北师大版初二数学下册一师一优课《反证法》教学设计

《反证法》教学设计

学情分析：综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。反证法是间接证明的一种基本方法，但

反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本

节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，

建立应用反证法的感觉。

教学目的：

1知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。

2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生经历问题

解决的过程，体验解决问题策略的多样性。

3、情感态度：让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学

习数学的兴趣。

重点难点：反证法证明命题的过程

教学方法：互动式教学

教学过程：

（一）情景激疑理解领会：

音频播放：相传在古代有一个贤臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他过去对国有功，采用了一个由命运来最后裁定的办法，用两张纸片，一张上写活字，一张上写死字，处决前由它来抽，抽到活字可赦免，而奸臣阴险歹毒，命人用两张纸片上都写上死字，凑巧这个诡计被贤臣的朋友知道了，悲痛地告诉了他，并表示要和他一起揭露奸臣的阴谋，这个贤臣想了想，高兴地说：“我有救了！” 提问：请你们猜猜他的办法是什么？

音频播放：他叫这个朋友不要声张，处决前抽纸片时，只见他抽出一张纸片谁也不让看就吞了下去，监斩官只好看剩下的纸片是什么字了。剩下的字无疑是个“死”字，于是这个贤

臣就被赦免了。

提问：贤臣为什么能死里逃生？

预设：贤臣反面考虑问题，“死”字的反面是“生”字。

导入课题：这就是反面思考问题的威力，能在最后危机时刻挽救一个生命，这也是这位贤臣的智慧，智慧的力量是庞大的，在当地社会，人需要智慧，国家需要智慧，个人的成功和国家的强大都离不开智慧的支撑，这节课我们就来学习这种

反面解决问题的智慧，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题）设计意图：从小故事入手，不仅能激发学生的兴趣，也能更好的说明反证法的推理思想。

（二）合作探究体验发现一一认识反证法

问题1:请同学们尝试证明命题

①一个三角形中不可能有两个直角。

②已知：在△ ABC中, A盼AC,

求证：/ B工/ C ”。

2 2 2

③在△ ABC中, AB=c BC=a AC=b,Z C M90° ”，请问结论a +b 成立吗？请说明理

由。

（课件演示，学生分组讨论交流）

问题2：证明一个命题的方法可以正面直接证明，还可以如何证明？

小结：没有从正去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，

这样的证明方法叫做反证法。反证法定义：假设命题结论的反面成立，从这个假设出

发，经过推理得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结

果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。

问题3：:通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，小组讨论总

结应用反证法的步骤。

小结：证明步骤：

①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

②找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。

③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

设计意图：让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉

反证法的步骤。

问题3：这些步骤中，你认为哪个步骤最重要？

小结：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，证明就没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。其次是第二步，要从假设

出发找出矛盾。

下面我们一起来练习：写出下列各结论的反面：

(1)a//b

(2)a> 0

(3)b是正数

(4)至多有一个

(5)至少有一个

设计意图：让学生在体验、探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。

(三)反思提炼加深认识

1典例分析

例1:已知：如图，在△ ABC中若/ C是直角,

求证：/ B 一定是锐角.

教学活动：学生讨论完成。

设计意图：学生直接证明可能存在困难，但以填空形式出示学生能较好的理解

并完成证明过程。

例2:求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60 °。

教学活动：学生独立思考，在练习本上完成。

例3:若al 、a2、a3、a4、a5都是实数，且a1+a2+a3+a4+a & 1试说明这

五个数中至少有一个大于或等于 1/5。

教学活动：让学生分组讨论，合作完成第三个命题证明，熟练反证法的证明过程。

设计意图：对不同的形式的命题做反设，进一步熟练反证法证。

2、应用反证法的情形：

提问：完成了这么多反证法的练习，请同学们总结，哪些命题会用反证法？ 的情形？

应用反证法的情形：

① 直接证明困难；

② 需分成很多类进行讨论.

③ 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -类命题；

④ 结论为“唯一”类，存在性命题；存在无穷多个质数

⑤ 否定类命题：

设计意图：对不同的形式的命题做反设，为证明中的反设步骤铺垫，突破第一个

难点，突出归谬矛盾的不同种类＜

3、常用护互为否定的表述形式

教学活动：学生口答完成

至

设计意图：反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的。

（四）举一反三学以致用

诸葛亮与反证法。

视频播放：三国时代，诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，诸葛亮冷静思考之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。司马懿来到城前，见此情景，心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。今天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不中计也！”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。

展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这个问题？诸葛亮

是如何考虑的？

点评：诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或根本无法解决的问题，诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的。这就是家喻户晓的“空城计”。

教学活动：两位学生讲述三国中应用反证法的故事《草船借箭》、《曹操败走好华容道》。

设计意图：学生生动幽默地将讲述诸葛亮应用反证法的故事，课堂反应热烈。

（五）矢志不渝一一情系反证法

导入：我们在感受反证法的快捷、方便的同时，不能忘记那些利用反证法作出突出贡献的科学家，让我们一起来认识矢志不渝一一情系反证法的俄国科学家罗巴切夫斯基。

老师讲解：非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立

带来了近百年来数学的巨大进步，对现代物理学、天文学都产生了深远的影响。但是，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基在1815年提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承