中考数学动态几何问题课件 (共37张PPT)
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中考数学专题6《几何动态问题》ppt冲刺复习课件
2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点 为M，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C. （1）求点A，B，C的坐标； （2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛 物线的表达式； （3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴 交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B， C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点 为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的 平行四边形的面积.
（1）抛物线下特殊四边形的存在性问题； （2）抛物线下四边形的最值问题； （3）抛物线下特殊四边形的运动变化； （4）抛物线下特殊四边形的其他问题等.
真题回顾
例 （2011•广东）如图-1，抛物线y=5/4x2+174x+1与y轴交于点A，过点A的直线 与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴， 垂足为点C（3，0）. （1）求直线AB的表达式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一 个单位的速度向点C移动，过点P作PN⊥x轴， 交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动 的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t 的函数表达式，并写出t的取值范围；
满分解答
变式训练
1.（2015•吉林）两个三角板ABC，DEF按图-5所示的位置 摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假 设图形中所有的点、线都在同一平面内）.其中， ∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6.现固定三 角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边 EF上时，停止运动.设三角板平移的距离为x，两个三角 板重叠部分的面积为y. （1）当点C落在边EF上时，x= ； （2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范 围； （3）设BC的中点为M，DF的中点为N，直接写出在三角板 平移过程中，点M与点N之间距离的最小值.
中考数学总复习 第八章 综合与探究 第42课 动态型问题课件
Rt△AON 中运用三角函数可求出 ON＝AO·tan∠OAN＝1× 33＝ 33；当 m＝23 时，连结 PM，如解图③，点 M 从点 A 绕着点 P 逆时针旋转了一周的23，从
而可得到旋转角为 240°，则∠APM＝120°，同理可求出 ON 的长为 33，故
点
N
相应移动的路径长为
33＋
33＝2
(1)当 m＝41时，n＝________．
(例 1 题图)
(2)随着点 M 的转动，当 m 从31变化到23时，点 N 相应移动的路径长为
________．
解析 (1)当 m＝14时，连结 PM，如解图①，点 M 从 点 A 绕着点 P 逆时针旋转了一周的14，从而可得到旋转 角∠APM 为 90°，根据 PA＝PM 可得∠PAM＝∠PMA ＝45°，则有 NO＝AO＝1，即可得到 n＝－1.
3
3 .
(例 1 题图解②)
答案
(1)－1
23 (2) 3
(例 1 题图解③)
变式训练 1 (2015·黔南州)如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出
发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止．设点 R 运动的路程为 x，△
MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，那么当 x＝9 时，点
பைடு நூலகம்
题型精析
题型一 点的运动型问题
【例 1】 (2015·嘉兴)如图，在直角坐标系 xOy 中，已知
点 A(0，1)，点 P 在线段 OA 上，以 AP 为半径的⊙P 周长为
1.点 M 从点 A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x
轴于点 N(n，0)，设点 M 转过的路程为 m(0<m< 1)．
2020届九年级中考北师大版数学(成都)复习课件：第2篇 专题5几何图形的动态问题 (共37张PPT
第 18 页
(3)∵△OPQ 为等腰三角形， ∴可分三种情况讨论： ①当 QP＝QO 时，易得△AOQ≌△APQ， ∴∠OAQ＝∠QAP＝30°， ∴OQ＝OA·tan 30°＝233， ∴Q2 3 3，0；
第 19 页
②当 OP＝OQ 时，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，如图 4.
设 PM＝m，则 OM＝ 3m，OP＝OQ＝2m.
①线段 DB 和 DG 的数量关系是________； ②写出线段 BE、BF 和 DB 之间的数量关系．
第3页
(2)当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上 的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与 射线BC交于点F和点G.
第 13 页
分析：(1)过点
A
作
AH⊥OP
交
AP
于点
H，则
AP≥AH.由点
P
在
y＝
3 3x
的图
象上知∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°，则由三角函数得出 AH 的值即为 AP 的最小值；
(2)分点 P 在第三象限、点 P 在第一象限的线段 OH 上、点 P 在第一象限的线段
OH 的延长线上三种情况，用四点共圆求解；
∠MCB′＝∠MB′C＝∠ABC．∵tan∠PCB＝tan A＝ 23，∴PB＝ 23BC＝32.∵tan
∠BCQ＝tan∠ABC＝ 23，∴BQ＝BC× 23＝2，∴PQ＝PB＋BQ＝72.
第 27 页
(3)存在．∵S 四边形 PA′B′Q＝S△PCQ－S△A′CB′＝S△PCQ－ 3，
∴S
四边形 PA′B′Q 最小，即
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类型三 动点问题 (2019·四川攀枝花中考)在平面直角坐标系 xOy 中， 3
(3)∵△OPQ 为等腰三角形， ∴可分三种情况讨论： ①当 QP＝QO 时，易得△AOQ≌△APQ， ∴∠OAQ＝∠QAP＝30°， ∴OQ＝OA·tan 30°＝233， ∴Q2 3 3，0；
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②当 OP＝OQ 时，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，如图 4.
设 PM＝m，则 OM＝ 3m，OP＝OQ＝2m.
①线段 DB 和 DG 的数量关系是________； ②写出线段 BE、BF 和 DB 之间的数量关系．
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(2)当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上 的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与 射线BC交于点F和点G.
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分析：(1)过点
A
作
AH⊥OP
交
AP
于点
H，则
AP≥AH.由点
P
在
y＝
3 3x
的图
象上知∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°，则由三角函数得出 AH 的值即为 AP 的最小值；
(2)分点 P 在第三象限、点 P 在第一象限的线段 OH 上、点 P 在第一象限的线段
OH 的延长线上三种情况，用四点共圆求解；
∠MCB′＝∠MB′C＝∠ABC．∵tan∠PCB＝tan A＝ 23，∴PB＝ 23BC＝32.∵tan
∠BCQ＝tan∠ABC＝ 23，∴BQ＝BC× 23＝2，∴PQ＝PB＋BQ＝72.
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(3)存在．∵S 四边形 PA′B′Q＝S△PCQ－S△A′CB′＝S△PCQ－ 3，
∴S
四边形 PA′B′Q 最小，即
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类型三 动点问题 (2019·四川攀枝花中考)在平面直角坐标系 xOy 中， 3
2020年中考数学复习 初中数学动态几何问题 (29张PPT)
ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止 运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为 t.
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
[解析] (3)根据等腰三角形的腰的情况 进行分类讨论，从而求出t的值．
初中数学动态几何问题
动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，蕴涵一些运动变化的 几何元素，主要研究几何图形在运动中所遵循的规律，如图形的形状、 位置、数量关系等．
就运动对象而言，有点动(点在线段或弧线上运动)、线动(直线或线 段的平移、旋转)和面动(部分图形的平移、旋转、翻折)等，而且在运动 过程中大多是动中有静，动静结合．
(3)根据题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.
i)当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6；
ii)当MD＝DN时，AD＝DC，
1 过D作DH⊥AC交AC于H，则AH＝2AC＝3， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，
∵cosA＝AAHD＝AACB＝35，
例 2 已知：如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交 于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两 点，且 AB＝2.
(2)若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的 速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D， 同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运 动．当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连结
位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD 的中点，连结MN，设点D运动的时间为t.
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
[解析] (3)根据等腰三角形的腰的情况 进行分类讨论，从而求出t的值．
初中数学动态几何问题
动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，蕴涵一些运动变化的 几何元素，主要研究几何图形在运动中所遵循的规律，如图形的形状、 位置、数量关系等．
就运动对象而言，有点动(点在线段或弧线上运动)、线动(直线或线 段的平移、旋转)和面动(部分图形的平移、旋转、翻折)等，而且在运动 过程中大多是动中有静，动静结合．
(3)根据题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.
i)当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6；
ii)当MD＝DN时，AD＝DC，
1 过D作DH⊥AC交AC于H，则AH＝2AC＝3， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，
∵cosA＝AAHD＝AACB＝35，
例 2 已知：如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交 于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两 点，且 AB＝2.
(2)若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的 速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D， 同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运 动．当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连结
位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD 的中点，连结MN，设点D运动的时间为t.
中考数学专题复习 三角形动态问题 ——动点,动线,动图(25张PPT)
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴点P的运动时间
t
BP 3
4.5 3
1.5(秒)
此时
VQ
CQ t
பைடு நூலகம்
6 1.5
4(厘米/秒)
∴△BPD≌△CQP（SAS），
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多 走AB+AC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12， 解得x=24（秒） 此时P运动了24×3=72（厘米） 又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6， ∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第 一次在BC边上相遇．
解：（1）∵长方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°， ∵点E为AD的中点，AD=6cm， ∴AE=3cm， 又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3， ∴AE=BP， 在△AEP和△BQP中，
∴△AEP≌△BPQ( SAS)， ∴∠AEP=∠BPQ， 又∵∠AEP+∠APE=90°， 故可得出∠BPQ+∠APE=90°， 即∠EPQ=90°， 即EP⊥PQ．
5.如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若 点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC 上由点B向点C运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与 △BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设 △PEQ的面积为Scm2 ，请用t的代数式表示S；
（1）①∵t=1（秒）， ∴BP=CQ=3（厘米） ∵AB=12，D为AB中点， ∴BD=6（厘米） 又∵PC=BC-BP=9-3=6 （厘米） ∴PC=BD ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BPD与△CQP中，
湘教版中考数学复习课件专题八几何动态型问题
专题八┃ 几何动态型问题
【例题分层分析】 (1)E，D间的距离为________，即对应的时间t为________； (2)先求出t的取值范围，分为H在AB上时，求出此时BM的 长度，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长 度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公 式求出正方形的面积； (3)分三种情况讨论，分别是________时、________时和 ________时，分别求出EN的长度便可求出t的值.
专题八┃ 几何动态型问题
解
(1)当点G刚好落在线段AD上时，点N与点D重合．
在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，BC＝16 cm，
∴AB＝ BC·cos60°＝8 cm.
在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，AB＝8 cm，
∴BD＝ AB·cos60°＝4 cm，
∴ED＝BD－BE＝4－1＝3(cm)，∴t＝3.
专题八┃ 几何动态型问题
【解题方法点析】 本题中的动点问题，着重从等边三角形的性质、相似三角 形的性质与判定、直线与圆的位置关系、勾股定理、特殊三角 函数值等知识，采用临界值法求角的取值范围，将三角形与圆 的知识结合，形成综合性较强的一道大题.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
最新浙教版初中数学中考复习动态几何问题 (共46张PPT)教育课件
• 从点动的特殊情形入手，进行推理判断，再对一般情形做出猜想或判断， 并加以证明．
24
考向三：动线问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，BC＝2，点P是线段BC上一点，连结PA，将线段PA绕点P逆 时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连结EF.问：四边形PCFE的面积是否有最大 值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．
2
考向一：动点问题——单动点问题
• 【例】如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发(P点 与O点不重合)，沿O→C→D的路线运动，设AP＝x，sin∠APB＝y，那么y与x之间的关系图 象大致是( )
3
解析：
4
考向一：动点问题——单动点问题
• 【例】如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C从A点出发，在边AO上以 2 cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5 cm/s的速度向O点运 动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了多少秒时，以C点为圆心，1.5 cm为半径 的圆与直线EF相切？
心
安
；
书
一
笔
清
远
，
盈
一
抹
恬
淡
，
浮
华
三
千
，
只
做
自
己
；
人
间
有
情
，
心
中
有
爱
，
携
一
米
阳
光
，
微
笑
向
暖
。
口
罗
不
是
。
•
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考向三：动线问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，BC＝2，点P是线段BC上一点，连结PA，将线段PA绕点P逆 时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连结EF.问：四边形PCFE的面积是否有最大 值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．
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考向一：动点问题——单动点问题
• 【例】如图，⊙O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发(P点 与O点不重合)，沿O→C→D的路线运动，设AP＝x，sin∠APB＝y，那么y与x之间的关系图 象大致是( )
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解析：
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考向一：动点问题——单动点问题
• 【例】如图，△AOB中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C从A点出发，在边AO上以 2 cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5 cm/s的速度向O点运 动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了多少秒时，以C点为圆心，1.5 cm为半径 的圆与直线EF相切？
心
安
；
书
一
笔
清
远
，
盈
一
抹
恬
淡
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，
只
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自
己
；
人
间
有
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心
中
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光
，
微
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。
口
罗
不
是
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中考数学复习专题动态型问题PPT课件
(1)当t=1时，S有最大值，最大值为9；
(2)当t= 8 时，S有最大值，最大值为 6 4 ；
7
7
(3)0＜S＜4
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段 DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于 点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰
三角形？请直接写出t的值
如答图4所示，点M在线段 CD上，与Q相遇前时， MQ=CD-DM-CQ=7-（2t4）-（5t-5）=16-7t， MN=DM=2t-4， 由MN=MQ，得16-7t=2t-4， 解得t= 2 0
-4
k
b
0
解得：k=1，b=4，
∴y=x+4．
∴点A坐标为（-4，0），直线l的解析式为：y=x+4．
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系
式，并写出相应的t的取值范围；
（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程： 1 ①当0＜t≤1时，②当1＜t≤2时，③当2＜t＜
时6 ，
7
(1)S=-5t2+14t；
二、解题方法
（1）动中求静：找出运动过程中导致 图形本质发生变化的分界点，由分界 点确定区域（即分类思想），在界点 间找共性（即为静）。
（2）以静制动，在界点间选取代表， 得出静态图形，从而建立数学模型求 解，达到解决动态问题的目的。
考点一：建立动点问题的函数解析 式（或函数图像 ）
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的 变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题 反映的是一种函数思想,由于某一个点或某 图形的有条件地运动变化,引起未知量与已 知量间的一种变化关系,这种变化关系就是 动点问题中的函数关系
A．
B．
C．
D．
(新)中考数学几何动态综合专项探究详解课件PPT
∴∠AOP=∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠BOP=90°，
∴OA⊥OP；
（新）中考数学几何动态综合专项探究详解课件
当PQ向左移动时，如解图②，由题意得，
∠ABO＝∠OBC=45°，OQ⊥BD，
∴△BOQ为等腰直角三角形，
∴BO=OQ，∠PQO=45°，
∴∠ABO＝∠PQO，
在△ABO和△PQO中，
（新）中考数学几何动态综合专项探究详解课件
（2）在Rt△ACF中，AC=6，EF经过点C，则DE∥AC， ∴∠ACF=∠E=30°， ∵cos∠ACF= AC ，
∠ABO＝∠OBC=45°，OQ⊥BD， ∴△BOQ为等腰直角三角形，
例2题解图①
（新）中考数学几何动态综合专项探究详解课件
∴BO=OQ，∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠PQO，
在△ABO和△PQO中，
AB=PQ
∠ABO=∠PQO BO=OQ，
例2题解图①
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
例3题图
（新）中考数学几何动态综合专项探究详解课件
（1）如图②，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设 EF与BC交于点M，则∠EMC=______度；
【思维教练】要求∠EMC的度数，已知∠FDE=90°， AB=AC＝6,DF=4，DE=4 3 ,根据等腰直角三角形性质和 三角函数分别求得∠ACB 和∠E 的度数，观察图形 ∠E+∠EMC=∠ACB，∠EMC的度数即可求解;
值是2.
例2题解图②
（新）中考数学几何动态综合专项探究详解课件
类型三 形动型探究题
（新）中考数学几何动态综合专项探究详解课件
初三几何动点问题ppt课件
精选ppt课件
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一、教学模式
1、课堂教学模式（新授课） ①概念方法习题化（定义、法则、公式、定理、方法和思想等）不直接 叙述概念 ②习题设置题组化 ③题组设计层次化（由易到难从不同角度不同层次进行训练） ④题目处理变式化（不能就题论题采用一题多解或一题多变的形式深入 灵活地强化训练） ⑤问题解决自主化
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22
三、教学思路
整体设计：时间、内容、单元、知识、方法与技能等 分类设计：知识、方法与技能要体现基础性、针对性、
层次性、典型性、 综合性、发展性，因材施教。 分层设计：以人为本，在课程内容、巩固练习、基本技能、
目标评价、作业布置等方面有梯度。 整体提高：对学困生：不厌其差，不厌其烦，不厌其慢
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13
四、画龙点睛
5、需要掌握知识 （1）不等式，一元二次方程及其根的判别式 （2）反比例函数、一次函数和二次函数的图象 与性质 （3）三角形、四边形、梯形面积公式 （4）勾股定理及其逆定理 （5）等腰三角形、直角三角形、相似三角形、 （特殊）平行四边形、梯形的判定与性质、特殊 角三角函数
对优秀生：引导激励，自主学习，自我发展
精选ppt课件
23
四、教学设计
精选ppt课件
24
五、课堂教学
引入新课——温故知新 讲授新课——举一反三 巩固新知——趁热打铁 归纳小结——画龙点睛 布置作业——触类旁通
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六、例题教学
源于教材。就是要吃透教材，正确体会新教材编写意图，弄清配备 例题的功能，强化解题的规范性。
整合教材。就是要研究教材，研究不同版本教材，取长补短，择优选 用。
跳出教材。就是要更新教材，把每一个例题当成一个课题去研究，去 探究题目源头，寻找变化规律，拓宽解题思路，总结解题方法，提炼数 学思想。
2020届九年级中考北师大版数学(成都)复习课件：第2篇 专题5几何图形的动态问题 (共37张PPT
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写 出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝ 2，直接写出线段GM的长度．
第4页
图1
图2
图3
第5页
分析：(1)①由旋转可知，∠EDB＝∠FDG，∠BDG＝90°.又正方形 ABCD 中， ∠CBD＝45°，则∠G＝∠CBD＝45°，故 DB＝DG；
S△PCQ
最小．S△PCQ＝12PQ×BC＝
3 2
PQ.(方法一：几何法)取 PQ 的中点 G，则 CG＝12PQ.当 CG
最小时，PQ 最小，∴CG⊥PQ，即 CG 与 CB 重合时，CG 最小．∵CGmin＝ 3，PQmin ＝2 3，∴(S△PCQ)min＝3，∴(S 四边形 PA′B′Q)min＝3－ 3.(方法二：代数法)设 PB＝x，BQ ＝y.由射影定理，得 xy＝3.∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝x2＋6＋y2≥2xy＋6＝12，∴当 x
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解：(1)由旋转可得 AC＝A′C＝2.∵∠ACB＝90°，AB＝ 7，AC＝2，∴BC＝ 3. ∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A′BC＝90°，∴cos∠A′CB＝AB′CC＝ 23，∴∠A′CB ＝30°，∴∠ACA′＝60°.
(2)∵∠A′CB′＝90°，M 为 A′B′的中点，∴∠A′CM＝∠MA′C＝∠A，
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4．(2018·四川成都中考)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝ 7，AC＝2，过点 B 作直线 m∥AC，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△A′B′C(点 A、B 的对应点分 别为 A′、B′)，射线 CA′、CB′分别交直线 m 于点 P、Q.
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝ 2，直接写出线段GM的长度．
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图1
图2
图3
第5页
分析：(1)①由旋转可知，∠EDB＝∠FDG，∠BDG＝90°.又正方形 ABCD 中， ∠CBD＝45°，则∠G＝∠CBD＝45°，故 DB＝DG；
S△PCQ
最小．S△PCQ＝12PQ×BC＝
3 2
PQ.(方法一：几何法)取 PQ 的中点 G，则 CG＝12PQ.当 CG
最小时，PQ 最小，∴CG⊥PQ，即 CG 与 CB 重合时，CG 最小．∵CGmin＝ 3，PQmin ＝2 3，∴(S△PCQ)min＝3，∴(S 四边形 PA′B′Q)min＝3－ 3.(方法二：代数法)设 PB＝x，BQ ＝y.由射影定理，得 xy＝3.∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝x2＋6＋y2≥2xy＋6＝12，∴当 x
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解：(1)由旋转可得 AC＝A′C＝2.∵∠ACB＝90°，AB＝ 7，AC＝2，∴BC＝ 3. ∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A′BC＝90°，∴cos∠A′CB＝AB′CC＝ 23，∴∠A′CB ＝30°，∴∠ACA′＝60°.
(2)∵∠A′CB′＝90°，M 为 A′B′的中点，∴∠A′CM＝∠MA′C＝∠A，
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4．(2018·四川成都中考)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝ 7，AC＝2，过点 B 作直线 m∥AC，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△A′B′C(点 A、B 的对应点分 别为 A′、B′)，射线 CA′、CB′分别交直线 m 于点 P、Q.
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S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
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则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边 形PABQ面积的最小值为( C )
形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一类开放性题目.对考生的观察能力
和创新能力要求较高,题目的难度一般比较大,是中考试题的热点题型.预计这类题仍然 是2018年中考的热点,解决这类问题的关键是动中求静,在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.
图①
[来源:学科网ZXXK]
图②
难点突破
解：(1)∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴BF＝EF， ∵AB＝8，∴EF＝8－AF，
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
即42＋AF2＝(8－AF)2， 解得AF＝3；
难点突破
(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处， ∴∠BGF＝∠EGF， ∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC， ∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG； ②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处， ∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF， ∴EF＝EG＝10， 在Rt△EFH中，FH＝ EF 2－HE 2＝ 102－82＝6 ∴AF＝FH＝6；
知识梳理
考点2 折叠、旋转、对称问题
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换. 此类问题关键在于认真分析图形的变换过程，明确在
图形变换的各个不同阶段，所要求的量的变化情况，进而准确确定其函数表达式 或具体的值.
难点突破
4、如图所示，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对 折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处， 得到折痕EN. (1)若∠BEB′=110°，则∠BEC=_____ 35° ，∠BEC+∠AEN=_____ 90° ； 55° ，∠AEN=______ (2)若∠BEB′=m°，则(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由； (3)将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′.
难点突破
1、如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是边AC的中点,
点E是斜边AB上的动点,将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.连接A1B,当点E 在边AB上移动时,求A1B长的最小值.
难点突破 解:如图,连接BD,DE,
在Rt△BCD中,
BD= BC2 + CD2 = 5,
难点突破
解:(1)将 A(2,4)与 B(6,0)代入 y=ax2+bx,解得
a=- , b = 3.
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(2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD于点E,CF⊥x轴于点F.
S△OAD = OD· AD= × 2× 4=4,
2 2
1
1
S△ACD= AD· CE= × 4× (x-2)=2x-4,
中考数学动态几何问题
学习目标
1、掌握动点问题问题、折叠、旋转、对称问题问题方法. 2、能够熟练解决有关动态几何问题.
知识梳理 考点1 动点问题 “动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线或弧线上 运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图
难点突破 （2）解：不变 理由如下: 由折叠的性质可得∠BEC＝ ∠B`EC ，∠AEN＝ ∠A`EN ∵ ∠BEB`＝m°，∴ ∠AEA`＝180°－m° 可得∠BEC＝ ∠B`EC ＝ ∠BEB`＝ m°， ∠AEN＝ ∠A`EN＝ ∠AEA`＝（180°－m°）
∴ ∠BEC+ ∠AEN＝ m°+ （180°－m°）＝90°
A.19 cm2
B.16 cm2
C.15 cm2
D.12 cm2
解析:设运动时间为t s,则AP=t cm,CQ=2t cm.
∵AP= AB2 -BC2 = 102 -82 =6 cm,
1 2 1 2
∴CP=(6-t) cm.
∴△PCQ 的面积为 PC· CQ= (6-t)2t=(-t2+6t) cm2. ∴四边形 PABQ 的面积为 S=S△ABC-S△PCQ= × 6× 8-(-t2+6t)=(t-3)2+15.
2 1
∴四边形PABQ的面积的最小值为15 cm2.
难点突破 3、如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形 OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
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S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
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则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边 形PABQ面积的最小值为( C )
形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一类开放性题目.对考生的观察能力
和创新能力要求较高,题目的难度一般比较大,是中考试题的热点题型.预计这类题仍然 是2018年中考的热点,解决这类问题的关键是动中求静,在变化中找到不变的性质是解 决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.
图①
[来源:学科网ZXXK]
图②
难点突破
解：(1)∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴BF＝EF， ∵AB＝8，∴EF＝8－AF，
在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，
即42＋AF2＝(8－AF)2， 解得AF＝3；
难点突破
(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处， ∴∠BGF＝∠EGF， ∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC， ∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG； ②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处， ∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF， ∴EF＝EG＝10， 在Rt△EFH中，FH＝ EF 2－HE 2＝ 102－82＝6 ∴AF＝FH＝6；
知识梳理
考点2 折叠、旋转、对称问题
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换. 此类问题关键在于认真分析图形的变换过程，明确在
图形变换的各个不同阶段，所要求的量的变化情况，进而准确确定其函数表达式 或具体的值.
难点突破
4、如图所示，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF，将∠BEF对 折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处， 得到折痕EN. (1)若∠BEB′=110°，则∠BEC=_____ 35° ，∠BEC+∠AEN=_____ 90° ； 55° ，∠AEN=______ (2)若∠BEB′=m°，则(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由； (3)将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′.
难点突破
1、如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是边AC的中点,
点E是斜边AB上的动点,将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.连接A1B,当点E 在边AB上移动时,求A1B长的最小值.
难点突破 解:如图,连接BD,DE,
在Rt△BCD中,
BD= BC2 + CD2 = 5,
难点突破
解:(1)将 A(2,4)与 B(6,0)代入 y=ax2+bx,解得
a=- , b = 3.
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(2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD于点E,CF⊥x轴于点F.
S△OAD = OD· AD= × 2× 4=4,
2 2
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S△ACD= AD· CE= × 4× (x-2)=2x-4,
中考数学动态几何问题
学习目标
1、掌握动点问题问题、折叠、旋转、对称问题问题方法. 2、能够熟练解决有关动态几何问题.
知识梳理 考点1 动点问题 “动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线或弧线上 运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图
难点突破 （2）解：不变 理由如下: 由折叠的性质可得∠BEC＝ ∠B`EC ，∠AEN＝ ∠A`EN ∵ ∠BEB`＝m°，∴ ∠AEA`＝180°－m° 可得∠BEC＝ ∠B`EC ＝ ∠BEB`＝ m°， ∠AEN＝ ∠A`EN＝ ∠AEA`＝（180°－m°）
∴ ∠BEC+ ∠AEN＝ m°+ （180°－m°）＝90°
A.19 cm2
B.16 cm2
C.15 cm2
D.12 cm2
解析:设运动时间为t s,则AP=t cm,CQ=2t cm.
∵AP= AB2 -BC2 = 102 -82 =6 cm,
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∴CP=(6-t) cm.
∴△PCQ 的面积为 PC· CQ= (6-t)2t=(-t2+6t) cm2. ∴四边形 PABQ 的面积为 S=S△ABC-S△PCQ= × 6× 8-(-t2+6t)=(t-3)2+15.
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∴四边形PABQ的面积的最小值为15 cm2.
难点突破 3、如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形 OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.