双曲线知识点总结

双曲线知识点

指导教师：郑军

一、 双曲线的定义：

1. 第一定义：

到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；

当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.

2. 第二定义：

动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线

二、

双曲线的标准方程：

122

22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；

122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；

1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.

2. 与双曲线122

22=-b

y a x 共焦点的双曲线系方程是1222

2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22

1(0)x y mn m n

-

=> 例题：已知双曲线C 和椭圆22

1169

x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的

轨迹方程。

三、

点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上22

0022-=1x y a b

⇔

2 直线与双曲线：

（代数法）

设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 联立解得

02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b

1) 0m =时，b b

k a a

-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

b k a ≥，b

k a

≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；

2) 0m ≠时，

k 存在时，

若0222=-k a b

a

b

k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----

2222224()a b m b a k =+-

0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；

0∆=时2222

0m b a k +-=，2222

m b k a +=

直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：

设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x

1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：

b b

k a a

-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a b

k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

b k a >或b

k a

<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；

2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：

b

k a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；

b b

k a a

-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）

； 2020

b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或b

k a <-或k 不存在，

直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，

b

k a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；

b k a >或b

k a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；

b b

k a a

-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）

； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，

b b

k a a -

<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或b

k a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；

当点0m ≠时，

k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 b

k a

=±时，直线与双曲线只交于一点；

几何法：直线与渐近线的位置关系