测量不确定度评定中如何建立数学模型

测量不确定度评定中如何建立数学模型

中国计量科学研究院研究员倪育才

在测量不确定度评定中，建立数学模型也称为测量模型化，目的是要建立满足测量不确定度评定所要求的，数学模型，即建立被测量y和所有各影响量间的函数关系，其一般形式可写为Y=f(X1,X2,…..Xn)，可以说，建立数学模型是进行测量不确定度评定关键的第一步，也是许多初学者在进行测量不确定度评定时遇到的第一个困难。

《测量不确定度表示指南}(GUM)在摘要介绍测量不确定度评定步骤时，首先就提到耍建立数学模型。并说：“The function f should contain evey quantity,including all corrections and correction factors,that can contribute a significant component of uncertainty to the result of meassurement．”。其意是数学模型f中应包含所有对测量结果的不确定度有影响的修正值和修正因子。也就是说．数学模型中应包含所有应该考虑的影响量，而每一个影响量将对测量结果贡献一个值得考虑的不确定度分量。因此一个好的数学模型其中所包含的影响量和此后不确定度评定中所考虑的每一个不确定度分量应该是一一对应的：这样建立起来的数学模型．既能用来计算测量结果，叉能用来全面地评定测量结果的不确定度。

要找出每一个影响量与被测量之间的函数关系．往往是很同难的，有时简直不可能得到两者关系的解折表达式。于是许多初学者往往将测量中用来获得被测量的计算公式作为数学模型而列出。例如在各种测量中．最经常采用的方法之一是比较测量。将被测量值y和参考标准所提供的标准量值相比较，通过测量两者之差△可以计算出被测量y。于是在已经发表的各种测量不确定度评定的文蕈中．经常见到将y = x十△作为数学模型的情况。但在进行不确定度评定时，则又往往脱离数学模型而重新考虑各个不确定度分量这样的数学模型对测量不确定度评定实际上毫无帮助。

在某些特殊情况下(例如某些检测项目)将计算公式作为数学模型可能是允许的．但一般说来不要把数学模型简单地理解为就是计算测量结果的公式．也不要理解为就是测量的基本原理公式。两者之间经常是有区别的。

从原则上说．似乎所有对测量结果有影响的输入量都应该在计算公式中出现，但实际情况却不然。有些输入量虽然对测量结果有影响．但由于信息量的缺乏．在具体测量时无法定量地计算它们对测量结果的影响。也有些输入量由于对测量结果的影响很小而被忽略，故在测量结果的计算公式中也不出现．但它们对测量结果的不确定度的影响却可能是必须考虑的。因此如果仅从计算公式出发来进行不确定度评定．则上述这些不确定度分量就可能被遗漏。当然．在某些特殊情况下如果所有其他不确定度贡献因素的影响都可以忽略不计时．数学模型也可能与计算公式相同。

对于不同的被测量和不同的测量方法．数学模型的具体形式可能差别很大．但实际上都可以用一种比较系统的方式来给出数学模型．或者说可以给出数学模型的通式。

根据测量误差的定义：误差=测量结果-真值。同时误差又可以分为随机误差和系统误差两类．且三者之间的关系为：误差=系统误差+随机误差。于是可以得到：真值=测量结果-误差=测量结果-系统误差-随机误差

由于修正值等于负的误差，于是上面的关系式就成为：

真值=测量结果-系统误差-随机误差= 测量结果+系统误差的修正值+随机误差的修正值实际上，真值就是想得到的被测量的测量结果．于是上式可写成被测量=测量结果+系统误差的修正值+随机误差的修正值

例1：对于常见的量块比较测量，若l s为标准量块的长度，△l为测得的两量块的长度差，于是被测量块长度l x的计算公式为：l x= l s +△l

由于测量时量块的温度通常会偏离标准参考温度20℃，考虑到温度和线膨胀系数对测量

结果的影响．计算公式成为：

l x= l s +△l+ l sδαθx+ l sαsδθ

式中α和θ分别表示线膨胀系数和对标准参考温度

20℃的偏差；脚标“s”、“x”分别表示标准量块和被测量

块；以及δθ= θs -θx和δα=αs -αx。

考虑到量块测量点可能偏离量块测量面中心点对测量结果的影响．数学模型成为：

l x= l s +△l+ l sδαθx+ l sαsδθ+δl

将此数学模型和上面给出的通式相比较就可以发现,等式右边的第一、二项 l s +△l即是由测量得到的未修正的测量结果。等式右边的第三、四项l sδαθx+ l sαsδθ是对由温度偏差所引入的系统误差的修正值，在本例中这两项的数值十分小而可以忽略，但它们对测量结果不确定度的影响是必须考虑的。等式右边的最后一项δl，是表示由于测量点可能偏离量块中心对测量结果的影响。测量点的偏离对测量结果引入随机误差，因此最后一项实际上是对该随机误差的修正值。由下图可见两者之间的对应关系。

被测量=测量结果 + 系统误差的修正值 + 随机误差的修正值

l x = l s +△l + l sδαθx+ l sαsδθ + δl

例2：砝码校准．将被测砝码的质量与具有相同标称值的标准砝码相比较。若被校准砝码和标准砝码的折算质量分别为m x和m s，测得两者的质量差为△m，于是被校z 准砝码折算质量m x的计算公式为：

m x =m s +△m

考虑到标准砝码的质量自最近一次校准以来可能产生的漂移△m ，质量比较仪的偏心度和磁效应的影响△m c，以及空气浮力对测量结果的影δB后，其数学模型成为：m x =m s +△m+δm d+δm c+δB

模型中等式右边的第一、二项为未修正的测量结果。该测量不存在值得考虑的系统误差，也就是说，在数学模型中不存在对系统误差的修正值。等式右边的第三、四、五项为对三项随机误差分量的修正量。与数学模型通式之间的对应关系为：

被测量 = 测量结果 + 系统误差的修正值 + 随机误差的修正值

m x = m s+△m + 0 + δm d+δm c+δB

在建立数学模型时．未修正的测量结果和系统误差的修正值通常都能比较容易地得到解析形式的数学表达式。惟有随机误差的修正值无法得到其解析形式的表达式。因此只能在数学模型中简单地加上一项，表示对随机误差的修正值。根据随机误差的定义，无限多次测量结果的随机误差的平均值等于零，因此这些项的数学期望为零。也就是说，增加这些修正值后不会对被测量的数值有影响。需要知道的是这些修正值的可能取值范围，通常可以由测量者的经验或辅助的实验测量得到。再由假定的概率分布．可以通过B类评定估算出它们的标准不确定度。

有些测量，其计算公式中可能仅包含各影响量的积和商．即被测量可以用下述函数形式表示：

y=f(x1，X2，⋯Xn )=cx1p1cx2p2⋯cx n pn

式中的系数C并非灵敏系数，而是比例常数，且指数p i可以为正数或负数。在这种情况下，需要增加的不是修正值，而是相乘的修正因子。此时，数学模型的通式可以表示为：被测量等于未修正测量结果的计算公式乘以由于系统误差引入的修正因子(它们的数学期望值不等于1)，再乘以由于随机误差引入的修正因子(它们的数学期望值等于1)。

有些领域，例如化学分析领域，经常出现这种类型的数学模型。