1.运筹学-线性规划理论及应用讲解

合集下载

物流运筹学——线性规划

应的 m 个分量称为基变量，其余变量为非基变量，令所有的非基
变量取值为 0，得到的解 X B1b, 0 T 称为相应于 B 的基解。
若 B1b 0 则称基解为基可行解，这时对应的基 B 为可行基。如果 B1b 0 则称该基可行解为非退化的，如果一个线性
规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化的。
c1
c2
c3
c4
c5
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
13/2
1
0
0
2
0
1
x2
5/2
0
1
0
1
0
-2
x3
1/2
0
0
1
-1
0
j cj zj
0
0
0
-1/2
-1/2
j 0, j 1,L , 5 ，迭代终止最优解： X (13/ 2,5 / 2,1/ 2, 0, 0) T ，
最优值： z x2 2x3 3 / 2 。
max z CX
单
纯形
AX b
s.t.
X
0
法令 A (B, N ) ， X (xB , xN )T ，由 AX b 知
BxB Nx N b
两边同时左乘 B1 得 xB B1NxN B1b ，从而
xB B1b B1NxN 。令 xN =0，X B1b, 0 T 。
设 B 是约束矩阵 A 的一个 m 阶满秩子方阵，则称 B 为一个基； B 中 m 个线性无关的列向量称为基向量，变量 X 中与之对
第三节线性规划对偶问题与灵敏度分析
对偶问题的提出对偶问题的基本性质灵敏度分析

《运筹学》课件第一章线性规划

10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0

第一章线性规划

第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。

本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。

学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。

包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。

包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。

包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。

包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。

当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。

如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。

这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。

战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。

这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。

我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。

现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。

运筹学第1章-线性规划

凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
下一页返回
图解法步骤：
（1）建立坐标系；（2）将约束条件在图上表示；（3）确立满足约束条件的解的范围；（4）绘制出目标函数的图形（5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部卖出。
下一页返回
1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。

运筹学实例分析及lingo求解讲解

运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。

各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。

解：设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。

ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。

目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为：∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下：model : Sets :Wh/w1..w6/:ai; Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000 C( W1, V7) 5.000000 0.000000C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000 X( W1, V3) 0.000000 5.000000X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)

运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。

2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。

二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。

答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。

答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。

解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。

具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。

第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。

2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。

二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。

答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。

运筹学-1、线性规划

则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位运价如下表：现场砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题）某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的下料方式，如下表所示：

运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法

原料甲原料乙最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8

运筹学工作指派问题

n
n
n
n
ij
) xij
n n
= M ∑∑ xij − ∑∑ cij xij = nM − ∑∑ cij xij
i =1 j =1
14
1 甲乙丙丁 10 5 5 2 2 9 8 4 3 3 7 7 6 4 4 8 7 5 5
12
例1-15 求最大效率问题
上海港务局装卸队安排五个班组进行五条作业线的配工，以往各班组完成某项作业的实际效率的具体数据如下表所示。
项目班组甲乙丙丁戊 400 435 505 495 450 315 295 370 310 320 220 240 320 250 310 120 220 200 180 190 145 160 165 135 100 13 1 2 3 4 5
9
(4)画0元素的最少覆盖线：要用最少的覆盖线将矩阵表格中的所有0元素都覆盖住。如果覆盖线的条数少于矩阵的阶数，说明找不到最优解，要转下步（继续变换矩阵，使0元素增加）。如果覆盖线的条数等于矩阵的阶数，则说明可以从矩阵表格的0元素中找出最优解。画最少覆盖线的具体方法： ①对没有◎的行打√； ②对打√的行中，所有有0元素的列打√； ③对打√的列中，对有◎的行打√； ④重复②、③步直到得不出新的打√的行和列； ⑤对没有打√的行画横线，对打√的列画纵线，这些横线和纵线就是能把全部0元素都覆盖的最少覆盖线。
第一章线性规划的基本理论及其应用
1
第九节
工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题：有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的费用为 cij (i, j = 1, 2, , n),要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n件事的总费用最少。

运筹学第1章

（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。

线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。

特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。

从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。

它已是现代科学管理的重要手段之一。

解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。

1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。

资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。

产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。

即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。

最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。

线性规划理论及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述信息与计算科学线性规划理论及其应用一、前言部分[1] [2]线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大化或最小化的问题，最大化问题是要在一个集合上使一个函数达到最大，最小化问题是要在一个集合上使一个函数达到最小。

统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。

它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有力工具。

二、主题部分2.1线性规划理论发展过程及方向2.1.1线性规划发展过程[3][4]法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。

1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。

1947年美国数学家G.B.丹奇克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。

1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。

1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。

50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。

例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。

运筹学--第2节(线性规划-标准型)

一、问题的提出二、线性规划数学模型的一般形式三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如表的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本最低的运输方案。
工厂仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224

北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第2章线性规划

第二章线性规划教学目的：了解线性规划的基本概念，理解线性规划最优化原理、单纯形法原理，掌握单纯形法及其矩阵描述、人工变量法、，能够对简单的问题建模。

教学重点：线性规划的含义、性质；线性规划问题的求解方法——图解法、单纯形法。

线性规划模型的建立非标准型线性规划问题转化为标准线性规划问题；线性规划问题的图解法；解的存在情况判断；大M法；两阶段法；单纯形法的矩阵表示；教学难点：单纯形法的求解思想、矩阵表示、对偶理论、对偶单纯形法以及灵敏度分析。

学时： 8学时2.1 线性规划(Linear Programming,LP)问题及其数学模型（1学时）我们应用数学规划模型求解实际问题中，将实际问题抽象成数学模型，然后再对其求解。

2.1.1线性规划问题提出我们用一个简单例子来说明如何建立数学规划问题的数学模型。

例2.1 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，有关资料见表2－1。

解：用数学语言来描述生产计划安排问题，这个过程称为建立其数学模型，简称建模。

设：①桌子、椅子生产的数量分别为x1，x2，称为决策变量。

因为产量一般是一个非负数，所以有x1，x2≥0，称非负约束。

②限制条件为木工和油漆工的加工时间约束了产品的生产量x1，x2。

约束如下：4x1＋3x2≤1202x1＋x2≤50③生产桌子、椅子x 1，x 2所得总收入为Z ，显然Z ＝50x 1＋30x 2。

我们希望总收入值能达到最大，这个关系用公式表达为max Z ＝50x 1＋30x 2 把上述所有数学公式归纳如下12121212max .0z 50x 30x 4x 3x 120s t 2x x 50x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，这就是一个最大化的线性规划模型。

例 2.2（运输工具的配载问题）有一辆运输卡车，载重2.5t ，容积183m ，用来装载如下的两种货物：箱装件125kg/个、0.43m /个；包装件20kg/个、1.53m /个。

问：如何装配，卡车所装物件个数最多？解根据题意，设箱装件1x 个，包装件2x 个，那么需要满足条件：体积约束 120.4 1.518x x +≤重量约束 12125202500x x +≤非负约束12,0x x ≥目标要求 max z=12x x +我们对上面的式子稍作整理，便得到下面的形式：max z=12x x +1212120.4 1.518125202500,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 上述两例中所提出的问题，最终都归结为在变量满足线性约束条件的前提下，求使线性目标函数最大或最小的问题，这种问题称为线性规划问题。

运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型

上页下页返回
• 第三步：确定目标函数第三步：以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值，和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值最高的目标可表示为：最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数这就是该问题的目标函数。目标函数。
上页
下页
返回
• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量，是问题中要确定的未知量，表明规划中的用数量表示的方案、措施，可由决策者决方案、措施，定和控制。定和控制。
x1
x2
上页
下页
返回
第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
上页
下页
返回
第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
上页
下页
返回
对我们有何限制?
上页
下页
返回
第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备原材料A 原材料原材料B 原材料利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
上页下页返回
– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其：中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm

《运筹学》全套课件(完整版)

负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定义
整数规划是数学规划的一个分支，研究决策变量取整数值的规划问题。
02
整数规划问题的数学模型
包括目标函数、约束条件和决策变量，其中决策变量要求取整数值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概念
介绍最小费用流问题的定义、分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难度较大，需要较高的数学技巧。

运筹学基础及应用第五版胡运权第一章

问题的提出某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0，其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0，必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)

运筹学第一章

第一章、线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。

取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有：求解二元一次方程组得解。

目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。

2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数；对决策变量有非负要求。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

≥
0
9
线性规划模型的一个基本特点：目标和约束均为变量的线性表达式如果模型中出现如
x12+2lnx2-1/x3
的非线性表达式，则不属于线性规划。
10
例2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：
资源
住宅体系
造价（元/M² )
钢材水泥（公斤/M² ) （公斤/M² )
2
线性规划 Linear Programming（LP）

本章中我们将讨论什么是线性规划问题，线性规划问题的数学表示，基本理论、概念和求解方法。线性规划问题是什么样的一类问题呢？

3
线性规划 Linear Programming（LP）
1.线性规划模型 —— Linear Programming Model 或 Linear Optimization Model 用线性规划方法解决实际问题的第一步是建立能够完整描述和反映实际问题的线性规划模型。
11
解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为 x1,x2, x3, 为总面积,则本问题的数学模型为: Max z = x1 + x2 + x3
s.t.
0.105x1 + 0.135x2 + 0.120x3 ≤ 110000
0.012x1 + 0.030x2 + 0.025x3 ≤ 20000 0.110x1 + 0.190x2 + 0.180x3 ≤ 150000 0.210x1 ≤ 147000 0.0045x1 + 0. 003x2 + 0.0035x3 ≤ 4000
模型一般式的矩阵形式
X=(x1 , … , xn)T, C=(c1 , … , cn), A=(aij) mxn , b=(b1 , … , bn)T
则模型可表示为 Max z=CX
牲畜每日每头需要量
0.4
0.6
2.0
1.7
13
解：设购买M、N饲料各为x1,x2 ，则
Min z = 10x1 + 4x2
s.t. 0.1x1 + 0x2 ≥ 0.4 0x1 + 0.1x2 ≥ 0.6 0.1x1 + 0.2x2 ≥ 2 0.2x1 + 0.1x2 ≥ 1.7
x1 ,x2 , ≥ 0

7

在本例中
– 决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x1,x2； – 目标函数：总收入，记为z, 则z=7x1+12x2，为体现对其追求极大化，在z的前面冠以极大号Max； – 约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产量非负的约束，表示为
8
s.t.
9x1 + 4x2 ≤ 360 4x1 +5x2 ≤ 200 3x1 +10x2 ≤300 x1 ，x2
14
2. 线性规划的数学模型
线性规划模型的一般形式：以MAX型、≤约束为例决策变量: x1 , … , xn 目标函数：Max z= c1x1 + 约束条件：
s.t. a11x1 +
… am1x1 +
… …
…
+ c n xn
+ a1n xn ≤ b1
+ amn xn ≤ bm
15
x1 , … , xn ≥ 0
4
线性规划 Linear Programming（LP）
通常建立LP模型有以下几个步骤：
1. 确定决策变量：决策变量是模型要确定的未知变量，也是模型最重要的参数，是决策者解决实际问题的控制变量。 2. 确定目标函数：目标函数决定线性规划问题的优化方向，是模型的重要组成部分。实际问题的目标可表示为决策变量的一个线性函数，并根据实际问题的优化方向求其最大化（max）或最小化（min）。 3. 确定约束方程：一个正确的线性规划模型应能通过约束方程来描述和反映一系列客观条件或环境的限制，这些限制通过一系列线性等式或不等式方程组来描述。 4. 变量取值限制：一般情况下，决策变量取正值（非负值）。因此，模型中应有变量的非负约束即Xj≥0，但也存在例外。
5
线性规划 Linear Programming（LP）

例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下，试拟订使总收入最大的生产计划方案。
资源单耗产品
资源
甲
9 4 3 7
乙
4 5 10 12
资源限量
360 200 300
6
煤电油
单位产品价格
线性规划模型三要素： 1.决策变量：需决策的量，即待求的未知数； 2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决策变量的表达式表示； 3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用决策变量的等式或不等式表示。
x1 ,x2 ,x3 ≥ 0
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
12
练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取 A、B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、 N两种。有关数据如下：试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为最少？
售价（元/公斤） M N 10 4 每公斤含营养成分 A 0.1 0 B 0 0.1 C 0.1 0.2 D 0.2 0.1
线性规划 Programming（LP）
第一章
线性规划理论及应用
1
线性规划 Linear Programming（LP）

引言
解决有限资源在有竞争的使用方向中如何进行最佳分配。线性规划是运筹学的一个重要分支，也是运筹学中应用最广泛的方法之一。自1947年旦茨基（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法（simplex method）之后，线性规划已被广泛应用于解决经济管理和工业生产中遇到的实际问题。调查表明，在世界500家最大的企业中，有85%的企业都曾使用过线性规划解决经营管理中遇到的复杂问题。线性规划的使用为应用者节约了数以亿万计的资金。
砖人工（块/M² ) （工日/M² )
砖混住宅壁板住宅
105 135
12 30
110 190
210 ----
4.5 3.0
大模住宅
资源限量
120
11000 （千元）
25
20000 （吨）
180
150000 （吨）
----
3.5
147000 4000 （千块） (千工日）
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最大，求建造方案。