矩形的判定与性质-初中数学习题集含答案

【解答】证明：（1）Q 四边形 ABCD 是平行四边形，
AD BC ， AD / /BC ， Q AD 1 ，
BE 2 AD CE ，
四边形 ACED 是平行四边形，
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Q AC BC ， ACE 90 ， 四边形 ACED 是矩形； （2）Q 对角线 AC ， BD 交于点 O ， 点 O 是 BD 的中点， Q 四边形 ACED 是矩形， BED 90 ， OE 1 BD ，
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【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出四边形 ABCD 是矩形，再根据矩形的性 质得出即可； （2）过 E 作 EF BC ，交 CB 的延长线于 F ，设 FB 2x ， EF 3x ，根据勾股定理求出 x ，求出 EF 和 CF ，根据 勾股定理求出 EC 即可． 【解答】（1）证明：Q AB CD ， AD BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， Q AD CD ， ADC 90 ， 四边形 ABCD 是矩形， AC BD ；
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矩形的判定与性质（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．填空题（共 1 小题） 1．（2011 春•西城区期末）菱形 ABCD 中， AB 2 ， ABC 60 ，顺次连接菱形 ABCD 各边的中点所得四边形的面
积为 3 ． 【分析】顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，所以可得矩形
的面积． 【解答】解：Q 四边形 ABCD 是菱形，且 AB 2 ， ABC 60 ， 菱形的一条对角线长是 2，另一个对角线的长是 2 3 ． Q 矩形的边长分别是菱形对角线的一半 矩形的边长分别是 1， 3 ，1， 3 ． 矩形的面积是 3 ． 即顺次连接菱形 ABCD 各边中点所得的四边形的面积为 3 ． 故应填： 3 ． 【点评】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质等知识．注意准确掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接
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5．（2019•朝阳区二模）如图，在 YABCD 中， ABD 90 ，延长 AB 至点 E ，使 BE AB ，连接 CE ．
（1）求证：四边形 BECD 是矩形；
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（2）连接 DE 交 BC 于点 F ，连接 AF ，若 CE 2 ， DAB 30 ，求 AF 的长．
2 OE 5 ， 【点评】此题考查了矩形的判定与性质．注意矩形的判定和性质是关键． 4．（2019•西城区二模）如图，在四边形 ABCD 中， AB DC ， AD BC ， AD CD ．点 E 在对角线 CA 的延长线 上，连接 BD ， BE ． （1）求证： AC BD ； （2）若 BC 2 ， BE 13 ， tan ABE 2 ，求 EC 的长．
3．（2019•延庆区一模）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，且 AC BC ，点 E 是 BC 延长线 上一点， AD 1 ，连接 DE ．
BE 2 （1）求证：四边形 ACED 为矩形； （2）连接 OE ，如果 BD 10 ，求 OE 的长．
4．（2019•西城区二模）如图，在四边形 ABCD 中， AB DC ， AD BC ， AD CD ．点 E 在对角线 CA 的延长线 上，连接 BD ， BE ． （1）求证： AC BD ； （2）若 BC 2 ， BE 13 ， tan ABE 2 ，求 EC 的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到 BAD 90 ， 根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据三角形的内角和得到 DBE 60 ，推出 DBC 是等边三角形，得到 BD BC DC 2 ，根据勾股定理即可
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得到结论． 【解答】（1）证明：Q AD / /BC ， ABC 90 ， BAD 90 ， Q DB DC ， E 是 BC 的中点， DEB 90 ， 四边形 ABED 是矩形； （2）解：Q ABC 90 ， ABD 30 ， DBE 60 ， Q DB DC ， DBC 是等边三角形， BD BC DC 2 ， Q RtBAD 中， ABD 30 ，
AD 1， AB 3 ，
在 RtABC 中， AC AB2 BC2 7 ． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 3．（2019•延庆区一模）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O ，且 AC BC ，点 E 是 BC 延长线 上一点， AD 1 ，连接 DE ．
菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半． 二．解答题（共 4 小题） 2．（2019 春•石景山区期末）如图，四边形 ABCD 中， AD / /BC ， ABC 90 ， DB DC ， E 是 BC 的中点，连接 DE ． （1）求证：四边形 ABED 是矩形； （2）连接 AC ，若 ABD 30 ， DC 2 ，求 AC 的长．
BE 2 （1）求证：四边形 ACED 为矩形； （2）连接 OE ，如果 BD 10 ，求 OE 的长．
【分析】（1）由四边形 ABCD 是平行四边形， AD 1 ，易证得四边形 ACED 是平行四边形，又由 AC BC ，即可 BE 2
证得四边形 ACED 是矩形；
（2）根据矩形的性质解答即可．
矩形的判定与性质（北京习题集）（教师版）
一．填空题（共 1 小题） 1．（2011 春•西城区期末）菱形 ABCD 中， AB 2 ， ABC 60 ，顺次连接菱形 ABCD 各边的中点所得四边形的面
积为 ． 二．解答题（共 4 小题） 2．（2019 春•石景山区期末）如图，四边形 ABCD 中， AD / /BC ， ABC 90 ， DB DC ， E 是 BC 的中点，连接 DE ． （1）求证：四边形 ABED 是矩形； （2）连接 AC ，若 ABD 30 ， DC 2 ，求 AC 的长．