第七章 不等式7-2基本不等式

重点难点 重点：基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件 的把握．
知识归纳 a＋b 1．基本不等式：对任意 a、b∈R ，有 2 ≥ ab成
＋
立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y S2 时，xy 有最 大 值 4 .

3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用 中一类常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、 分类讨论、函数与方程等丰富的数学思想方 法，处理不等式恒成立问题的基本思路是转 化为求函数的最值或函数值域的问题．
[例 1]
(文)(2010· 重庆理)已知 x>0， y>0， x＋2y＋2xy ) 9 C.2 11 D. 2
25 答案： 6
[例 2]
已知 b>a>0，且 a＋b＝1，那么(
)
a4－b4 a＋b A．2ab< < 2 <b a－b a＋b a4－b4 B．2ab< 2 < <b a－b a4－b4 a＋b C. <2ab< 2 <b a－b a＋b a4－b4 D．2ab< 2 <b< a－b
a＋b2 a＋b 1 解析： ∵b>a>0， a＋b＝1， ∴b>2， ∴2ab< 2 ＝ 2 ， a＋b2 1 a4－b4 a＋b 2 2 2 2 且 a ＋b > 2 ＝2.∴ ＝ (a ＋ b)(a ＋ b )> 2 . 又 a－b a4－b4 －b＝a2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝(1－b)(1－2b)<0.故应 a－b 选 B.
900 (2)y＝f(x)＝400 x＋ x ＋32000≥800
900 x·x ＋32000
900 ＝24000＋32000＝56000，当且仅当 x＝ x (x>0)，即 x＝30 时取等号，但由(1)知 x≤25，即 x＝30 不在[16,25]上，因此 y 的最小值不能是 56000. 不妨研究 f(x)的单调性，对任意的 x1，x2∈[16,25]，设 x1<x2，
，若目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大
2 3 值为 12，则a＋b的最小值为________．
解析：不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分，当 直线 ax＋by＝z(a>0，b>0)过两直线的交点 A(4,6)时，z 取最 大值 12，∴4a＋6b＝12，∴2a＋3b＝6， 2 3 2 3 2a＋3b 13 b a ∴ ＋ ＝a＋b· ＝ ＋ ＋ ≥ a b 6 6 a b 13 25 b a 6 6 ＋2＝ 6 ，等号在a＝b，即 b＝a＝5时成立．

答案：B
3 点评：可用特值法，∵b>a>0，a＋b＝1，∴可取 b＝4，
1 a＝4，则可知其大小关系．
(2010· 深圳模拟)设 a>0，b>0，则以下不等式中，不恒成 立的是( )
1 1 A．(a＋b)(a＋b)≥4 b＋2 b B. > a＋2 a a＋b a b C. < ＋ 1＋a＋b 1＋a 1＋b D．aabb≥abba


A．RA>RB C．RA<RB
B．RA＝RB D．不确定
R1＋R2 2R1R2 解析：RA＝ 2 ，RB＝ ， R1＋R2 R1＋R2 2R1R2 R1＋R22－4R1R2 RA－RB＝ 2 － ＝ R1＋R2 2R1＋R2 R1－R22 ＝ >0，所以 RA>RB. 2R1＋R2



(2010·广东广州)某工厂拟建一座平面图为 矩形且面积为400m2的三级污染水处理池， 由于受场地限制，长、宽不能超过25m.池 外圈建造单价每米为200元，中间两条隔墙 建造单价每米为250元，池底建造单价每平 方米为80元(池壁的厚度忽略不计，且池无 盖)． (1)设污水处理池和隔墙垂直一边长为x(m)， 写出总造价y(元)与x的函数关系式，并指出 其定义域； (2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，
900 当且仅当 9x＝ ，即 x＝10 时取等号． x 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所 支付的总费用最少．
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔 35 天购买一次 面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x≥35)天购买一次面 粉，平均每天支付的总费用为 y2 元，则 1 y2＝ x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90 900 ＝ x ＋9x＋9720(x≥35) 令 f(x)＝x＋ 100 (x≥35)，x2>x1≥35，则 x

答案：B
1 1 (理)(2010· 四川文)设 a>b>0，则 a ＋ab＋ 的最小 aa－b
2
值是( A．1

) B．2 C．3 D．4
分析：求和式的最小值，符合基本不等式不 等号方向的要求，由已知a>b>0知a－b>0， 要消去分母中的ab，a，a－b，需将a2变形 后产生上述表达式，故a2＝a2－ab＋ab＝ a(a－b)＋ab，这样就可以产生定值了，最 后只要看等号能否同时成立即可了．
＝8，则 x＋2y 的最小值是( A．3

B．4
分析：要求x＋2 y的最值，观察条件等式中 含有x＋2y和2xy，而2xy＝x(2y)，结合x>0， y>0知符合应用基本不等式的条件，故可把 条件等式应用基本不等式变形为关于2xy的 不等式求解．
x＋2y 2 解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤( 2 ) ， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) 等号成立时，x＝2y， ∴2x＋x2＝8，∵x>0，∴x＝2，∴y＝1. ∴x＋2y 的最小值为 4.
100 100 f(x1)－f(x2)＝x1＋ x －x2＋ x 1 2
x2－x1100－x1x2 ＝ xx
1 2
∵x2>x1≥35. ∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0. ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)． 100 即 f(x)＝x＋ x ，当 x≥35 时为增函数． ∴当 x＝35 时，f(x)有最小值，此时 y2<10980. ∴该厂应该接受此优惠条件．
2．基本不等式的常见变式及有关结论 a2＋b2 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤ (a、b∈R) 2 a＋b a＋b2 2 2 2 a ＋b ≥ (a、b∈R)；ab≤ 2 (a、b∈R) 2 a＋b a2＋b2 2 ≤ (a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时成 2 2 立． a b 1 1 (2)b＋a≥2(a、b 同号)，特别地a＋a≥2(a>0)，a＋a≤ －2(a<0)． a2＋b2 a＋b 2 ＋ ≥ 2 ≥ ab≥1 1(a、b∈R )． 2 a＋b

答案：A



[例4] 某食品厂定期购买面粉．已知该厂每 天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元， 面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元， 购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平 均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面 粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠 (即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优 惠条件？请说明理由．
b＋2 b 解析： 当 0<a<b 时， >a不成立，例如 a＝2，b＝4 a＋2 6 4 1 1 b 时，4>2不成立，所以 B 不恒成立；由(a＋b)(a＋b)＝2＋a＋ a＋b a A 由 b≥4(当且仅当 a＝b 时取等号)可知， 恒成立； 1＋a＋b＝ a b a b aabb ＋ < ＋ ，可知 C 恒成立； b a＝aa－ ab 1＋a＋b 1＋a＋b 1＋a 1＋b
6 ≤2，∴xy≥6.(等号在 x xy
故 xy 的最小值为 6.

答案：6

点评：利用已知条件构造不等式，然后通过 解不等式求得表达式的取值范围，从而得到 最值也是部分问题中采用的方法．
( 理 )(2010· 北 邯 郸 ) 设 x 、 y 满 足 约 束 条 件 河 3x－y－6≤0 x－y＋2≥0 x≥0 y≥0


1．证明不等式常用的方法： 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、 反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单 调性法、判别式法、几何法(利用几何意 义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应 用．应用基本不等式求最值时，①通过对所 给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数 使之能够出现定值是解题的关键．②必须指 出等号成立的条件．
，


答案：D 点评：应用基本不等式求两个式子最值的和 时，等号必须同时成立．
2 3 (文)已知 ＋ ＝2(x>0， y>0)， xy 的最小值为________． 则 x y
分析：可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解．
2 3 解析： ＋ ≥2 x y ＝2，y＝3 时成立)
6 ，∴2 xy
3．含绝对值的不等式 ||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|， |a1± 2± an|≤|a1|＋|a2|＋„＋|an|. a „± a＋m a 4. >b(b>a>0，m>0) b＋m



误区警示 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、 二定、三相等”的条件．“一正”是说每个 项都必须为正值，“二定”是说各个项的和 (或积)必须为定值．“三相等”是说各个项 中字母取某个值时，能够使得各项的值相 等． 其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、 组合、添加系数使之能够出现定值是解题的 关键． 多次使用均值不等式时，要保持每次等号成 立条件的一致性．
解析：(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为 3[6x＋6(x－1)＋„＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则 1 y1＝ [9x(x＋1)＋900]＋6×1800 x 900 ＝ x ＋9x＋10800≥2 900 9x＋10800＝10980. x ·
x y
)
1 A. 2
B．1
3 C. 2
D．2
解析：由条件知 a＋b＝2 3，x＝loga3，y＝logb3，
a＋b 1 1 2 ∴ x ＋ y ＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log3 2 ＝1，等号
在 a＝b＝ 3时成立，故选 B.

答案：B

(理)已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现 分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为 RA、RB，则RA与RB的大小关系是( )
b
1 a－b a a－b (b) ＝(b) ，无论 a，b 的大小关系如何，上式恒大于等
பைடு நூலகம்
于 1，故 D 恒成立．

答案：B
[例 3]
已知 x>0、y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、 ) D．4
a＋b2 d、y 成等比数列，则 cd 的最小值是( A．0

B．1
C．2
分析：利用等差、等比数列的性质可将a、b、 c、d的表达式转化为只含xy的表达式，然后 变形应用基本不等式求解．
解析：∵污水处理池的一边长为 xm，∴它的邻边长为 400 400 x m，隔壁长也为 x m.
400 400 2x＋2× ＋ 250× 根 据 题 意 得 ， y ＝ 200 x x ×2 ＋
80×400，即
900 y＝400x＋ x ＋32000.
x≤25 由400 得定义域为，{x|16≤x≤25}． x ≤25
解析：由等差、等比数列的性质得 a＋b2 x＋y2 x y cd ＝ xy ＝y＋x＋2≥2 取等号．

yx x·＋2＝4.仅当 x＝y 时 y
答案：D
(文)(2010· 天津南开区模拟)设 a>0，b>0， 3是 a 与 b 1 1 的等差中项，a ＝b ＝3，则x ＋y 的最大值等于(
解析：∵a>b>0，∴ab>0，a－b>0， 1 1 2 ∴a ＋ab＋ aa－b 1 1 2 ＝a －ab＋ab＋ab＋ aa－b 1 1 ＝[a(a－b)＋ ]＋(ab＋ab)≥2＋2＝4. aa－b 1 aa－b＝aa－b 等号成立时，应有 ab＝ 1 ab 2 ∴a＝ 2，b＝ . 2