第四章线性系统的根轨迹法

2. 零度根轨迹： 1 实轴上根轨迹区间右侧开环零极点数目之和为偶数 2 实轴与渐近线正方向夹角2kπ/n-m 3 求出射角和入射角时2kπ
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单 位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件： 相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹 的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。 以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解 （1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于 系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中 的粗实线所示。 （4）确定分离点：系统的特征方程式为 即
所以 即： ②分离点： 证明：
②除以①式
无零点 分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之 间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角： 出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹 角。 入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。
线。当S趋向于无穷大时，根轨迹与渐近线重合。 习题：
已知系统的开环传递函数为：确定根轨迹渐近线的方位。 解：. 条数：n-m=3 图形：
7）.根轨迹的分离点与分离角：（会合点，汇合点） ①重根法：
注意：分离点对应于特征方程的重根，由于根轨迹具有对称性，则分离 点要么是实数对或共轭复数对，至少是双对。 例子：已知开环传函为：确定实轴上的分离点？ 解：
求此时对应的，利用幅值条件。 （2）系统处于临界稳定。 即闭环特征根为虚轴上的点。 即时，系统处于临界稳定。 此时。=240 K==10 所以闭环传函为 （3）解：
在处取一点
即可求出出射角
9）根轨迹与虚轴的交点： ① ②利用劳斯判据。 10）闭环极点的和： 时，那么闭环极点之和等于开环极点，也就是说，若根轨迹的一些分支向右移动，另一些分支必定向左移 动。
例子：已知一个系统的开环传递函数为与虚轴的交点,寻找相应的第三个
5).实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区间右侧开环零极点数目之和为奇 数。 注：幅平面中共轭复数开环零极点所产生的相角为2π的整数倍，故不考 虑。所取区间左侧开环零极点所产生的相角始终为零，故不考虑。所取 区间右侧开环零极点所产生相角情况为多一个零点增加一个“π”，多一 个极点减小一个“π”。 6）.根轨迹渐近线： ①当n>m时趋于无穷，则有n-m条根轨迹沿着渐近线趋于无穷远。 ②渐近线与实轴正方向的夹角： ③渐近线与实轴的交点。 根轨迹的渐近线是近似的，只有用当S足够大时，根轨迹才逼近渐近
1） 若要求闭环系统单位阶跃响应的超调量16.3%=。求开环放大系数。 2） 写出系统处于临界稳定时，对应的闭环传递函数。 3） 分析K取值时系统的调节时间小于1.5.
解： 系统有三条根轨迹 极点： 渐近线夹角 分离点：
系统的特征方程为 把代入。 得：
, 与虚轴的交点为 所以根轨迹与的交点为使超调量为16.3%的点
迹。 例子：
绘制系统的根轨迹。
解： 为变化量，P为一固定值。 有两条根轨迹。 极点： 分离点：
所以当 过程中，根轨迹不断左移，所以，包含左半平面和负实轴。 P为变化量为一固定值，特征方程为 所以令 零点S=0 极点： 当过程中，根轨迹会包括整个左半个平面和负实轴。 所以原系统的根轨迹为包括整个左半平面和负实轴。
试求从变化时，系统的根轨迹的变化。 解：
0
3/16
1/4
5/16 1/2
根 -1.0 -1/4,-3/4 -1/2,-1/2
…….
注： 绘制根轨迹使用“X”表示开环极点，用”o”表示开环零点，根轨迹用
粗实线表示，根轨迹上标有箭头表示增大时，根轨迹移动的方向。 3）.闭环零极点与开环零极点之间的关系。
根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。 将s=jω代入特征方程，可得实部方程为
系统有一个开环零点和两个开环极点，那么他的根轨迹要么是直线或圆弧。 特例：一个单位负反馈系统。其开环传递函数，绘制时，系统的根轨迹，并证明根轨迹要么是 直线，要么是圆弧。 解：
若根为实数 共轭复根： 令 则 所以是圆弧。 半径：两个开环极点到零点的距离乘积在开方。
利用，则有
解得 和
由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=－1.577显然不是 所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为s1=－0.423。
j ω
σ
S平面
例题： 例 设系统开环传递 函数为
试绘制闭环系统的概略根轨迹。 解: 按下述步骤绘制概略根轨迹： 1）确定实轴上的根轨迹。实轴上[0,-3] 区域必为根轨迹。 2）确定根轨迹的渐近线。由于n-m=4，故有四条根轨迹渐近线，其
第四章 线性系统的根轨迹法
知识点： 1. 根轨迹的概念， 2. 绘制根轨迹的法则， 3. 其他形式的根轨迹， 4. 参数变化时对系统性能的影响。
1. 根轨迹的概念：根轨迹指的是开环传递函数中某一参数变化时， 闭环特征根所走过的路径。
注：根：闭环特征方程的根。 1）.开环放大系数与根轨迹增益。 时间常数表达式： 尾“1”时，K叫放大系数 零极点表达式： 首“1” 叫根轨迹增益。 根轨迹： 所走过的根轨迹增益。 2）.试探法绘制根轨迹。 例子：
2. 参量根轨迹： 定义：除了系统的根轨迹增益，之外的其参数变化时，闭环特征根所走过的路径。 方法：找出等效的开环传递函数。
求：变化时系统的根轨迹。 解：
例子：
(1) 时，系统的根轨迹。 （2）当时求a的值。 解：
1. 根轨迹族 2. 零度根轨迹 3. 用根轨迹分析系统的性能 1. 根轨迹族：当系统中有两个或两个以上发生变化时绘制出的根轨
系统不稳定，因为在右半平面始终有根。
例子： 开环传递函数：
绘制系统的根轨迹类型。
解：
由此可知此根轨迹为零度根轨迹。
根轨迹分析系统性能： 1 给定参数，确定闭环零极点的位置，尤其是闭环极点的位置 2 参数的变化的过程中，对系统稳定性的影响。
3 分析系统顺态性能和稳态性能 4 根据系统性能指标要求，确定系统的参数 主导极点：指在系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近且周围无闭环零 点的极点，而其余极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极点所对应的响 应分量在系统响应中起主导作用，这样的闭环极点称为主导极点。 例子：已知单位负反馈的开环传递函数为