂的发电成本）将是发电企业发展的必然要求，相信不久的将来，单机AGC方式将会向全厂负荷分配方式转变。

【参考文献】

1．韩璞，王建国．自动化专业概论［M］.北京：科技出版社，2007

2．杨庆柏，21世纪火电厂热工自动化展望［OL］．www．chi-napower．com．cn．2008

3．王学军．电力行业热工自动化技术的应用现状与发展［OL］．http：//tech．bjx．com．cn/html/20090331/119098．sht-ml．2009

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次试验中实际上几乎是不发生的，这就是人们在长期实践中总结出来的所谓小概率原理。

实际上，人们在不经意间遵循着小概率原理而行事，例如，外出逛街，就承担着遭遇抢劫或死于车祸的风险，但人们还是很高兴地出去逛了；待在屋里睡觉，也有可能遭遇地震或火灾，但人们依旧酣然入睡。这就是我们总是在坚持一种信念：这样的事情不会发生在我们身上，这其实都是小概率原理在发挥作用。

三、小概率累积原理

前面谈到外出遭遇车祸、买彩票中大奖都是小概率事件，按道理应该很稀少才对，但这些事情为什么又屡见不鲜呢？这就需要了解小概率累积原理。

定理：设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε，不论ε多么小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会发生的概率为1。

x证明：令A

i

=｛第i次试验A发生｝，i=1、2、3…，设P

（A

i

）=ε。假设我们独立地重复做了n次试验，则每次试验A不发生的概率为1－ε，n次试验中A都不发生的概率为（1－ε）n，则n次试验中A至少发生一次的概率为1－（1－ε）n，显然当nңɕ时，概率为1，证毕。

小概率累积原理告诉我们，虽在一次试验中A出现的概率很小，但经过大量重复试验之后A出现的概率会很大，也就是说小概率的累积就是大概率事件。虽然每一个人在一次外出或旅行中发生车祸是小概率事件，但是当全国有千千万万个人在外出或旅行时有人遭遇车祸就是很平常的事情，买彩票中大奖的道理亦是如此。

四、小概率原理案例应用

例1.女士品茶。20世纪20年代，在英国剑桥大学一个夏日的午后，一群人正围坐在户外的桌旁，享受着下午茶。在品茶的过程中，一位常饮茶的女士坚称：把茶放进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法会使奶茶的味道品起来有所不同。在场的人都对女士的“胡言乱语”嗤之以鼻。此时，一位名叫费歇尔的先生为这位女士奉上了十杯已经调制好的奶茶让她辨别，这些茶有的是先加奶后加茶制成的，有的是先加茶后加奶制成的，结果是她都正确地辨别出来，请问该女士的说法是否可信？一般来说，我们很难想象仅仅因为加茶和加奶的先后顺序不同，奶茶的味道会发生改变，所以很多人认为她是“胡言乱语”也就不足为奇了。但是，假如她是凭运气猜对这10次测试的结果，猜对的可能性只有1/210=0．0009766，换句话说，猜一千次大约能猜对一次，这是一个非常小的概率，小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的。但现在小概率事件在一次试验中发生了，因此有理由怀疑该女士是靠运气猜对的这一假设的正确性，从而断言该女士的说法是可信的。

例2.赤壁之战之曹操惨败的原因。三国时期，曾经发生过一场以少胜多的经典战役———赤壁之战。当时，曹操在江北有80万兵力，东吴的周瑜在江南只有三万兵力。鉴于当时江中风浪大，不便于单个船只独立作战，曹操下令将所有战船相连，以减弱风浪颠簸的影响。当时曹操的谋士程昱建言：“船皆连锁，固是平稳；但彼若用火攻，难以回避，不可不防。”曹操听后却大笑说：“凡用火攻，必藉风力。方今隆冬之际，但有西风北风，安有东风南风耶？吾居于西北之上，彼兵皆在南岸，彼若用火，是烧自己之兵也，吾何惧哉？”然而，让曹操意想不到的是，交战那天居然刮起了东南风，周瑜趁机用火攻，大败曹操。凭着曹操的军事指挥才能和绝对的兵力优势，取胜应该是情理之中。然而，这个极其意外的小概率事件的发生，瞬间改变了双方交战的结果。赤壁之战给我们这样的启示：在制定重大决策的时候，不能只考虑问题的主要方面，还要充分考虑到不利的小概率事件存在和发生的可能性。否则，一旦小概率事件发生，后果不堪设想。

例3.墨菲定理。爱德华·墨菲（Edward A．Murphy）是一名工程师，他曾参加美国空军于1949年进行的MX981实验。这个实验的目的是为了测定人类对加速度的承受极限；其中有一个实验项目是将16个火箭加速度计悬空装置在受试者上方，当时有两种方法可以将加速度计固定在支架上，而不可思议的是，竟然有人有条不紊地将16个加速度计全部装在错误的位置。于是，墨菲根据这次事件总结了这样一个结论：“有可能出错的事情，就会出错”（Anything that can go wrong will go wrong）。很快，这句话被广为流传，西方称之为墨菲定理。墨菲定理阐述了一种偶然中的必然性，这和小概率累积原理有异曲同工之妙。

例4.医疗诊断。由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0．95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0．95。现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0．005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率。设A表示“患有癌症”，A表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得：P（A）=0．005，P（A）=0．995，P（B|A）=0．95，P（B|A）=0．95

由此P（B|A）=1－0．95=0．05，由贝叶斯公式得：

P（A|B）=

P（A）P（B|A）

P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0．087这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95%，而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率仅有8．7%。此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有8．7%（即1，000个具有阳性反应的人中大约只有87人的确患有癌症），这是一个小概率事件，也就是说试验反应为阳性的人不能确诊为癌症患者。由此可看出，若把P（B|A）和P（A|B）搞混淆就会造成误诊的不良后果。

【参考文献】

1．吴传生．概率论与数理统计［M］．北京：高等教育出版社，2004

2．若谷．20几岁要懂得的博弈论［M］．北京：中国华侨出版社，2011

3．［美］萨尔斯伯格著．女士品茶［M］．北京：中国统计出版社

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