CH02抛物方程差分法CH21-24,25-28资料

h2 2!
2u ( x2
)
n m
h3 3!
3u ( x3
)
n m
I
h 1!
Dx
h2 2!
Dx2
umn
exp( hDx )umn I为恒等算子
由
un m1
Txumn
得
Tx exp( hDx )
(2.12)
或者 同理有
hDx ln Tx
Tx1 exp( hDx )
hDx ln Tx1
(2.13)
第2章抛物型方程的差分方法
2.1 差分格式建立的基础 2.2 显式差分格式 2.3 隐式差分格式 2.4 解三对角形方程的追赶法 2.5 差分格式的稳定性和收敛性 2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例 2.7 二维抛物型方程的差分格式
2.8 交替方向的隐式差分格式( ADI 格式)
本章，我们研究线性抛物型方程的差分解法， 主要讨论差分方程的构造方法和有关的理论问题 以及研究方法等，重点在于一维线性抛物型方程 的差分方法，对于非线性以及多维抛物型方程的 差分解法也进行了研究。
众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为
(x,t) u (a(x,t) u ) b(x,t) u c(x,t)u
t x
x
x
(2.1)
其中, (x,t),a(x,t) 0,c(x,t) 0,(x,t), 为xt平面上某 一区域。
通常考虑的定解问题有：
(1) 初值问题(或称Cauchy问题)
前差算子: x ,
xumn
un m 1
umn
后差算子: x , xumn umn umn 1
中心差算子: x
,
xumn
un m 1
un m
1
2
2
(2.9) (2. 10) (2.11)
建立差分算子和导数算子之间的关系，由 Talyor 展开，有
un m1
umn
h 1!
(
u x
)nm
x
1 2
2 x
1 3
3x
umn
(2.18.2)
x
x
1 6
( x
x
)3
3 40
( x
x
)5
umn
(2.18.3)
返回
又由
h2Dx2 ln(I x )2
h2Dx2 ln(I x )2
h 2 Dx2
2ar
s
inh(
1 2
x
)
2
可得二阶偏导数的差分表达式
h
2
(
2u x 2
)
n m
2x
在区域
(x,t) | x ,0 上t 求 T函 数，
使满足
初值条件
方程(2.1)
(x,t)
u(x,0)
(
x)
x
(x) 为给定的初始函数。 (2) 初边值问题(或称混合问题)
(2.2)
在区域上 (x,t) | 0 x 1,0 t T求函数u(x,t)
，使满足
方程(2.1)
因为 x Tx I , Tx x I
故 同理 因为
hDx
ln( I
x
)
x
1 2
2x
1 3
3x
hDx
ln(I
x)
x
1 2
2x
1 3
3x
1
1
x Tx2 Tx 2
(2.14) (2.15)
x
x
exp(
1 2
hDx
1
)
exp(
2sinh(2 hDx )
1 2
hDx
)
双曲正弦
(2.16) 46
在 t 0, x 0, x 1上的结点称为边界结点，属于
内的结点称为内部结点。
差分方程就是在网格点上求出微分方程解 的近似值的一种方法，因此又称为网格法。
构造逼近微分方程的差分方程的方法。
研究导数的差商近似表达式。对二元函数 u u(x,t)
定义
，umn且 u假(xm定, tn )
具u有我u(x们,t)需要的
则
hDx
2ar
sinh(
1 2
x
)
x
1 223!
3 x
32 24 5!
5 x
(2.17)
32
式(2.14)，(2.15)，(2.17)分别给出了偏导数算
子关于前差、后差、中心差的级数表达式
利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式
x
1 2
2x
1 3
3x
umn
(2.18.1)
h(
u x
)nm
(
u x
)
n m
u(xm1, tn ) u(xm , tn ) h
un m1
umn
h
(
u x
)nm
u(xm , tn ) u(xm1, tn ) h
umn
un m1
h
向前差商 向后差商
(2.5) (2.6)
(
u x
)nm
u(xm1, tn ) u(xm1, tn ) 2h
un m1
un m1
2h
Dx
x
为
x
方向偏导数算子
Tx 为x 方向位移算子，Txumn umn 1,Tx1umn umn 1
1
, Tx2umn
un m
1
2
Tx
1 2
umn
un m
1
2
为x 方向平均算子， x
xumn
1 2
(u n m
1
2
un m
1
)
2
x 方向的差分算子:
其中: un m
1
2
u(xm
h 2 ,tn)
tn nk xm mh
n
0,1,2,,
N;
N
T k
m 0,1,2,
在 t 上0 的结点称为边界结点,属于 内的结点
称为内部结点。
对于初边值问题，设 (x,t) | 0 x 1,0 t T
，则网格是
tn nk xm mh
n
0,1,2,,
N;
N
T k
m 0,1,2,, M ; Mh 1
边值条件
(x,t)
u ( x,0)
(x)
0 x 1 (2.3)
u(0,t) 1(t),u(1,t) 2 (t) 0 t T (2.4)
2.1 差分格式建立的基础 为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近,首先将 求解区域 用二组平行 轴和 轴t 的直x线构成的网 格覆盖，网格边长在方向 为 t ，在t k方向为x (如图2.1x所示h )。 分别称为空h,k间方向和时间方向 的步长，网格线的交点称为网格的结点。对初值 问题来说，网格是
有界偏导数。
由Taylor展开，有
u(xm1, tn
)
u ( xm
,tn
)
h 1!
( u x
)nm
h2 2!
( 2u x 2
)
n m
h3 3!
( 3u x3
)
n m
u(xm1, tn
)
u(xm , tn
)
h 1!
( u x
)nm
h2 2!
(
2u x2
)nm
h3 3!
(
3u x3
)
n m
则u在(xm,tn )处对x 的一阶偏导数有三个可能的近似:
中心差商 (2.7)
显然，用差商近似导数存在误差，令
则
截断误差, 阶为O(h)
Emn
(
u x
)nm
un m1
umn
h
Emn
h 2
2u ( x2 ) x ,tn
xm x xm1
(2.8)
用向后差商近似导数的截断误差阶也为O(h)
而中心差商近似导数的截断误差阶为O(h 2 )
关于导数的近似差商表达式，也可以通过线 性算子作为百度文库导工具得到，定义：