双曲线知识点总结
双曲线线知识点总结
双曲线线知识点总结一、定义双曲线是一种平面曲线，它跟椭圆和抛物线一样，是平面上一点到两定点的距离之差为常数的轨迹。
具体来说，如果一个点到两定点A和B的距离之差等于常数2a（a>0），则该点的轨迹就是双曲线。
双曲线有两个分支，分别是由两定点A和B生成的。
两个定点之间的直线称为双曲线的主轴，它与两个定点的中垂线相交于双曲线的中点O。
主轴上离O点距离为a的两点F和F'称为双曲线的焦点，且有|OF-OF'|=2a。
主轴长度为2a，所以焦点到中点O的距离是a。
二、性质1. 双曲线的几何形状双曲线的形状可以分为两种：一种是长轴水平，另一种是长轴垂直。
水平双曲线的方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1，垂直双曲线的方程为(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1。
当a>b时，双曲线开口方向是水平的，当a<b时，双曲线开口方向是垂直的。
2. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，对称轴分别为x=0和y=0。
3. 双曲线的渐近线当a>b时，双曲线的两条分支分别与直线y=±(b/a)x相切，这两条直线称为双曲线的渐近线。
4. 双曲线的参数方程水平双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ；垂直双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ。
5. 双曲线的焦点双曲线的焦点到中心的距离等于a。
6. 双曲线的离心率双曲线的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为半径。
7. 双曲线的面积双曲线的面积为S=πab。
8. 双曲线的切线和法线双曲线上一点处的切线和法线的方程可以通过对双曲线的方程进行求导得到。
9. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线即为水平双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x；垂直双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
10. 双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程为r^2=a^2sec^2θ-b^2。
三、应用双曲线在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
双曲线的全部知识点
双曲线的全部知识点双曲线是一种重要的数学曲线，它是由平面上一个动点到两个定点距离之差等于常数的轨迹生成的。
双曲线有许多重要的性质，被广泛应用于物理、工程和经济等领域，下面将为大家介绍双曲线的全部知识点。
1. 导出双曲线方程双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a和b分别为双曲线方程中心点到焦点的距离和横轴半长轴和纵轴半长轴。
2. 双曲线的几何性质双曲线有许多重要的几何性质，例如双曲线的中心点为坐标原点，两个确定双曲线的定点称为焦点，距离为2a，双曲线的两条渐近线分别是y=b/a*x和y=-b/a*x。
双曲线横轴和纵轴之间的夹角为θ，而双曲线方程中的公式则为tanθ=b/a。
3. 双曲线的应用双曲线在物理、工程和经济学等领域中都有广泛的应用。
例如，在天文学中，双曲线用于描述球面反射器的光学性质；在工程领域，双曲线用于计算冲击波的速度和位置；在经济学中，双曲线用于描述罕见事件的概率分布。
4. 双曲线的变形双曲线可以通过平移、旋转和伸缩等方式进行变形。
其中，平移和旋转会保持双曲线的基本形状不变，而伸缩则会导致双曲线的长轴和短轴比例发生变化，从而改变其整体形状。
5. 双曲线的图像和性质双曲线的图像是一条典型的曲线，其形状特征为两个分离的弧形与两条渐近线。
双曲线具有许多特殊的性质，例如其对称轴为x、y轴，其上每个点的切线均垂直于通过焦点的两直线。
总之，双曲线是一种非常重要的数学曲线，具有广泛的应用价值，对于学习和掌握其相关知识点，对于计算机学习、经济学和天文学等学科领域的学生和从业者来说都非常重要。
(完整word版)双曲线知识点总结
双曲线知识点知识点一：双曲线的定义:在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）4.焦点三角形的面积2cot221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=±2aa ＞c ＞0， a 2－c 2=b 2（b ＞0）0＜a ＜c ， c 2－a 2=b 2（b ＞0），（a ＞b ＞0），（a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。
2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。
3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。
二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
双曲线经典知识点总结
其渐近线方程为t?沪ab n d
注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方
程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
y轴上。注意：对于双 曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
4.方程Ax2+By2=C（A、B C均不为零）表示双曲线的条件
①待定系数法
:由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类
车车豹
方程可设为总b（A>U，焦点在X轴上，AvU，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线
型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数d
b、C的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,
然后再根据定义确定方程。
2 2
双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:
3.如何由双曲线标准方程判断焦点位置
33
-丄二1知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为a， *2，则
双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看
2 2
X项的系数是正的，那么焦点在X轴上；如果y项的系数是正的，那么焦点在
(2)范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线
(a>0,b>0),把X换成一
—y，方程都不变，所以双曲线/H且是以原点为对称中心的中心对称图形，
=1
(a>0,b
这个对称中心
x=—a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线
围成一个矩形(如图)，
双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
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双曲线相关知识点总结
双曲线是数学中的一种特殊曲线形式，具有许多有趣的性质和应用。
在本文中，我
们将对双曲线的相关知识点进行总结。
1.双曲线的定义：双曲线是一个平面上的曲线，其定义是到两个定点
（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
双曲线有两支，分别称为实轴和虚轴，这两支在无穷远处相交。
2.双曲线的方程：双曲线的一般方程形式为：(x2/a2) - (y2/b2) = 1，其
中a和b为正实数。
这个方程可以通过平移、旋转和伸缩来得到不同形状的双曲线。
3.双曲线的性质：
•双曲线的中心在原点，它的对称轴为x轴和y轴。
•双曲线的渐近线是直线y = bx，其中b = ±(a/b)。
•双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率小于1时，双曲线是“瘦长”的；离心率大于1时，双曲线是“扁平”的。
•双曲线的焦点到顶点的距离等于半径的距离，即c = a/e。
4.双曲线的应用：
•双曲线广泛应用于物理学、光学和电工领域。
例如，在光学中，双曲线被用来描述抛物面镜和双曲透镜的形状。
•双曲线也是一类重要的函数图像，如双曲正弦函数和双曲余弦函数。
这些函数在数学分析和应用中有广泛的应用。
•双曲线还在计算机图形学和计算机辅助设计等领域中被广泛使用。
它们可以用于生成各种曲线和曲面的形状。
总结：双曲线是一种有趣且重要的数学概念，它具有许多有用的性质和应用。
通过理解双曲线的定义、方程和性质，我们可以更好地理解和应用这一概念。
无论是在数学学习中还是在实际应用中，双曲线都有着广泛的应用和重要性。
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
高考双曲线知识点总结
高考双曲线知识点总结一、双曲线的定义和性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一类曲线，其定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（横轴为实轴）或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（纵轴为实轴）。
其中，a和b分别为横轴和纵轴半轴的长度。
（2）双曲线的对称性双曲线关于x轴、y轴、原点对称。
（3）渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
（4）焦点和直焦距双曲线的焦点定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
焦点之间的距离称为直焦距。
（5）双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
双曲线与它的渐近线有如下关系：a）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$时，它的渐近线是x=±a，当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=-1$时，它的渐近线是y=±b;b）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}<1$时，它的渐近线是y=ax或x=ay;c）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}>0$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}>0$时，它的渐近线是没有。
（６）四条特殊的双曲线内离心双曲线，外离心双曲线，右开弧双曲线，左开弧双曲线。
二、双曲线的图像与方程1. 双曲线的图像（1）当$a>b$时，双曲线的图像为两支开口朝左右的曲线，焦点在横轴上。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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双曲线方程知识点详细总结
双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。
数学双曲线知识点 总结
数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的离心率小于1。
双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。
其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。
第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。
3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。
4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。
当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。
5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。
其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。
6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。
即|PF1 - PF2| = 2a。
三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。
2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。
3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。
具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。
双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。
二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。
2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。
3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。
4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。
5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。
6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。
7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。
三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。
2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。
4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。
四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。
2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。
3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。
五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
数学双曲线知识点总结
数学双曲线知识点总结1. 双曲线的定义双曲线是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\(a\) 是实轴的一半长度，\(b\) 是虚轴的一半长度。
2. 焦点和焦距双曲线的两个焦点位于实轴上，其坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中\(c\) 是焦距，满足 \(c^2 = a^2 + b^2\)。
3. 实轴和虚轴双曲线有两个主轴：实轴和虚轴。
实轴是连接两个焦点的直线，虚轴垂直于实轴并通过双曲线的中心。
4. 离心率双曲线的离心率 \(e\) 是一个大于1的数，定义为焦距与实轴半长度的比值，即 \(e = c/a\)。
5. 渐近线双曲线有两条渐近线，它们的方程为 \(y = \pm (b/a)x\)。
渐近线是双曲线的对称轴，双曲线永远不会与渐近线相交。
6. 等轴双曲线当 \(a = b\) 时，双曲线变成等轴双曲线，其方程简化为 \(x^2 - y^2 = a^2\)。
7. 双曲线的性质- 双曲线是对称的，关于实轴和虚轴对称。
- 双曲线是开放的，没有封闭的边界。
- 双曲线的两个分支是镜像对称的。
8. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学中的电磁波传播。
- 工程学中的曲线设计。
- 天文学中描述行星轨道。
9. 双曲线的绘制可以通过以下步骤绘制双曲线：- 确定焦点位置。
- 画出实轴和虚轴。
- 确定渐近线的方程。
- 在满足标准方程的点上绘制双曲线的分支。
10. 双曲线的方程变形双曲线的方程可以变形为其他形式，例如：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = k\]其中 \(k\) 是任意实数，表示双曲线的开口大小和方向。
11. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以表示为：\[x = a \sec(t)\]\[y = b \tan(t)\]其中 \(t\) 是参数。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
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双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
四、双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2. 若双曲线方程为12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -=ay x b=±3. 若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±bya x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠.4. 若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线则双曲线的方程可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）五、双曲线与切线方程：1. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.2. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. 3. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.六、 双曲线的性质：七、弦长公式：若直线y kx b=+与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为A、B的横坐标，则AB=12AB x=-==12,y y分别为A、B的纵坐标，则12AB y=-=通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长abAB22||=。
若弦AB所在直线方程设为x ky b=+，则AB12y-。
特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，例：直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____________ 八、焦半径公式：双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-，2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-九、等轴双曲线：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线； 则：1. a b =；2.离心率2=e ；3.两渐近线互相垂直，分别为y=x ±；4.等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠；5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
十、共轭双曲线：1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．2.方程：3.性质：共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆． 它们的离心率的倒数的平方和等于1。
1-2222=b y a x （a>0;b>0）的焦点为1F 与2F ，且p 为曲线上任意一点，θ221=∠PF F 。
则21F PF ∆的面积θcot 2b S =焦点三角形面积公式：)(,2cot 21221PF F b S PF F ∠==∆θθ双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一8. 点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。