物理竞赛课件18：电容器

如图所示，两块金属平板平行放置，相距D=1 cm，一板上 专题 18例 5 电荷面密度σ =3μC/m2，另一板上电荷面密度σ =6μC/m2 ，在两板之间平行地放
置一块厚d=5 mm的石蜡板，石蜡的介电常数ε=2．求两金属板之间的电压 ． +σ1 如果在每个金属板上附加面密度
1 2
为-4.5μC/m2的电荷，电容器的带 电就成为“标准状况”了——两 板带等量异种电荷: 2
a
1 3 2 3 1 3 2 3

2 3 1 2 2 3 1 2
3
c
1
2
d
b
⑵插入导体薄片 所求等效电容为1与2并联与3串联，由C∝ε可得
球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球壳 构成，球壳内半径为R，其间一半充满介电常数为ε的均匀介质，如 图所示，求电容.
dh 0 ab e d
b h di n Ch b
d
dh C ln h d
n
i 1 1
0ab
h n i nd
如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C1＝4μF，C2＝ 6μF，C＝10μF，求AB间的总电容．
五电容连接直观电路如图
设在A、B两端加一电压U，并设 UM＞UN
n
0 0 ab d i 1 d i C n d d i 1 i C a lim b h 0n i 1 /d h di n h b i C n b d bn d i 1 i Ch n n 1 0a n ab 1 1 0 d ilim n 0 ab 等式两边取 lim n次方极限得 n i 1
0 1

2 1
D
ri ri 1
ri S nC
1 2…
i…
n
0 1 ri S D D nC 2 1 2 1 r r i 1 i 1 1 D D
A A
M(N)处连接三块极板总电量为０ U1 U 2 U 则有 C1U1 C2U 2 U 2 U1 C3
8 U U 1 15 解得 U 7 U 2 15
C1 C1 C2 - M C3 C2 C2 C3 C C1 2
d
+σ2
D
1.5C/m
附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来 的板间电场，也不会改变电容器的电势． 等效电容为:
2 0 S 其中C0 D
2 0 S C D S D 1 U 2 0 C
CC 2 0 S C C C D 1
的电压及极板上的电量的制约
1
++ + + + ++ ++ + + + ++
2
3
++ + ++ +
4
+
++
+
q2
S 其中 C0 0 d q1 q2 U
q 2 q +q q -q q1 +q -q 1 2 3 1 2q 2 3q
3
32
d q1 q2 q2 C0 3 0 S
四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为q1、专题 18例 4 q 、q 、-q ．各板彼此相距为d，平行放置如图，d比板的线尺寸小得多，当板1、
板4的外面用导线连接，求板2与板3之间的电势差 ．
1
2
2
解题方向:利用电容对两板间
q3 q1 q2 q1 q2 q1 q1 由U12 U 43 U 32 q3 q1 q2 即 C0 C0 C0
设圆柱面电容器电容为C，它由n个电 容为nC的元圆柱面电容串联而成，元圆柱 面电容器可视为平行板电容器，第i个元电 容为 2 r l
ri-1
ri
ri ri 1 ri ri 1 0 2 l ri ri nC ri 1 n 0 2 l n r lim lim 1 C 2 l ln n r n nC 0 i R 0 2 l r e C R
R R
专题18-例2
两个半径均为R的导体球相互接触形成一孤立导体， 试求此孤立导体的电容．
解题方向: 若能确定 系统电势为U时的电 量Q,可由定义求得C
考虑其中1球,电势为U时,电量
+q1 R O1
+q1
O2 R
引入同样的第2球,1球将电势叠加, +q1 为维持U, q R 1 O1 q r
1
rO 2
2R 3
UR 2ln 2 k
返回 半径分别为a和b的两个球形导体，相距很远地放置， 分别带有电荷qa、qb，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电 荷量及系统的电容.
+ qb qa qb qa kqb kqa 由等势且相距很远 U a b a k q q a b q q q U 解得
由电荷守恒有
a
解题方向: 系统总电量守恒，只要确定导 线连接后系统的电势,可由定义求得C qb 设连接后两球各带电 qa
ab
a
b
qa qb ab 則 C U k
ab
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在极板面积为S，相距为d的平行板电容器内充满三种不同的 介质，如图所示．⑴如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质 的介电常数应是多少？⑵如果在ε3和ε1、ε2之间插有极薄的导体薄片，⑴问的结果 应是多少？
⑴将电容器划分为如图所示a、 b、c、d四部分
所求等效电容为a与b串联、c与d串联后两 部分并联而成，由C∝ε可得
如图，两块长与宽均为a与b的导体平板在制成平行板电容器 专题 18例 1 时稍有偏斜，使两板间距一端为d，另一端为（d＋h），且h d，试求该空气电
容器的电容 ．

解题方向: 不平行电容器等效 为无穷多个板间距离不等的平 行板电容器并联!
a
d
123 d
b
d h
h
i i+1
若无穷均分b
b 若无穷均分 C a
2 1
2 1
等式两边取n次方极限得
1 e 2
0
ε1
ri-1ri
ε2
D
x
2 1
DC
0 S
1
2 1
D 1 2 1 1 ri D
ri 1
2 1
D
0 S
nC
0 S 2 1 C D ln 2 ln 1
B
B
N
C1
于是有
五电容连接后的等效源自文库容为
8 Q UC1 1 15 Q 7 UC 2 2 15
Q1 Q2 8 7 C C1 C2 U 15 15
74 C F 15
如图是一个无限的电容网络，每个电容均为C，求 A、 返回 B两点间的总电容． A
C
B
n
Cn
设n个网格的电容为Cn, C Cn C 2 则有 C AB C n C Cn C 2 2 2 整理得 该无穷网络等效电容为
2Cn 2CCn C 0
3 1 Cn C 2
专题18-例3
如图，一平行板电容器，充以三种介电常数分别 为ε1、ε2和ε3的均匀介质，板的面积为S，板间距离为2d．试求电容 器的电容 ．
e E 2S 2 0
0

E
S E2 2 0 0 两板间电势差 Q S 0 S 則 C U d U d d 0 0
由高斯定理,在距球心ri处场强
r
+
在距球心ri处 取r RA RB n
n
e q Ei S 0 4 ri2
+ + + + + + + + -
d
示例
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+ -
到例４
+ + +
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
1 1 Q 2 W UQ CU 2 2 2C
2
到例6
由高斯定理,无限大均匀带电平面的 S 电场由 e
Q Q
两面积S、间距d平行板电容器当带电荷量Q时，板 间电场由电场叠加原理可得为
等效于C1与串联的C2、C3 并联:
4d 0 2 S C2 2d 0 3 S C3 2d
C1
0 1 S
1
C1
C 2 2 C 3
3
d d
C 2C 3 0 S 1 2 1 3 2 2 3 C C1 C2 C3 2d 2 2 3
♠
电容
导体得到单位电势所必须给予的电量
通过等效变换
q C = 4 0 R U q 从定义式 C = 出发 示例 U
示例 C2 C3
基本联接
电容器联接 电 电 量 压

C1





U1
U2 U
U3
q1 q2 q3



C 1 C2 C 3
q q1 q2 qn U U1 U2 Un U U1 U2 U n
U q q1 q2 qn
等效电 容 电压电流 分配律
q 电压按电容 由q CU 电荷按电容 由U C 反比例分配 正比例分配
1 1 1 1 C C1 C2 Cn
C C1 C2 Cn
♠
电容器相关研究
E0 电介质的介电常数定义为 E0 E E + 0 S E 0 + C
2
UR q1 k
-q2 -q2+q-q 4 3 3 4 -q+q
+q1
O2
2 q1 q1 对称地,为维持球2电势U,亦设置 q3 3 2 3 像电荷予以抵消
为抵消像电荷引起的电势,再设置 下一级像电荷
2
O1
2
C 8 ln2 0 R
1 1 Q 2q1 1 2 3 4
+
+ + +
n
+
O ri
+
+
其上场强视作恒定,则元电势差为
lim 电容器两极间电势差为 U n
n
RA RB Ui 2 n 0 4 ri q
q
lim
i 1
n
n
r
n
ri2
lim
R R Q A B R i r R i r r A A i 1 則 C n 4 n U
nC
0
i
返回 平行板电容器的极板面积为S，板间距离为D．其间充满介质， 介质的介电常数是变化的，在一个极板处为ε1 ，在另一个极板处为ε2 ，其它各处 的介电常数与到介电常数为ε1处的距离成线性关系，如图，试求此电容器的电容 解题方向: 介质变化的电容器等效为无穷多个介 C．
质不同的平行板电容器串联! 无穷均分C
本题电容器等效于介电常数为１和ε的两个半球电 容器并联，每个半球电容各为
Rr 球形电容器的电容 C 4 0 Rr
R r
ε
Rr C1 2 0 Rr
该球形电容器的等效电容为
Rr C2 2 0 Rr
Rr C2 2 0 1 Rr
如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器．长l、半径分 别为r和R．两圆筒间充满介电常数为ε的电介质．求此电容器的电容．
lim
n q r q 1 1 2 lim 2 n i 1 RA i r 4 R R 0 4 n i 1 ri 0 A B r
n
r
2 4 r i 1 0 i
r
0 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim B A n n R r r R ri rR R RA n 1 r RB AR A 2r Ai A A i 11 RA i