二次函数讲义

二次函数讲义

§2.1 二次函数所描述的关系

知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函

数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0

典型例题：例1、 函数y=（m ＋2）x 2

2-m

＋2x －1是二次函数，则m= ．

例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2

；④y=21

x

＋x ．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．

例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．

训练题:1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一

次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y=（m －2）x

2

2-m 是二次函数．

3．已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．

4．在物理学内容中，如果某一物体质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度v 之间的关系是E=2

1

mv 2（m 为

定值）．

（1）若物体质量为1，填表表示物体在v 取下列值时，E 的取值：

v 1 2 3 4 5 6 7 8 E

（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E 扩大为原来的多少倍？

5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2

为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象

限

6．下列不是二次函数的是（ ）

A ．y=3x 2

＋4 B ．y=－3

1

x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）

A ．m 、n 为常数，且m ≠0

B ．m 、n 为常数，且m ≠n

C ．m 、n 为常数，且n ≠0

D ．m 、n 可以为任何常数

8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．

9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．

10．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．

（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ； （2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．

§2.2 结识抛物线

知识点归纳：

1、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线。

规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）。观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。

学习过程：

一、作二次函数y=x 2

的图象。

二、议一议：

1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x 轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？

3.当x<0时，y 随着x 的增大，y 的值如何变化？当x>0时呢？

4.当x 取什么值时，y 的值最小？

5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、y=x 2

的图象的性质：

典型例题：

例1、求出函数y=x ＋2与函数y=x 2的图象的交点坐标．

例2、在同一直角坐标系中画出y=3x 2、 y=- 3x 2 的图像

例3、已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3

训练题：

1．函数y=x 2的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 ． 2．若点A （3，m ）是抛物线y=－x 2上一点，则m= ．

3．函数y=x 2与y=－x 2的图象关于 对称，也可以认为y=－x 2，是函数y=x 2的图象绕 旋转得到．

4．若二次函数y=ax 2（a ≠0），图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ．

5．点A （2

1

，b ）是抛物线y=x 2上的一点，则b= ；点A 关于y 轴的对称点B 是 ，它在函数

上；点A 关于原点的对称点C 是 ，它在函数 上．

6．若a ＞1，点（－a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，判断y 1、y 2、y 3的大小关系？