1.运筹学-线性规划理论及应用讲解
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0
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线性规划模型的一个基本特点： 目标和约束均为变量的线性表达式 如果模型中出现如
x12+2lnx2-1/x3
的非线性表达式，则不属于线性规划。
10
例2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以 大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：
资源
住宅体系
造价 （元/M² )
钢材 水泥 （公斤/M² ) （公斤/M² )
牲畜每日每头需要量
0.4
0.6
2.0
1.7
13
解：设购买M、N饲料各为x1,x2 ，则
Min z = 10x1 + 4x2
s.t. 0.1x1 + 0x2 ≥ 0.4 0x1 + 0.1x2 ≥ 0.6 0.1x1 + 0.2x2 ≥ 2 0.2x1 + 0.1x2 ≥ 1.7
x1 ,x2 , ≥ 0
线性规划 Linear Programming（LP）
第一章
线性规划理论及应用
1
线性规划 Linear Programming（LP）
引 言
解决有限资源在有竞争的使用方向中如何进行最佳分配。 线性规划是运筹学的一个重要分支，也是运筹学中应用最广 泛的方法之一。自1947年旦茨基（G. B. Dantzig）提出了一 般线性规划问题求解的方法——单纯形法（simplex method）之后，线性规划已被广泛应用于解决经济管理和 工业生产中遇到的实际问题。调查表明，在世界500家最大 的企业中，有85%的企业都曾使用过线性规划解决经营管理 中遇到的复杂问题。线性规划的使用为应用者节约了数以亿 万计的资金。
4
线性规划 Linear Programming（LP）
通常建立LP模型有以下几个步骤：
1. 确定决策变量： 决策变量是模型要确定的未知变量，也是模型最重要 的参数，是决策者解决实际问题的控制变量。 2. 确定目标函数： 目标函数决定线性规划问题的优化方向，是模型的重 要组成部分。实际问题的目标可表示为决策变量的一个线性函数，并 根据实际问题的优化方向求其最大化（max）或最小化（min）。 3. 确定约束方程：一个正确的线性规划模型应能通过约束方程来描述和反 映一系列客观条件或环境的限制，这些限制通过一系列线性等式或不 等式方程组来描述。 4. 变量取值限制：一般情况下，决策变量取正值（非负值）。因此，模型 中应有变量的非负约束即Xj≥0，但也存在例外。
砖 人工 （块/M² ) （工日/M² )
砖混住宅 壁板住宅
105 135
12 30
110 190
210 ----
4.5 3.0
大模住宅
资源限量
120
11000 （千元）
25
20000 （吨）
180
150000 （吨）
----
3.5
147000 4000 （千块） (千工日）
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅 的总面积为最大，求建造方案。
x1 ,x2 ,x3 ≥ 0
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上 述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
12
练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取 A、B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、 N两种。有关数据如下：试决定买M与N二种饲料各 多少公斤而使支出的总费用为最少？
售价 （元/公斤） M N 10 4 每公斤含营养成分 A 0.1 0 B 0 0.1 C 0.1 0.2 D 0.2 0.1
11
解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为 x1,x2, x3, 为总面积,则本问题的数学模型为: Max z = x1 + x2 + x3
s.t.
0.105x1 + 0.135x2 + 0.120x3 ≤ 110000
0.012x1 + 0.030x2 + 0.025x3 ≤ 20000 0.110x1 + 0.190x2 + 0.180x3 ≤ 150000 0.210x1 ≤ 147000 0.0045x1 + 0. 003x2 + 0.0035x3 ≤ 4000
2
线性规划 Linear Programming（LP）
本章中我们将讨论什么是线性规划问题，线性 规划问题的数学表示，基本理论、概念和求解 方法。 线性规划问题是什么样的一类问题呢？
3
线性来自百度文库划 Linear Programming（LP）
1.线性规划模型 —— Linear Programming Model 或 Linear Optimization Model 用线性规划方法解决实际问题的第一步是 建立能够完整描述和反映实际问题的线性规划 模型。
14
2. 线性规划的数学模型
线性规划模型的一般形式：以MAX型、≤约束 为例 决策变量: x1 , … , xn 目标函数：Max z= c1x1 + 约束条件：
s.t. a11x1 +
… am1x1 +
… …
…
+ c n xn
+ a1n xn ≤ b1
+ amn xn ≤ bm
15
x1 , … , xn ≥ 0
5
线性规划 Linear Programming（LP）
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下，试拟 订使总收入最大的生产计划方案。
资源单耗 产品
资源
甲
9 4 3 7
乙
4 5 10 12
资源限量
360 200 300
6
煤 电 油
单位产品价格
线性规划模型三要素： 1.决策变量：需决策的量，即待求的未知 数； 2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标， 用决策变量的表达式表示； 3.约束条件：为实现优化目标需受到的限 制，用决策变量的等式或不等式表示。
模型一般式的矩阵形式
X=(x1 , … , xn)T, C=(c1 , … , cn), A=(aij) mxn , b=(b1 , … , bn)T
则模型可表示为 Max z=CX
7
在本例中
– 决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x1,x2； – 目标函数：总收入，记为z, 则z=7x1+12x2， 为体现对其追求极大化，在z的前面冠以极 大号Max； – 约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的 约束，和产量非负的约束，表示为
8
s.t.
9x1 + 4x2 ≤ 360 4x1 +5x2 ≤ 200 3x1 +10x2 ≤300 x1 ，x2
0
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线性规划模型的一个基本特点： 目标和约束均为变量的线性表达式 如果模型中出现如
x12+2lnx2-1/x3
的非线性表达式，则不属于线性规划。
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例2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以 大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：
资源
住宅体系
造价 （元/M² )
钢材 水泥 （公斤/M² ) （公斤/M² )
牲畜每日每头需要量
0.4
0.6
2.0
1.7
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解：设购买M、N饲料各为x1,x2 ，则
Min z = 10x1 + 4x2
s.t. 0.1x1 + 0x2 ≥ 0.4 0x1 + 0.1x2 ≥ 0.6 0.1x1 + 0.2x2 ≥ 2 0.2x1 + 0.1x2 ≥ 1.7
x1 ,x2 , ≥ 0
线性规划 Linear Programming（LP）
第一章
线性规划理论及应用
1
线性规划 Linear Programming（LP）
引 言
解决有限资源在有竞争的使用方向中如何进行最佳分配。 线性规划是运筹学的一个重要分支，也是运筹学中应用最广 泛的方法之一。自1947年旦茨基（G. B. Dantzig）提出了一 般线性规划问题求解的方法——单纯形法（simplex method）之后，线性规划已被广泛应用于解决经济管理和 工业生产中遇到的实际问题。调查表明，在世界500家最大 的企业中，有85%的企业都曾使用过线性规划解决经营管理 中遇到的复杂问题。线性规划的使用为应用者节约了数以亿 万计的资金。
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线性规划 Linear Programming（LP）
通常建立LP模型有以下几个步骤：
1. 确定决策变量： 决策变量是模型要确定的未知变量，也是模型最重要 的参数，是决策者解决实际问题的控制变量。 2. 确定目标函数： 目标函数决定线性规划问题的优化方向，是模型的重 要组成部分。实际问题的目标可表示为决策变量的一个线性函数，并 根据实际问题的优化方向求其最大化（max）或最小化（min）。 3. 确定约束方程：一个正确的线性规划模型应能通过约束方程来描述和反 映一系列客观条件或环境的限制，这些限制通过一系列线性等式或不 等式方程组来描述。 4. 变量取值限制：一般情况下，决策变量取正值（非负值）。因此，模型 中应有变量的非负约束即Xj≥0，但也存在例外。
砖 人工 （块/M² ) （工日/M² )
砖混住宅 壁板住宅
105 135
12 30
110 190
210 ----
4.5 3.0
大模住宅
资源限量
120
11000 （千元）
25
20000 （吨）
180
150000 （吨）
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3.5
147000 4000 （千块） (千工日）
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅 的总面积为最大，求建造方案。
x1 ,x2 ,x3 ≥ 0
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上 述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
12
练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取 A、B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、 N两种。有关数据如下：试决定买M与N二种饲料各 多少公斤而使支出的总费用为最少？
售价 （元/公斤） M N 10 4 每公斤含营养成分 A 0.1 0 B 0 0.1 C 0.1 0.2 D 0.2 0.1
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解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为 x1,x2, x3, 为总面积,则本问题的数学模型为: Max z = x1 + x2 + x3
s.t.
0.105x1 + 0.135x2 + 0.120x3 ≤ 110000
0.012x1 + 0.030x2 + 0.025x3 ≤ 20000 0.110x1 + 0.190x2 + 0.180x3 ≤ 150000 0.210x1 ≤ 147000 0.0045x1 + 0. 003x2 + 0.0035x3 ≤ 4000
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线性规划 Linear Programming（LP）
本章中我们将讨论什么是线性规划问题，线性 规划问题的数学表示，基本理论、概念和求解 方法。 线性规划问题是什么样的一类问题呢？
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线性来自百度文库划 Linear Programming（LP）
1.线性规划模型 —— Linear Programming Model 或 Linear Optimization Model 用线性规划方法解决实际问题的第一步是 建立能够完整描述和反映实际问题的线性规划 模型。
14
2. 线性规划的数学模型
线性规划模型的一般形式：以MAX型、≤约束 为例 决策变量: x1 , … , xn 目标函数：Max z= c1x1 + 约束条件：
s.t. a11x1 +
… am1x1 +
… …
…
+ c n xn
+ a1n xn ≤ b1
+ amn xn ≤ bm
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x1 , … , xn ≥ 0
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线性规划 Linear Programming（LP）
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下，试拟 订使总收入最大的生产计划方案。
资源单耗 产品
资源
甲
9 4 3 7
乙
4 5 10 12
资源限量
360 200 300
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煤 电 油
单位产品价格
线性规划模型三要素： 1.决策变量：需决策的量，即待求的未知 数； 2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标， 用决策变量的表达式表示； 3.约束条件：为实现优化目标需受到的限 制，用决策变量的等式或不等式表示。
模型一般式的矩阵形式
X=(x1 , … , xn)T, C=(c1 , … , cn), A=(aij) mxn , b=(b1 , … , bn)T
则模型可表示为 Max z=CX
7
在本例中
– 决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x1,x2； – 目标函数：总收入，记为z, 则z=7x1+12x2， 为体现对其追求极大化，在z的前面冠以极 大号Max； – 约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的 约束，和产量非负的约束，表示为
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s.t.
9x1 + 4x2 ≤ 360 4x1 +5x2 ≤ 200 3x1 +10x2 ≤300 x1 ，x2