函数的零点二分法练习题

函数的零点二分法练习题精选

一、填空题

1．设f (x )的图象在区间(a ，b )上不间断，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b 2，

若f (a )·f (x 0)<0，则用二分法求相应方程的根时取有根区间为________．

答案：(a ，a ＋b 2)

2．一块电路板的AB 线路之间有64个串联的焊接点，如果电路不通的原因是因为焊口脱落造成的，要想用二分法检测出哪一处焊口脱落，至多需要检测________次．

解析：由二分法可选AB 中点C ，然后判断出焊口脱落点所在的线路为AC ，还是BC .然后依次循环上述过程即可很快检测出焊口脱落点的位置，至多需要检测6次．

答案：6

3．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间是

解析：设f f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，f (3)>0.所以f (1)·f (2)<0，所以根在(1,2)内．

答案：(1,2)

4

解析：在区间(2,3)，(3,4)，(5,6)内至少各有一个．

答案：3

5．设f (x )＝3x ＋3x －8，由二分法求方程3x ＋3x －8＝0在(1,2)内近似解的过程中，得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程根所在的大致区间是________．

解析：虽然f (1)·f (1.5)<0，f (1.5)·f (1.25)<0，但(1.25,1.5)比(1,1.5)更精确．

答案：(1.25,1.5)

6．下列方程在区间(0,1)内存在实数解的有________．

①x 2＋x －3＝0；②1x ＋1＝0；③12x ＋ln x ＝0；④x 2－lg x ＝0.

解析：0

1x

＋1>0，x 2－lg x >0. 答案：③

7．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在

的区间是________(填写序号)．

①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4)

解析：令g (x )＝x 3－22－x ，可求得g (0)<0，g (1)<0，g (2)>0，g (3)>0，g (4)>0.易知函数g (x )的零点所在区间为(1,2)．

答案：②

8．函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点，则实数a 的取值范围是________．

解析：数形结合可知．

答案：a =1

9．下列函数中能用二分法求零点的是________．

解析：由二分法应用条件知只有③符合题意．

答案：③

10．下面关于二分法的叙述，正确的是________．

①二分法可求函数所有零点的近似值

②利用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后任一位有效数字

③二分法无规律可循，无法在计算机上实施

④只在求函数零点时，才可用二分法

答案：②

11．方程log 3x ＋x ＝3的解所在区间是________．

解析：构造f (x )＝log 3x ＋x －3，∵f (2)<0，f (3)>0，

∴x 0∈(2,3)．

答案：(2,3)

12．方程0.9x －221x ＝0的实数解的个数是________．

解析：令f (x )＝0.9x －221x ，

f (x )为R 上的减函数且f (10)<0，f (5)>0，

所以f (x )在(5,10)内有一个根．

答案：1

13．方程x 3－lg x ＝0在区间(0,10)的实数解的个数是________． 解析：00.

答案：0

14．方程x2－x－1＝0的一个解所在的区间为________．

解析：f(x)＝x2－x－1，

f(－1)>0，f(0)<0，f(2)>0.

答案：(－1,0)或(0,2)

15．用计算器求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解为________(精确到0.1)．

解析：令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln2－1<0，

f(3)＝ln3>0，所以取(2,3)为初始区间．

答案：2.2

二、解答题

1．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有惟一零点，如果用“二分法”求这个零点的近似值(精确到0.001)，求将区间(a，b)等分的次数．

解：每等分一次区间长度变为原来的一半，n次等分后区间长度

变为原来的1

2n，即1

2n·0.1，要精确到0.001，必有

1

2n·0.1<0.001，即2n>100，

从而最小的n为7.

即将区间(a，b)至少等分7次．

2．用二分法求方程x3＋5＝0的近似解．(精确到0.1)

解：令f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故取区间[－2，－1]

1.7.

3．求两曲线y＝2x与y＝－x＋4的交点的横坐标(精确到0.1)．（用计算器操作）

4．(1)求证：方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)上有解；

(2)能否判断方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1其他解的区间．

解：(1)证明：设f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，

f (－1)＝－1<0且f (0)＝5>0，

所以方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(－1,0)上有解．

(2)∵f (1)＝3>0，f (2)＝－1<0，

故方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(1,2)上有解，

∵f (3)＝－1<0，f (4)＝9>0，

故方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(3,4)上有解．

综上，方程在区间(1,2)，(3,4)上有解．

5．利用函数的图象特征，判断方程2x 3－5x ＋1＝0是否存在实数根．

解：设f (x )＝2x 3－5x ＋1，则f (x )在R 上的图象是一条连续不断的曲线．

又f (0)＝1>0，f (－3)＝－38<0.

∴f (0)·f (－3)<0，

∴在[－3,0]内必存在一点x 0，使f (x 0)＝0，

∴x 0是方程2x 3－5x ＋1＝0的一个实数根．

∴方程2x 3－5x ＋1＝0存在实数根．

巩固练习题：

1．若二次函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．

解析：由Δ＝m 2－4(m ＋3)>0可得m 2－4m －12>0，所以m <－2或m >6.

答案：{m |m <－2或m >6}

2．若二次函数y ＝－2x 2－3x ＋a 的图象与x 轴没有公共点，则实数a 的取值范围是________．

解析：Δ＝9＋8a <0，所以a <－98.

答案：a <－98

3．函数y ＝x 2－3x ＋k 的一个零点为－1，则k ＝________，函数的另一个零点为________．

解析：x ＝－1时y ＝1＋3＋k ＝0，所以k ＝－4，

即y ＝x 2－3x －4＝(x ＋1)(x －4)，所以另一个零点为4. 答案：－4 4

4．方程log 2(x ＋4)＝2x 的根有________个．

解析：作函数y ＝log 2(x ＋4)，y ＝2x 的图象

如图所示，两图象有两个交点，且交点横坐标

一正一负，∴方程有一正根和一负根．

答案：2