7矩阵秩的性质
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矩阵秩是一个非常重要的概念,其相关的性质现归 纳如下
r ( A) r ( A )
T
同型矩阵A B r ( A) r (B)
r ( A ), k 0 r (kA) 0, k 0
r A O
O r ( A) r ( B) B
Biblioteka Baidu
若P, Q为可逆矩阵, 则 r ( PA) r ( AQ) r ( PAQ) r ( A).
r ( A) r 存在可逆矩阵P, Q，有 PAQ Er O
O O
r A C
O r ( A) r ( B ) B
max { r(A), r(B)} r(A ¦ B) r(A) + r(B), 特别当B = b 时, r(A) r(A ¦ b) r(A) + 1.
例 设 A (aij )mn , B (bij )nm , 且m n,求 | AB |
例 设A, B为n阶矩阵,且A2 AB E, 求r ( AB - BA 2 A)
例 设 A为n(n 1)阶方阵,求证:| A* || A |n1
对任意的n阶方阵A, 根据公式A A AA | A | E 可以得到伴随矩阵的几个结论
* *
n 2
A (n 2)
证明不 要求
r ( A B) r ( A) r ( B)
设 A (aij ) mp ,B (bij ) pn , 有 r ( A) r ( B) - p r ( AB) min(r ( A), r ( B))
1. AB=O 的情形 2. m=p=n 的情形
设A为n阶方阵, A*为A的伴随矩阵, 则 n, r ( A) n * r ( A ) 1, r ( A) n 1 0, r ( A) n 1
* *
1 * 若 A可逆,则A A | A|
1
1 若 A可逆 A 可逆, 且( A ) ( A ) A | A|
* * 1 1 *
(kA) k
*
n1
A (n 2)
*
*
(A ) (A )
T *
* *
证明不 要求
* T
设A, B同阶方阵, 则( AB) B A
( A ) | A |
r ( A) r ( A )
T
同型矩阵A B r ( A) r (B)
r ( A ), k 0 r (kA) 0, k 0
r A O
O r ( A) r ( B) B
Biblioteka Baidu
若P, Q为可逆矩阵, 则 r ( PA) r ( AQ) r ( PAQ) r ( A).
r ( A) r 存在可逆矩阵P, Q，有 PAQ Er O
O O
r A C
O r ( A) r ( B ) B
max { r(A), r(B)} r(A ¦ B) r(A) + r(B), 特别当B = b 时, r(A) r(A ¦ b) r(A) + 1.
例 设 A (aij )mn , B (bij )nm , 且m n,求 | AB |
例 设A, B为n阶矩阵,且A2 AB E, 求r ( AB - BA 2 A)
例 设 A为n(n 1)阶方阵,求证:| A* || A |n1
对任意的n阶方阵A, 根据公式A A AA | A | E 可以得到伴随矩阵的几个结论
* *
n 2
A (n 2)
证明不 要求
r ( A B) r ( A) r ( B)
设 A (aij ) mp ,B (bij ) pn , 有 r ( A) r ( B) - p r ( AB) min(r ( A), r ( B))
1. AB=O 的情形 2. m=p=n 的情形
设A为n阶方阵, A*为A的伴随矩阵, 则 n, r ( A) n * r ( A ) 1, r ( A) n 1 0, r ( A) n 1
* *
1 * 若 A可逆,则A A | A|
1
1 若 A可逆 A 可逆, 且( A ) ( A ) A | A|
* * 1 1 *
(kA) k
*
n1
A (n 2)
*
*
(A ) (A )
T *
* *
证明不 要求
* T
设A, B同阶方阵, 则( AB) B A
( A ) | A |